3.1 平方根导学案2025-2026学年浙教版七年级数学上册

3.1 平方根导学案 一、学习目标 1. 理解平方根和算术平方根的概念，能准确区分二者的联系与区别。 1. 掌握平方根和算术平方根的表示方法，会求一个非负数的平方根和算术平方根。 1. 理解开平方运算与平方运算的互逆关系，能运用这一关系解决相关问题。 二、学习重难点 （一）学习重点 1. 平方根和算术平方根的概念及性质。 1. 求一个数的平方根和算术平方根的方法。 （二）学习难点 1. 对平方根中正数有两个平方根且互为相反数的理解。 1. 算术平方根的非负性在实际问题中的应用。 三、知识点自主预习填空 1. 如果一个数x的平方等于a，即=a，那么这个数x就叫做a的______（也叫做二次方根）。 1. 一个正数有______个平方根，它们______；0的平方根是______；负数______平方根。 1. 正数a的正的平方根，叫做a的______，记作______，读作 “根号a”；a的另一个平方根是它的______，记作______，这两个平方根合起来记作______，读作 “正、负根号a” 。 1. 求一个数a的平方根的运算，叫做______，它与______互为逆运算。 1. 因为，所以9的算术平方根是______，平方根是______ 。 四、知识点讲解 （一）平方根、算术平方根 1. 概念 0. 平方根：如果一个数x的平方等于a，，所以负数没有平方根 。由此可知，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 0. 算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0 。例如，9的平方根是示（这里的a叫做被开方数，它必须是非负数，因为在实数范围内，负数没有算术平方根 。 1. 表示方法 0. 正数a的平方根表示。 0. 正数a的算术平方根表示 。 14. 性质 0. 平方根的性质：正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 。 0. 算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性，即被开方，算术平方根 。例如， 。 15. 与平方运算的关系：开平方运算与平方运算互为逆运算。已知一个数求它的平方是平方运算，，所以25的平方根。 16. 常考易错点 0. 混淆平方根和算术平方根的概念，错误地认为一个正数的平方根只有一个，如错误地说9的平方根是3，忽略了-3也是9的平方根 。 0. 忽略算术平方根的非负性，在一些方程求解中，如由求解x，没有考虑到算术平方根不能为负，此方程无解 。 0. 对被开方数的取值范围判断错误，例如，实际上负数没有平方根和算术平方根 。 经典例题 1 0. 求25的平方根和算术平方根。 0. 已。 解析： 0. 。 0. 因 。 变式题 1 0. 求36的平方根和算术平方根。 0. 已。 答案： 0. 。 0. 因为。当x - 1 = 3时，x = 4；当x - 1 = - 3时，x = - 2，所以x的值为4或-2 。 五、效果检测 1. 一个正数的平方根一定有两个。（ ） 1. 。（ ） 1. 0没有算术平方根。（ ） 1. 因为。（ ） 1. 若a的平方根则a = 9。（ ） 六、归纳总结 1. 平方根：如，x是a的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数无平方根，用示正数a的平方根。 1. 算术平方根：正数a的正平方根，0的算术平方根是0，，具有双重非负性。 1. 开平方与平方互为逆运算，可利用此关系求平方根和算术平方根，同时要注意概念区分和取值范围。 7、 课后作业 1．6的算术平方根是（   ） A． B． C． D．6 2．（   ） A． B．4 C． D．2 3．2的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 4．若，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．一个正方形的面积为，则它的边长为（   ） A． B． C． D． 6．一个正方形的面积是，则这个正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 7．下列各数中没有平方根的是（    ） A． B． C． D．0 8．若与是同一个正数的两个平方根，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 9．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．的值是 ． 11．若实数，满足，则的值是 ． 12．当 时，的值最大． 13．若，写出一个符合条件的的值 ． 14．下列数字中，绝对值最大的是（  ）． A． B． C．1 D． 15．已知，，，，则的值约是 ． 16．16的平方根是 ． 17．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是 ． 18．平方根是的数是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 八、答案 （一）自主预习填空答案 1. 平方根 1. 两；互为相反数；0；没有 1. 算术平方根 1. 开平方；平方运算 1. 3； （二）效果检测答案及解析 1. √。根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，该说法正确。 1. ×。，，该说法错误。 1. ×。0的算术平方根是0，该说法错误。 1. ×。4的算术平方根平方根是正数，不是-2，该说法错误。 1. √。因为a的平方，该说法正确。 （三）课后作业答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B B C C B A C D A 1．B 【分析】本题考查了算术平方根，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，据此即可求得答案． 【详解】解：6的算术平方根是， 故选：B． 2．B 【分析】本题考查的是算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．C 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴2的算术平方根是， 故选：C． 4．C 【分析】根据算术平方根的性质得出且，即可得出，进而代入得出的值． 【详解】根据题意，得且， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的性质，熟练掌握相关概念是解题关键． 5．B 【分析】本题考查算术平方根的定义，根据正方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵一个正方形的面积为， ∴它的边长为； 故选B． 6．A 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据算术平方根的定义即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：一个正方形的面积是，则这个正方形的边长是， 故选：． 7．C 【分析】本题主要考查了平方根的定义，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根根据平方根的定义，负数没有平方根，因此只需判断各选项是否为负数即可． 【详解】解；A、，结果为正数，存在平方根，不符合题意． B、，绝对值非负，存在平方根，不符合题意． C、为负数，在实数范围内没有平方根，符合题意． D、的平方根为本身，存在平方根，不符合题意． 故选：C． 8．D 【分析】本题主要考查了平方根的概念，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵与是同一个正数的两个平方根， ∴， ∴， 故选：D． 9．A 【分析】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律，熟练掌握小数点移动的规律是解答本题的关键．当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 10． 【分析】本题考查了求算术平方根，解题的关键是掌握求解一个数的算术平方根的方法，根据算术平方根的非负性即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查算术平方根和平方的非负性质，熟练掌握非负性质是解题的关键．根据算术平方根和平方的非负性质求出，的值，再代入进行计算即可． 【详解】解：， ，， 解得：，， ． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，根据计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，的值最大， ∴， ， 故答案为： ． 13．（答案不唯一） 【分析】根据∵得到，取一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时符合题意， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术方根的性质是解题的关键． 14．D 【分析】本题考查了求绝对值，先求出各数绝对值，再比较即可. 【详解】，，， ∵ ∴ 故选D 15． 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开方数的小数点每向右移动两位，那么对应的算术平方根的小数点向右移动一位，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查的是平方根的含义，根据，从而可得答案． 【详解】解：16的平方根为． 故答案为： 17．2 【分析】本题考查平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：一个正数的两个平方根互为相反数， ， ， 故答案为：2． 18． 【分析】本题考查平方根，解题的关键是掌握平方根的定义：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根（或二次方根）． 即如果，那么叫做的平方根．据此解答即可． 【详解】解：∵ ∴平方根是的数是． 故答案为：． $$