第一章 1.1 集合的概念与表示-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019)

第一章 预备知识 S1集合 集合的概念与表示 白题 基础过关 限时：40min 题组↑集合的概念与元素的特征 7.用符号“∈”或“年”填空 1.(2025·安徽毫州高一月考)2024年巴黎 (1)集合A中的元素x满足x=5k+2,k∈Z,则 奥运会已圆满结束，中国体有健儿披荆斩棘， 3 A;-3 A. 顽强拼搏，取得了骄人的成绩.下列有关巴黎 (2)设集合M为所有四边形组成的集合，集 奥运会的团体中不能构成集合的是( 合V为所有平行四边形组成的集合：P表 A.全体参赛国家 示某个梯形，g表示某个正三角形，则 B.全体裁判员 P M:P N:q M. C.全体荣获金牌的运动员 8.已知集合A中的元素x满足x=m2-n(m, D.全体表现较好的运动员 n∈Z),试判断下列元素与集合A之间的关系. 2.(2025·湖南永州高一期中)若S是由 (1)0: “我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S (2)3: 中元素个数是 ( (3)4: A.4 B.5 C.6 D.7 (4)已知一个元素a∈A,试判断-a与集合A 3.(2025·湖南长沙一中高一月考)若x1, 的关系，并说明理由 x2,,4为集合A的4个元素，则以x,x2,x, x4为边长的四边形可能是 ( A.等腰梯形 B.直角梯形 C.菱形 D.矩形 4.(2025·陕西西安高一月考)已知集合A 中含有两个元素1，a,则实数a的取值范 围是 题组2元素与集合的关系 题组3集合的表示方法 5.已知集合A中的元素x满足x-1>2,则下 9.★(2025·山东泰安高一期末)集合{x|x 列选项正确的是 ( 3<2,x∈N·|的另一种表示方法是() A.5eA,且-4年A B.5∈A,且-4eA A.{0,1,2,3,4 B.1,2,3,4 C.5庄A,且-4A D.5EA,且-4∈A C.0,1,2,3,4,5 D.11,2,3,4,5 6.“人A教材变式（多选）下列关系中正确的有 10.。(2025·湖南永州高一期中)方程组 ( x+y=L,的解集是 ( (4x-y=9 B.w3∈Q A.(2,-1) B.(-1,2) C.-3Z D.-√/3N C.{(-1,2) D.{(2,-1) 第一章黑白题001 11.(2025·福建泉州高一期中)已知集！题组4空集与区间的表示 合M=1.5,9,13,17},则M= 16.·(2025·湖南长沙高一期中)下列集合 A.xlx=2n+1,neN,n≤8 中，结果是空集的是 () B.{xlx=2n-l,n∈N,n≤9 A.|x∈RIx2-1=0 B.{xlx>6或x<1 C.{xlx=4n+1,neN,n≤4 C.(x,y)Ix2+y2=0 D.xlx>6x<1 D.{xlx=4n-3,n∈N,n≤5 17.+(2025·广西南宁高一期中)区间 12.(多选)(2025·江苏宿迁高一月考)下 [-3,5)用集合表示为 面四个说法中正确的是 ( 18.(2025·重庆渝北区高一期中)5-x>0 A.10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7 且x+1≥0解集的区间表示为 B.由2,3组成的集合可表示为2,3}或 重难聚焦！ 13,2 题组5根据元素与集合的关系求参数 C.方程x2-4x+4=0的所有解组成的集合是 19.(2025·吉林长春高一月考)已知3∈ 2,2 D.0与0表示同一个集合 11,a,a+2},则实数a的值是 13.(2025·福建福州高一期中)已知集 A.3 B.1 合A={1,2,3},B={3,5引，则C={xx=2a C.3或1 D.0 b,a∈A,b∈B中的元素个数为 20.(2025·四川南充高一月考)已知集合 A.3 B.4 C.5 D.6 P中的元素x满足：xeN,且2<<a,又集合 14.北师数材变式(2025·山西大同高一月 P中恰有三个元素，则整数a= ,集 考)用列举法表示集合{m∈N10 合P中的元素是 m+leZ 21,(2025·河南驻马店高一月考)已知 集合A=1xeR1ax2+2x+1=0,其中aeR. 15.(2025·河北石家庄高一月考)用适当 (1)若集合A中有且仅有一个元素，求实 的方法表示下列集合： 数a组成的集合B. (1)方程(x-2)2+(y+3)2=0的解集： (2)若集合A中至多有一个元素，求实数a (2)A={yly=x2-1,lx≤2，x∈Z； 的取值范围 (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点 的集合： (4)不等式2x+3>7的解集 必修第一册，BS黑白题002 黑题 应用提优 限时：30mim 1,(2025·安徽宣城高一月考)集合{x19.#苏教教材变式已知A=xx=3水，k∈Z,B= -1≤2x+3≤8，x∈N}用列举法表示为( xlx=3k+1,kEZ A.-2,-1.0,1.21 B.-1.0.1,2 (1)判断3,5是否在集合A中，并说明理由： C.10,1.2 D.{1,2 (2)判断6m-2(m∈Z)是否在集合B中，并说 2.(多选)下列结论中，不正确的是( 明理由： A.若a∈N,则-a使N (3)若a∈A,b∈B,判断a+b是否属于集合B, B.若a∈Z,则a2Z 并说明理由。 C.若aeQ,则lal∈Q D.若aeR,则a3eR 3.(2025·陕西咸阳高一月考)已知P= {1,2,3引，Q={2,4,若M={xx∈P且xQ, 则M= ( A.{1.2.3 B.{2,4 C.11,3 D.{2 4.(2025·河南南阳高一月考)由实数x, -x,x,-√，所组成的集合，最多含元 压轴挑战 素个数为 ( ”(2025·河北廊坊高一月考)设实数集S是 A.2 B.3 C.4 D.5 满足下面两个条件的集合：①1生S:②若a∈S, 5.*(2025·湖南师大附中高一期中)若集 合M=1(x-y,x+y)ly=2x,则 1-a A.(3,-1)∈M B.(-1,3)∈M C.(-1,2)∈M D.(2,-1)∈M (1)求证：若a∈S,则1-eS; 6（多选)已知集合A={xeZ”eZ, (2)若2∈S,则S中必含有其他的两个数，试求 出这两个数： -9≤m≤9}，则满足A中有8个元素的m的 (3)求证：集合S中至少有三个不同的元素， 值可能为 ( A.6 B.7 C.8 D.9 7.(2025·湖北恩施高一期中)已知集 合A={1,2,3},B={1,m,m+2},若2-m∈A. 则实数m= 8.设x,yeR,用列举法表示尸所有可 能取值组成的集合，结果是 第一章黑白题003正文参考答案 第一章预备知识 §1集合 12.AB解析：对于A,10以内的质数为2,3,5,7，组成的集合 是2,3,5,7引，故A正确： 1.1集合的概念与表示 对于B.由集合中元素的无序性知2.3引和3,2引表示同一 白题 基础过关 集合，故B正确： 1,D解析：根据集合元素的确定性可以判断A,B,C正确：对 对于C,由集合中元素的互异性可知不存在集合{2,2{，故 于D,“表现较好”设有衡量标准，因此表现较好的运动员是 C错误： 不确定的，故不能构成集合，故D不正确.故选D. 对于D,由集合的表示方法知0不是集合，故D错误故 四方法总结 选AB. 13.B解析：由题意，x=2a-b.当a=1,b=3时，x=2a-b=-1: 判断一组对象是否能够构成集合要看组成它的元素是否确 当a=1,b=5时.x=2a-b=-3:当a=2.b=3时，x=2a-b= 定，也就是说，给定一个集合，那么一个元素在不在这个集会 1:当a=2,b=5时，x=2a-b=-1:当a=3,b=3时，x=2a 中是确定的 b=3:当a=3,b=5时，x=2a-b=1. 2.B解析：根据集合中元素的互异性，两个“我“字只算一个 因为集合中元索满足互异性，所以C=1-3,-1,1,3.故 可得S中元素个数是5.故选B 选B 3.B解析：根据集合中元素的互异性，以x1,,为边长 的四边形，四条边均不相等，选项中只有直角梯形可能满足 14.014,9解折：由题意知mN,且9e乙，所以m的 要求故选B, 可能取值为0.1,4.9，故答案为10.1,4,9. 4.a≠1解析：由集合的互异性知，a≠1. 15.解：(1)由(x-2)2+(y+3)2=0得x-2=0,y+3=0,解得 四重难点拔 x=2,y=-3,所以集合为(2，-3). 利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的 (2)由lx|≤2，x∈Z得x为-2，-1,0.1,2 个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性 当x=2或x=-2时，y=3:当x=1或x=-1时，y=0:当x=0 时，y=-1.所以集合为3,0，-1. 5,A解析：由x-1>2解得x>3.因为5>3，-4<3，故5eA,且 (3)(x,y)Ixy<0,x后R,y后R. -4正A,故选A (4)解不等式2x+3>7,得x>2.所以不等式2x+3>7的解集 6.AD解析：对于A,3是实数，故A正确：对于B,3不是有 可表示为x|x>2}, 16.D解析：A选项：xeR1x2-1=0=-1,1,该集合不是 理数，故B错误：对于C,-3是整数，故C错误：对于D,-3 空集：B选项：大于6或者小于1的实数都在集合|xIx>6 不是自然数，故D正确故选AD 或x<1中，所以该集合不是空集：C选项：(x,y)x+y2= 7.(1)￥e(2)e华 0=|(0,0)|,该集合不是空集：D选项：不存在既大于6 解桥：()令5+2=3，得太=写乙，放3延A:令5+2=-3， 又小于1的数，即x|x>6且x<1}=.故选D. 17.x1-3≤x<5解析：区间[-3,5)用集合表示为{x1-3≤ 得k=-1,故-3∈A.(2)梯形是四边形但不是平行四边形，散 x<5.故答案为x1-3≤x<5引. PeM,PgN;正三角形不是四边形，故g￥M. 8.解：(1)0=m2-m2(meZ),.0eA 18.[-1.5)解析：由-0。解得-1≤x<5.不等式组的 （x+1≥0. (2)3=22-1(2.1∈Z)∴3∈A 解集为[-1,5).即5-x>0且x+1≥0的解集为[-1,5).故答 (3)4=22-0(2,0eZ)∴4eA 案为[-1,5). (4)-aeA.理由：由于a∈A,则一定存在m,n∈Z满足 19.A解析：由题意得a=3或a+2=3→a=1,当a=3时.集合 a=m2-n2,因此-a=n2-m2,结合m,n∈Z可知-a∈A. 9.B解析：因为x-3<2,所以x<5,又因为x∈N°，所以x= 为11,3.5.符合题意：当a=1时，集合为1,1,31.不符合 题意，所以a=3.故选A. 1,2,3,4,所以{xlx-3<2,xeN1=1,2.3,41.故选B. 20.63,4,5解析：由题意知a∈N,又xeN,2<xca,且集合 10.D解析)，解得，所以方程组的 (y=-1, P中恰有三个元素，所以a=6,此时集合P中的元素是3， (4r-y=9 4,5.枚答案为6：3,4,5. 解集是(2，-1)，故选D. 21,解：(1)若a=0,方程化为2x+1=0,此时方程有且仅有个 ①重难点拨 研究集合问题时，首先耍明确构成集合的元素是什么，即弄 清该集合是数集、点集，还是其他集合；再看集合的构成元素 若a≠0，则当且仅当方程的判别式4=4-4a=0,即a=1 满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义， 时，方程有两个相等的实根x,=x2=-1,此时集合A中有且 11.C解析：因为集合M=1,5,9,13,17},根据集合中5个 仅有一个元素， 元素的特点知x=1+4n,n∈N,n≤4.所以|xlx=4n+1, .所求集合B=10,1 neN,n≤4引，故选C. (2)集合A中至多有一个元素有两种情况： 参考答案黑白题001 ①A中有且仅有一个元素，由(1)可知此时a=0或a=1: 0,>0,,=2:若0，y<0.,1=0:若<0，>0 ②4中一个元素也没有，即方程无实根，此时a≠0，且4= x y y 4-4a<0,解得a>1 =0:若<0，y<0,,=-2,所有可能取 综合①②知a的取值范围为ala≥1或a=0 x y x y 黑题应用提优 值组成的集合为2,0，-2.故答案为2,0，-2， 9.解：(1)3在集合A中，5不在集合A中，理由：3=3×1,3 1.C解折：由-1≤2x+3≤8，解得-2≤≤了，所以1-15 在集合A中.令站=5，则=：7故5不在集合4中 2x+3≤8，xeN|=}x -2≤ 2xeN}=0,1,2.故 (2)6m-2(meZ)在集合B中.理由：6m-2=3(2m-1)+1. 选C. 且2m-1∈Z,故6m-2(m∈Z)在集合B中. 2.AB解析：在A中，当a=0时，显然不成立.对于B,当aeZ (3)a+b属于集合B,理由：设a=3p,peZ,b=3g+1,9eZ, 时，其平方数仍为整数，显然不成立；对于C,当aeQ时，其 则a+b=3(p+q)+1,p+g∈Z,所以a+b属于集合B. 绝对值仍为有理数，正确：对于D,当a∈R时，其立方仍为 压轴挑战 实数，正确.故选AB. 3.C解析：因为P=1,2,3,Q=|2,4,M=xxeP且xg (证明：若a=0,则。=1e8,与18矛盾，故a≠0因为 Q1,所以M=11,3.故选C 4.A解析：显然-√=-1x,=x当x=0时.集合中有 15,所以1-a≠0，由aeS则，」 。5,可得1 1个元素0；当x>0时，Ixl=x,-x=-x,集合中有2个元素 x,x:当x<0时，x=-x,-x=x,集合中有2个元素x,-x -=l一e5,放若ae,则1 所以集合中最多含2个元素故选A. 1- 1-a 5.B解析：对于A有y=3,解得任，由x=1时. (x+y=-1. (y=-2. （2)解：由2es得-1es由-1es得1-es y=2,故(3，-1)1，故A错误： 对于B:有解得由x=1时y=2,故(-1 而当eS时，2eS…,因此当2e8时，集合S中必含 (x+y=3, (y=2. 12 3)∈M,故B正确： (I 有-1,2两个元素 x= 对于C:有，解得 21 由x= x+=2. 3 了时=1，故 (3)证明：设xeS,由(（1)知≠0且x1,则∈5 1 y=2 1- 1-x (-1,2)gM,故C错误： e8令化简可得+1=0.因为4(-片-4 对于D:有2，解得 1 (x+y=-1, 3 由x=2时y=1,故 130所以方程无解，即仁令，化简可得 1-x 2· (2,-1)年M,故D错误.故选B. x-+1=0,同理x=二无解，即x≠-，所以集合S中至少有 6.AC解析：当m=6时，满足xeZ.m∈Z的x有6,3,2,1， 三个不同的元素 1.2集合的基本关系 -1,-2,-3,-6,即集合A中有8个元素，符合题意，故 白题 基础过关 A正确： 1.C解析：4CB成立的含义是集合A中的任何一个元素都是 当m=7时，满足xe乙？eZ的x有7山，-1，-7，即集合A 集合B的元素，不成立的含义是集合A中至少有一个元素不 中有4个元素，不符合题意，故B错误： 属于集合B.故选C 2.D解析：依题意4-{✉>}11，A错误：由元素与 3 当m=8时，满足xe乙eZ的x有8,421，-1，-2， -4.-8,即集合A中有8个元素，符合题意，故C正确： 集合，集合与集合的关系知BC错误：|4SA,D正确.故 当m=9时，满足xZ.geZ的x有9,3.1，-1.-3，-9，即 选D. 3.BD解析：对于A,集合1a,b1的真子集是1a1,3b,⑦， 集合A中有6个元素，不符合题意，故D错误故选AC 故A不正确：对于B.真子集具有传递性，故选项B正确：对 7.0解析：若2-m=1,则m=1,此时集合B违背互异性，不符 于C,若一个集合是空集，则没有真子集，故选项C不正确： 合要求；若2-m=2,则m=0,此时B={1,0,2,符合要求； 对于D,空集是任何非空集合的真子集，若☑A,则A≠☑， 若2-m=3,则m=-1,此时集合B违背互异性，不符合要求 故D正确.故选BD. 综上所述，m=0.故答案为0. 4.D解析：由题图可知：BA,A=11,2,3,由选项可知： 8.2,0,-2解析：根据x,y的符号，分情况去绝对值：若x> 11,3军A,故选D. 必修第一册·BS黑白题002