第三章概率的进一步认识章末练习作业 2025-2026学年 北师大版九年级数学上册

第三章概率的进一步认识章末练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数最有可能是（    ） A．4 B．5 C．8 D．12 2．在不透明的袋子里装有颜色不同的6个红球和6个白球，每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率最有可能接近的数值为（    ） A．1.25 B．0.98 C．0.52 D．0.03 3．两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 4．在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2，那么可以估算出m的值为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 5．如图，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，两个转盘停止后，指针（如果落在分隔线上，则重新转动，直至转到其中一块区域）都不落在“1”区域的概率是（    ） A． B． C． D． 6．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小豫为了深入了解“二十四节气”，购买了若干张“二十四节气”主题邮票，他将2张“立春”和2张“立夏”背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），从中随机抽取一张（不放回）．再从中随机抽取一张，则小豫抽到的两张邮票恰好不同的概率是（    ） A． B． C． D． 7．如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（　　） A． B． C． D．1 8．在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色 9．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球，请估计这个口袋中白球的数量为（  ） A．7 B．6 C．4 D．3 二、填空题 10．某学习小组做抛掷一枚瓶盖的试验，整理的试验数据如下表： 累计抛掷次数 盖面朝上次数 盖面朝上频率 50 28 100 54 200 106 300 158 500 264 1000 527 2000 1056 3000 1587 5000 2650 随着抛掷次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于常数 （结果精确到）． 11．毕业生小星、小华和小红准备拍照，他们三人随意站成一排，小华恰好站在中间的概率是 ． 12．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球 个． 13．如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜． 若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是 ．（只填一种方案即可） 14．某疫苗接种点有北京生物，科兴中维，武汉生物三个厂家可供市民随机选择，若张先生和李小姐对这三种疫苗都不了解，那么张先生和李小姐选择同一厂家的概率为 ． 15．小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏．三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现两个正面向上和一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上和两个反面向上，则小文赢．有下列说法：①小强赢的概率最小；②小文和小亮赢的概率相等；③小文赢的概率是；④这是一个公平的游戏．其中，正确的是 （填序号）． 三、解答题 16．一个箱子里共3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同． (1)从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是______； (2)从箱子中任意摸出一个球后，放回箱子，搅匀后再摸出一个球，请画树状图或列表求2次摸出的球都是白球的概率． (3)小明向箱中放入n个红球后搅匀，然后从箱子中随机摸出一个球是白球的概率为，求n的值． 17．一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4． (1)从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率（直接写出结果）； (2)先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为y．请用列表或画树状图法，求由x，y确定的点在函数的图象上的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第三章概率的进一步认识章末练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C C C D A D B D D 1．C 【分析】通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，说明摸出红球的概率为0.4，由此结合概率公式进行计算求解即可． 【详解】解：由题意，摸出红球的概率为0.4， ∴袋子中红球的个数最有可能是（个）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，理解并熟练运用概率公式是解题关键． 2．C 【分析】本题考查了概率的意义，一般地，在大量重复实验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件的概率，记为．明确概率的意义是解答的关键． 【详解】解：由题意可知摸到白球的概率， 则白球的频率稳定在0.5附近， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查频率的计算，根据频数、频率的定义，确定各选项中，符合条件的对象的频率，作出判断． 【详解】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动， A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率约为，不合题意； B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率为，不合题意； C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率约为，符合题意； D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为，不合题意； 故选：C． 4．D 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可． 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2， ∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.2， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率． 5．A 【分析】根据题意先列表，得出所有可能出现的情况数和配成紫色的情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意列表如下： 1 2 3 1 （1，1） （1，2） （1，3） 2 （2，1） （2，2） （2，3） 上面等可能出现的6种结果中，有2种情况都不落在“1”区域， 故都不落在“1”区域的概率是， 故选：A． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 6．D 【分析】本题考查列表法与画树状图法求概率，理解题意，画出相应的树状图是解题的关键．根据题意，可以画出相应的树状图，求得所有可能得结果数，以及抽到的两张邮票恰好不同的情况数，由于是等可能性，从而可以得到小豫抽到的两张邮票恰好不同的概率． 【详解】解：设“立春”用表示，“立夏”用表示，画树状图如下， 由图可得，一共有12种等可能结果， 其中小豫抽到的两张邮票恰好不同的情况有8种， 小豫抽到的两张邮票恰好不同的概率为． 故选：D． 7．B 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把S1、S2、S3分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即AB、AC、BA、CA， ∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为． 故选：B． 【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，列出树状图是解题的关键． 8．D 【分析】此题考查了频率估计概率，根据“频率频数总次数”计算求解即可估算概率，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据某种颜色的球出现的频率如图约为， 摸到红球出现的频率， 摸到黄球出现的频率， 摸到蓝球出现的频率， 摸到绿球出现的频率， ∴该球的颜色最有可能是绿球， 故选：． 9．D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题关键．利用利用频率估计概率可得从口袋中随机摸出一个球是白球的概率，据此求解即可得． 【详解】解：由题意可知，从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是， 则从口袋中随机摸出一个球是白球的概率， 所以估计这个口袋中白球的数量为， 故选：D． 10． 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率． 根据图表中数据解答本题即可． 【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近（结果精确到）， 故答案为：． 11． 【分析】列举出所有情况，让小红恰好排在中间的情况数除以总情况数即为所求的概率． 【详解】设小星、小华和小红为A、B、C，排列方式有：A、B、C；A、C、B；B、A、C；B、C、A；C、A、B；C、B、A． ∵共有6种等可能的结果，小华恰好站在中间的情况有2种， ∴小华恰好站在中间的概率为， 故答案为： 【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，正确列出所有等可能情况数及所求情况数并熟练掌握概率公式是解题关键． 12．32 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，可根据“黑球数量÷黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数” 【详解】解：设盒子里有白球x个， 根据 得： 解得：． 经检验得是方程的解． 答：盒中大约有白球32个． 故答案为：32． 13． 甲 取走标记5，6，7的卡片（答案不唯一） 【分析】由游戏规则分析判断即可作出结论． 【详解】解：若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，为4，5或5，6，则剩余的卡片为1，6或1，4，然后乙只能取走一张卡片，最后甲将一张卡片取完，则甲一定获胜； 若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下： 乙取走5，6，7，则甲再取走4和8中的一个，最后乙取走剩下的一个，则乙一定获胜， 故答案为：甲；5，6，7（答案不唯一）． 【点睛】本题考查游戏公平性，理解游戏规则是解答的关键． 14． 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和甲被派到B小区，同时乙被派到D小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：将北京生物、科兴中维，武汉生物三厂家的疫苗分别记作A、B、C，画树状图如下： 所有可能出现的结果共有9种，即AA、AB、AC、 BA、BB、BC、CA、CB、CC ； 共有9种等可能的结果，其中张先生和李小姐选择同一厂家的疫苗的结果有3种， ∴张先生和李小姐选择同一厂家的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，根据题意画出树状图或列出表格表示所有情况是解题的关键． 15．①②③ 【分析】利用树状图得出三人分别赢得概率，然后依次判断即可． 【详解】解：画树状图得： 所以共有8种可能的情况. 三个正面向上或三个反面向上的情况有2种，所以P（小强赢）==； 出现2个正面向上一个反面向上的情况有3种，所以P（小亮赢）=； 出现一个正面向上2个反面向上的情况有3种，，所以P（小文赢）=， ∵， ∴小强赢的概率最小，①正确； 小亮和小文赢的概率均为，②正确； 小文赢的概率为，③正确； 三个人赢的概率不一样，这个游戏不公平，④错误； 故答案为：①②③． 【点睛】题目主要考查利用树状图求概率，熟练掌握运用树状图求概率的方法是解题关键． 16．(1) (2) (3)5 【分析】（1）用白球个数除以球的总个数即可； （2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是白球的结果数，然后根据概率公式求解； （3）用白球个数除以摸出白球的概率进而求出总的求个数，再减去原有的球个数3即可求解． 【详解】（1）， 即摸出白球的概率为， 故答案为：； （2）画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是白球的结果数为4， 即两次都是摸出白球的概率为：； （3）加入红球后球的总个数：， 则加入红球的个数为：， 即n值为5． 【点睛】本题考查了用概率公式求解概率、采用树状图法或列表法列举求解概率以及根据概率求数量的知识，掌握用树状图法或列表法列举求解概率是解答本题的关键． 17．(1)P（奇数） (2)P（点在函数的图象上） 【分析】（1）直接利用简单事件的概率公式计算可得； （2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与由x，y确定的点在函数的图象上的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）解：P（奇数） （2）解：列表得： xy 1 2 3 4 1 2 3 4 共有12种等可能的结果，其中点在函数的图象上的有2种， ∴.P（点在函数的图象上） 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意区分所摸球是放回实验还是不放回实验是解题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$