3.1 平方根导学案2025-2026学年浙教版七年级数学上册
3.1 平方根导学案
一、学习目标
- 理解平方根和算术平方根的概念，能准确区分二者的联系与区别。
- 掌握平方根和算术平方根的表示方法，会求一个非负数的平方根和算术平方根。
- 理解开平方运算与平方运算的互逆关系，能运用这一关系解决相关问题。
二、学习重难点
（一）学习重点
- 平方根和算术平方根的概念及性质。
- 求一个数的平方根和算术平方根的方法。
（二）学习难点
- 对平方根中正数有两个平方根且互为相反数的理解。
- 算术平方根的非负性在实际问题中的应用。
三、知识点自主预习填空
- 如果一个数x的平方等于a，即
=a，那么这个数x就叫做a的______（也叫做二次方根）。 - 一个正数有______个平方根，它们______；0的平方根是______；负数______平方根。
- 正数a的正的平方根，叫做a的______，记作______，读作 “根号a”；a的另一个平方根是它的______，记作______，这两个平方根合起来记作______，读作 “正、负根号a” 。
- 求一个数a的平方根的运算，叫做______，它与______互为逆运算。
- 因为
，所以9的算术平方根是______，平方根是______ 。
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四、知识点讲解
（一）平方根、算术平方根
- 概念
◦ 平方根：如果一个数x的平方等于a，
，所以负数没有平方根 。由此可知，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
◦ 算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0 。例如，9的平方根是
示（
这里的a叫做被开方数，它必须是非负数，因为在实数范围内，负数没有算术平方根 。
- 表示方法
◦ 正数a的平方根表示
。
◦ 正数a的算术平方根表示
。
- 性质
◦ 平方根的性质：正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 。
◦ 算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性，即被开方
，算术平方根
。例如，
。
- 与平方运算的关系：开平方运算与平方运算互为逆运算。已知一个数求它的平方是平方运算，
，所以25的平方根
。 - 常考易错点
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◦ 混淆平方根和算术平方根的概念，错误地认为一个正数的平方根只有一个，如错误地说9的平方根是3，忽略了-3也是9的平方根 。
◦ 忽略算术平方根的非负性，在一些方程求解中，如由
求解x，没有考虑到算术平方根不能为负，此方程无解 。
◦ 对被开方数的取值范围判断错误，例如
，实际上负数没有平方根和算术平方根 。
经典例题 1
◦ 求25的平方根和算术平方根。
◦ 已
。
解析：
◦ 
。
◦ 因
。
变式题 1
◦ 求36的平方根和算术平方根。
◦ 已
。
答案：
◦ 
。
◦ 因为
。当x - 1 = 3时，x = 4；当x - 1 = - 3时，x = - 2，所以x的值为4或-2 。
五、效果检测
- 一个正数的平方根一定有两个。（ ）
-
。（ ） - 0没有算术平方根。（ ）
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