专题01 集合与常用逻辑用语、不等式、向量、复数-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（黑龙江专用）

专题01 集合与常用逻辑用语、不等式、向量、复数 题型概览 题型01 集合的运算 题型02 充分必要条件 题型03 不等式问题 题型04 复数 题型05 平面向量 题型06 命题与命题的否定 集合的运算题型01 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知集合，则（   ） A． B．且 C． D．或 2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知全集，，，那么是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江牡丹江·二模）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江大庆·二模）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知全集，若，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 9．（2025·黑龙江大庆·二模）集合，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·黑龙江·二模）已知集合，，则=（   ） A． B． C． D． 11．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知集合，，若，则（   ） A．0 B． C．1 D．0或1 13．（2025·黑龙江·二模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 题型02 充分必要条件 14．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，则“”是“是奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知空间中不过同一点的三条直线，则“共面”的一个充分不必要条件是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．两两相交 16．（2025·黑龙江·二模）已知直线l：，圆C：，则“”是“直线l与圆C相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知条件，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．（2025·黑龙江大庆·二模）已知直线、与平面、、，则能使的充分不必要条件是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 20．（2025·黑龙江大庆·二模）曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 不等式问题题型03 21．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 22．（多选题）（2025·黑龙江大庆·二模）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 复数题型04 23．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数（   ） A． B．2 C．1 D． 24．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知是关于的实系数方程的一个根（为虚数单位），则（   ） A．3 B．2 C．-2 D．-3 25．（2025·黑龙江大庆·二模）若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C．1 D． 26．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）复数在复平面内对应的点满足，则以下选项中的点在复数所构成的图形上的是（    ） A． B． C． D． 27．（2025·黑龙江大庆·二模）设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 28．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）设复数满足，那么（   ） A． B． C． D． 29．（2025·黑龙江牡丹江·二模）复数的虚部是 . 30．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知是虚数单位，是关于的方程（其中）的一个根，则 . 31．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知复数满足，则的最小值为 . 平面向量题型05 32．（2025·黑龙江大庆·二模）已知，均为平面上的单位向量，若，则（   ） A． B． C． D． 33．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若向量与向量共线，则是（   ） A． B． C． D． 34．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知为坐标原点，在扇形中，为劣弧的中点，则（   ） A． B． C． D． 35．（2025·黑龙江大庆·二模）如图所示，在中，，，点是的中点，点在上，且.若，则（    ） A．6 B．8 C． D． 36．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）单位向量，满足，则在上的投影向量为（   ）． A． B． C． D． 37．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（    ） A． B．2 C． D．1 38．（2025·黑龙江·二模）在菱形中，为边的中点，若，则 . 39．（2025·黑龙江·二模）如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.对于平面内任意一点P，若向量，则记，.已知该平面内两点，，若，则点M的轨迹围成的图形面积为 ；若，则的最大值为 . 命题与命题的否定题型06 40．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 41．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 42．（2025·黑龙江·二模）已知命题；命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语、不等式、向量、复数 题型概览 题型01 集合的运算 题型02 充分必要条件 题型03 不等式问题 题型04 复数 题型05 平面向量 题型06 命题与命题的否定 集合的运算题型01 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知集合，则（   ） A． B．且 C． D．或 【答案】D 【解析】要使函数有意义，则，所以，所以． 因为且，所以或， 所以或或 所以或． 故选：D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知全集，，，那么是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，，， 则，，， 所以，，，. 故选：C. 3．（2025·黑龙江牡丹江·二模）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【答案】B 【解析】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则， 根据对数函数的性质知，则. 故选：D 5．（2025·黑龙江大庆·二模）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合， ， 则. 故选：B. 6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合，由题意， 则. 故答案为：D 7．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，且， 则， 阴影部分表示的集合是在集合中去掉的元素， 则阴影部分表示的集合为. 故选：D 8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知全集，若，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】A 【解析】根据题意，画出Venn图如下图所示： 由图可知，且，即A正确； 显然，可得B错误，，C错误，，可知D错误. 故选：A 9．（2025·黑龙江大庆·二模）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合，，则 故选：B. 10．（2025·黑龙江·二模）已知集合，，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题得，，所以， 故选：D． 11．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，即，解得， 所以，所以或， 又，所以. 故选：C 12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知集合，，若，则（   ） A．0 B． C．1 D．0或1 【答案】C 【解析】因为集合，，， 所以，所以或， 若，则，此时，满足题意； 若，则，此时集合不满足集合元素的互异性，舍去． 综上，． 故选：C． 13．（2025·黑龙江·二模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以. 故选：A 题型02 充分必要条件 14．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，则“”是“是奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若，则， 所以， 则，即， 当为奇数时，，为奇函数， 当为偶数时，，为奇函数， 故充分性满足； 若是奇函数，则，即， 即，故必要性也满足； 所以“”是“是奇函数”的充要条件. 故选：C 15．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知空间中不过同一点的三条直线，则“共面”的一个充分不必要条件是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．两两相交 【答案】D 【解析】选项A：，且，三条直线可能在不同的平面. 选项B：，且，三条直线可能分布在三个平行平面内. 选项C：，且，垂直于但可能不在与确定得平面内. 选项D：两两相交且不过同一点得三条直线必然共面. 故选：D 16．（2025·黑龙江·二模）已知直线l：，圆C：，则“”是“直线l与圆C相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】圆C：的圆心为，半径， 若直线l与圆C相切，则，解得， 显然是的真子集，所以“”是“直线l与圆C相切”的充分不必要条件. 故选：A. 17．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，函数的定义域为. 由在上单调递增，得在上恒成立. 则，解得. A是充分不必要条件，B是充分必要条件，C是不充分不必要条件，D是必要不充分条件， 故选：D. 18．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知条件，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，可推出，故充分性成立； 由，可得，即，解得：或，故必要性不成立. 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 19．（2025·黑龙江大庆·二模）已知直线、与平面、、，则能使的充分不必要条件是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解析】对于A选项，若，，则、平行或相交，A不满足要求； 对于B选项，若，，，则、平行或相交，B不满足要求； 对于C选项，若，，，则、斜交或垂直，C不满足要求； 对于D选项，如下图所示： 因为，过直线作平面，使得， 由线面平行的性质定理可得， 因为，则，因为，故；而反过来不成立；D满足要求. 故选：D. 20．（2025·黑龙江大庆·二模）曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若曲线表示椭圆，则，解得或， 则“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 不等式问题题型03 21．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【答案】C 【解析】由，则，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 22．（多选题）（2025·黑龙江大庆·二模）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A选项，正数满足，故， 解得，当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，， 当且仅当，即，即时，等号成立，B正确； C选项，， 由A知，，故， 故，C错误； D选项，因为，所以， 故，当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ABD 复数题型04 23．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【解析】设，则， 所以，所以，所以． 故选：B． 24．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知是关于的实系数方程的一个根（为虚数单位），则（   ） A．3 B．2 C．-2 D．-3 【答案】B 【解析】是关于的实系数方程的一个根， 所以也是方程的一个根， 所以. 故选：B 25．（2025·黑龙江大庆·二模）若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】，所以，则，即， 所以的虚部为. 故选：A. 26．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）复数在复平面内对应的点满足，则以下选项中的点在复数所构成的图形上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】法一：直接将复数所代表的点设出来]设，则有， 根据复数模的定义，可列，所以， 所以复数所代表的点是以为圆心，半径为1的圆，代入选项可知只有D选项满足该式. 法二：由复数的几何意义，这一个式子代表复数所代表的点到这一个点距离为1的方程，也就是一个圆， 因此只有选项的点满足到这一个点距离为1. 故选：D. 27．（2025·黑龙江大庆·二模）设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】表示复平面内点到的距离，又，所以点的集合形成的图形为圆环，面积为， 故选：C. 28．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）设复数满足，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 即， 所以， 即，解得， 即， 故选：B. 29．（2025·黑龙江牡丹江·二模）复数的虚部是 . 【答案】 【分析】 根据的值的周期性特点，将原式化简并重新按照四项为一组进行分组求和即得. 【详解】 ， 则的虚部为. 故答案为：. 30．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知是虚数单位，是关于的方程（其中）的一个根，则 . 【答案】0 【分析】 根据题意，将根代入原方程，即得结果. 【详解】 据已知有，即. 从而，故. 故答案为：. 31．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知复数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】 根据复数模的几何意义，将条件转化为距离问题即可得到答案 【详解】 设， 由得， 所以， 即点是圆心为，半径为1的圆上的动点， ，表示的是点与点的距离， 所以其最小值为点到圆心的距离减去半径， 即的最小值为. 故答案为： . 平面向量题型05 32．（2025·黑龙江大庆·二模）已知，均为平面上的单位向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，， 可得， ， 故选：C. 33．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若向量与向量共线，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得， 所以， 则. 故选：B. 34．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知为坐标原点，在扇形中，为劣弧的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，易知扇形的半径且， 又为劣弧的中点，则，所以， 所以，则， 由，则. 故选：B 35．（2025·黑龙江大庆·二模）如图所示，在中，，，点是的中点，点在上，且.若，则（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【解析】由，得，由点是的中点，， 得，， 则 ，解得. 故选：B. 36．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）单位向量，满足，则在上的投影向量为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】单位向量，满足，得，解得， 因此，， 所以在上的投影向量为. 故选：A 37．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【解析】由向量在向量上的投影向量为可得， 即，又，所以， 所以. 故选：C 38．（2025·黑龙江·二模）在菱形中，为边的中点，若，则 . 【答案】 【解析】方法一：， ，且由对称性易知， . 方法二：设在上的投影向量分别为，易知， 由数量积的几何意义可知，， . 故答案为：. 39．（2025·黑龙江·二模）如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.对于平面内任意一点P，若向量，则记，.已知该平面内两点，，若，则点M的轨迹围成的图形面积为 ；若，则的最大值为 . 【答案】 2 【解析】由题意知. 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点，为端点的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点，为端点的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点，为端点的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点，为端点的线段. 如下图所示： 记点，，，，则点的轨迹为四边形. 因为，故四边形为矩形，且， 所以，点的轨迹围成的图形面积为. 由平面向量数量积的定义可得， ， . ，，不同时为0. 当，时，； 当，时，； 当，时，， 当时，， ，， ∴由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， ，； 当时，， ，， ∴由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， ，. 综上所述，当时取得最大值，最大值为2. 故答案为：；2. 命题与命题的否定题型06 40．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知： 命题“”的否定是“”. 故选：D 41．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】命题“，”为全称量词命题， 其否定为：，. 故选：C 42．（2025·黑龙江·二模）已知命题；命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】D 【解析】对于命题，当时，，所以为假命题； 对于命题，因为成立，所以为假命题. 故选：D. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$