专题04 数列-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（黑龙江专用）

专题04 数列 题型概览 题型01 等差、等比数列基本量运算 题型02 数列通项与求和 题型03 数列的综合应用 题型04 新定义问题 题型05 范围与最值问题 题型06 杨辉三角问题 题型07 数列通项与求和 题型08 数列的综合应用 等差、等比数列基本量运算题型01 1．（2025·黑龙江大庆·二模）已知等差数列的前项和为，若，则公差为（    ） A． B． C． D．1 2．（2025·黑龙江牡丹江·二模）各项均为正数的等差数列的前n项和为，若，则的最大值为（   ） A．20 B．64 C．45 D．50 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）各项均为正数的数列的前项和为，且，若满足关系式，则（    ） A．30 B．60 C．90 D．120 4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（   ） A． B． C．16 D．9 6．（2025·黑龙江·二模）已知为等差数列的前项和，若，且，则（    ） A．2025 B． C．1 D． 7．（2025·黑龙江大庆·二模）在等差数列中，若，则（    ） A．270 B．225 C．180 D．135 8．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）正项等差数列中，，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 9．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）等差数列满足，，则（   ）． A．15 B．32 C．45 D．60 10．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）等比数列的公比为2，若，成等差数列，设为的前项和，则 ． 11．（2025·黑龙江大庆·二模）设等差数列，的前项和分别为，，，则 ． 数列通项与求和题型02 12．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，. (1)求，的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 13．（2025·黑龙江大庆·二模）设为数列的前项和，已知，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，若对于任意恒成立，求实数的取值范围. 14．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知正项数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足．求数列的前项和为； (3)设数列的前项和为，，且，若时，，求数列首项的取值范围． 15．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列是正项等比数列，满足，，且， (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：. 16．（2025·黑龙江大庆·二模）已知数列的前项和为，，对，都有． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项和为，求． 17．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知数列满足，数列为各项均为正数的等比数列，且满足 (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项和为，若______． 下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中． ①； ②成等差数列； ③成等比数列． 记数列满足求数列的前20项和． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，，． (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，是否存在实数，，使得是等差数列，若存在，求，的值，若不存在，说明理由； (3)记，,求． 数列的综合应用题型03 19．（2025·黑龙江大庆·二模）已知函数在上的最小值为0 (1)求实数的值： (2)对任意的，数列满足，且，证明：当大于1时，也大于1： (3)在（2）的条件下，若为数列的前项和，求证： 20．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知平行四边形中，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列的首项为1，数列满足，数列的前项和为，实数满足对恒成立（    ） A．是等比数列 B． C． D． 21．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）曲线上有不同的三点，，，且成等差数列，，则过，的直线的斜率的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 22．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）设等差数列的前项和为，已知，，则下列选项正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 23．（2025·黑龙江大庆·二模）将正整数集中所有与21不互素的数划掉，记剩下的数由小到大排成数列，再按照两项，一项，两项，一项的顺序循环分组：，那么在第（   ）组． A． B． C． D． 24．（2025·黑龙江·二模）已知经过定点的动圆与直线相切，记圆心的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点，以分别为切点作曲线的切线与的交点为. (1)求点的轨迹方程； (2)设点，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，已知. （i）求数列的通项； （ii）已知为数列的前项和，求使不等式成立时，的最小值. 25．（2025·黑龙江大庆·二模）若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合. (1)若是15项数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和； (2)已知，，记，其中且. （ⅰ）求取到最大值时的值； （ⅱ）若，是两个不同的数列，求随机变量的分布列，并证明：. 26．（2025·黑龙江·二模）已知双曲线，A为右顶点，点，，在双曲线上（不同于点A），使得． (1)求坐标； (2)记的坐标为．对的正整数，按照以下规则依次定义：过作一条平行于的直线与双曲线交于（不同于）．证明：为等比数列； (3)时，求n边形的面积． 27．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 新定义问题题型04 28．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）将正整数1，2，3，…，n的任意一种排列得到的有限数列记作，若对，均有，则称该数列为“n元全错位数列”，记“n元全错位数列”的个数为，如正整数1，2，3所对应的“3元全错位数列”有2，3，1和3，1，2，得． (1)求； (2)求证：是等比数列； (3)求证：． 29．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）数阵，又称矩阵，是数学中的一个重要概念，它是一种特殊的数组，由数字或符号按照特定的规则排列而成.数阵的元素按照一定的顺序排列，通常用矩阵的行和列来表示.将阶数阵记作（其中）.已知，且满足， (1)求和的值； (2)求的表达式； (3)是否存在，使得，，成等比数列，如存在，请求出，如不存在，请说明理由. 30．（2025·黑龙江大庆·二模）对，通过抛掷一枚均匀硬币次后生成有序数对，具体生成规则如下：①规定；②当第次抛掷硬币时：如果出现硬币正面朝上，若，则，否则；如果出现硬币反面朝上，若，则，否则．抛掷次硬币后，记的概率为． (1)写出的所有可能结果，并求，； (2)证明：数列是等比数列，并求； (3)设，求的最大值． 31．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）互素是指两个自然数a和b的最大公因数为1．欧拉函数表示不大于且与n互素的正整数个数，若数列满足，且数列的前n项和为，则满足的n的最大值为 ． 32．（2025·黑龙江·二模）已知数列满足，且对任意，有递推关系式：，定义数列为，则 . 33．（多选题）（2025·黑龙江·二模）设是一个无穷数列的前n项和，满足对任意的正整数n，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，下列结论正确的是（   ） A．若对任意的正整数n均有，则为和谐数列 B．若为和谐数列，则对任意的正整数n均有 C．若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值 D．一定存在首项、公比均为负数的等比数列是和谐数列 34．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为的牛顿数列．设，已知，的前项和为，则等于（   ） A．2025 B．2026 C． D． 范围与最值问题题型05 35．（2025·黑龙江大庆·二模）已知对任意，都有，若存在一组正整数，使可以表示的所有数，那么的最大值为 . 36．（2025·黑龙江大庆·二模）已知各项均不为零的数列，其前项和是，且．若为递增数列，，则的取值范围是 ． 37．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 杨辉三角问题题型06 38．（多选题）（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．第项为 D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则 数列通项与求和题型07 39．（2025·内蒙古赤峰·二模）已知，均为等比数列，且，. (1)证明：为定值. (2)求数列的前项和. 40．（2025·内蒙古包头·二模）存在 ，对任意的 ，当 时，正项数列 都满足 . ，则称 满足 性质. 例如: 当 时， ，则等比数列 满足 性质; 当 时，   ，则数列 不满足 性质. 已知数列 同时满足 性质. (1)证明:数列 为等比数列； (2)已知 ，若数列 满足: ，其中 . 设 为数列 的前项和，记 . ① 求 的表达式 （用含的式子表示）; ②试判断 与 的大小关系，并说明理由. 41．（2025·宁夏内蒙古·二模）已知数列中， (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，证明:． 数列的综合应用题型08 42．（2025·内蒙古包头·二模）已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立， (1)证明：数列是等差数列； (2)设，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出满足要求的和的所有值；若不存在，请说明理由． 43．（2025·内蒙古赤峰·二模）已知数列满足，，表示不超过的最大整数，则 ． 44．（多选题）（2025·内蒙古赤峰·二模）已知抛物线：的焦点为F，点在上，其横坐标为，若是等差数列，且，，则（   ） A． B．数列是等差数列 C．点F的坐标为 D． 45．（多选题）（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知数列满足，，且，若记数列的前项的积为，，的前项和为，则下列结论正确的是（   ） A．数列是等比数列         B． C．当为奇数时， D．当为偶数时， 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 数列 题型概览 题型01 等差、等比数列基本量运算 题型02 数列通项与求和 题型03 数列的综合应用 题型04 新定义问题 题型05 范围与最值问题 题型06 杨辉三角问题 题型07 数列通项与求和 题型08 数列的综合应用 等差、等比数列基本量运算题型01 1．（2025·黑龙江大庆·二模）已知等差数列的前项和为，若，则公差为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】由，则，即， 所以，则， 由，则. 故选：C 2．（2025·黑龙江牡丹江·二模）各项均为正数的等差数列的前n项和为，若，则的最大值为（   ） A．20 B．64 C．45 D．50 【答案】B 【解析】因为，故，故， 故，而，故， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故选：B. 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）各项均为正数的数列的前项和为，且，若满足关系式，则（    ） A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】A 【解析】原式左侧可因式分解，即， 由于，所以，即， 因此数列为等差数列，公差为2， ，应用等差求和公式：. 故选：A. 4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是等差数列， 所以，又， 所以， 故选：C. 5．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（   ） A． B． C．16 D．9 【答案】C 【解析】设正项等比数列的公比为， 因为，，成等差数列， 所以，则， 即，解得（舍去）或， 所以. 故选：C. 6．（2025·黑龙江·二模）已知为等差数列的前项和，若，且，则（    ） A．2025 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】，又， . 故选：B. 7．（2025·黑龙江大庆·二模）在等差数列中，若，则（    ） A．270 B．225 C．180 D．135 【答案】C 【解析】因为数列是等差数列，所以， 则. 故选：C. 8．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）正项等差数列中，，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【解析】正项等差数列中，设公差为， 因为，所以，因为，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：B 9．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）等差数列满足，，则（   ）． A．15 B．32 C．45 D．60 【答案】C 【解析】设公差为，由可得， 又可得，故， 因此， 故选：C 10．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）等比数列的公比为2，若，成等差数列，设为的前项和，则 ． 【答案】62 【解析】因为，成等差数列， 所以，则，解得， 则. 故答案为：62. 11．（2025·黑龙江大庆·二模）设等差数列，的前项和分别为，，，则 ． 【答案】 【解析】因为等差数列，的前项和分别为，且， 所以． 故答案为：. 数列通项与求和题型02 12．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，. (1)求，的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【解析】（1）是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为，公比为，由，，，， 可得，解得：（负的舍去）， 则， （2） ∴ . 13．（2025·黑龙江大庆·二模）设为数列的前项和，已知，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，若对于任意恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）令，可得，故，所以， ， 所以， 所以，因为，所以， 数列是首项为1，公差为2的等差数列，通项公式为. （2）由（1）得，， 所以， 当为偶时，， ， 当为偶数时，， 所以， 因为对于任意恒成立， 当为奇数时，又 当时，取最小值，最小值为， 所以， 当为偶数时， 当时，取最小值，最小值为， 所以， 综上可得的取值范围. 14．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知正项数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足．求数列的前项和为； (3)设数列的前项和为，，且，若时，，求数列首项的取值范围． 【解析】（1）由已知条件可知，对任意的，. 当时，，解得； 当时，由可得， 上述两式作差得，即， 即， 由已知条件可知，所以， 所以，数列是等差数列，且首项为，公差也为，因此，. （2）由（1）可得， 所以，. （3）因为，所以①， ②，③， ②①可得，②③可得， 又， 当时，， 当时，， 又因为，当时，， 当时，， 当时，， 对任意的，则恒成立，故. 15．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列是正项等比数列，满足，，且， (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：. 【解析】（1）， ，又，， 则，，故. （2）因为，所以，则， ， ， 所以 所以. 16．（2025·黑龙江大庆·二模）已知数列的前项和为，，对，都有． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项和为，求． 【解析】（1）由，得 当时，， 两式相减可得，，即，所以， 所以，即， 因为，所以， 而也满足， 故数列的通项公式为. （2）由（1）知，故， . 17．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知数列满足，数列为各项均为正数的等比数列，且满足 (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项和为，若______． 下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中． ①； ②成等差数列； ③成等比数列． 记数列满足求数列的前20项和． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【解析】（1）设等比数列的公比为， ， 又，， ，是等差数列，且公差为3 ，数列的通项公式为 （2）选①：，， 选②：成等差数列，， 选③：成等比数列，， ， 18．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，，． (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，是否存在实数，，使得是等差数列，若存在，求，的值，若不存在，说明理由； (3)记，,求． 【解析】（1）因为，两边同除于，则， 所以，，，， 累加可得， 所以， 则当时，， 又当；当也适合上式， 故，则. （2）由（1）可知，，，所以 则的前n项和为 要使得是等差数列，所以 要使得为一个常数， 令，则对任意恒成立， 则，解得. 所以存在存在实数，，使得是等差数列，且. （3）由（1）知,， 则. 当时，， 则； 则， 则， 故. . 数列的综合应用题型03 19．（2025·黑龙江大庆·二模）已知函数在上的最小值为0 (1)求实数的值： (2)对任意的，数列满足，且，证明：当大于1时，也大于1： (3)在（2）的条件下，若为数列的前项和，求证： 【解析】（1）当时，，当时，，不成立 当时，， 当时， 当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取最小值，此时，解得. （2）， 设 当时，，所以在上单调递增， 所以，即. （3）要证，只需证 又 所以只需证，即证， 由于，只需证, ， 即证，由（2）可知，， 即需证， 设， 所以单调递减，因为,所以， 即，所以， 即，累加后得证. 20．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知平行四边形中，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列的首项为1，数列满足，数列的前项和为，实数满足对恒成立（    ） A．是等比数列 B． C． D． 【答案】ABD 【解析】 由可得 因为三点共线，所以，即， 即，又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 则，所以，故AB正确； 又， 所以 ，故C错误； 由实数满足对恒成立，即， 且，，所以， 则，所以，故D正确； 故选：ABD 21．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）曲线上有不同的三点，，，且成等差数列，，则过，的直线的斜率的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由等差中项可得， 由于不相等，故，， 由于，所以，因此， 故选：A 22．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）设等差数列的前项和为，已知，，则下列选项正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由已知，， 则， 即， 即， 又恒成立， 所以，即，； 又由，， 可知， 即， 又恒成立， 所以，即， 故选：D. 23．（2025·黑龙江大庆·二模）将正整数集中所有与21不互素的数划掉，记剩下的数由小到大排成数列，再按照两项，一项，两项，一项的顺序循环分组：，那么在第（   ）组． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】正整数集中，划掉所有与21不互素的数等价于划掉3或7的倍数， 余下的数按题设要求可分组如下： ，，，，，，，； ，，，，，，，， 每行均有组（共个元素），且各组中的元素除以后余数相异， 而，故在第行， 而第行的第一组为， 第二组为，第三组为， 故为第行的第组．则在第组． 故选：A. 24．（2025·黑龙江·二模）已知经过定点的动圆与直线相切，记圆心的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点，以分别为切点作曲线的切线与的交点为. (1)求点的轨迹方程； (2)设点，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，已知. （i）求数列的通项； （ii）已知为数列的前项和，求使不等式成立时，的最小值. 【解析】（1）依题意可知，动圆的圆心到点与到直线的距离相等， 根据抛物线定义可得曲线是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为，则直线经过抛物线的焦点， 设，联立，整理得恒成立， 则，又可化为，则， 所以，联立， 消可得， 又因为，所以点的轨迹方程为. （2） （i）设，则， 又，则，又， 所以，即直线的方程为， 整理得，令，可得，① 同理得的方程为，令，可得，② 又直线的斜率为， 所以直线的方程为，令，得， 由①可知，， ①②可得. 于是可得，即，又因为，则， 于是，即，即， 即，又， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 则，所以，所以. （ii）由（i）可知，，则， 所以， 则， 两式作差可得 所以. 令，即. 当时，显然不合题意； 当时，随着的增大而增大， 又， ， ， 则满足不等式的的最小值为9. 25．（2025·黑龙江大庆·二模）若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合. (1)若是15项数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和； (2)已知，，记，其中且. （ⅰ）求取到最大值时的值； （ⅱ）若，是两个不同的数列，求随机变量的分布列，并证明：. 【解析】（1）因为是15项数列，当且仅当时，， 所以当和时，． 设数列的所有项的和为S，则 ， 所以数列的所有项的和为0． （2）（i）因为数列是从集合中任意取出的两个数列， 所以数列为项数列，所以的可能取值为：． 根据数列中0的个数可得，集合中元素的个数共有个， 当时，则数列中有项取值不同，有项取值相同， 从项中选择项，和在项的某一项数字相同， 其余项，两者均在同一位置数字相反， 由于，此问题为组合问题， 故所有的情况会重复1次，故共有种情况， 所以， 令，化简可得，解得， 则当时，取得最大值. （ii）证明：因为数列是从集合中任意取出的两个数列， 所以数列为项数列，所以的可能取值为：． 根据数列中0的个数可得，集合中元素的个数共有个， 当时，则数列中有项取值不同，有项取值相同， 从项中选择项，和在项的某一项数字相同， 其余项，两者均在同一位置数字相反， 由于，此问题为组合问题， 故所有的情况会重复1次，故共有种情况， 所以， 因为， 所以 ， 即． 26．（2025·黑龙江·二模）已知双曲线，A为右顶点，点，，在双曲线上（不同于点A），使得． (1)求坐标； (2)记的坐标为．对的正整数，按照以下规则依次定义：过作一条平行于的直线与双曲线交于（不同于）．证明：为等比数列； (3)时，求n边形的面积． 【解析】（1）双曲线方程为 ，右顶点 . 计算 的斜率：. 直线 的方程为 . 代入双曲线方程并化简得：， 解得（舍去）或，对应. 故坐标为. （2）根据（1），可猜想，其中点看作. 已知坐标坐标满足猜想. 假设坐标猜想成立，我们来证明时猜想成立. 下面验证在双曲线上，并且满足. 记的坐标为， 则，， 所以， 所以在双曲线上. 直线的斜率， 直线的斜率， 所以满足. 由于直线与双曲线至多有两个交点，因此上述猜想的点即为题设中的点. 综上所述，根据数学归纳法原理，可知猜想正确. 由，这也就同时证明了数列为首项为公比为的等比数列，. （3）顶点坐标可化为 (). 先证明三角形面积的向量坐标表示公式： 设向量， 则 . 考虑向量， ， n边形的面积： . 27．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由已知，， ，，， 又， ， 数列中任意一项不为0， ， 数列是首项为2， 公比为2的等比数列. （2）由第（1）问知， ， 则，所以①， ②， 所以①-②可得： ， 所以. 由，得， 化简得. 当 为奇数时，有，即， 而，所以； 当为偶数时，有， 而，所以. 综上，的取值范围为. 新定义问题题型04 28．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）将正整数1，2，3，…，n的任意一种排列得到的有限数列记作，若对，均有，则称该数列为“n元全错位数列”，记“n元全错位数列”的个数为，如正整数1，2，3所对应的“3元全错位数列”有2，3，1和3，1，2，得． (1)求； (2)求证：是等比数列； (3)求证：． 【解析】（1）时，显然；时，“2元全错位数列”只能是2，1，所以． （2）当时，为了得到“n元全错位数列”，我们分两步来完成正整数1，2，3，…，n的排列： ①将正整数n放到第m（）个位置，有种排法； ②考虑正整数m，有两种放法． 若放到第n个位置，则余下个正整数放到余下个位置，有种排法； 若不放到第n个位置，这时对于这个正整数，共有种排法． 所以， 所以， 又， 所以是以1为首项，为公比的等比数列． （3）由（2）知， 等式两边同除得， 由累加法得， 则， 即， 则． 29．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）数阵，又称矩阵，是数学中的一个重要概念，它是一种特殊的数组，由数字或符号按照特定的规则排列而成.数阵的元素按照一定的顺序排列，通常用矩阵的行和列来表示.将阶数阵记作（其中）.已知，且满足， (1)求和的值； (2)求的表达式； (3)是否存在，使得，，成等比数列，如存在，请求出，如不存在，请说明理由. 【解析】（1）在中令， 得； 在中令得，， 在中令得，， 则. （2）在中令，得， 则，，，，， 由累加可得， 又时，符合上式，故； 在中令，得， 则，，，，， 由累加可得 ， 又满足上式， 故 （3）由（2）知，则， 若为等比数列， 则为等差数列， 设， 则，即， 若满足题意，则有四个整数解， 设， 则 注意最多只有两个零点， 则此时最多只有三段单调区间，至多有三个零点， 故不可能有四个解， 综上所述，不存在使得成等比数列，证毕. 30．（2025·黑龙江大庆·二模）对，通过抛掷一枚均匀硬币次后生成有序数对，具体生成规则如下：①规定；②当第次抛掷硬币时：如果出现硬币正面朝上，若，则，否则；如果出现硬币反面朝上，若，则，否则．抛掷次硬币后，记的概率为． (1)写出的所有可能结果，并求，； (2)证明：数列是等比数列，并求； (3)设，求的最大值． 【解析】（1）当第1次抛掷硬币时， 若正面朝上，由知， 则； 若反面朝上，由知， 则； 当第2次抛掷硬币时，如果正面朝上， 此时若第1次正面朝上，由知， 则 此时若第1次反面朝上，由知， 则 当第2次抛掷硬币时，如果反面朝上， 此时若第1次正面朝上，由知， 则 此时若第1次反面朝上，由知， 则 所以的所有可能结果共3个，所以，． （2）由（1）的分析可得， 当第次抛掷硬币时： 如果出现硬币正面朝上，若， 则，此时； 否则，此时， 而，也有， 如果出现硬币反面朝上，同理有，依次可得. 当，且第次掷出正面时， 有，此时，当，且第次掷出反面时， 有，此时，所以: ， 即，所以 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以． （3）由（2）知， 而，故在上单调递增， 故最大时取得最大值； 当且为奇数时，， 当且为偶数时，， 且随着的增大而减小， 所以即 所以. 31．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）互素是指两个自然数a和b的最大公因数为1．欧拉函数表示不大于且与n互素的正整数个数，若数列满足，且数列的前n项和为，则满足的n的最大值为 ． 【答案】10 【解析】因为正偶数与不互素，正奇数与互素， 所以不大于且与互素的正整数为所有不超过的正奇数， 所以，则， 令，解得，所以n的最大值为10． 故答案为：10 32．（2025·黑龙江·二模）已知数列满足，且对任意，有递推关系式：，定义数列为，则 . 【答案】 【解析】已知， 当时，， 两式作差得， ①当为奇数时，， 因，，则， 所以中的偶数项是以为首项，1为公差的等差数列， 则当为偶数时，； ②当为偶数时，， 所以中的奇数项是以为首项，为公差的等差数列， 则当为奇数时，， 因为，所以. 故答案为：. 33．（多选题）（2025·黑龙江·二模）设是一个无穷数列的前n项和，满足对任意的正整数n，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，下列结论正确的是（   ） A．若对任意的正整数n均有，则为和谐数列 B．若为和谐数列，则对任意的正整数n均有 C．若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值 D．一定存在首项、公比均为负数的等比数列是和谐数列 【答案】ACD 【解析】. 对于选项A，，， ∴数列为和谐数列，故选项A正确； 对于选项C，设等差数列的公差为， 则由等差数列求和公式可知：， ， ∴数列是公差为的等差数列. ∵等差数列是和谐数列， ，， ∴关于的二次函数的图象开口向上，则在上一定存在最小值，故选项C正确； 对于选项D，对等比数列，取，， 则由等比数列的通项公式及求和公式可知， . 要证等比数列是和谐数列，只需证， 即证， 即证， 即证. 当，时，上式中左边，不等式显然成立； 当，时， 要证，即证， 即证. 设， ， 在定义域上单调递增， ，， 综上，存在等比数列满足，，使数列为和谐数列，故选项D正确； 对于选项B，由选项D可知存在等比数列满足，，使数列为和谐数列，此时，，，不满足，故选项B错误. 故选：ACD. 34．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为的牛顿数列．设，已知，的前项和为，则等于（   ） A．2025 B．2026 C． D． 【答案】D 【解析】有两个零点1，2， 则，解之得， 则，则， 则， 则， 由，可得， 即， 又，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，则， 前n项和，则. 故选：D． 范围与最值问题题型05 35．（2025·黑龙江大庆·二模）已知对任意，都有，若存在一组正整数，使可以表示的所有数，那么的最大值为 . 【答案】31 【解析】方法1：由题意分析可知，有最大值，即需要都取到最大，故这个数都不相等， 又因为可以表示的所有数，所以， 由于可以由表示，所以 ，以此类推可知，当时，最大，即为 故答案为：. 方法2：因为，所以每个的取值有2种情况， 对于一组正整数共有32种情况，所以， 当时，即可表达中的所有数， 即，，. 故答案为：. 36．（2025·黑龙江大庆·二模）已知各项均不为零的数列，其前项和是，且．若为递增数列，，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题设， 又各项均不为零，则， 由，则， 又为递增数列，则， 而，即，则， 综上，，即的取值范围是. 故答案为： 37．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 又，则， 所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，最大. 故选：B. 杨辉三角问题题型06 38．（多选题）（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．第项为 D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则 【答案】AC 【解析】将数列、、、、、、、、、、变成以下数阵： 则该数阵第行有个数，从左向右分别为， 第行最后一项位于原数列第项， 对于A，因为，所以分别在该数阵第行的第2个和第4个，故，即，选项A正确； 对于B，因为，所以位于该数阵第行第个数， 由题意可知，该数阵第行所有数为“杨辉三角”数阵中第行去掉首、尾两个得到，而“杨辉三角”中第行所有数之和为， 所以，该数阵第行所有数之和为， 所以，选项B错误； 对于C，因为，所以第项为第行第1个，即，选项C正确； 对于D，根据杨辉三角知，，选项D错误. 故选：AC. 数列通项与求和题型07 39．（2025·内蒙古赤峰·二模）已知，均为等比数列，且，. (1)证明：为定值. (2)求数列的前项和. 40．（2025·内蒙古包头·二模）存在 ，对任意的 ，当 时，正项数列 都满足 . ，则称 满足 性质. 例如: 当 时， ，则等比数列 满足 性质; 当 时，   ，则数列 不满足 性质. 已知数列 同时满足 性质. (1)证明:数列 为等比数列； (2)已知 ，若数列 满足: ，其中 . 设 为数列 的前项和，记 . ① 求 的表达式 （用含的式子表示）; ②试判断 与 的大小关系，并说明理由. 41．（2025·宁夏内蒙古·二模）已知数列中， (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，证明:． 数列的综合应用题型08 42．（2025·内蒙古包头·二模）已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立， (1)证明：数列是等差数列； (2)设，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出满足要求的和的所有值；若不存在，请说明理由． 43．（2025·内蒙古赤峰·二模）已知数列满足，，表示不超过的最大整数，则 ． 44．（多选题）（2025·内蒙古赤峰·二模）已知抛物线：的焦点为F，点在上，其横坐标为，若是等差数列，且，，则（   ） A． B．数列是等差数列 C．点F的坐标为 D． 45．（多选题）（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知数列满足，，且，若记数列的前项的积为，，的前项和为，则下列结论正确的是（   ） A．数列是等比数列         B． C．当为奇数时， D．当为偶数时， 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$