第七章 4 事件的独立性-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

§４　事件的独立性 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．在概率论中,独立性也是极其重要的概念,它 的主要作用是简化概率计算 ２．注意区分两个事件相互独立与两个事件互斥 这两个概念 ３．学会并掌握如何用事件的独立性计算随机事 件的概率 对事件的相互独立性的考查是高考的热点, 强调对事件的理解和独立性的判断,聚焦逻 辑推理和数学运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　三个臭皮匠抵一个诸葛亮． 已知诸葛亮解出某道题的概率为０．８５,甲、 乙、丙能解出该道题的概率分别为 ０．４, ０．５,０．６,请比较臭皮匠团队解出该道题与 诸葛亮解出该道题的概率的大小． [知识梳理] [知识点一]　相互独立事件的概念和性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．定义 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的 　　　　没有影响,这样的两个事件叫作相互 独立事件． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．事件独立性的含义是什么? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．计算公式 两个相互独立事件同时发生的概率等于这 两个事件发生的概率的积,即 P(AB)＝ P(A)P(B)． ３．性质 如果两个事件相互独立,那么把其中一个换 成它的对立事件,这样的两个事件仍然相互 独立．即当事件 A,B 相互独立时,则事件 　　与事件　　相互独立,事件　　与事件 　　相互独立,事件　　与事件　　相互 独立． ４．应用 因为“A 与B 相互独立”是“P(AB)＝P(A) P(B)”的充要条件,所以如果已知两个事件 是相互独立的,则由它们各自发生的概率可 以迅速得到它们同时发生的概率．在实际问 题中,我们常常依据实际背景去判断事件之 间是否存在相互影响,若认为事件之间没有 影响,则认为它们相互独立． ５．推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n＞２, n∈N＋)个事件的相互独 立 性,即 若 事 件 A１,A２,􀆺,An 相互独立,则这n个事件同时 发生的概率P(A１A２􀆺An)＝P(A１)P(A２)􀆺 P(An)． 说明:当三个事件A,B,C两两独立时,等式 P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)一般不成立,事 件相互独立与事件两两独立是不等同的． [知识点二]　互斥事件与相互独立事件的 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 辨析 􀪋􀪋 １．互斥事件与相互独立事件都描述的是两 个事件间的关系,但互斥事件强调不可能 同时发生,相互独立事件则强调一个事件 的发生与否对另一个事件发生的概率没 有影响．互斥的两个事件可以独立,独立 的两 个 事 件 也 可 以 互 斥．用 表 格 表 示 如下: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３０２􀅰 第七章　概率 相互独立事件 互斥事件 判断 方法 一个事件的发生与 否对另一个事件发 生的概率没有影响． 两个事件不可能同 时 发 生,即 AB ＝∅． 概率 公式 若事件 A 与B 相 互独立,则P(AB) ＝P(A)P(B)． 若事 件 A 与B 互 斥,则P(A∪B)＝ P(A)＋P(B),反 之不成立． ２．已知事件 A,B 发生的概率分别为P(A), P(B),我们有如下结论: 事件 表示 概率(A,B 互斥) 概率(A,B 相互独立) A,B 中至少有 一个发生 P(A∪B) P(A)＋P(B) １－P(A)P(B)或 P(A)＋P(B)－P(AB) A,B 都发生 P(AB) ０ P(A)P(B) A,B 都不发生 P(AB) １－[P(A) ＋P(B)] P(A)P(B) A,B 恰有一 个发生 P(AB∪AB) P(A)＋P(B) P(A)P(B)＋ P(A)P(B) A,B 中至多有 一个发生 P(AB∪ AB∪AB) １ １－P(A)P(B) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．相互独立事件与互斥事件的关系 是什么? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．一袋中装有１００只球．其中有２０只白球,在 有放回地摸球中,记 A１＝“第一次摸得白 球”,A２＝“第二次摸得白球”,则事件A１ 与 􀭿A２ 是 (　　) A．相互独立事件　　　B．对立事件 C．互斥事件 D．无法判断 ２．甲、乙两个袋子中有红、白两种颜色的小球, 这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有 ４个红球、２个白球,乙袋装有１个红球、５个白 球,现分别从甲、乙两袋中各抽取１个球,则取 出的两个球都是红球的概率为 (　　) A．５１２　　　B． ５ ６　　　C． １ ９　　　D． １３ １８ ３．分别抛掷２枚质地均匀的硬币,设“第１枚 正面朝上”为事件A,“第２枚正面朝上”为 事件B,“２枚结果相同”为事件C．有下列三 个命题:①事件A 与事件B 相互独立;②事 件B 与事件C 相互独立;③事件C 与事件 A 相互独立．以上命题中,正确的个数是 (　　) A．０ B．１ C．２ D．３ ４．甲袋中有８个白球、４个红球,乙袋中有６ 个白球、６个红球,这些小球除颜色外完全 相同．从每袋中任取１个球,则取得同色球 的概率为　　　　． ５．面对某种病毒,各国医疗科研机构都在研究 疫苗,现有A、B、C 三个独立的研究机构在 一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是 １ ５ 、１ ４ 、１ ３． 求:(１)他们都研制出疫苗的概率; (２)他们都失败的概率; (３)他们能够研制出疫苗的概率; (４)只有一个机构研制出疫苗的概率; (５)至多有一个机构研制出疫苗的概率． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４０２􀅰 数学􀅰必修第一册 独立性的判断 [例１]　判断下列各对事件是不是相互独立 事件． (１)甲组有３名男生,２名女生,乙组有２名 男生,３名女生,现从甲、乙两组中各选１名 同学参加演讲比赛,“从甲组中选出１名男 生”与“从乙组中选出１名女生”; (２)一筐内有６个苹果和３个梨,“从中任意 取出１个,取出的是苹果”与“把取出的水果 放回筐内,再从筐内任意取出１个,取出的 是梨”; (３)一个布袋里有大小完全相同的３个白 球,２个红球,“从中任意取１个球是白球” 与“取出的球不放回,再从中任意取１个球 是红球”． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　由题目可获取以下主要信 息:①给出三对事件;②要求判断各对事件 是不是相互独立事件．解答本题可先看两 个事件中的一个事件发生与否对另一个事 件发生的概率是否有影响,据此判断两个 事件是否相互独立． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 判断两个事件是否相互独立的两种方法 (１)经验法,根据问题的实质,直观上看一 个事件的发生是否影响另一个事件发 生的概率,若没有影响,则这两个事件 就是相互独立的,这是定性判断． (２)定义法,通过计算 P(AB),P(A)􀅰 P(B)来 判 断 两 个 事 件 是 否 独 立,若 P(AB)＝P(A)P(B),则事件A,B 相 互独立,这是定量判断． 􀳀[变式训练] １．(多选)一个盒子里装有除颜色外完全相同 的四个小球,其中黑球有两个,编号为１,２, 红球有两个,编号为３,４,从中不放回的依 次取出两个球,A 表示事件“取出的两球不 同色”,B 表示事件“第一次取出的是黑球”, C表示事件“第二次取出的是黑球”,D 表示 事件“取出的两球同色”,则 (　　) A．A 与D 相互独立 B．A 与B 相互独立 C．B 与D 相互独立 D．A 与C 相互独立 求相互独立事件的概率 [例２]　本着健康、低碳的生活理念,租自行 车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收 费标准是每车每次租车时间不超过两小时 免费,超过两小时的部分每小时收费２元 (不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、 乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一 次),设甲、乙不超过两小时还车的概率分别 为１ ４ ,１ ２ ,两小时以上且不超过三小时还车 的概率分别为１ ２ ,１ ４ ,两人租车时间都不会 超过四小时． (１)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率; (２)求甲、乙两人所付的租车费用之和为４ 元的概率． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５０２􀅰 第七章　概率 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　先分别求出甲、乙两人租车时 间超过三小时且不超过四小时的概率． (１)租车费用相同可分为租车费用都为 ０元、２元、４元三种情况． (２)费用之和为４元的情况可分为甲、乙的 租车费分别为 ①０ 元、４ 元,②２ 元、 ２元,③４元、０元． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)求相互独立事件的概率一般采用以下 解题步骤:①判定各事件是否相互独 立;②求每个事件发生的概率;③求相 互独立事件同时发生的概率． (２)在解此类题时,要明确事件中的“至少 有一个发生”“至多有一个发生”“恰有 一个发生”“都发生”“都不发生”“不都 发生”等词语的含义,以免混淆． 􀳀[变式训练] ２．在生活小常识有奖问答竞赛中,甲、乙、丙三 人同时回答一道有关生活小常识的问题,已 知甲答对这道题的概率是３ ４ ,甲、乙两人都 回答错误的概率是１ １２ ,乙、丙两人都回答正 确的概率是１ ４． 设每人回答问题正确与否相 互独立． (１)求乙答对这道题的概率; (２)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这 道题的概率． 　　　相互独立事件和互斥事件的综合应用 [例３]　甲、乙２名射击运动员分别对一目标 射击１次,甲射中的概率为０．８,乙射中的 概率为０．９,求: (１)２人都射中目标的概率; (２)２人中恰有１人射中目标的概率; (３)２人中至少有１人射中目标的概率; (４)２人中至多有１人射中目标的概率． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　解决含有“至多”“至少”等词 语的概率问题时,可利用对立事件． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６０２􀅰 数学􀅰必修第一册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 计算相互独立事件同时发生的概率,一般 分为以下几步:(１)分析题中涉及的事件, 把这些事件分为若干个彼此互斥的事件的 和,分别用字母表示出来;(２)根据相互独 立事件的概率公式计算概率;(３)根据互斥 事件的概率加法公式计算概率． 􀳀[变式训练] ３．某校田径队有三名短跑运动员,根据平时的 训练情况统计甲、乙、丙三人１００m跑(互不 影响)的成绩在１３s内(称为合格)的概率 分别为２ ５ ,３ ４ ,１ ３． 若对这三名短路运动员的 １００m跑的成绩进行一次检测,则: (１)三人都合格的概率与三人都不合格的概 率分别是多少? (２)出现几人合格的概率最大? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．袋内有３个白球和２个黑球,从中不放回地 摸球,用A 表示“第一次摸得白球”,用B 表 示“第二次摸得白球”,则A 与B 是 (　　) A．互斥事件　　　　　B．相互独立事件 C．对立事件 D．以上都不对 ２．甲、乙两人投球命中率分别为１２ ,２ ３ ,甲、乙 两人各投一次,恰好命中一次的概率为 (　　) A．１２ B． ２ ５ C． ３ ５ D． ５ ６ ３．有一道数学难题,学生A 解出的概率为１２ , 学生B 解出的概率为１３ ,学生C解出的概率 为１ ４． 若A,B,C三人独立去解答此题,则恰 有一人解出的概率为 (　　) A．１ B．１４ C． １１ ２４ D． １７ ２４ ４．某学生做两道选择题,已知每道题均有４个 选项,其中有且只有一个正确答案．该学生 随意填写两个答案,则两个答案都选错的概 率为　　　　　　． ５．甲、乙两人各进行一次射击,如果两人射中 目标的概率都是０．８,计算: (１)两人都射中目标的概率; (２)其中恰有一人射中目标的概率; (３)至少有一人射中目标的概率． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７０２􀅰 第七章　概率 ５．解:(１)填入题表中的数据依次为１．０００,０．８００, ０．９００,０．８５７,０．８９２,０．９１０,０．９１３,０．８９３,０．９０３． 填表如下: 每批 粒数 ２ ５ １０ ７０ １３０ ７００ １５００ ２０００ ３０００ 发芽的 粒数 ２ ４ ９ ６０ １１６ ６３７ １３７０ １７８６ ２７０９ 发芽的 频率 １．００００．８０００．９０００．８５７０．８９２０．９１００．９１３０．８９３０．９０３ (２)由(１)估计该油菜籽发芽的概率约为０．９００． 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)表中依次填入的数据为０．８０,０．９５,０．８８, ０．９２,０．８９,０．９１． (２)由于频率稳定在常数０．９附近,所以这个射手射击一次, 击中靶心的概率约是０．９． [例２]　[解]　列表如下: 　　　B A　　　 ３ ４ ５ ６ １ ４ ５ ６ ７ ２ ５ ６ ７ ８ ３ ６ ７ ８ ９ 由表可知,等可能的结果有１２种,和为６的结果只有３种． 因此P(和为６)＝３１２＝ １ ４ ,即甲、乙获胜的概率不相等,所以 这种游戏规则对双方不公平．如果将规则改为“和是６或７, 则甲获胜,否则乙获胜”,那么游戏规则就是公平的(规则改 动不唯一,符合题意即可)． [例３]　[解]　利用计算器或计算机产生０到９之间取整数 值的随机数,用０代表不成活,１到９的数字代表成活,这样 可以体现成活率是０．９．因为是种植５棵树苗,所以每５个 随机数作为一组,产生３０组随机数． ６９８０１６６０９７７７１２４２２９６１７４２３５３１５１６２９７４７２４９４５５７５５８ ６５２５８７４１３０２３２２４３７４４５４４３４４３３３１５２７１２０２１７８２５８５５５ ６１０１７４５２４１４４１３４９２２０１７０３６２８３００５９４９２６５６１７３３４７８３ １６６２４３０３４４ ０１１１７ 这就相当于做了３０次试验．在这３０组随机数中,如果恰有 一个是０,则表示恰有４棵成活,共有９组,于是得到种植５ 棵这样的树苗恰有４棵成活的概率近似为９３０＝３０％． [例４]　[解]　设水库中鱼的尾数为n,n是未知的,现在要估 计n的值．假定每尾鱼被捕的可能性是相等的,从水库中任 捕一尾,设事件A＝{捕到带有记号的鱼},由概率的统计定 义可知P(A)＝２０００n ．① 从水库中捕出５００尾,观察每尾鱼 上是否有记号,其中带有记号的鱼有４０尾,即事件 A 发生 的频数m＝４０,则 P(A)≈ ４０５００．② 由①②两式,得２０００n ≈ ４０ ５００ ,解得n≈２５０００．所以估计水库中有鱼２５０００尾． 变式训练 １．解:(１)表中由左至右,依次填入的数据是０．８１,０．７９,０．８２, ０．８２,０．７９,０．７９,０．８１． (２)由于频率稳定在常数０．８０附近,所以这个运动员击中飞 碟的概率约为０．８０． ２．解:设城市的出租车有１０００辆,那么依题意可得如下信息: 证人所说的颜色(正确率８０％) 真 实 颜 色 蓝色 红色 合计 蓝色(８５％) ６８０ １７０ ８５０ 红色(１５％) ３０ １２０ １５０ 合计 ７１０ ２９０ １０００ 从表中可以看出,当证人说出租车是红色的,它确定是红色 的概率为１２０ ２９０≈０．４１ ,而它是蓝色的概率为１７０ ２９０≈０．５９ ,在实 际数据面前,作为警察以证人的证词作为推断的依据,对红 色出租车来说显然是不公平的． ３．解:利用设计模拟试验的方法来解决问题,利用计算机或计 算器可以产生０到９之间取整数值的随机数． 用１,２,３,４表示投中,用５,６,７,８,９,０表示未投中,这样可 以体现投中的概率是４０％．因为是投篮３次,所以将每３个 随机数字作为一组．例如,产生１８组随机数: ８１２,９３２,５６９,６８３,２７１,９８９,７３０,５３７,９２５, ９０７,１１３,９６６,１９１,４３１,２５７,３９３,０２７,５５６． 这就相当于做了１８次试验．在一组数中,如果恰有２个数字 在１,２,３,４中,那 么 表 示 恰 有２次 投 中,它 们 分 别 是８１２, ９３２,２７１,１９１,３９３,共有５组数,所以我们得到了３次投篮中 恰有２次投中的概率近似为５１８≈２８％． ４．解:(１)根据数据分组及频数分布表,１００名学生中课外阅读 时间不少于１２小时的学生共有６＋２＋２＝１０(名),所以样 本中的学生课外阅读时间少于１２小时的频率是１－１０１００＝ ０．９．故从该校随机选取１名学生,估计其课外阅读时间少于 １２小时的概率为０．９． (２)课外阅读时间落在组[４,６)内的有１７人,频率为０．１７, 所以a＝ 频率 组距＝ ０．１７ ２ ＝０．０８５． 课外阅读时间落在组[８,１０)内的有２５人,频率为０．２５,所 以b＝ 频率 组距＝ ０．２５ ２ ＝０．１２５． (３)样本中的１００名学生该周课外阅读时间的平均数在第 ４组． 随堂步步夯实 １．D　[概率是确定的,不因随机试验的次数不同发生变化,频 率是变化的,但随试验次数的增加,接近于概率．] ２．A　[利用公式fn(A)＝ nA n 计算出频率值,取到号码为奇数 的频率是１０＋８＋６＋１８＋１１ １００ ＝０．５３． ] ３．B　[“正面朝上”这一事件发生的频率为 ６１０＝ ３ ５ ,而其概率 为１ ２ 不会改变．] ４．解析:所求概率为３２１５０≈０．２１． 答案:０．２１ ５．解:(１)由已知共调查了１００人,其中４０分钟内不能赶到火 车站的有１２＋１２＋１６＋４＝４４(人),所以用频率估计相应的 概率为０．４４． (２)选择L１ 的有６０人,选择L２ 的有４０人,故由调查结果得 频率为 所用时间/分 １０~２０ ２０~３０ ３０~４０ ４０~５０ ５０~６０ 选择L１ 的人数 ０．１ ０．２ ０．３ ０．２ ０．２ 选择L２ 的人数 ０ ０．１ ０．４ ０．４ ０．１ §４　事件的独立性 课前预习学案 知识梳理　知识点一 １．概率 [思考] １．提示:(１)事件A 与B 相互独立就是事件A 的发生不影响事 件B 发生的概率,事件B 的发生不影响事件A 发生的概率． (２)相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B),就 是说,两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发 生的概率的积． (３)由两个事件相互独立的定义,容易验证必然事件Ω、不可 能事件∅都与任意事件相互独立．这是因为必然事件Ω 总 会发生,不会受任何事件是否发生的影响;同样,不可能事件 ∅总不会发生,也不受任何事件是否发生的影响．当然,它们 也不影响其他事件是否发生． ３．A　􀭺B　􀭿A　B　􀭿A　􀭺B 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５６２􀅰 参考答案 [思考] ２．提示:(１)应用相互独立事件同时发生的概率计算公式求概 率的步骤:①确定各个事件是相互独立的;②确定各个事件 会同时发生;③先求每个事件发生的概率,再求积． (２)应用相互独立事件同时发生的概率计算公式求解概率 时,注意将事件看成若干个相互独立事件同时发生的情形, 也应注意互斥事件的和事件的概率求解公式及互为对立事 件的概率公式的应用．即综合运用以下三个公式:P(AB)＝ P(A)P(B),P(A＋B)＝P(A)＋P(B),P(A)＝１－P(A)． (３)当事件A与B相互独立时,P(AB)＝P(A)P(B),因此式子 １－P(A)P(B)表示相互独立事件 A,B 至少有一个不发生 的概率,它在计算中经常用到． 对于n个随机事件A１,A２,􀆺,An,有P(A１∪A２∪􀆺∪An) ＝１－P(􀭿A１∩􀭿A２∩􀆺∩􀭿An),这个公式叫作概率的和与积的 互补公式． (４)在 求 事 件 的 概 率 时,有 时 遇 到 求 “至 少 􀆺􀆺”或 “至 多􀆺􀆺”等概率问题,若从正面考虑,则它们是诸多事件的和 或积,此时可逆向思考,先求其对立事件的概率,再利用概率 的和与积的互补公式求得原事件的概率．这是正难则反思想 的具体体现． 预习自测 １．A　[由于采用有放回地摸球,所以每次是否摸到白球互不 影响,故事件A１ 与 􀭿A２ 是相互独立事件．] ２．C　[由题意知,“从 甲 袋 中 取 出 红 球”和“从 乙 袋 中 取 出 红 球”两个事件相互独立,从甲袋中取出红球的概率为４ ６＝ ２ ３ , 从乙袋中取出红球的概率为 １ ６ ,故所求事件的概率为 ２ ３× １ ６＝ １ ９． ] ３．D　[P(A)＝ １２ ,P(B)＝ １２ ,P(C)＝ １２ ,P(AB)＝P(AC) ＝P(BC)＝１４．P (AB)＝ １４ ＝P (A)P(B),故 A,B 相互独 立;P(AC)＝１４＝P (A)P(C),故A,C 相互独立;P(BC)＝ １ ４＝P (B)P(C),故B,C相互独立．] ４．解析:设从甲袋中任取１个球,事件A为“取得白球”,则事件A 为“取得红球”;从乙袋中任取１个球,事件B为“取得白球”,则 事件B为“取得红球”． ∵事件A 与B 相互独立,∴事件A 与B 相互独立． ∴从每袋中任取１个球,取得同色球的概率为P(AB∪AB) ＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B) ＝２３× １ ２＋ １ ３× １ ２＝ １ ２． 答案:１ ２ ５．解:令事件A、B、C分别表示A、B、C三个独立的研究机构在 一定时期内成功研制出该疫苗,依题意可知,事件A、B、C相 互独立,且P(A)＝１５ ,P(B)＝１４ ,P(C)＝１３． (１)他们都研制出疫苗,即事件ABC同时发生,故 P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝１５× １ ４× １ ３＝ １ ６０． (２)他们都失败即事件 􀭿A􀭺B􀭺C 同时发生． 故P(􀭿A􀭺B􀭺C)＝P(A)P(B)P(C) ＝(１－P(A))(１－P(B))(１－P(C)) ＝ １－１５( ) １－ １ ４( ) １－ １ ３( ) ＝４５× ３ ４× ２ ３＝ ２ ５． (３)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”,结合 对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P＝１－P(􀭺A􀭺B􀭺C) ＝１－２５＝ ３ ５． (４)只有一个机构研制出疫苗,该事件为(A􀭺B􀭺C∪􀭺AB􀭺C∪􀭺A􀭺BC), 故所求事件的概率为P＝P(􀭿A􀭺BC∪􀭿AB􀭺C∪A􀭺B􀭺C) ＝P(􀭿A)P(􀭺B)P(C)＋P(􀭿A)P(B)P(􀭺C)＋P(A)P(􀭺B)P(􀭺C) ＝(１－P(A))(１－P(B))P(C)＋(１－P(A))P(B)(１－ P(C))＋P(A)(１－P(B))(１－P(C)) ＝ １－１５( )× １－ １ ４( )× １ ３＋ １－ １ ５( )× １ ４× １－ １ ３( ) ＋ １ ５× １－ １ ４( ) １－ １ ３( ) ＝４５× ３ ４× １ ３＋ ４ ５× １ ４× ２ ３＋ １ ５× ３ ４× ２ ３ ＝１５＋ ２ １５＋ １ １０＝ １３ ３０． (５)至多有一机构研制出该疫苗,即事件 (􀭿A􀭺B􀭺C∪A􀭺B􀭺C∪􀭿AB􀭺C∪􀭿A􀭺BC)发生,故所求事件的概率为 P(􀭿A􀭺B􀭺C∪A􀭺B􀭺C∪􀭿AB􀭺C∪􀭿A􀭺BC) ＝P(􀭿A􀭺B􀭺C)＋P(A􀭺B􀭺C)＋P(􀭿AB􀭺C)＋P(􀭿A􀭺BC) ＝P(􀭿A)P(􀭺B)P(􀭺C)＋P(A)P(􀭺B)P(􀭺C)＋P(􀭿A)P(B)P(􀭺C)＋ P(􀭿A)P(􀭺B)P(C) ＝４５× ３ ４× ２ ３＋ １ ５× ３ ４× ２ ３＋ ４ ５× １ ４× ２ ３＋ ４ ５× ３ ４× １ ３ ＝２５＋ １ １０＋ ２ １５＋ １ ５＝ ５ ６． 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)“从甲组中选出１名男生”这一事件是否发 生对从乙组中选出１名女生”这一事件发生的概率没有影 响,所以二者是相互独立事件． (２)由于把取出的水果又放回筐内,故“从中任意取出１个, 取出的是苹果”这一事件是否发生对“再从筐内任意取出１ 个,取出的是梨”这一事件发生的概率没有影响,所以二者是 相互独立事件． (３)不放回地取球,前者的发生影响后者发生的概率,所以二 者不是相互独立事件． [例２]　[解]　甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小 时的概率分别为１－１４－ １ ２＝ １ ４ ,１－１２－ １ ４＝ １ ４． (１)租车费用相同可分为租车费用都为０元、２元、４元三种 情况．租车费用都为０元的概率为p１＝ １ ４× １ ２＝ １ ８ ,租车 费用都为２元的概率为p２＝ １ ２× １ ４＝ １ ８ ,租车费用都为４ 元的概率为p３＝ １ ４× １ ４＝ １ １６． 所以甲、乙所付租车费用相 同的概率p＝p１＋p２＋p３＝ ５ １６． (２)设“甲、乙两人所付的租车费用之和为４元”为事件A,其 可能的情况是甲、乙的租车费分别为①０元、４元,②２元、２ 元,③４元、０元． 所以P(A)＝１４× １ ４＋ １ ２× １ ４＋ １ ４× １ ２＝ ５ １６． 即甲、乙两人所付的租车费用之和为４元的概率为５１６． [例３]　[解]　记“甲射击１次,射中目标”为事件A,“乙射击 １次,射中目标”为事件B,则A 与B,A 与B,A 与B,A 与B 都为相互独立事件． (１)２人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)P(B) ＝０．８×０．９＝０．７２, 所以２人都射中目标的概率是０．７２． (２)“２人中恰有１人射中目标”包括两种情况:一种是甲射 中、乙未射中(事件AB 发生),另一种是甲未射中、乙射中 (事件AB 发生)． 根据题意,得事件AB 与AB 互斥,根据互斥事件的概率加 法公式和相互独立事件的概率乘法公式,得所求的概率为 P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B) ＝０．８×(１－０．９)＋(１－０．８)×０．９＝０．０８＋０．１８＝０．２６． 所以２人中恰有１人射中目标的概率是０．２６． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６６２􀅰 数学􀅰必修第一册 (３)(方法一)“２人中至少有１人射中目标”包括“２人都射 中”和“只有１人射中”两种情况, 故所求的概率P＝P(AB)＋[P(AB)＋P(AB)] ＝０．７２＋０．２６＝０．９８． (方法二)“２人中至少有１人射中”与“２人都未射中”为对立 事件,２人都未射中目标的概率是P(AB)＝P(A)􀅰P(B) ＝(１－０．８)×(１－０．９)＝０．０２,所以“２人中至少有１人射中目 标”的概率P＝１－P(􀭿A􀭺B)＝１－０．０２＝０．９８． (４)(方法一)“２人中至多有１人射中目标”包括“只有１人 射中”和“２人都未射中”, 故所求的概率P＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB) ＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B) ＝０．０２＋０．０８＋０．１８＝０．２８． (方法二)“２人中至多有１人射中目标”的对立事件是“２人 都射中目标”,故所求的概率 P＝１－P(AB)＝１－P(A)􀅰 P(B)＝１－０．７２＝０．２８． 变式训练 １．BCD　[不放回依次取出两个,基本事件 有 １２,１３,１４,２３, ２４,３４,２１,３１,４１,３２,４２,４３,共１２种, 事件A＝“１３,１４,２３,２４,３１,４１,３２,４２”; 事件B＝“１２,１３,１４,２１,２３,２４”; 事件C＝“１２,２１,３１,４１,３２,４２”; 事件D＝“１２,２１,３４,４３”． 事件AD＝∅,事件AB＝“１３,１４,２３,２４”, 事件BD＝“１２,２１”,事件AC＝“３１,４１,３２,４２”, 则P(A)＝８１２＝ ２ ３ ,P(B)＝６１２＝ １ ２ , P(C)＝６１２＝ １ ２ ,P(D)＝４１２＝ １ ３ , P(AD)＝０,P(AB)＝４１２＝ １ ３ ,P(BD)＝２１２＝ １ ６ , P(AC)＝４１２＝ １ ３ , 所以P(AD)≠P(A)P(D),所以A 与D 不相互独立; P(AB)＝P(A)P(B),所以A 与B 相互独立; P(BD)＝P(B)P(D),所以B 与D 相互独立; P(AC)＝P(A)P(C),所以A 与C 相互独立．] ２．解:(１)记“甲答对这道题”“乙答对这道题”“丙答对这道题” 分别为事件A,B,C,设乙答对这道题的概率P(B)＝x,由于 每人回答问题正确与否相互独立,因此A,B,C 是相互独立 事件．由题意可知,P(A)＝３４ ,P(􀭿A􀭺B)＝P(A)P(B) ＝(１－３４ )×(１－x)＝１１２ ,解得x＝２３ , 所以乙答对这道题的概率为P(B)＝２３． (２)设“甲、乙、丙 三 人 中,至 少 有 一 人 答 对 这 道 题”为 事 件 M,丙答对这 道 题 的 概 率 P(C)＝y,由 题 可 知,P(BC)＝ P(B)􀅰P(C)＝２３×y＝ １ ４ ,解得y＝３８． 甲、乙、丙三人都回 答错误的概率为P(ABC)＝P(A)P(B)􀅰P(C) ＝ １－３４( )× １－ ２ ３( )× １－ ３ ８( )＝ ５ ９６． 因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”的对立事件是“甲、乙、 丙三人中,至少有一人答对”, 所以P(M)＝１－５９６＝ ９１ ９６． 故所求概率为９１ ９６． ３．解:设甲、乙、丙三人１００m 跑合格分别为事件A、B、C,显然 A、B、C相互独立,ABC表示三人都合格,ABC 表示三人都 不合格,则P(A)＝２５ ,P(B)＝ ３４ ,P(C)＝ １３ ,P(A)＝１－ ２ ５＝ ３ ５ ,P(B)＝１－３４＝ １ ４ ,P(C)＝１－１３＝ ２ ３． 设恰有k人合格的概率为Pk(k＝０,１,２,３)． (１)三人都合格的概率为: P３＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝ ２ ５× ３ ４× １ ３＝ １ １０． 三人都不合格的概率为: P０＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝ ３ ５× １ ４× ２ ３＝ １ １０． 所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率均为１ １０． (２)∵ABC,ABC,ABC 两两互斥, ∴恰有两人合格的概率为: P２＝P(ABC＋ABC＋ABC) ＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC) ＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C) ＝２５× ３ ４× ２ ３＋ ２ ５× １ ４× １ ３＋ ３ ５× ３ ４× １ ３＝ ２３ ６０． 恰有一人合格的概率为: P１＝１－P０－P２－P３＝１－ １ １０－ ２３ ６０－ １ １０＝ ５ １２． 结合(１)可知P０、P１、P２、P３ 中P１ 最大,所以出现恰有一人 合格的概率最大． 随堂步步夯实 １．D　 [根 据 互 斥 事 件、对 立 事 件 和 相 互 独 立 事 件 的 定 义 可知．] ２．A　[事件“甲投球一次命中”记为 A,“乙投球一次命中”记 为B,“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C, 则C＝AB＋AB 且AB与AB 互斥, P(C)＝P(AB＋AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B) ＝１２× １ ３＋ １ ２× ２ ３＝ ３ ６＝ １ ２． ] ３．C　[一道数学难题,恰有一人解出,包括: ①A 解出,B,C解不出,概率为１２× ２ ３× ３ ４＝ １ ４ ; ②B 解出,A,C解不出,概率为１２× １ ３× ３ ４＝ １ ８ ; ③C解出,A,B 解不出,概率为１２× ２ ３× １ ４＝ １ １２． 所以恰有１人解出的概率为１４＋ １ ８＋ １ １２＝ １１ ２４． ] ４．解析:设答错第一道选择题为事件A,答错第二道选择题为 事件B,两事件相互独立,且P(A)＝P(B)＝３４ ,两个题都选 错为事件AB,则P(AB)＝P(A)P(B)＝３４× ３ ４＝ ９ １６． 答案:９ １６ ５．解:记“甲射击一次,射中目标”为事件A,“乙射击一次,射中 目标”为事件B． (１)显然,“两人各射击一次,都射中目标”就是事件 AB,又 由于事件A 与B 相互独立, ∴P(AB)＝P(A)P(B)＝０．８×０．８＝０．６４． (２)“两人各射击一次,恰有一人射中目标”包括两种情况:一 种是甲射中乙未射中(即 AB)．另一种是甲未射中乙射中 (即AB), 根据题意,这 两 种 情 况 在 两 人 各 射 击 一 次 时 不 可 能 同 时 发生, 即事件AB与AB 是互斥的,所以所求概率为 P＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B) ＝０．８×(１－０．８)＋(１－０．８)×０．８ ＝０．１６＋０．１６＝０．３２, (３)法一:“两人各射击一次,至少有一人射中目标”的概率为 P＝P(AB)＋[P(AB)＋P(AB)]＝０．６４＋０．３２＝０．９６, 法二:“两人都未射中目标”的概率是 P(AB)＝P(A)P(B)＝(１－０．８)×(１－０．８)＝０．０４． ∴至少有一人射中目标的概率为 １－P(AB)＝１－０．０４＝０．９６． 章末归纳提升 归纳提升　 [例１]　[解]　(１)甲、乙、丙三个协会共有的运动员人数为 ２７＋９＋１８＝５４,则应从甲协会抽取２７×６５４＝３ (人), 从乙协会抽取９×６５４＝１ (人), 从丙协会抽取１８×６５４＝２ (人)． 故从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为３,１,２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７６２􀅰 参考答案