专题02 函数与导数-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（黑龙江专用）

专题02 函数与导数 题型概览 题型01 函数的图像 题型02 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性 题型03 导数与数列结合问题 题型04 函数与方程的综合应用 题型05 新定义问题 题型06 恒成立与能成立问题 题型07 证明不等式问题 题型08 切线问题 题型09 极最值问题 题型10 零点问题 题型11 双变量与多变量问题 函数的图像题型01 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，若存在实数、b、，满足且，则 ． 【答案】/ 【解析】函数， 函数的图象是保留函数在上的图象，并去除函数在上的图象， 再将函数在上的图象关于轴翻折，可得到函数的图象， 作出函数的图象如下图所示： 当时，方程的解分别为、、、， 由，得、、为、、、中的三个数， 而，且，则、、对应的数为、、或、、， 根据对称性，不妨取、、为对应的、、， 由，得，又，则， 而，因此，令，则， 函数为减函数，且， 则方程的解为，即，解得，，所以. 故答案为： 2．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知曲线，则（   ） A．曲线的图象关于轴对称 B．曲线上任意一点横坐标的最小值为 C．曲线与轴围成封闭图形的面积大于 D．直线与曲线有三个交点 【答案】BC 【解析】对于A，点代入，，则关于轴对称，故A错误； 对于B，令，则， 令， 在递增，由，及对称性可得图象，故B正确； 对于C，联立：和， 令，，且， 所以当相同时，， 而曲线是半圆，它与轴围成封闭图形的面积等于，所以C正确. 对于D，联立和， 令，，且，，有一个零点.所以D错误. 故选：BC. 3．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数（   ） A．是偶函数 B．最大值为 C．最小值为 D．在有两个零点 【答案】ABC 【解析】对于A，，是偶函数，故A正确； 当时，， 因为，所以，所以， 所以， 当时，， 因为，所以，所以， 所以，， 又时，， 因为，所以，所以， 所以， 又时，， 所以当时，是以为周期的周期函数，又是偶函数， 所以函数的值域为，故BC正确； 当时，， 因为，所以，所以， 所以， 当时，， 因为，所以，得， 所以时，， 作出函数在的图象的示意如图所示， 故函数在有没有零点，故D错误. 故选：ABC. 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性题型02 4．（2025·黑龙江牡丹江·二模）已知函数，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】 ， 令得， 化简得， 由题意得，使得， 即在有解， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 5．（多选题）（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数满足关系式，，且在上的解析式为，为的导函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．为奇函数 【答案】ACD 【解析】由，可得到函数图像的对称轴为， 由，可得到函数图像的对称中心横坐标为， 所以函数的周期. 因为时，，根据对称性和周期性，可画出的图像，如图所示. 由周期性可知，，故A正确； 根据周期性可知，，故B错误； ，由图可知，，，所以，故C正确； 由图可知，函数在轴两侧的图像是对称的，因此导函数应应当关于原点对称，即为奇函数，故D正确； 故选：ACD. 6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知得，解得或，函数的定义域为， 因为总为增函数，要求函数的单调递增区间， 由同增异减可得即求函数在上的增区间 由二次函数的性质可得在上的增区间为， 故函数的单调递增区间是. 故选：A. 7．（2025·黑龙江大庆·二模）函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法错误的是（   ） A．为偶函数 B．为周期函数且周期为12 C． D． 【答案】D 【解析】因为，用代替，可得， 令，得，即， 令，得，所以，C正确； 用替换，可得，所以， 所以函数为偶函数，A正确； 用替换，可得， 所以，所以， 所以，即． 所以， 故是以12为周期的周期函数，B正确； ， 所以； ，，， 所以，D错误. 故选：D. 8．（2025·黑龙江大庆·二模）已知定义在上函数满足，若，则（    ） A．1 B．16 C．128 D．256 【答案】D 【解析】由题设，则或， 若，令，则对于任意有，而，不符； 所以，则，故， 由. 故选：D 9．（2025·黑龙江大庆·二模）函数与都为奇函数，且对，都有，则（   ） A．2525 B．2526 C．5049 D．5050 【答案】D 【解析】由与都为奇函数， 则，， 又，所以，， 所以，即， 所以，即， 又，，得， 所以，，…，， 所以. 故选：D. 10．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知定义在上的函数满足，则 ；若为偶函数，，且时，，则图象与曲线的交点个数为 . 【答案】 【解析】在等式中，令可得，解得； 在等式中，用替代可得， 即，即， 因为，则， 由可得，即函数为奇函数， 因为为偶函数，则，即， 所以，函数的图象关于直线对称，且有， 所以，， 所以，函数的图象关于直线对称， 由，可得， 所以，，故函数是周期为的周期函数， 当时，，且， 则， 所以，函数在上单调递增，且， 又因为函数为上的奇函数，则， 设的图象为曲线， 当时，， 在曲线上取点，则点关于轴的对称点为，则， 即点也在曲线上，所以，曲线关于轴对称，作出函数的图象和曲线如下图所示： 由图可知，函数的值域为， 因为，，且，， 所以，点、在曲线上， 对于曲线，将代入曲线的方程可得，可得，且， 由图象可知，函数的图象和曲线有个公共点， 故答案为：；. 导数与数列结合问题题型03 11．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）数阵，又称矩阵，是数学中的一个重要概念，它是一种特殊的数组，由数字或符号按照特定的规则排列而成.数阵的元素按照一定的顺序排列，通常用矩阵的行和列来表示.将阶数阵记作（其中）.已知，且满足， (1)求和的值； (2)求的表达式； (3)是否存在，使得，，成等比数列，如存在，请求出，如不存在，请说明理由. 【解析】（1）在中令， 得； 在中令得，， 在中令得，， 则. （2）在中令，得， 则，，，，， 由累加可得， 又时，符合上式，故； 在中令，得， 则，，，，， 由累加可得 ， 又满足上式， 故 （3）由（2）知，则， 若为等比数列， 则为等差数列， 设， 则，即， 若满足题意，则有四个整数解， 设， 则 注意最多只有两个零点， 则此时最多只有三段单调区间，至多有三个零点， 故不可能有四个解， 综上所述，不存在使得成等比数列，证毕. 12．（2025·黑龙江大庆·二模）已知函数在上的最小值为0 (1)求实数的值： (2)对任意的，数列满足，且，证明：当大于1时，也大于1： (3)在（2）的条件下，若为数列的前项和，求证： 【解析】（1）当时，，当时，，不成立 当时，， 当时， 当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取最小值，此时，解得. （2）， 设 当时，，所以在上单调递增， 所以，即. （3）要证，只需证 又 所以只需证，即证， 由于，只需证, ， 即证，由（2）可知，， 即需证， 设， 所以单调递减，因为,所以， 即，所以， 即，累加后得证. 函数与方程的综合应用题型04 13．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 B．当时，在上是增函数 C．若在上为减函数，则 D．当时，若函数有且只有一个零点，则 【答案】ACD 【解析】对于A，由题设， 则，且， 所以在处的切线方程为， 切线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为， 所以在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，故A正确； 对于B，由题设，, 当时，趋向于负无穷，当时，趋向于正无穷， 所以存在，使， 所以当时，，在上是减函数，故B错误； 对于C，因为函数在上为减函数， 则在上恒成立，则， 令，则， 易知时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以，故C正确； 对于D，函数有且只有一个零点， 即有唯一解，则， 令，且，则， 令，显然在上为增函数，， 则存在，使得， 易知时，，时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 当时，当时，趋向于正无穷，当时，趋向于0， 所以有且只有一个解时，，即， 故D正确. 故选：ACD. 14．（多选题）（2025·黑龙江大庆·二模）已知函数，则（   ） A．当时，函数的最小值为 B．存在实数，使得函数的图象是中心对称图形 C．若是函数的极大值点，则实数的取值范围为 D．若过原点可作三条直线与曲线相切，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】对原函数求导得， 对于A选项，当时，，时；时. 所以函数的减区间为，增区间为，此时 在处取极小值也是最小值为. 故A选项正确； 对于B选项，举例，当时，， 又由， 可得函数的图象关于点对称，是中心对称图形， 故B选项正确； 对于C选项，由A选项可知，当时，是函数的极小值点，不符合选项C的条件； 当时，令，可得或， 若是函数的极大值点，必有，可得，故C选项错误； 对于D选项，设切点为，则斜率为，因为. 则切线方程为. 由于切线过原点，所以有 化简得，整理为， 令，有， 可得函数的减区间为，增区间为，， 又由时，；时，；及， 可知当时，关于的方程有且仅有3个根， 所以可得过原点可作三条直线与曲线相切，故D选项正确. 故选：. 15．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，则（   ） A．函数仅有一个零点 B．若函数在点处与x轴相切，则 C． D．若为增函数，则 【答案】BCD 【解析】由题意得的定义域为，． 函数在点处与x轴相切，则，得，故B正确； 当时，，， 函数在上单调递增，则， 则，即，故C正确； 若为增函数，则在上恒成立， 则在上恒成立，在上恒成立， 即（当且仅当时取等），解得，故D正确； 令，则，解得或， 若，，，易知均大于0，则在上有两个零点， 不妨设，则，易知在和上单调递增，在上单调递减， 又时，时，，此时函数有三个零点，故A错误． 故选：BCD 新定义问题题型05 16．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为的牛顿数列．设，已知，的前项和为，则等于（   ） A．2025 B．2026 C． D． 【答案】D 【解析】有两个零点1，2， 则，解之得， 则，则， 则， 则， 由，可得， 即， 又，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，则， 前n项和，则. 故选：D． 17．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若函数与在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“平凡区间”；若函数与在区间上的单调性相反，则把区间叫做的“非平凡区间”．下列函数既有“平凡区间”，又有“非平凡区间”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，若函数既有“平凡区间”，又有“非平凡区间”， 则函数与定义域必存在交集区间． 若函数存在“平凡区间”，则函数在区间和上单调性相同； 若函数存在“非平凡区间”， 则函数在区间和上单调性相反， 对于A，的定义域为，的定义域为， 则与定义域的交集为，不是区间，不符合题意，故A错误； 对于B，，则的图象为： 由图①可知，在和上单调性相同，存在“平凡区间”， 在和上单调性相反，存在“非平凡区间”，故B正确； 对于C，，则的图象为： 由图②可知，在和上单调性相同，则一定存在“平凡区间”， 但不存在“非平凡区间”，故C错误； 对于D，，则的图象为： 由图③可知，在和上单调性相反，存在“非平凡区间”， 根据偶函数的性质可知，不存在“平凡区间”，故D错误． 故选：B． 18．（2025·黑龙江大庆·二模）已知条件为“对，有”，实数在区间上变化时，满足条件的实数最大值与最小值之积为与实数有关的函数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】问题转化为，为过点且在函数下方的直线斜率，过点作的两条切线， 设切点为，则有：，解得， 设两个切点横坐标为，，则有，， 而的最大值和最小值分别为和， 所以， 而，则. 故选：C. 恒成立与能成立问题题型06 19．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知不等式，对恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式对恒成立， 即对恒成立， 令， 则， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在唯一，使得，即，， 则时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则，即. 故选：D. 20．（多选题）（2025·黑龙江大庆·二模）已知，不等式的解集是且，则下列说法中正确的是（    ） A．函数有1个极值点 B．函数的对称中心是 C．当时恒成立，则的最小值是 D．当恒成立，则 【答案】BD 【解析】对于A：因为不等式的解集为且， 即不等式的解集为且， 所以方程的根为和（二重根）， 得，即， 所以，则，得， 令，或， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极大值点，是的极小值点，即函数有2个极值点，错误； 对于B：由选项A知， 则， 所以，即函数的对称中心是，正确； C：由选项A知在上单调递增， 且，若的最小值是， 则时，而，所以不满足恒成立，错误； D：由选项A知， 当恒成立，即恒成立， 当时，原不等式显然成立，此时； 当时，转化为，则， 记，得， 记， 则，所以在上单调递增， 又，所以当时，， 当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为，所以，综上，正确. 故选：BD 21．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数， (1)解不等式：； (2)函数，求的零点个数； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）设，（） ①当时，，，∴，不符合题意. ②当时，，，∴，满足题意. ③当时，，不满足题意. 综上：原不等式的解集为. （2）的定义域为， 1为的一个零点，且，∴关于点对称， 当时，， ∵，∴在为减函数， ，，∴，，，， ∴在为增函数，在为减函数，∴， ∵∴，∴为的一个零点， 由对称性：也为的一个零点，共有，1，三个零点； （3）①当时， 当时，，，，，满足题意. 当时，，满足题意. 当时，，，， ，满足题意. ∴满足题意 ②当时，，满足题意. ③当时，设， 设 则 ⅰ）当时，，在递减， 当，即，当时，，∴， 在单调递增，，满足题意. ⅱ）当时，关于点中心对称， ∴，当时，满足题意. ⅲ）当时，满足题意. 当时，当时，，在递减，， ，，使得，当时，，即， 在递减，当时，，不满足题意. 综上：. 22．（2025·黑龙江大庆·二模）已知函数 (1)若为偶函数，求的值； (2)若讨论函数在上零点的个数； (3)当时，设，当时，，求的取值范围. 【解析】（1）由，则， 所以恒成立，又，则； （2）由题设，则， 当时在上单调递增，，无零点； 令，则， 当时，， 所以在上单调递增，， 所以，所以存在，满足， 时，时，为函数极小值点， ，所以在时存在唯一零点. 当时，，则，当时，， 综上，时，恒成立， 所以函数有2个零点. （3）当时，，故， 所以在上单调递增，则， 当时，，若，则成立； 若，令， 则在上单调递增， 又， 存在，使，可得， 若，则在上单调递减； 若，则在上单调递增. 所以，解得. 此时，所以，从而. 所以的取值范围为. 23．（2025·黑龙江大庆·二模）已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若函数与函数存在公切线，求的取值范围； (3)若当时，函数恒成立，求的取值范围． 【解析】（1），当时，，在上单调递增， 当时，令，解得， 所以当时，，单调递减， 所以当时，，单调递增， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上递减，在上递增 （2）设公切线与的切点，与的切点为， 由，得，则公切线方程为； 由得，则公切线方程为， 对应斜率与截距相等，得，，所以， 所以，即． 设，则， 由；由． 函数在上单调递增，在上单调递减． 所以函数．即的最大值为． （3）设，， 令，则， 当时，，所以单调递增， 当时，，单调递增， 所以当时，单调递增， ， 当时，因为，单调递增， 所以，所以在上单调递增， 此时，不成立． 当时，， 当时，， 所以存在，， 且当时，，单调递减，所以，不成立 当，因为，所以存在， 且当时，，单调递增， 所以，不成立. 当时，因为单调递增， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以，成立， 所以的取值范围为 证明不等式问题题型07 24．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数． (1)当时，求在区间上的零点个数； (2)当，时，求证：． 【解析】（1）当时，，求导得， 当时，且这三者不同时为0，从而在上恒成立， 从而在上严格单调递增， 注意到， 从而在区间上的零点个数为1； （2）当，时，，求导得， 令，则， 由（1）知在上单调递增，从而在上单调递减， 又在上单调递减， 所以在上单调递减， 注意到， 从而存在唯一的，使得， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 而， 所以当时，， 从而存在唯一的，使得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 综上所述，在上单调递增，在上单调递减， ， 所以当，时，. 切线问题 题型08 25．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，则在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】由题意可知，且， 故， 故在点处的切线方程为． 故答案为：． 26．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知函数在处的切线过点，则 . 【答案】1 【解析】由题设，则，且， 所以处的切线为， 又点在切线上，故，可得. 故答案为：1 27．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数，则在点处的切线方程为 . 【答案】 【解析】，故， 故且， ，， 故切线方程为：，化简得. 故答案为：. 28．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知曲线在处的切线与曲线相切，则 ． 【答案】 【解析】由，则，则，又当时， 所以曲线在处的切线为； 对于，可得，设切点为， 则，解得. 故答案为：. 29．（多选题）（2025·黑龙江大庆·二模）过点向曲线：引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题意，设直线， 联立方程可得， 则，解得（负值舍去）， 所以，故B错误； 所以，故A正确； 因为， 又因为，则，即，所以， 则，故C正确； 因为，所以，且， 设函数，则，所以函数在上单调递增， 则，即，所以，故D正确. 故选：ACD. 极最值问题题型09 30．（2025·黑龙江·二模）已知函数，其中. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，且，求的值； (2)若函数在区间上存在极大值，求的取值范围. 【解析】（1）因为， 所以， 所以，依题意，，得. 又，且，所以. 所以. （2）由题意，， 所以， 令， 则， 令，则，解得或. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 则在处取得极大值，在处取得极小值. 因为在区间上存在极大值， 所以与的图象在上有交点， 且在交点左侧的导数大于0，右侧导数小于0， 所以的取值范围是. 31．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由已知，，则，， 当时，由恒成立，即恒成立，即在上单调递增； 当时，令，解得，，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 综上所述， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； （2）由已知，即，又， 所以恒成立，设，， 则， 设，，则恒成立， 即函数在上单调递增，且， 当时，，即，在上单调递减； 当时，，即，在上单调递增； 所以， 所以，即. 32．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 【解析】（1）当时，，求导得：， 则，， 则在处的切线方程：，即； （2）由求导得：， ①当时，在上恒成立，故在上单调递增，无最值； ②当时，由，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，在单调递增， 所以在有最小值，为,无最大值. 33．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数在处有最小值，最小值小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，且， 由于函数在有最小值，则函数在取极小值，则， 所以， 即， 当时，对任意的恒成立，，不合乎题意； 当时，由可得，由可得, 此时函数的减区间为，增区间为，此时函数在处取得极小值，即最小值，合乎题意； 当时，由可得，由可得， 此时函数的减区间为，增区间为，此时函数在处取得极大值，不合乎题意. 所以，由题意可得，则，解得， 因此，. 故选：C. 34．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，求导可得， 由题意可得函数存在唯一变号零点，则方程存在唯一解， 即方程存在唯一解， 令，求导可得，由，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，则， 当时，，则，当时，， 易知当，即时，方程存在唯一解， 当时，，易知方程的解为， 由当时，，，则，同理可得当时，， 所以此时函数无极值点，不符合题意； 当时，，易知函数在上单调递增，符合题意. 故选：B. 35．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．对任意的实数，函数恒有两个极值点 B．设为的极值点，则 C．当时，若在上有最大值，则 D．若，则 【答案】AC 【解析】函数的定义域为R，求导得， 对于A，，函数恒有两个变号零点，函数恒有两个极值点，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，当时，，当或时，， 当时，，因此分别是的极大值点和极小值点， 由在上有最大值，得，C错误； 对于D， ，则，D错误. 故选：AC 36．（2025·黑龙江·二模）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 由，知，所以， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在当上单调递增， 所以，故的最小值为. 故选：A. 37．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为R，求导得， 由是函数的极值点，得，解得， 函数，， 当或时，；当时，， 所以函数的极小值. 故选：A 零点问题题型10 38．（2025·黑龙江·二模）记函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的零点分别为， ， 由，得，即， 显然函数在上单调递增，，即. 故选：B. 39．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知． (1)若有两个零点，求的取值范围； (2)若恒成立，求实数的最小值； (3)时，设，判断在上解的个数． 【解析】（1）令，，得， 令，则， 所以在上单调递增， 因为时，，所以，故在上无解， 所以要使有两个零点，则在上有两个解. 设，，则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，且时，，时，， 所以，即的取值范围为. （2）由（1）得，， 所以恒成立等价于恒成立， 等价于恒成立，即恒成立， 即恒成立， 设，，则，且， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，故函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故， 所以，即实数的最小值为. （3）由（1）得，时，，， 由，得， 设，，则， 设，，则， 因为函数在上单调递增，且，， 所以存在，使得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，所以存在，使得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以函数在上有一个零点. 当时，， 即，故函数在上无零点. 综上所述，函数在上有一个零点，即在上有一个解. 40．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知， (1)求的单调递增区间； (2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围. 【解析】（1）的定义域为， ， 令，得， 的单调递增区间是. （2）由已知得， 则， ，则当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，， ， 若在上有两个零点，则， ，即， 即实数的取值范围为. 双变量与多变量问题题型11 41．（多选题）（2025·黑龙江·二模）设函数，若，且，则（    ） A．实数的取值范围为 B． C． D．当时， 【答案】BCD 【解析】函数的定义域为R，求导得， 当时，函数在上单调递增，最多一个解，不符合题意； 当时，由，得或；由，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 对于A，依题意，，实数的取值范围为，A错误； 对于B，由A选项知，，，B正确； 对于C，依题意，，则， 由，得，整理得， 则，当且仅当时取等号，解得，C正确； 对于D，由C选项知，且， 由，得，则，即，， 令函数，求导得， 当时，；当时，，在上递减，在上递增， 因此，则，即，D正确. 故选：BCD 42．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若是的两个极值点，且，求a的最大值． 【解析】（1）当时，，定义域为， 所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为． （2）由题意知，函数的定义域为，求导得， 因为是的两个极值点， 所以是方程的两个正根， 则有 解得． 且， 而， 所以， 又，下面证明在上单调递增，理由如下： 在上恒成立，故在上单调递增， 易知，即， 所以， 故． 43．（2025·黑龙江大庆·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设的两个极值点为．当且时，求的取值范围. 【解析】（1），则， 令，，则， 因，故， 当，即时，，则在上单调递减; 当时，令，，，，，， 在和单调递减，在单调递增; 当时，，，则在上单调递增，在单调递减; 综上所述，当时，则在上单调递减， 当时，在和单调递减，在单调递增； 当时，在上单调递增，在单调递减. （2）由（1）可知，， 因为要有两个极值点，则， 由 ， 又因为，而， 由，即， 则根据对钩函数在区间上递增，则有， 所以有，解得. 则令，，则， 则当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 则，，， 又因为， 所以，即的取值范围是. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数与导数 题型概览 题型01 函数的图像 题型02 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性 题型03 导数与数列结合问题 题型04 函数与方程的综合应用 题型05 新定义问题 题型06 恒成立与能成立问题 题型07 证明不等式问题 题型08 切线问题 题型09 极最值问题 题型10 零点问题 题型11 双变量与多变量问题 函数的图像题型01 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，若存在实数、b、，满足且，则 ． 2．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知曲线，则（   ） A．曲线的图象关于轴对称 B．曲线上任意一点横坐标的最小值为 C．曲线与轴围成封闭图形的面积大于 D．直线与曲线有三个交点 3．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数（   ） A．是偶函数 B．最大值为 C．最小值为 D．在有两个零点 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性题型02 4．（2025·黑龙江牡丹江·二模）已知函数，若，则实数的取值范围为 . 5．（多选题）（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数满足关系式，，且在上的解析式为，为的导函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．为奇函数 6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·黑龙江大庆·二模）函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法错误的是（   ） A．为偶函数 B．为周期函数且周期为12 C． D． 8．（2025·黑龙江大庆·二模）已知定义在上函数满足，若，则（    ） A．1 B．16 C．128 D．256 9．（2025·黑龙江大庆·二模）函数与都为奇函数，且对，都有，则（   ） A．2525 B．2526 C．5049 D．5050 10．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知定义在上的函数满足，则 ；若为偶函数，，且时，，则图象与曲线的交点个数为 . 导数与数列结合问题题型03 11．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）数阵，又称矩阵，是数学中的一个重要概念，它是一种特殊的数组，由数字或符号按照特定的规则排列而成.数阵的元素按照一定的顺序排列，通常用矩阵的行和列来表示.将阶数阵记作（其中）.已知，且满足， (1)求和的值； (2)求的表达式； (3)是否存在，使得，，成等比数列，如存在，请求出，如不存在，请说明理由. 12．（2025·黑龙江大庆·二模）已知函数在上的最小值为0 (1)求实数的值： (2)对任意的，数列满足，且，证明：当大于1时，也大于1： (3)在（2）的条件下，若为数列的前项和，求证： 函数与方程的综合应用题型04 13．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 B．当时，在上是增函数 C．若在上为减函数，则 D．当时，若函数有且只有一个零点，则 14．（多选题）（2025·黑龙江大庆·二模）已知函数，则（   ） A．当时，函数的最小值为 B．存在实数，使得函数的图象是中心对称图形 C．若是函数的极大值点，则实数的取值范围为 D．若过原点可作三条直线与曲线相切，则实数的取值范围为 15．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，则（   ） A．函数仅有一个零点 B．若函数在点处与x轴相切，则 C． D．若为增函数，则 新定义问题题型05 16．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为的牛顿数列．设，已知，的前项和为，则等于（   ） A．2025 B．2026 C． D． 17．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若函数与在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“平凡区间”；若函数与在区间上的单调性相反，则把区间叫做的“非平凡区间”．下列函数既有“平凡区间”，又有“非平凡区间”的是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·黑龙江大庆·二模）已知条件为“对，有”，实数在区间上变化时，满足条件的实数最大值与最小值之积为与实数有关的函数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 恒成立与能成立问题题型06 19．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知不等式，对恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 20．（多选题）（2025·黑龙江大庆·二模）已知，不等式的解集是且，则下列说法中正确的是（    ） A．函数有1个极值点 B．函数的对称中心是 C．当时恒成立，则的最小值是 D．当恒成立，则 21．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数， (1)解不等式：； (2)函数，求的零点个数； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 22．（2025·黑龙江大庆·二模）已知函数 (1)若为偶函数，求的值； (2)若讨论函数在上零点的个数； (3)当时，设，当时，，求的取值范围. 23．（2025·黑龙江大庆·二模）已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若函数与函数存在公切线，求的取值范围； (3)若当时，函数恒成立，求的取值范围． 证明不等式问题题型07 24．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数． (1)当时，求在区间上的零点个数； (2)当，时，求证：． 切线问题 题型08 25．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，则在点处的切线方程为 ． 26．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知函数在处的切线过点，则 . 27．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数，则在点处的切线方程为 . 28．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知曲线在处的切线与曲线相切，则 ． 29．（多选题）（2025·黑龙江大庆·二模）过点向曲线：引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 极最值问题题型09 30．（2025·黑龙江·二模）已知函数，其中. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，且，求的值； (2)若函数在区间上存在极大值，求的取值范围. 31．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 32．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 33．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数在处有最小值，最小值小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．对任意的实数，函数恒有两个极值点 B．设为的极值点，则 C．当时，若在上有最大值，则 D．若，则 36．（2025·黑龙江·二模）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 37．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 零点问题题型10 38．（2025·黑龙江·二模）记函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 39．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知． (1)若有两个零点，求的取值范围； (2)若恒成立，求实数的最小值； (3)时，设，判断在上解的个数． 40．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知， (1)求的单调递增区间； (2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围. 双变量与多变量问题题型11 41．（多选题）（2025·黑龙江·二模）设函数，若，且，则（    ） A．实数的取值范围为 B． C． D．当时， 42．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若是的两个极值点，且，求a的最大值． 43．（2025·黑龙江大庆·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设的两个极值点为．当且时，求的取值范围. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$