专题07 概率与统计-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（黑龙江专用）

专题07 概率与统计 题型概览 题型01 二项式定理 题型02 统计小题 题型03 概率与统计综合应用 题型04 正态分布 题型05 概率小题的计算 题型06 排列组合问题 题型07 递推问题 二项式定理题型01 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）的常数项为 . 2．（2025·黑龙江大庆·二模）的展开式中的系数为20，求正整数的值 ． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在的展开式中，的系数为 ． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为81，则其展开式中的系数是（   ） A．4 B．8 C．32 D．64 5．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）展开式的常数项为（   ） A．6 B．12 C．15 D．20 6．（多选题）（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．第项为 D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则 统计小题题型02 7．（多选题）（2025·黑龙江·二模）下列说法正确的是（    ） A．的展开式中的系数为 B．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 C．将两个具有相关关系的变量、的一组数据、、、调整为、、、，决定系数不变（附：，，） D．已知、为随机事件，且，，则若，则 8．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）有1000人的某工厂举行知识竞赛，为了了解竞赛成绩（满分100分，90分及以上为优秀），从中抽取50人的成绩进行统计，得到样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（   ） A． B．估计该工厂竞赛成绩优秀的人数为40 C．估计该工厂竞赛成绩的中位数为75 D．估计该工厂竞赛成绩的平均数大于75 9．（2025·黑龙江·二模）某学校为了拓展学生的国际视野，培养学生的创新精神，让学生学有动力，学有信心，举办了英语手抄报比赛.为了解考生的成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，得到如图所示的频率分布直方图，则估计考生成绩的第70百分位数为（    ） A．74 B．75 C．76 D．77 10．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）为了研究变量对变量的影响，对变量和变量的观测数据（，，，）进行研究，计算得到，，若与满足一元线性回归模型，是与之间的随机误差，则参数的最小二乘估计为（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2025·黑龙江大庆·二模）下列命题正确的是（   ） A．已知关于的回归方程为，则样本点的残差为 B．数据2，7，4，5，16，1，21，11的第75百分位数为11 C．已知随机变量，若最大，则的取值集合是 D．，，，和，，，的方差分别为和，若且，则 12．（多选题）（2025·黑龙江佳木斯·二模）为了关注学生们的健康成长，学校开展了一次高三年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了、、、、五个层次，根据抽样结果得到如下统计图表，则从图表中不能得出的信息是（   ） A．样本中层次身高的女生多于男生 B．样本中层次身高的学生人数占总人数的 C．以频率估计概率，从该地区高三学生中任取4人，恰有2人身高属于层次的概率是 D．已知样本中学生的身高情况为：男生样本平均数175，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为125 13．（2025·黑龙江大庆·二模）下列说法不正确的是（   ） A．对具有线性相关关系的变量，，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D．一组数据10，10，11，12，12，14，16，19，21，21的第80百分位数为19 概率与统计综合应用题型03 14．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）某医院对原有生命维持设备安装升级装置，安装后该升级装置的控制系统由个相同的电子模块组成，每个模块正常工作的概率均为，各模块之间相互独立．控制系统有不少于个模块正常工作时升级装置正常运行，否则升级装置不工作（原设备正常工作）．升级装置正常运行的概率为（例如表示控制系统由5个模块组成时升级装置正常运行的概率）． (1)若每个模块正常工作的概率为0.75． （i）计算； （ii）当时，求控制系统中正常工作的模块个数的分布列和期望； (2)已知设备安装升级装置前单位时间可维持患者生命体征的稳定率为60%，安装后升级装置正常运行时有90%的概率触发“基础模式”，稳定率可提升至90%，有10%的概率触发“高效模式”，稳定率可达95%． （i）用表示安装升级装置后该设备的平均稳定率； （ii）在确保模块总数为奇数的条件下，能否通过增加模块的数量来提高平均稳定率?请说明理由． 15．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）现需要对某人工智能芯片进行性能测试，规则如下：首次测试（测试I）通过率为，未通过测试I的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ），通过率为，未通过则报废．通过任意一次测试即为合格芯片． (1)已知，若某批次生产了10万枚芯片，预估合格芯片的数量； (2)已知一枚芯片合格，求其是通过测试I的概率（结果用p，q表示） 16．（2025·黑龙江大庆·二模）近几年，我国促进新能源汽车产业发展的政策频出，积极推动新能源汽车市场的迅速发展.某新能源汽车公司为了解其对型充电桩进行投资后所获得的利润（单位：百万元）关于投资金额（单位：百万元）之间的关系，统计后得到10组样本数据，根据统计数据计算得到，利润的方差，投资金额的方差，以及样本相关系数. (1)根据样本相关系数判断利润与投资的相关性强弱，并求出关于的经验回归方程（精确到0.01，注：）； (2)为了解使用型充电桩的车主性别与使用满意度的情况，该公司随机调查了150名车主，其中男性车主90名（60名满意，30名不满意），女性车主60名（满意）.将频率视为概率，用样本估计总体： ①为了解车主对充电桩的满意情况，从150名车主中任意抽取一位，若该车主表示满意，求该车主是男性的概率； ②有人认为“车主性别与满意度有关”，请根据上述数据，利用卡方检验判断这一观点是否成立，并给出结论依据. 附：①样本相关系数，当时，相关性较强，当时，相关性一般； ②经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， ③ 0.100 0.050 0.010 0.025 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）近年来，直播带货成为电商销售的新模式，某质检部门为了评估某知名主播直播间所售商品的质量，随机抽取了该直播间近3个月销售的600件产品，统计了它们的用户评分（1~5分）和退货率，见下表： 评分 1分 2分 3分 4分 5分 评分分布 5% 10% 20% 45% 20% 退货率 80% 50% 20% 5% 2% (1)从600件商品中随机抽取1件，求该商品评分不低于4分且未被退货的概率； (2)假设该直播间每售出1件商品，若未退货则盈利50元，若退货则亏损30元（含运费和售后成本）.设单件商品的盈利为随机变量，求的分布列和期望，并据此判断该直播间的销售模式是否可持续； (3)质检部门规定，若直播间的商品评分的中位数低于4分，则需要整改.计算该直播间评分的中位数，根据结果判断是否需要整改，若将评分标准改为“众数低于4分”，结论是否改变?解释这种修改对商家可能产生的影响. 18．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表： 性别 健康状况 合计 不感冒 感冒 男 12 18 30 女 6 24 30 合计 18 42 60 (1)在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望； (2)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因． 附录：，其中． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 参观人数 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； (2)校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 相关系数. 20．（2025·黑龙江·二模）有一摸球游戏如下：盒子中有红､黄､绿三种颜色的球各3个，球除颜色外其他均相同，两人摸球，规定每人一次从盒中摸3个球，第二人从第一人摸球后剩余的6个球中再摸3个球.记每个人摸到的3个球中颜色相同的球的最大数量为其得分，规定得分高者获胜.现有甲､乙二人参与此摸球游戏，记甲､乙的得分分别为. (1)若甲先摸球，求的分布列及其数学期望； (2)在甲先摸球的情况下，分别计算甲获胜的概率和乙获胜的概率，并判断参赛者获胜的概率是否受摸球先后顺序的影响. 21．（2025·黑龙江大庆·二模）若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合. (1)若是15项数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和； (2)已知，，记，其中且. （ⅰ）求取到最大值时的值； （ⅱ）若，是两个不同的数列，求随机变量的分布列，并证明：. 正态分布题型04 22．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）泊松分布是一种离散型概率分布，常用于描述在固定时间或空间内某事件发生的次数，广泛应用于通信，交通，生物学，金融和质量控制等领域．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为 ． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认．若，估计的值； (2)某人工智能公司制造微型芯片的次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； ②若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； 通过①，②的计算结果，你发现了什么规律； (3)若，且，在保留小数点后一位的时候，求证：的最大值为0.1． 参考数据：若，则， ，， ，， 23．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知随机变量服从标准正态分布，且，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.6 24．（2025·黑龙江大庆·二模）若随机变量，且，则的最小值为（    ） A．18 B． C．24 D．27 概率小题的计算题型05 25．（2025·黑龙江大庆·二模）将四张标有1､2､3､4的卡片摆成下图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按4-3-2-1取走卡片的顺序是“和谐序”，按1-2-3-4取走卡片的顺序不是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这4张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为 . 26．（2025·黑龙江大庆·二模）数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．请你从“对称性”的角度完成下面概率问题：已知有，，，，，，，八名运动员参加比赛，按照下图进行单败淘汰制（赢者晋级下一轮，败者被淘汰）.其中在图示中①的位置，在图示中⑤的位置，其余运动员抽签决定自己第一轮的比赛位置.已知与除以外的运动员比赛胜率为，与除以外的运动员比赛胜率为，除此以外其余场次比赛（包括间的比赛）每位运动员胜率都为，则运动员夺得冠军的概率为 ． 27．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知，，，则（   ） A．0.2 B．0.375 C．0.75 D．0.8 28．（2025·黑龙江大庆·二模）某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 29．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）有一组样本数据为，3，7，8，9，11，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（   ） A． B． C． D． 30．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）甲､乙两人玩掷骰子游戏，每局两人各投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子六个面分别标以数字）并观察向上的点数，当两枚骰子的点数之差为偶数时，视为平局，当两枚骰子的点数之差为奇数时，谁的点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方胜2次或平局4次时停止，则恰好进行了3局时，游戏停止的概率为（    ） A． B． C． D． 31．（2025·黑龙江大庆·二模）10名同学合影，站成了前排3人后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（   ） A．168 B．630 C．252 D．420 32．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）某学校高三教研组为调查高三学生的学习情况，分别从高三年级中的20个班一共抽取40个人进行询问，其中各班人数均为50人，则某个班级中某个学生被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 排列组合问题题型06 33．（2025·黑龙江·二模）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为（   ） A．48 B．60 C．72 D．120 34．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）4位学生被分配到、、三地学习，每地至少分配一名学生，每名学生只能去一个地点学习，其中学生甲必须去地，则共有 种不同分配方式（用数字作答）． 35．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若为1，2，3，4的任意排列，设，，则满足的排列有 个；的概率为 .（已知表示中最小的数，表示中最大的数） 36．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数（如236，567），则比423大的三位“渐升数”共有 个． 递推问题题型07 37．（多选题）（2025·黑龙江大庆·二模）如图六边形为正六边形，中心为点.小明从点出发，现用掷骰子方式决定移动方向，规定： ①每掷一次骰子，从一个顶点移动到下一个顶点. ②移动方向由掷骰子决定：若点数为奇数则顺时针移动；若点数为偶数则逆时针移动. 设掷骰子次，移动到的概率为，那么下述结果正确的是（    ） A． B． C．若掷骰子次，以射线为始边，以射线为终边的角余弦值记为随机变量，则 D． 38．（2025·黑龙江大庆·二模）在矩形中，，，，为的中点，将点沿着翻折到点，二面角大小为，连接，． (1)若的中点为，求证：平面； (2)求四面体的外接球表面积的取值范围； (3)一个动点从点开始，在四棱锥的棱上运动，定义1步运动为：在所在顶点处随机选取一条与之相邻的棱，从所在顶点运动到该棱的另一个顶点（例如：若点在点处，分别有的概率运动到，，，处．若点在点处，分别有的概率运动到，，处，以此类推），现有一个质地均匀的骰子（六个面上数字分别是1，1，2，3，3，3），每扔一次骰子，若骰子正面向上点数为，则点运动步，求扔次骰子后动点仍在点的概率． 39．（2025·黑龙江大庆·二模）对，通过抛掷一枚均匀硬币次后生成有序数对，具体生成规则如下：①规定；②当第次抛掷硬币时：如果出现硬币正面朝上，若，则，否则；如果出现硬币反面朝上，若，则，否则．抛掷次硬币后，记的概率为． (1)写出的所有可能结果，并求，； (2)证明：数列是等比数列，并求； (3)设，求的最大值． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 概率与统计 题型概览 题型01 二项式定理 题型02 统计小题 题型03 概率与统计综合应用 题型04 正态分布 题型05 概率小题的计算 题型06 排列组合问题 题型07 递推问题 二项式定理题型01 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）的常数项为 . 【答案】31 【解析】选取常数项；应将含有的项全部消掉（约分掉），观察项中的的指数比，为， 为了将指数化为0，如果选了一个，则应该选择2个， 所以所有选择的可能性有以下两种：①分别选择0个、0个、5个；②分别选择1个、2个、2个， 应用组合数可得：. 故答案为：. 2．（2025·黑龙江大庆·二模）的展开式中的系数为20，求正整数的值 ． 【答案】1 【解析】， 中项为， 中项为， 因为的展开式中的系数为20， 所以或， 又为正整数，所以， 故答案为：1. 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【解析】因为， 其中展开式的通项为（）， 所以的展开式中的系数为. 故答案为： 4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为81，则其展开式中的系数是（   ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】C 【解析】由题意，展开式中二项式系数之和为16，则，即， 即二项式为，因为的展开式中各项系数之和为81， 令可得，，解得， 此时二项式为，其展开式的通项公式为 ，， 令，得，所以展开式中的系数是. 故选：C. 5．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）展开式的常数项为（   ） A．6 B．12 C．15 D．20 【答案】C 【解析】由题意得，二项展开式的通项为，， 令，则. 故选：C. 6．（多选题）（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．第项为 D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则 【答案】AC 【解析】将数列、、、、、、、、、、变成以下数阵： 则该数阵第行有个数，从左向右分别为， 第行最后一项位于原数列第项， 对于A，因为，所以分别在该数阵第行的第2个和第4个，故，即，选项A正确； 对于B，因为，所以位于该数阵第行第个数， 由题意可知，该数阵第行所有数为“杨辉三角”数阵中第行去掉首、尾两个得到，而“杨辉三角”中第行所有数之和为， 所以，该数阵第行所有数之和为， 所以，选项B错误； 对于C，因为，所以第项为第行第1个，即，选项C正确； 对于D，根据杨辉三角知，，选项D错误. 故选：AC. 统计小题题型02 7．（多选题）（2025·黑龙江·二模）下列说法正确的是（    ） A．的展开式中的系数为 B．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 C．将两个具有相关关系的变量、的一组数据、、、调整为、、、，决定系数不变（附：，，） D．已知、为随机事件，且，，则若，则 【答案】ACD 【解析】对于A选项，的展开式通项为， 因为， 的展开式通项为，令， 的展开式通项为，令，可得， 因此，展开式中的系数为，A对； 对于B选项，将点的坐标代入回归直线方程得，解得， 但回归直线不一定过样本点，B错； 对于C选项，设原数据对应的回归直线方程为， 则新数据对应的回归直线方程为，新数据的样本中心点为， 新数据的决定系数为，C对； 对于D选项，，，若， 则，即， 所以，D对． 故选：ACD. 8．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）有1000人的某工厂举行知识竞赛，为了了解竞赛成绩（满分100分，90分及以上为优秀），从中抽取50人的成绩进行统计，得到样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（   ） A． B．估计该工厂竞赛成绩优秀的人数为40 C．估计该工厂竞赛成绩的中位数为75 D．估计该工厂竞赛成绩的平均数大于75 【答案】AB 【解析】对于A，由题意，解得，故A正确； 对于B，估计该工厂竞赛成绩优秀的人数为，故B正确； 对于C，第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为， 前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为， 故该工厂竞赛成绩的中位数位于，设中位数为， 则，解得，故C错误； 对于D，估计该工厂竞赛成绩的平均数为，故D错误. 故选：AB. 9．（2025·黑龙江·二模）某学校为了拓展学生的国际视野，培养学生的创新精神，让学生学有动力，学有信心，举办了英语手抄报比赛.为了解考生的成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，得到如图所示的频率分布直方图，则估计考生成绩的第70百分位数为（    ） A．74 B．75 C．76 D．77 【答案】C 【解析】由频率分布直方图可知，考生成绩的第70百分位数为. 故选：C. 10．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）为了研究变量对变量的影响，对变量和变量的观测数据（，，，）进行研究，计算得到，，若与满足一元线性回归模型，是与之间的随机误差，则参数的最小二乘估计为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知y与x满足的经验回归方程为， 残差平方和， 上式是关于的二次函数，因此要使残差平方和取得最小值，当且仅当， 则参数的最小二乘估计为． 故选：C． 11．（多选题）（2025·黑龙江大庆·二模）下列命题正确的是（   ） A．已知关于的回归方程为，则样本点的残差为 B．数据2，7，4，5，16，1，21，11的第75百分位数为11 C．已知随机变量，若最大，则的取值集合是 D．，，，和，，，的方差分别为和，若且，则 【答案】ACD 【解析】对于A，样本点的残差为，故A正确； 对于B，因为， 从小到大排序为1,2,4,5,7,11,16,21， 所以分位数是，故B错误； 对于C，若最大，则， 解得，所以的取值集合是，故C正确； 对于D，若且，2，3，，则， 所以，故D正确． 故选：ACD 12．（多选题）（2025·黑龙江佳木斯·二模）为了关注学生们的健康成长，学校开展了一次高三年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了、、、、五个层次，根据抽样结果得到如下统计图表，则从图表中不能得出的信息是（   ） A．样本中层次身高的女生多于男生 B．样本中层次身高的学生人数占总人数的 C．以频率估计概率，从该地区高三学生中任取4人，恰有2人身高属于层次的概率是 D．已知样本中学生的身高情况为：男生样本平均数175，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为125 【答案】AD 【解析】对于A，样本中女生人数为人，则样本中男生人数为人， 样本中层次身高的男生人数为人，女生人数为人， 所以，样本中层次身高的女生少于男生，故A错误； 对于B，样本中层次身高的女生有人，男生层次的有， 所以样本中层次身高的学生人数占总人数为比例为，故B正确； 对于C，样本中层次身高的学生人数为， 所以在抽样的样本中，任取1人，其身高属于层次的概率为， 以频率估计概率，从该地区高三学生中任取4人，恰有2人身高属于层次的概率是 ，故C正确； 对于D，总体样本的平均数为， 则总体样本方差为，故D错误. 故选：AD. 13．（2025·黑龙江大庆·二模）下列说法不正确的是（   ） A．对具有线性相关关系的变量，，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D．一组数据10，10，11，12，12，14，16，19，21，21的第80百分位数为19 【答案】D 【解析】对于选项A，线性相关的回归方程对应的直线过点，即，解得，选项A正确； 对于选项B，根据正态分布的性质，，，则，选项B正确； 对于选项C，相关系数的绝对值越接近，则两个变量的线性相关程度越高，选项C正确； 对于选项D，共有个按从小到大排列的数据，，根据定义第百分位数为第项和第项的平均数，选项D错误. 故答案为：D 概率与统计综合应用题型03 14．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）某医院对原有生命维持设备安装升级装置，安装后该升级装置的控制系统由个相同的电子模块组成，每个模块正常工作的概率均为，各模块之间相互独立．控制系统有不少于个模块正常工作时升级装置正常运行，否则升级装置不工作（原设备正常工作）．升级装置正常运行的概率为（例如表示控制系统由5个模块组成时升级装置正常运行的概率）． (1)若每个模块正常工作的概率为0.75． （i）计算； （ii）当时，求控制系统中正常工作的模块个数的分布列和期望； (2)已知设备安装升级装置前单位时间可维持患者生命体征的稳定率为60%，安装后升级装置正常运行时有90%的概率触发“基础模式”，稳定率可提升至90%，有10%的概率触发“高效模式”，稳定率可达95%． （i）用表示安装升级装置后该设备的平均稳定率； （ii）在确保模块总数为奇数的条件下，能否通过增加模块的数量来提高平均稳定率?请说明理由． 【解析】（1）（i）由题意，； （ii）由题意，， 则， ， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 则. （2）（i）升级装置正常运行时，设备的平均稳定率为， 所以安装升级装置后该设备的平均稳定率为； （ii）因为控制系统中模块总数为奇数，若增加2个模块， 则第一类：原系统中至少有个模块正常工作， 其概率为； 第二类：原系统中恰好有个模块正常工作，新增2个模块中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中有个模块正常工作，新增2个模块全部正常工作， 其概率为； 所以 ， 则， 所以当时，，单调递增， 即增加模块个数设备正常工作的概率变大， 当时，， 即增加模块个数设备正常工作的概率没有变大， 又因为安装升级装置后该设备的平均稳定率为，为增函数， 所以当时，设备可以通过增加控制系统中模块的个数来提高平均稳定率； 当时，设备不可以通过增加控制系统中模块的个数来提高平均稳定率． 15．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）现需要对某人工智能芯片进行性能测试，规则如下：首次测试（测试I）通过率为，未通过测试I的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ），通过率为，未通过则报废．通过任意一次测试即为合格芯片． (1)已知，若某批次生产了10万枚芯片，预估合格芯片的数量； (2)已知一枚芯片合格，求其是通过测试I的概率（结果用p，q表示） 【解析】（1）设事件A：芯片合格，记X为该生产批次合格芯片的数量，则每个芯片通过测试的概率为 ， 于是， 则， 所以预估合格芯片的数量为88000枚． （2）记事件A：芯片合格，事件B：通过测试I，事件C：通过测试Ⅱ． 由题意得， ， 则， 故所求概率为． 16．（2025·黑龙江大庆·二模）近几年，我国促进新能源汽车产业发展的政策频出，积极推动新能源汽车市场的迅速发展.某新能源汽车公司为了解其对型充电桩进行投资后所获得的利润（单位：百万元）关于投资金额（单位：百万元）之间的关系，统计后得到10组样本数据，根据统计数据计算得到，利润的方差，投资金额的方差，以及样本相关系数. (1)根据样本相关系数判断利润与投资的相关性强弱，并求出关于的经验回归方程（精确到0.01，注：）； (2)为了解使用型充电桩的车主性别与使用满意度的情况，该公司随机调查了150名车主，其中男性车主90名（60名满意，30名不满意），女性车主60名（满意）.将频率视为概率，用样本估计总体： ①为了解车主对充电桩的满意情况，从150名车主中任意抽取一位，若该车主表示满意，求该车主是男性的概率； ②有人认为“车主性别与满意度有关”，请根据上述数据，利用卡方检验判断这一观点是否成立，并给出结论依据. 附：①样本相关系数，当时，相关性较强，当时，相关性一般； ②经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， ③ 0.100 0.050 0.010 0.025 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【解析】（1）由于，由题可知利润与投资金额相关性较强， 又 ， 所以；又， 所以， 由题，得， 所以， 则关于的经验回归方程为. （2）①设事件“抽取到的是男性车主”，事件“该车主表示满意” 该车主是男性的概率为 ②零假设为：车主性别与满意度无关 将所给数据进行整理，得到性别与满意度的列联表 满意度 性别 合计 男性 女性 满意 60 36 96 不满意 30 24 54 合计 90 60 150 根据列联表，经计算得 因为 我们没有充分证据推断不成立，可以认为车主性别与满意度无关，因此可以认为这一观点不成立. 17．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）近年来，直播带货成为电商销售的新模式，某质检部门为了评估某知名主播直播间所售商品的质量，随机抽取了该直播间近3个月销售的600件产品，统计了它们的用户评分（1~5分）和退货率，见下表： 评分 1分 2分 3分 4分 5分 评分分布 5% 10% 20% 45% 20% 退货率 80% 50% 20% 5% 2% (1)从600件商品中随机抽取1件，求该商品评分不低于4分且未被退货的概率； (2)假设该直播间每售出1件商品，若未退货则盈利50元，若退货则亏损30元（含运费和售后成本）.设单件商品的盈利为随机变量，求的分布列和期望，并据此判断该直播间的销售模式是否可持续； (3)质检部门规定，若直播间的商品评分的中位数低于4分，则需要整改.计算该直播间评分的中位数，根据结果判断是否需要整改，若将评分标准改为“众数低于4分”，结论是否改变?解释这种修改对商家可能产生的影响. 【解析】（1）设“评分不低于4分且未被退货”，“评分为分”，，“没被退货”， 则； （2）X的取值为50，－30， ， ， 分布列为： X 50 -30 P 0.8435 0.1565 ， ，可持续； （3）评分为1分、2分、3分、4分的累计频数分别为30，90，210，480， 第300个和第301个评分均为4分，故中位数为， 不低于4分，不需要整改. 众数也为4，所以改成众数后结论不变，也不需要整改. 众数并未告诉它比别的数值多的程度，这种修改会使商家更关注获得最多评分的质量水平. 18．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表： 性别 健康状况 合计 不感冒 感冒 男 12 18 30 女 6 24 30 合计 18 42 60 (1)在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望； (2)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因． 附录：，其中． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【解析】（1）样本中不感冒的男性有人，女性有 人，比例为， 按照性别采用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性 人， 所以随机变量的所有取值为. 则 ， ， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 4 所以. （2）提出统计假设：岁人群的体质健康与性别无关. 根据列联表中的数据，经计算得到， 因为，假设成立， 所以依据小概率值的独立性检验，不能据此推断岁人群的体质健康与性别有关. 如果把所有数据都扩大10倍后， ，， 所以依据小概率值的独立性检验，能据此推断岁人群的体质健康与性别有关. 与之前的结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化. 19．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 参观人数 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； (2)校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 相关系数. 【解析】（1）依题意，，而，，， 则. 因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合. ，， 因此，回归方程为. （2）记“甲从号门出学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， “甲从号门进学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， 由题意可得，，， ，， 由全概率公式得： ， 同理乙、丙、丁从号门出学校的概率也为， 为人中从号门出学校的人数，则， ，， ，， ， 故的分布列为： ，. 20．（2025·黑龙江·二模）有一摸球游戏如下：盒子中有红､黄､绿三种颜色的球各3个，球除颜色外其他均相同，两人摸球，规定每人一次从盒中摸3个球，第二人从第一人摸球后剩余的6个球中再摸3个球.记每个人摸到的3个球中颜色相同的球的最大数量为其得分，规定得分高者获胜.现有甲､乙二人参与此摸球游戏，记甲､乙的得分分别为. (1)若甲先摸球，求的分布列及其数学期望； (2)在甲先摸球的情况下，分别计算甲获胜的概率和乙获胜的概率，并判断参赛者获胜的概率是否受摸球先后顺序的影响. 【解析】（1）在甲先摸球的情况下，记甲摸到的三种颜色的球的数量由多到少分别为，则，且可能的取值有， 则， ， ， 故的分布列为 1 2 3 . 在甲先摸球的情况下，记乙摸到的三种颜色的球的数量由多到少分别为，则，且可能的取值有， 则 故的分布列为 1 2 3 . （2）在甲先摸球的情况下，由题意， . 则，即先摸球和后摸球获胜的概率一样， 故参赛者获胜的概率不受摸球先后顺序的影响. 21．（2025·黑龙江大庆·二模）若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合. (1)若是15项数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和； (2)已知，，记，其中且. （ⅰ）求取到最大值时的值； （ⅱ）若，是两个不同的数列，求随机变量的分布列，并证明：. 【解析】（1）因为是15项数列，当且仅当时，， 所以当和时，． 设数列的所有项的和为S，则 ， 所以数列的所有项的和为0． （2）（i）因为数列是从集合中任意取出的两个数列， 所以数列为项数列，所以的可能取值为：． 根据数列中0的个数可得，集合中元素的个数共有个， 当时，则数列中有项取值不同，有项取值相同， 从项中选择项，和在项的某一项数字相同， 其余项，两者均在同一位置数字相反， 由于，此问题为组合问题， 故所有的情况会重复1次，故共有种情况， 所以， 令，化简可得，解得， 则当时，取得最大值. （ii）证明：因为数列是从集合中任意取出的两个数列， 所以数列为项数列，所以的可能取值为：． 根据数列中0的个数可得，集合中元素的个数共有个， 当时，则数列中有项取值不同，有项取值相同， 从项中选择项，和在项的某一项数字相同， 其余项，两者均在同一位置数字相反， 由于，此问题为组合问题， 故所有的情况会重复1次，故共有种情况， 所以， 因为， 所以 ， 即． 正态分布题型04 22．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）泊松分布是一种离散型概率分布，常用于描述在固定时间或空间内某事件发生的次数，广泛应用于通信，交通，生物学，金融和质量控制等领域．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为 ． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认．若，估计的值； (2)某人工智能公司制造微型芯片的次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； ②若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； 通过①，②的计算结果，你发现了什么规律； (3)若，且，在保留小数点后一位的时候，求证：的最大值为0.1． 参考数据：若，则， ，， ，， 【解析】（1），可以利用正态分布转换，， ， ，估计的值为． （2）次品率为0.002，非次品率为0.998 ①，则在1000个产品中至少有个2次品的概率 ②， 可以发现产品数量很大，次品率很小时，二项分布可以用泊松分布近似． （3）， 令，，在上单调递减 ，又考虑到 而 故只需判断与，即与大小关系即可 令，，在上单调递减 ，，，， 又保留小数点后一位，的最大值为0.1. 23．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知随机变量服从标准正态分布，且，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.6 【答案】B 【解析】由题意，随机变量服从标准正态分布，则， 因为，所以， 则， 所以. 故选：B. 24．（2025·黑龙江大庆·二模）若随机变量，且，则的最小值为（    ） A．18 B． C．24 D．27 【答案】C 【解析】由题意可得，则， 所以， 易知当时，的最小值为. 故选：C. 概率小题的计算题型05 25．（2025·黑龙江大庆·二模）将四张标有1､2､3､4的卡片摆成下图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按4-3-2-1取走卡片的顺序是“和谐序”，按1-2-3-4取走卡片的顺序不是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这4张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为 . 【答案】/ 【解析】只有当2号卡片是第一个或者第二个被取走时才不是“和谐序”， 当2号卡片被第一个取走时共有种取法， 当2号卡片被第二个取走时共有种取法， 而总共有种取法，所以取卡顺序是“和谐序”的概率为. 故答案为： 26．（2025·黑龙江大庆·二模）数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．请你从“对称性”的角度完成下面概率问题：已知有，，，，，，，八名运动员参加比赛，按照下图进行单败淘汰制（赢者晋级下一轮，败者被淘汰）.其中在图示中①的位置，在图示中⑤的位置，其余运动员抽签决定自己第一轮的比赛位置.已知与除以外的运动员比赛胜率为，与除以外的运动员比赛胜率为，除此以外其余场次比赛（包括间的比赛）每位运动员胜率都为，则运动员夺得冠军的概率为 ． 【答案】 【解析】进入决赛的概率为，进入决赛的概率为， 夺冠有两种情况，进入决赛和没进入决赛，所以夺冠的概率为， 夺冠有两种情况，进入决赛和没进入决赛，所以夺冠的概率为， 所以或夺冠的概率为，由概率的对称性可得，夺冠的概率为. 故答案为：. 27．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知，，，则（   ） A．0.2 B．0.375 C．0.75 D．0.8 【答案】A 【解析】因为， 所以， 解得. 故选：A. 28．（2025·黑龙江大庆·二模）某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 【答案】A 【解析】设事件为“抽奖者甲中奖”，事件为“甲最初选中的盲盒有奖”，则， 在组织方拿走无奖的盲盒后，若先选中的有奖，则剩余个盲盒中有个奖品， 甲更换盲盒后， 若甲先选中的盲盒无奖，则剩余个盲盒中有个奖品，则更换盲盒后， 因此， 由乙碰掉的盲盒无奖，则所有个盲盒中有个奖品，且每个盲盒被抽到的可能性相同，则， 于是，所以. 故选：A. 29．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）有一组样本数据为，3，7，8，9，11，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知样本数据共6个，，因此样本数据的下四分位数为第2个数，即3； 添加一个数构成一组新的样本数据共有7个数，，因此新数据的下四分位数为第2个数，也得为3； 所以添加的数大于等于3即可满足题意，即可以为； 在中任选一个作为共有6种选择， 因此所求概率. 故选：C 30．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）甲､乙两人玩掷骰子游戏，每局两人各投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子六个面分别标以数字）并观察向上的点数，当两枚骰子的点数之差为偶数时，视为平局，当两枚骰子的点数之差为奇数时，谁的点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方胜2次或平局4次时停止，则恰好进行了3局时，游戏停止的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意两人掷骰子的基本事件如下： 记表格中横向数据为甲，纵向数据为乙， 则甲获胜的情况有，，，，，，，，，共种情况，则概率为， 同理可得乙获胜的概率为，恰好局结束游戏，甲或乙需胜两场，且胜的第二场为游戏第局， 所以符合题意的概率为. 故选：C. 31．（2025·黑龙江大庆·二模）10名同学合影，站成了前排3人后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（   ） A．168 B．630 C．252 D．420 【答案】D 【解析】从后排7人中选2人共有种选法，这2人插入前排3人中且保证前排人的顺序不变， 则可先从3人中的4个空挡插入1人，有种插法；余下的1人则要插入前排4人的5个空挡中，有种插法， 则不同调整方法的种数是种． 故选：D. 32．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）某学校高三教研组为调查高三学生的学习情况，分别从高三年级中的20个班一共抽取40个人进行询问，其中各班人数均为50人，则某个班级中某个学生被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】法一：全校总人数为人，一共抽取40人， 则被抽到的概率为； 法二：一个班抽取的人数为， 则被抽到的概率为.     故选：B. 排列组合问题题型06 33．（2025·黑龙江·二模）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为（   ） A．48 B．60 C．72 D．120 【答案】A 【解析】若四位数为偶数，则个位数为2或4，其余位数不重复即可， 所以偶数的个数为. 故选：A. 34．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）4位学生被分配到、、三地学习，每地至少分配一名学生，每名学生只能去一个地点学习，其中学生甲必须去地，则共有 种不同分配方式（用数字作答）． 【答案】 【解析】若地只有学生甲，则把其余3人分成两个组，安排到、两点有种， 若地有两名学生，则有种安排方法， 故共有种安排方法. 故答案为：. 35．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若为1，2，3，4的任意排列，设，，则满足的排列有 个；的概率为 .（已知表示中最小的数，表示中最大的数） 【答案】 12 【解析】答题空1：若，则从1，2，3，4中任选两个数作为，且满足，共有种选法， 再将剩下的2个数随机排列，共有种排法， 所以满足的排列有个； 答题空2：因为随机变量满足，， 所以当或时，，， 当或时，，， 当或时，，， 其中当或时，满足，共有种， 所以的概率， 故答案为：12； 36．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数（如236，567），则比423大的三位“渐升数”共有 个． 【答案】20 【解析】完成这件事需选出3个数，要满足“渐升数”需分类来解. 当百位上的数字为4，十位上的数字为5时，个位上的数字有4种选法； 当百位上的数字为4，十位上的数字为6时，个位上的数字有3种选法； 当百位上的数字为4，十位上的数字为7时，个位上的数字有2种选法； 当百位上的数字为4，十位上的数字为8时，个位上的数字有1种选法； 当百位上的数字为5，十位上的数字为6时，个位上的数字有3种选法； 当百位上的数字为5，十位上的数字为7时，个位上的数字有2种选法； 当百位上的数字为5，十位上的数字为8时，个位上的数字有1种选法； 当百位上的数字为6，十位上的数字为7时，个位上的数字有2种选法； 当百位上的数字为6，十位上的数字为8时，个位上的数字有1种选法； 当百位上的数字为7，十位上的数字为8时，个位上的数字有1种选法； 所以比423大的三位“渐升数”共有个. 故答案为：20. 递推问题题型07 37．（多选题）（2025·黑龙江大庆·二模）如图六边形为正六边形，中心为点.小明从点出发，现用掷骰子方式决定移动方向，规定： ①每掷一次骰子，从一个顶点移动到下一个顶点. ②移动方向由掷骰子决定：若点数为奇数则顺时针移动；若点数为偶数则逆时针移动. 设掷骰子次，移动到的概率为，那么下述结果正确的是（    ） A． B． C．若掷骰子次，以射线为始边，以射线为终边的角余弦值记为随机变量，则 D． 【答案】ACD 【解析】掷骰子出现奇数点的概率为，出现偶数点的概率为， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，可能的取值为，为奇数时，， 为偶数时，， ， ，， ，因此，C正确； 对于D，， 由对称性，，， ，， 令，则，，， ，因此数列是首项为，公比为的等比数列，，时也成立， ，D正确. 故选：ACD. 38．（2025·黑龙江大庆·二模）在矩形中，，，，为的中点，将点沿着翻折到点，二面角大小为，连接，． (1)若的中点为，求证：平面； (2)求四面体的外接球表面积的取值范围； (3)一个动点从点开始，在四棱锥的棱上运动，定义1步运动为：在所在顶点处随机选取一条与之相邻的棱，从所在顶点运动到该棱的另一个顶点（例如：若点在点处，分别有的概率运动到，，，处．若点在点处，分别有的概率运动到，，处，以此类推），现有一个质地均匀的骰子（六个面上数字分别是1，1，2，3，3，3），每扔一次骰子，若骰子正面向上点数为，则点运动步，求扔次骰子后动点仍在点的概率． 【解析】（1）取中点，因为的中点为，所以且， 而，且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 而平面，平面，所以平面. （2）连接，与交于点，取中点为，则，， 则且为二面角的平面角，故， 过作垂足为，则，， 因为，平面， 故平面，而平面，故平面平面， 平面平面，平面，故平面， 所以如图以点为原点，以过点且与平行的方向为轴， 以过点且与平行的方向建为轴， 以过点且与垂直的方向为轴建立空间直角坐标系， 可得，，， 由于球心在过的外心且垂直于平面的直线上， 所以设球心的坐标为，因为， 所以， 解得， 而，所以， ， 所以四面体的外接球表面积为， （3）设次骰子后动点仍在点的概率为 扔次骰子后动点仍在点有两种情况， 一种是扔次骰子后动点仍在点，一种是扔次骰子后动点不在点， 而点在，，，处扔一次骰子到点的概率为 ， 而点在处扔一次骰子到点的概率为， 所以，所以， 又，故，故， 所以，所以. 39．（2025·黑龙江大庆·二模）对，通过抛掷一枚均匀硬币次后生成有序数对，具体生成规则如下：①规定；②当第次抛掷硬币时：如果出现硬币正面朝上，若，则，否则；如果出现硬币反面朝上，若，则，否则．抛掷次硬币后，记的概率为． (1)写出的所有可能结果，并求，； (2)证明：数列是等比数列，并求； (3)设，求的最大值． 【解析】（1）当第1次抛掷硬币时， 若正面朝上，由知， 则； 若反面朝上，由知， 则； 当第2次抛掷硬币时，如果正面朝上， 此时若第1次正面朝上，由知， 则 此时若第1次反面朝上，由知， 则 当第2次抛掷硬币时，如果反面朝上， 此时若第1次正面朝上，由知， 则 此时若第1次反面朝上，由知， 则 所以的所有可能结果共3个，所以，． （2）由（1）的分析可得， 当第次抛掷硬币时： 如果出现硬币正面朝上，若， 则，此时； 否则，此时， 而，也有， 如果出现硬币反面朝上，同理有，依次可得. 当，且第次掷出正面时， 有，此时，当，且第次掷出反面时， 有，此时，所以: ， 即，所以 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以． （3）由（2）知， 而，故在上单调递增， 故最大时取得最大值； 当且为奇数时，， 当且为偶数时，， 且随着的增大而减小， 所以即 所以. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$