专题03 三角函数与解三角形-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（黑龙江专用）

专题03 三角函数与解三角形 题型概览 题型01 三角函数的图像与性质 题型02 三角函数公式 题型03 正余弦定理 题型04 角平分线、中线问题 题型05 解三角形范围与最值问题 三角函数的图像与性质题型01 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．1 C． D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数为奇函数，则在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江·二模）已知函数的最小正周期为，若将的图象向右平移个单位长度后所得的图象与曲线关于对称，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江·二模）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的一条对称轴方程是（   ） A． B． C． D． 5．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数（   ） A．是偶函数 B．最大值为 C．最小值为 D．在有两个零点 6．（多选题）（2025·黑龙江大庆·二模）将函数图象向右平移个单位，并将图像上每个点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 7．（2025·黑龙江牡丹江·二模）函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法错误的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 8．（2025·黑龙江大庆·二模）已知函数，在区间上单调递增，在上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数，，若函数和有四个相邻的交点，则这四个交点中任意两个交点横坐标之差最大值为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·黑龙江大庆·二模）函数的部分图象如图所示，已知，若其解析式为，则（   ） A． B． C．0 D．1 11．（多选题）（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图是因不慎丢失部分图象后，函数的局部图象，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．是图象的一个对称中心 C．图象的对称轴方程为 D．已知，设与的图象在内的交点为，则 12．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）设函数，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．都有 C．在上单调递减 D．将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象 13．（多选题）（2025·黑龙江大庆·二模）下列关于函数的说法正确的是（    ） A．要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位 B．函数的图象关于对称 C．函数在区间上单调递减 D．若，且，则 14．（多选题）（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）A、B是函数与直线的两个交点，则下列说法正确的是（   ） A． B．的定义域为 C．的对称中心为 D．在区间上单调递增 15．（2025·黑龙江大庆·二模）已知函数． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将的图象向右平移个单位后，再将纵坐标变为原来的，最终得到的图象，若，满足不等式，求的取值范围． 三角函数公式题型02 16．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，，则 ． 17．（2025·黑龙江·二模）已知，且为钝角，则 . 18．（2025·黑龙江牡丹江·二模）若，则 ． 19．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 20．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 21．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知为锐角，，则（   ） A． B． C． D． 22．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 23．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B．1 C． D． 正余弦定理题型03 24．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 25．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在中，角所对的边分别为，若，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 26．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则 . 27．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则的值为 . 28．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且， (1)求角C； (2)如图，边AB的垂直平分线ED交AB于E，交边AC于D，，，求AD长． 29．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在平面四边形中，，，，，，，求： (1)四边形的面积； (2)的值； (3)的面积. 30．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在中，角所对的边分别为，且，. (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 31．（2025·黑龙江·二模）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为边的中点，且满足，求. 角平分线、中线问题题型04 32．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在中，若的角平分线交AC于点D，则下列说法正确的是（   ） A． B．的外接圆周长为 C． D． 33．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，，，． (1)求； (2)若，为线段的中点，请从①；②；③这三个条件中选一个，使得存在，求此时线段的长． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 解三角形范围与最值问题题型05 34．（2025·黑龙江大庆·二模）已知中，角，，所对的边分别为，，， (1)求证：； (2)若，求周长的取值范围． 35．（2025·黑龙江大庆·二模）等边三角形内接于等腰直角三角形，若的斜边长为，则面积的最小值是 . 36．（2025·黑龙江牡丹江·二模）在中，角的对边分别为若 (1)求； (2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角函数与解三角形 题型概览 题型01 三角函数的图像与性质 题型02 三角函数公式 题型03 正余弦定理 题型04 角平分线、中线问题 题型05 解三角形范围与最值问题 三角函数的图像与性质题型01 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由题图可知，，所以， 又因为，所以． 又因为，所以， 所以，又，令，可得， 所以，故． 故选：B． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数为奇函数，则在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以. 因为为奇函数，所以. 所以. 当时，， 所以， 所以的最大值为. 故选：D. 3．（2025·黑龙江·二模）已知函数的最小正周期为，若将的图象向右平移个单位长度后所得的图象与曲线关于对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，得，则. 由，即， 得， 解得. 故选：D. 4．（2025·黑龙江·二模）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的一条对称轴方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得，， 令，解得， 当时，对称轴为， 故选：B． 5．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数（   ） A．是偶函数 B．最大值为 C．最小值为 D．在有两个零点 【答案】ABC 【解析】对于A，，是偶函数，故A正确； 当时，， 因为，所以，所以， 所以， 当时，， 因为，所以，所以， 所以，， 又时，， 因为，所以，所以， 所以， 又时，， 所以当时，是以为周期的周期函数，又是偶函数， 所以函数的值域为，故BC正确； 当时，， 因为，所以，所以， 所以， 当时，， 因为，所以，得， 所以时，， 作出函数在的图象的示意如图所示， 故函数在有没有零点，故D错误. 故选：ABC. 6．（多选题）（2025·黑龙江大庆·二模）将函数图象向右平移个单位，并将图像上每个点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解析】将函数图象向右平移个单位， 并将图像上每个点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标不变，得到函数， 则，故A选项正确； B选项，，最小正周期为，故B选项错误； C选项，，所以函数的图象关于点对称，故C选项正确； D选项，，则的图象关于直线对称. 故选：ACD 7．（2025·黑龙江牡丹江·二模）函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法错误的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 【答案】C 【解析】对于A选项，由图可知，函数的图象过点， ，， ，解得， ，，故A正确； 对于B选项，，令，则， 的图象关于对称， 当时，函数关于对称，故B正确； 对于C选项，将向左平移个单位长度，得到， 则的对称轴为，故C错误； 对于D选项，函数， 当时，， 函数在上单调递减，故D正确. 故选：C. 8．（2025·黑龙江大庆·二模）已知函数，在区间上单调递增，在上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设或，， 所以或，则（舍）或， 所以，，又，则， 所以，故. 故选：A 9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数，，若函数和有四个相邻的交点，则这四个交点中任意两个交点横坐标之差最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 所以（显然无法解出的值） 或者， 解得，由于是相邻的四个点，所以可以取相邻的四个整数， 假设，分别得到、、、， 显然是这四个横坐标之差的最大值，. 故选：C 10．（2025·黑龙江大庆·二模）函数的部分图象如图所示，已知，若其解析式为，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【解析】由图可得，是的一条对称轴， 所以，则根据图象可取， 又，则根据图象可取， 联立解得：，满足， 所以，即， 故选：B. 11．（多选题）（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图是因不慎丢失部分图象后，函数的局部图象，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．是图象的一个对称中心 C．图象的对称轴方程为 D．已知，设与的图象在内的交点为，则 【答案】ACD 【解析】对于A，由，以及函数的局部图象，可知该函数的周期，故A正确； 对于B，由A易得，即，由图知： ，解得， 因，则，即，当时， ，故B错误； 对于C，因函数的对称中心为，则对于函数，使， 解得，即得该函数的对称中心为， 又因函数的图象可由的图象保持轴上方图象不变，而将轴下方图象向上翻折得到， 结合函数的图象，可知函数图象的对称轴方程为，故C正确； 对于D，由上分析已得，， 由可得， 化简得： ，解得（另一根小于，舍去）， 设，因，则， 作出函数在区间上的图象如图，结合的图象， 可知两者在区间上有两个交点， 为， 由图知， ，则有，解得，故D正确. 故选：ACD. 12．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）设函数，则下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．都有 C．在上单调递减 D．将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由，则，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 13．（多选题）（2025·黑龙江大庆·二模）下列关于函数的说法正确的是（    ） A．要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位 B．函数的图象关于对称 C．函数在区间上单调递减 D．若，且，则 【答案】BD 【解析】对于A选项，函数图象平移遵循“左加右减”原则.右移个单位，变为，得到，与选项描述不符，所以A错误. 对于B选项，若函数图象关于对称，则取最值.，，是函数最大值，所以函数图象关于对称，B正确. 对于C选项，已知，则.正弦函数在包含的区间不单调，此区间含，所以函数在该区间不单调，C错误. 对于D选项，正弦函数周期，中，. ，即取最小值，相邻最小值间距离是一个周期，所以，D正确. 故选：BD. 14．（多选题）（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）A、B是函数与直线的两个交点，则下列说法正确的是（   ） A． B．的定义域为 C．的对称中心为 D．在区间上单调递增 【答案】AC 【解析】的最小正周期，则，故A正确； 由，得， 所以的定义域为，故B错误； 由，解得， 所以的对称中心为，故C正确； 当时，得，从而无意义， 因此区间不可能是的单调递增区间，故D错误， 故选：AC. 15．（2025·黑龙江大庆·二模）已知函数． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将的图象向右平移个单位后，再将纵坐标变为原来的，最终得到的图象，若，满足不等式，求的取值范围． 【解析】（1） ， 所以， 所以的周期为， 由得， 所以的单调递减区间为. （2）将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，即可得到， 再将的图象向右平移个单位，得到， 再将纵坐标变为原来的，即可得到， 因为，， 所以当，时， ， 令，，则 ，所以当时，取得最小值，最小值为 所以，解得或， 故的取值范围为． 三角函数公式题型02 16．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，，则 ． 【答案】 【解析】因为， 故， 由题设，故， 故即， 故答案为： 17．（2025·黑龙江·二模）已知，且为钝角，则 . 【答案】 【解析】由题意可得， 因为钝角，即，则，则，即. 故答案为：. 18．（2025·黑龙江牡丹江·二模）若，则 ． 【答案】/0.6 【解析】当时， . 故答案为： 19．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由题意， 从而. 故选：AD. 20．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，即 故选：D. 21．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知为锐角，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为锐角，即，则， 又，则，且， 所以． 故选：C． 22．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，， 即， 即，则， 又 ， 当且仅当时，等号成立， 因为，，所以，， 由于在上单调递增，在上恒为负， 所以的最小值为. 胡选：C 23．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，， 则. 故选：D. 正余弦定理题型03 24．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 得，所以． 又因为，结合正弦定理（其中为的外接圆的半径）， 所以，解得， 则的外接圆的面积为． 故选：B 25．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在中，角所对的边分别为，若，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由余弦定理得，代入， 整理可得，所以. 故选：B 26．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则 . 【答案】或2 【解析】由余弦定理有，所以， 解得或2. 故答案为：或2. 27．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则的值为 . 【答案】 【解析】因为， 所以，又， 所以， 因为，所以， 即， 所以， 所以， 所以，又， 所以或， 所以或， 若，则，此时， 若，则，此时， 所以， 故答案为：. 28．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且， (1)求角C； (2)如图，边AB的垂直平分线ED交AB于E，交边AC于D，，，求AD长． 【解析】（1）已知， 由三角形面积公式可得. 由正弦定理可得：，即. 由余弦定理. 又因为，所以. （2）因为，所以是等腰三角形，且是一个底角， 故为的中点，则， 在中，， 由正弦定理得， 故， 所以在中，. 29．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在平面四边形中，，，，，，，求： (1)四边形的面积； (2)的值； (3)的面积. 【解析】（1）因为，在中，， 在中，，，则，所以， 所以. （2）以为原点，分别以、的方向为、轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示， 所以、、、， 所以，， 所以. （3）因为，解得， 故. 30．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在中，角所对的边分别为，且，. (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 【解析】（1），， ，， ，， ，，. （2），， 又，或， . ， 所以的周长为. 31．（2025·黑龙江·二模）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为边的中点，且满足，求. 【解析】（1）在中，由正弦定理， 得， 由已知，得， 即， ， 在中，， ， ， 又， 又. （2）为边中点，且， ， 设，记，则， 又， 在中，由正弦定理，得，即， 即， ，即， ，即. 角平分线、中线问题题型04 32．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在中，若的角平分线交AC于点D，则下列说法正确的是（   ） A． B．的外接圆周长为 C． D． 【答案】ABD 【解析】在中，由余弦定理可得，所以，故A正确； 又，可得，所以的外接圆直径，所以的外接圆周长为，故B正确； 因为BD为的角平分线，所以，所以，所以， 在中，，故C错误； 又因为，所以，故D正确． 故选:ABD． 33．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，，，． (1)求； (2)若，为线段的中点，请从①；②；③这三个条件中选一个，使得存在，求此时线段的长． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）由，，得， ，即， 由正弦定理可得：， 在中，， 得， 因为，所以，即， 所以，因为，所以 （2）若选①，由，得， 由正弦定理可得，可得，显然不成立，故不存在； 若选②，由，得， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得，即， 解得（负值舍去）， 因为，即， 有，即； 若选③，，得， 由②可得，，即. 解三角形范围与最值问题题型05 34．（2025·黑龙江大庆·二模）已知中，角，，所对的边分别为，，， (1)求证：； (2)若，求周长的取值范围． 【解析】（1）由得， 从而， 得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理得， 又在三角形中，， 所以． 所以，即． 所以或， 即或． 因为，，所以． （2）由得， 所以， 即，解得， 因为，由正弦定理得，所以， 由正弦定理得 ， 故的周长． 令，由（1）知，所以． 因为函数在上单调递增， 所以周长的取值范围为． 35．（2025·黑龙江大庆·二模）等边三角形内接于等腰直角三角形，若的斜边长为，则面积的最小值是 . 【答案】 【解析】设，则， 在中应用正弦定理，， 其中，则. 令，则 所以 令，则，当且仅当时取到等号. 此时取最小值，. 所以的面积， 从而的面积最小值为. 故答案为：. 36．（2025·黑龙江牡丹江·二模）在中，角的对边分别为若 (1)求； (2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围. 【解析】（1）由， 可知， 由正弦定理得， 故， 则， 因为，所以， 则，则， 故，得或，， 结合，可得. （2）由正弦定理可得， 故， 因为为锐角三角形，故，解得， 则，所以， 故面积的取值范围是. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$