第10讲 课题学习 图案设计（知识清单+4大题型+好题必刷）核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第10讲 课题学习 图案设计（知识清单+4大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 分析图案的形成过程 题型二 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 题型三 旋转对称图形的识别 题型四 求旋转对称图形的旋转角度 知识清单 知识点1．利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 知识点2．利用平移设计图案 确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案． 通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩． 知识点3．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 知识点4．利用旋转设计图案 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 题型练习 【题型一】分析图案的形成过程 【例1】（九年级上·全国·课后作业）下列图案都是由字母“”经过变换组合而成的，其中不是中心对称图形的是（　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个心形小孔，则展开铺平后的图案是（  　） A． B． C． D． 2．（九年级上·北京·阶段练习）如图， 在平面直角坐标系xOy中， △OCD可以看成是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△OCD的过程 ． 3．（九年级上·全国·课后作业）如图，共有7个全等的三角形，你能分析说明第1个三角形经过什么变化可以依次得到其余6个三角形吗？ 【题型二】利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 【例2】（九年级上·重庆·期末）下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（河北沧州·二模）下图由正六边形与两条对角线所组成，添加一条对角线使图形是中心对称图形，添加方法有（  ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（九年级上·全国·专题练习）我们学过图形变换的方式有 、 、 ． 3．（2024·四川广安·模拟预测）如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中按要求设计另外四个不同的图案．作图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案（不含方格纸）经过变换后与其它图案相同的视为一种设计． 【题型三】旋转对称图形的识别 【例3】（2025·江苏苏州·二模）下列图形中是旋转对称图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三】 1．如图的四个图形中，由基础图形通过平移、旋转或轴对称这三种变换都能得到的是（　　） A． B． C． D． 2．（九年级上·内蒙古兴安盟·期末）在下列四种图形变换中，如图图案包含的变换是（   ） A．平移、旋转和轴对称 B．轴对称和平移 C．平移和旋转 D．旋转和轴对称 3．（贵州黔西·中考真题）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题： （1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________； A．矩形    B．正五边形    C．菱形    D．正六边形 （2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；    （3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（    ）个； A．0    B．1    C．2    D．3 （4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整． 【题型四】求旋转对称图形的旋转角度 【例4】．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，五角星图案围绕中心旋转，至少旋转多少度才能与自身重合（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度后能够与它本身重合，则旋转角度不可能为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，五角星图案绕着它的中心O旋转后第一次与自身重合，则n的值为 ． 3．如图是香港特别行政区区旗上的紫荆花图案，它绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为 ． 好题必刷 一、单选题 1．下列图案中，可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将正方形图案绕中心旋转后，得到的图案是（   ） A． B． C． D． 3．如图，双鱼图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①1次旋转；②2次平移；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号为（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 4．关于这一图案，下列说法正确的是（　　） A．图案乙是由甲绕BC的中点旋转180°得到的 B．图案乙是由甲绕点C旋转108°得到的 C．图案乙是由甲沿AB方向平移3个边长的距离得到的 D．图案乙是由甲沿直线BC翻转180°得到的 5．用四个相同的等腰直角三角形，不可能组成的图形是（   ） A．长方形 B．三角形 C．直角梯形 D．平行四边形 6．如图是5个小正方形纸片拼成的图形，现将其中一个小正方形纸片平移，使它与原图中剩下的小正方形纸片有一条或两条边重合后拼成一个轴对称图形，在拼出的所有不同位置的轴对称图形中，全等的图形共有（    ） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 7．如图，8×8方格纸的两条对称轴EF，MN相交于点O，图a到图b的变换是（ ）    A．绕点O旋转180° B．先向上平移3格，再向右平移4格 C．先以直线MN为对称轴作轴对称，再向上平移4格 D．先向右平移4格，再以直线EF为对称轴作轴对称 8．如图是经典微信表情，下列选项是由该图经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 9．如果把一个图形绕某一点旋转一定角度后，能与原来的图形重合，那么这个图形叫作旋转对称图形．如图是一个旋转对称图形，以为旋转中心，下列旋转角度中，能使旋转后的图形与原图形重合的是（    ）． A． B． C． D． 10．已知：如图，E是正方形的边上任意一点，F是边上的点，且平分．则（    ） A． B． C． D．与的大小不确定 二、填空题 11．我们学过图形变换的方式有 、 、 ． 12．如图，该图案绕着中心至少旋转 才能与自身重合． 13．如图是香港特别行政区区旗上的紫荆花图案，它绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为 ． 14．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0）、点B（﹣1，3），将点B绕点A顺时针旋转90°后得点C，则点C的坐标为 ． 15．如图，第、、、…中分别有“小正方形”个、个、个、个…，则第幅图中有“小正方形” 个． 16．如图：为五个等圆的圆心，且在一条直线上，请在图中画一条直线，将这五个圆分成面积相等的两个部分，并说明这条直线经过的两点是 ． 17．在直角坐标系中，已知A（4，0）、B（0，－3）、C（6，5）、�D（－3，4），作出A、B、C、D点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标． A（4，0），A′ B（0，-3），B′ C（6，5），C′ D（－3，4），D′ 18．如图，请画出一个图形经过两次轴对称变换之后得到的图形，其中图①中的两条对称轴是平行的，图②中的两条对称轴是垂直的．仔细观察上面的两个图形经过两次轴对称变换之后得到的图形．图①中的图形除经过两次轴对称变换得到之外，还可以通过我们学过的 变换得到，图②中的图形还可以通过 变换得到． 三、解答题 19．为了灵活地拼接书桌以举行各种活动，某学校阅览室特意设计了一种书桌，桌面形状如图所示． （1）将4张这样的书桌拼接成一个图案，并与同伴交流； （2）你能说说这个桌面是如何设计的吗？请仿照这个桌面设计一个可以随意拼接的桌面． 20．如图，下列网格图都是由个相同小正方形组成，每个网格图中有个小正方形已涂上阴影，按下列要求涂上阴影． (1)在图中选取个空白小正方形涂上阴影，使个阴影小正方形组成一个中心对称图形； (2)在图中选取个空白小正方形涂上阴影，使个阴影小正方形组成一中心对称图形．请将两个小题依次作答在图，图中，均只需画出符合条件的一种情形 21．在平面直角坐标系中，将坐标为的点用线段依次连接起来得到一个图案N． （1）将图案N向左平移3个单位长度，画出平移后的图案； （2）将图案N向下平移4个单位长度，画出平移后的图案； （3）将图案N先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出第二次平移后的图案； （4）画出图案N关于横轴对称的图案； （5）画出图案N关于纵轴对称的图案； （6）以原点为对称中心，画出与图案N成中心对称的图案． 22．按下面的步骤，可以得到一个很别致的图案： （1）准备一张正三角形纸片； （2）把纸片任意撕成两部分（如图①､图②）； （3）以图①中原正三角形的一边为对称轴，画出与图①成轴对称的图形（如图③），并将新画出的图形以正三角形的一个顶点作为旋转中心旋转，得到图④（图②保持不动）； （4）把图④平移到图②的右边，得到图⑤； （5）对图⑤进行适当的修饰，便得到一个别致的图案⑥． 仿照上述步骤具体做一做，并将你的设计与同伴交流． 23．如图，方格纸中有两个形状、大小都相同的三角形，通过怎样的图形变换可以使其中一个三角形与另一个三角形重合？请描述图形变换的过程． 24．如图，矩形中，，，在下列所给的3个矩形中分别画1个菱形（大致准确的示意图），要求菱形的顶点都在矩形的边上，且使整个图形分别符合下列条件：图①菱形一边为；图②既是中心对称图形又是轴对称图形且菱形四个顶点落在矩形不同边上；图③是中心对称图形但不是轴对称图形且菱形面积最大．并请在横线上直接写出各菱形的面积． 25．用四块如图1所示的正方形瓷砖拼成一个新的正方形，请你在图2，、图3、图4中各画一种拼法.要求：其中一个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；一个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；一个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形. 26．思考下列哪些图形可以经过复制自己拼成图一（可以翻折或旋转） 例如选择C就可以经过复制自己拼成图一，如图二所示，请模仿图二，另选两个完成下面两图． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 课题学习 图案设计（知识清单+4大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 分析图案的形成过程 题型二 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 题型三 旋转对称图形的识别 题型四 求旋转对称图形的旋转角度 知识清单 知识点1．利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 知识点2．利用平移设计图案 确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案． 通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩． 知识点3．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 知识点4．利用旋转设计图案 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 题型练习 【题型一】分析图案的形成过程 【例1】（九年级上·全国·课后作业）下列图案都是由字母“”经过变换组合而成的，其中不是中心对称图形的是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分析图案的形成过程 【详解】把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，B选项的图形要绕中心旋转72°的整数倍才能与原图形重合. 故选B. 【举一反三】 1．将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个心形小孔，则展开铺平后的图案是（  　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分析图案的形成过程 【分析】根据题中所给剪纸方法，进行手动操作，答案就能很直观的呈现. 【详解】按照图中顺序进行操作，展开后心形图案应该靠近正方形上下两边，且关于中间折线对称，故只有B选项符合. 故选B. 【点睛】本题考查剪纸问题，解决此类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴，一般的方法是动手操作，拿张纸按照题中的要求进行操作. 2．（九年级上·北京·阶段练习）如图， 在平面直角坐标系xOy中， △OCD可以看成是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△OCD的过程 ． 【答案】将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度 【知识点】分析图案的形成过程 【分析】根据平移、旋转的性质即可得到由△AOB得到△OCD的过程． 【详解】解：将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△OCD， 故答案为：将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，坐标与图形变化-平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度． 3．（九年级上·全国·课后作业）如图，共有7个全等的三角形，你能分析说明第1个三角形经过什么变化可以依次得到其余6个三角形吗？ 【答案】见解析． 【知识点】分析图案的形成过程 【分析】根据所给的图形及其位置，运用平移、旋转的知识即可作出说明． 【详解】解：如图，标注三角形的一个顶点如下， 先向右平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°； ：先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后绕旋转180°； ：向下平移1个单位长度； ：先向下平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°； ：先向下平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°； ：先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后绕逆时针旋转90°．（答案不唯一） 【点睛】本题考查利用旋转、平移的知识，注意仔细观察图形及语言的规范性是解题的关键． 【题型二】利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 【例2】（九年级上·重庆·期末）下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 【分析】由平移的性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可知，C选项的图案是通过平移得到的； A、B、D中的图案不是平移得到的； 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是掌握图案的平移进行解题． 【举一反三】 1．（河北沧州·二模）下图由正六边形与两条对角线所组成，添加一条对角线使图形是中心对称图形，添加方法有（  ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 【分析】根据中心对称图形的性质作答即可． 【详解】解：如图，根据题意，添加一条对角线使图形是中心对称图形的方法只有一种方法， ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 2．（九年级上·全国·专题练习）我们学过图形变换的方式有 、 、 ． 【答案】 平移 旋转 轴对称 【知识点】 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 【解析】略 3．（2024·四川广安·模拟预测）如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中按要求设计另外四个不同的图案．作图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案（不含方格纸）经过变换后与其它图案相同的视为一种设计． 【答案】见解析 【知识点】 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 【分析】本题考查利用旋转或者轴对称设计方案的知识．根据轴对称图形及中心对称图形的概念，设计图案即可． 【详解】解：所画图形如图所示． ． 【题型三】旋转对称图形的识别 【例3】（2025·江苏苏州·二模）下列图形中是旋转对称图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】旋转对称图形的识别 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 根据旋转对称图形的定义对四个图形进行分析即可． 【详解】解：第一个旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形； 第二个旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形； 第三个不是旋转对称图形． 第四个旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形． ∴是旋转对称图形有3个． 故选：C． 【举一反三】 1．如图的四个图形中，由基础图形通过平移、旋转或轴对称这三种变换都能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形的平移、轴对称图形的识别、旋转对称图形的识别 【分析】根据几何变换的几个类型的特征分别对各选项进行判断． 【详解】解：A、图形只能通过旋转变换得到，所以A选项错误； B、图形通过平移、旋转或轴对称变换都能得到，所以B选项正确； C、图形不能通过平移、旋转或轴对称变换得到，所以C选项错误； D、图形只能通过平移变换得到，所以D选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了几何变换的类型：平移变换；轴对称变换；旋转变换． 2．（九年级上·内蒙古兴安盟·期末）在下列四种图形变换中，如图图案包含的变换是（   ） A．平移、旋转和轴对称 B．轴对称和平移 C．平移和旋转 D．旋转和轴对称 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别、旋转对称图形的识别、 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 【分析】根据图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，里外各一个顺时针旋转8次，可得答案． 【详解】解：图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，得轴对称． 里外各一个顺时针旋转8次，得旋转． 故选：D． 【点睛】本题考查了几何变换的类型，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 3．（贵州黔西·中考真题）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题： （1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________； A．矩形    B．正五边形    C．菱形    D．正六边形 （2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；    （3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（    ）个； A．0    B．1    C．2    D．3 （4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整． 【答案】（1）B；（2）(1)(3)(5)；（3）C；（4）见解析 【知识点】 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案、求旋转对称图形的旋转角度、旋转对称图形的识别 【分析】（1）根据旋转对称图形的定义进行判断； （2）先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断； （3）根据旋转对称图形的定义进行判断； （4）利用旋转对称图形的定义进行设计． 【详解】解：（1）矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形，但正五边形不是中心对称图形， 故选：B． （2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有(1)(3)(5)． 故答案为：(1)(3)(5)． （3）①中心对称图形，旋转180°一定会和本身重合，是旋转对称图形；故命题①正确； ②等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后，不一定能与自身重合，只有等边三角形是旋转对称图形，故②不正确； ③圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋转对称图形；故命题③正确； 即命题中①③正确， 故选：C． （4）图形如图所示： 【点睛】本题考查旋转对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【题型四】求旋转对称图形的旋转角度 【例4】．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，五角星图案围绕中心旋转，至少旋转多少度才能与自身重合（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【分析】本题考查了旋转图形，由旋转图形得，即可求解；理解旋转图形的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 至少旋转才能与自身重合； 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度后能够与它本身重合，则旋转角度不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【分析】本题考查了旋转对称图形、正多边形的性质．先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可． 【详解】解：， 则这个图案绕着它的中心旋转或的倍数后能够与它本身重合， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 2．（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，五角星图案绕着它的中心O旋转后第一次与自身重合，则n的值为 ． 【答案】72 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【分析】观察图形，得五角星图案可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．此题主要考查旋转的应用，解题的关键是熟知旋转的性质． 【详解】解：观察图形，五角星图案可以被平分成五部分， ∴，即旋转72度的整数倍，就可以与自身重合， ∵五角星图案绕着它的中心O旋转后第一次与自身重合， ∴， 故答案为：72． 3．如图是香港特别行政区区旗上的紫荆花图案，它绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为 ． 【答案】72 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【分析】本题考查了旋转性质，涉及周角为，据此作答，观察出该图形被平分成五部分，这五部分完全重合是解题的关键． 【详解】解：因为该图形被平分成五部分，这五部分完全重合， 所以每个部分形成的角度：． 即旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为72． 故答案为：72． 好题必刷 一、单选题 1．下列图案中，可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平移设计图案，确定一个基本图案，按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案，进而可得答案． 【详解】解：A、不能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故不符合题意； B、不能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故不符合题意； C、能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故符合题意； D、不能看成由某一个基本图形通过平移形成的，故不符合题意； 故选：C． 2．如图，将正方形图案绕中心旋转后，得到的图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的定义进行分析即可解答 【详解】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等， 分析选项，可得正方形图案绕中心旋转后，得到的图案是． 故选：． 【点睛】本题考查了图纸旋转的性质,熟练掌握是解题的关键. 3．如图，双鱼图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①1次旋转；②2次平移；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号为（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换，掌握旋转、平移、轴对称的性质是关键． 根据图形变换，数形结合分析即可判定． 【详解】解：根据题意，其中一条“鱼”经过1次旋转可以与另一条“鱼”重合，或者其中一条“鱼”沿着对称轴折叠，再沿着对称轴折叠可以与另一条“鱼”重合， ∴经过①③的变换即可， 故选：A ． 4．关于这一图案，下列说法正确的是（　　） A．图案乙是由甲绕BC的中点旋转180°得到的 B．图案乙是由甲绕点C旋转108°得到的 C．图案乙是由甲沿AB方向平移3个边长的距离得到的 D．图案乙是由甲沿直线BC翻转180°得到的 【答案】A 【详解】解：如图所示：可得图案乙是由甲绕BC的中点旋转180°得到的．故选A． 5．用四个相同的等腰直角三角形，不可能组成的图形是（   ） A．长方形 B．三角形 C．直角梯形 D．平行四边形 【答案】C 【分析】本题考查图形设计，根据长方形、等腰直角三角形、平行四边形性质设计图形即可得到答案，熟练掌握相关几何性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、用四个相同的等腰直角三角形可以组成长方形，如图所示：    B、用四个相同的等腰直角三角形可以组成三角形，如图所示：    C、用四个相同的等腰直角三角形不可以组成梯形，符合题意； D、用四个相同的等腰直角三角形可以组成平行四边形，如图所示：    故选：C． 6．如图是5个小正方形纸片拼成的图形，现将其中一个小正方形纸片平移，使它与原图中剩下的小正方形纸片有一条或两条边重合后拼成一个轴对称图形，在拼出的所有不同位置的轴对称图形中，全等的图形共有（    ） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 【答案】D 【分析】将其中一个小正方形纸片平移，使它与原图中剩下的小正方形纸片有一条或两条边重合后拼成一个轴对称图形，依据全等形的特点进而得出结论． 【详解】解：如图所示： 在拼出的所有不同位置的轴对称图形中，全等的图形共有3对， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了利用平移设计图案，轴对称的性质，全等形的特点，确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案，通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩． 7．如图，8×8方格纸的两条对称轴EF，MN相交于点O，图a到图b的变换是（ ）    A．绕点O旋转180° B．先向上平移3格，再向右平移4格 C．先以直线MN为对称轴作轴对称，再向上平移4格 D．先向右平移4格，再以直线EF为对称轴作轴对称 【答案】D 【详解】观察图形，把图形b关于EF对称后的图形与a的位置一致，然后在把该图形向左平移四个小方格就可得到图形a, ∴图a到图b的变换是先向右平移4格，再以直线EF为对称轴作轴对称， 故选D 【点睛】本题考查图形的变换，掌握对称和平移的概念和特征是解本题的关键，本题属基础题 8．如图是经典微信表情，下列选项是由该图经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的定义和旋转的性质进行判断． 【详解】解：A．由平移变换得到，故本选项不合题意； B．由轴对称变换得到，故本选项不合题意； C．由旋转变换得到，故本选项符合题意； D．由轴对称变换和旋转变换得到，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查平移的定义和旋转的性质，解答此题要明确平移和旋转的性质：（1）平移：①经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；②平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形）．（2）旋转：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等． 9．如果把一个图形绕某一点旋转一定角度后，能与原来的图形重合，那么这个图形叫作旋转对称图形．如图是一个旋转对称图形，以为旋转中心，下列旋转角度中，能使旋转后的图形与原图形重合的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，旋转角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据旋转后与原图形重合，找出对应的旋转角即可解答． 【详解】解：由题意知， 旋转后与原图形重合， 故选：C． 10．已知：如图，E是正方形的边上任意一点，F是边上的点，且平分．则（    ） A． B． C． D．与的大小不确定 【答案】B 【分析】先延长DC到G，使CG=AF，连接BG，易证△ABF≌△CBG，得∠5=∠G，∠1=∠3，进而证明∠EBG=∠G，进而证明BE=CG+CE=AF+CE． 【详解】证明：延长DC到G，使CG=AF，连接BG ∵AB=BC，∠A=∠BCG=90°， ∴△ABF≌△CBG， ∴∠5=∠G，∠1=∠3， ∵∠1=∠2， ∴∠2=∠3， ∴∠2+∠4=∠3+∠4， 即∠FBC=∠EBG， ∵AD∥BC， ∴∠5=∠FBC=∠EBG， ∴∠EBG=∠G， ∴BE=CG+CE=AF+CE． 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，用到的知识点是正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的性质，本题中求证∠EBG=∠G是解题的关键． 二、填空题 11．我们学过图形变换的方式有 、 、 ． 【答案】 平移 旋转 轴对称 【解析】略 12．如图，该图案绕着中心至少旋转 才能与自身重合． 【答案】45 【分析】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的概念与特征是解答此题的关键．根据旋转对称图形的概念与特征，求出最小旋转角即可． 【详解】解：根据已知图形可知，图形是旋转对称图形，最小旋转角为：， ∴图形绕中心至少旋转与自身重合； 故答案为：45． 13．如图是香港特别行政区区旗上的紫荆花图案，它绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为 ． 【答案】72 【分析】本题考查了旋转性质，涉及周角为，据此作答，观察出该图形被平分成五部分，这五部分完全重合是解题的关键． 【详解】解：因为该图形被平分成五部分，这五部分完全重合， 所以每个部分形成的角度：． 即旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为72． 故答案为：72． 14．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0）、点B（﹣1，3），将点B绕点A顺时针旋转90°后得点C，则点C的坐标为 ． 【答案】（5，3） 【分析】利用网格特点和旋转的性质画出点B的对应点C，然后写出C点坐标． 【详解】解：如图，点C为所作． 故答案为（5，3）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 15．如图，第、、、…中分别有“小正方形”个、个、个、个…，则第幅图中有“小正方形” 个． 【答案】109 【分析】仔细观察图形的变化规律，利用规律解答即可. 【详解】解：观察发现： 第（1）个图中有1×2-1=1个小正方形； 第（2）个图中有2×3-1=5个小正方形； 第（3）个图中有3×4-1=11个小正方形； 第（4）个图中有4×5-1=19个小正方形； … 第（10）个图中有10×11-1=109个小正方形； 故答案为109. 【点睛】此题考查图形的变化规律，利用图形之间的联系，得出数字的运算规律解决问题. 16．如图：为五个等圆的圆心，且在一条直线上，请在图中画一条直线，将这五个圆分成面积相等的两个部分，并说明这条直线经过的两点是 ． 【答案】D与 【分析】平分5个圆，那么每份应是2.5，由过平行四边形中心的任意直线都能平分平行四边形的面积，应先作出平行四边形的中心，再把第5个圆平分即可． 【详解】点D恰好是平行四边形的中心， 则这里过D和O3即可． 故答案为：D和O3． 【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图以及平行四边形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 17．在直角坐标系中，已知A（4，0）、B（0，－3）、C（6，5）、�D（－3，4），作出A、B、C、D点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标． A（4，0），A′ B（0，-3），B′ C（6，5），C′ D（－3，4），D′ 【答案】 （－4， 0） （ 0， 3） （－6，－5） （ 3，－4） 【解析】略 18．如图，请画出一个图形经过两次轴对称变换之后得到的图形，其中图①中的两条对称轴是平行的，图②中的两条对称轴是垂直的．仔细观察上面的两个图形经过两次轴对称变换之后得到的图形．图①中的图形除经过两次轴对称变换得到之外，还可以通过我们学过的 变换得到，图②中的图形还可以通过 变换得到． 【答案】 平移 旋转 【分析】根据轴对称是沿某条直线翻折得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，可得答案． 【详解】如图： ， 图①中的图形除经过两次轴对称变换得到之外，还可以通过我们学过的 平移变换得到，图②中的图形还可以通过 旋转变换得到， 故答案为平移，旋转． 【点睛】本题考查了几何变换的类型，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 三、解答题 19．为了灵活地拼接书桌以举行各种活动，某学校阅览室特意设计了一种书桌，桌面形状如图所示． （1）将4张这样的书桌拼接成一个图案，并与同伴交流； （2）你能说说这个桌面是如何设计的吗？请仿照这个桌面设计一个可以随意拼接的桌面． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）利用平移旋转作图求解即可； （2）根据镶嵌的知识设计的，利用平移旋转作图求解即可． 【详解】解：（1）如图所示， （2）桌面的设计：当阅览室人数少时，每张桌子可以单独成立，把正方形变成圆形，当阅览室人数多时，就可以把中间变成正方形，周围是圆形，几张桌子拼接在一起． 设计如图所示： 【点睛】此题考查了平面图形的镶嵌的有关知识，解题的关键是熟练掌握图形的镶嵌． 20．如图，下列网格图都是由个相同小正方形组成，每个网格图中有个小正方形已涂上阴影，按下列要求涂上阴影． (1)在图中选取个空白小正方形涂上阴影，使个阴影小正方形组成一个中心对称图形； (2)在图中选取个空白小正方形涂上阴影，使个阴影小正方形组成一中心对称图形．请将两个小题依次作答在图，图中，均只需画出符合条件的一种情形 【答案】(1)利用中心对称图形的定义分析得出答案，见解析． (2)利用中心对称图形的定义分析得出答案，见解析． 【分析】中心对称图形是指绕着中心点旋转图形两部分完全重合，根据题目中的图形先作出对称中心，即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示，中心对称图形是指绕着中心点旋转 上半部的左侧与下半部分的右侧，上半部的右侧与下半部分的左侧重合，中心点在如图所示的位置， （2）解：如图所示，旋转180°后上半部的左侧与下半部分的右侧，上半部的右侧与下半部分的左侧重合，中心点在如图所示的位置， 【点睛】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握中心对称图形的定义是解题关键． 21．在平面直角坐标系中，将坐标为的点用线段依次连接起来得到一个图案N． （1）将图案N向左平移3个单位长度，画出平移后的图案； （2）将图案N向下平移4个单位长度，画出平移后的图案； （3）将图案N先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出第二次平移后的图案； （4）画出图案N关于横轴对称的图案； （5）画出图案N关于纵轴对称的图案； （6）以原点为对称中心，画出与图案N成中心对称的图案． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；（5）见解析；（6）见解析． 【分析】（1）把所有的点左平移3个单位长度即可； （2）把所有的点向下平移4个单位长度即可； （3）把所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度即可； （4）画出所有的点关于x轴的对称点即可； （5）画出所有的点关于y轴的对称点即可； （6）画出所有的点关于原点的对称点即可． 【详解】解：（1）将图案N向左平移3个单位长度，平移后的图案如图1所示： （2）将图案N向下平移4个单位长度，平移后的图案如图2所示： （3）将图案N先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，第二次平移后的图案如图3所示： （4）图案N关于横轴对称的图案如图4所示： （5）图案N关于纵轴对称的图案如图5所示： （6）以原点为对称中心，与图案N成中心对称的图案如图6所示： 【点睛】本题考查利用平移、旋转、轴对称设计图案，解题的关键是理解平移、旋转、轴对称的性质，属于中考作图题目中常考题型． 22．按下面的步骤，可以得到一个很别致的图案： （1）准备一张正三角形纸片； （2）把纸片任意撕成两部分（如图①､图②）； （3）以图①中原正三角形的一边为对称轴，画出与图①成轴对称的图形（如图③），并将新画出的图形以正三角形的一个顶点作为旋转中心旋转，得到图④（图②保持不动）； （4）把图④平移到图②的右边，得到图⑤； （5）对图⑤进行适当的修饰，便得到一个别致的图案⑥． 仿照上述步骤具体做一做，并将你的设计与同伴交流． 【答案】答案见解析 【分析】本题为开放性试题，答案不唯一．读懂题意，根据平移，旋转、轴对称图形的性质、特点可以将正三角形改为矩形模仿步骤作出图形即可． 【详解】按下面的步骤，可以得到一个很别致的图案： （1）准备一张矩形纸片； （2）把纸片任意撕成两部分（如图①､图②）； （3）以图②中原矩形的一边为对称轴，画出与图②成轴对称的图形（如图③），并将新画出的图形以矩形的一个顶点作为旋转中心旋转，得到图④（图①保持不动）； （4）把图④平移到图①的左边，得到图⑤； （5）对图⑤进行适当的修饰，便得到一个别致的图案⑥． 【点睛】本题考查复杂作图．掌握平移，旋转、轴对称图形的性质、特点以及读懂题意是解答本题的关键． 23．如图，方格纸中有两个形状、大小都相同的三角形，通过怎样的图形变换可以使其中一个三角形与另一个三角形重合？请描述图形变换的过程． 【答案】见详解（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了旋转变换、平移变换以及轴对称变换，正确理解题意是解题关键．结合旋转的性质、平移的性质以及轴对称的性质，分析解答即可． 【详解】解：如下图， 首先将右侧绕点逆时针旋转至的位置，再将其向下平移一个单位长度，向右平移一个单位长度，然后利用轴对称向左翻折，即可与左侧的三角形重合．（答案不唯一） 24．如图，矩形中，，，在下列所给的3个矩形中分别画1个菱形（大致准确的示意图），要求菱形的顶点都在矩形的边上，且使整个图形分别符合下列条件：图①菱形一边为；图②既是中心对称图形又是轴对称图形且菱形四个顶点落在矩形不同边上；图③是中心对称图形但不是轴对称图形且菱形面积最大．并请在横线上直接写出各菱形的面积． 【答案】36；24； 【分析】根据题意画出满足条件的菱形，然后计算面积即可． 【详解】解：如下图所示： ， ， 在符合③的图形中，设菱形的边长为a， 则， 解得：， ， 故答案为：36；24；． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质、勾股定理、解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解题． 25．用四块如图1所示的正方形瓷砖拼成一个新的正方形，请你在图2，、图3、图4中各画一种拼法.要求：其中一个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；一个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；一个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形. 【答案】图见解析 【分析】轴对称图形是指在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形. 【详解】解：如图所示：图2既是轴对称图形，又是中心对称图形；图3是轴对称图形，但不是中心对称图形；图4是中心对称图形，但不是轴对称图形. 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，注意两个概念的区别. 26．思考下列哪些图形可以经过复制自己拼成图一（可以翻折或旋转） 例如选择C就可以经过复制自己拼成图一，如图二所示，请模仿图二，另选两个完成下面两图． 【答案】见解析 【分析】由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称等方法变换出一些图案．利用翻折或旋转变换，即可得到图案． 【详解】解：如图三所示，选择E就可以经过复制自己拼成图一；如图四所示，选择F就可以经过复制自己拼成图一. 【点睛】本题主要考查了利用翻折或旋转变换设计图案，由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复杂图案. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$