第二章 3 第1课时 函数的单调性-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

§３　函数的单调性和最值 第１课时　函数的单调性 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．利用函数图象,直观地观察函数的单调性 ２．利用特殊函数,理解函数单调性及几何意义 ３．会根据函数的单调性定义,判断、证明单 调性 １．结合实例,经历从具体的直观描述到形式的 符号表达的抽象过程,提升数学直观素养 ２．在函数单调性的应用过程中,提升逻辑推理 和数学运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 根据上面函数图象,写出函数的变化趋势． 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识梳理] [知识点一]　增函数与减函数的定义 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 条 件 设函数y＝f(x)的定义域为D,如果对 任意x１,x２∈D,当x１＜x２ 时 都有　　　　 都有　　　　 结 论 y＝f(x)在 D 上是 增函数,若I⊆D,也 称在I上单调递增 y＝f(x)在D 上是 减函数,若I⊆D, 也称 在 I 上 单 调 递减 图 示 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．在增函数和减函数定义中,能否把 “任意x１,x２∈D”改为“存在x１,x２∈D”? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点二]　函数的单调性与单调区间 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 如果函数y＝f(x)在区间D 上　　　　　 或　　　　　　,那么就说函数y＝f(x)在 这一区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫 做y＝f(x)的　　　　　　　　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．区间D 一定是函数的定义域吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３．函数y＝１x 在定义域上是减函数吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．下列结论中,正确的是 (　　) A．函数y＝kx(k为常数,且k＜０)在 R上 是增函数 B．函数y＝x２ 在R上是增函数 C．函数y＝１x 在定义域内是减函数 D．y＝１x 在(－∞,０)上是减函数 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０７􀅰 数学􀅰必修第一册 ２．设(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调增区 间,且x１∈(a,b),x２∈(c,d),x１＜x２,则 f(x１)与f(x２)的大小关系是 (　　) A．f(x１)＜f(x２)　　　B．f(x１)＞f(x２) C．f(x１)＝f(x２) D．不能确定 ３．函数y＝f(x)的图象如图所示,则函数 f(x)的单调递增区间是　　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　函数单调性的判定与证明 [例１]求证:函数f(x)＝１x２ 在(０,＋∞)上是 减函数,在(－∞,０)上是增函数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　依函数单调性的定义证明． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．利用定义判断或证明函数单调性的４个 步骤 ２．利用定义证明函数的单调性时,常用的 变形技巧有哪些? (１)因式分解．当原函数是多项式函数时, 作差 后 的 变 形 通 常 进 行 因 式 分 解． 如f(x)＝x３－１． (２)通分．当原函数是分式函数时,作差后 往往进行通分,然后对分子进行因式分 解．如本例． (３)配方．当原函数是二次函数时,作差后 可以考虑配方,便于判断符号． (４)分子有理化．当原函数是根式函数时, 作差后往往考虑分子有理化．如f(x) ＝ x＋１ 􀳀[变式训练] １．设函数f(x)＝x＋１x－１． 用定义证明函数f(x) 在区间(１,＋∞)上是单调减函数． 　　　求函数的单调区间 [例２]画出函数y＝－x２＋２|x|＋３的图象, 并指出函数的单调区间． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　先转化为分段函数,再画其 图象． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１７􀅰 第二章　函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　求函数单调区间的两个方法及三个关 注点 (１)两个方法: 方法一:定义法,即先求定义域,再用定 义法进行判断求解． 方法二:图象法,即先画出图象,根据函 数图象求单调区间． (２)三个关注点: 关注一:求函数的单调区间时,要先求函数 的定义域． 关注二:对于一次函数、二次函数、反比例 函数的单调区间作为常识性的知识,可以 直接使用． 关注三:函数图象不连续的单调区间要 分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪” 连接． 􀳀[变式训练] ２．作出函数f(x)＝ －x－３,　(x≤１) (x－２)２＋３,　(x＞１){ 的 图象,并指出函数的单调区间． 　　　利用单调性比较大小 [例３]　(１)若函数f(x)的定义域为 R,且在 (０,＋∞)上是减函数,则下列不等式成立 的是 (　　) A．f ３４ æ è ç ö ø ÷＞f(a２－a＋１) B．f ３４ æ è ç ö ø ÷≥f(a２－a＋１) C．f ３４ æ è ç ö ø ÷＜f(a２－a＋１) D．f ３４ æ è ç ö ø ÷≤f(a２－a＋１) (２)已知函数f(x)在定义域(－１,１)上是减 函数,且f(１－a)≤f(３a－２),则a的取值 范围是　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　依据单调性的定义判断． [尝试解答]　(１)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 (２)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．利用单调性比较大小的方法 (１)利用函数单调性可以比较函数自变量 (函数值)的大小,即已知f(x)在区间 D 上为增函数,则对x１,x２∈D,x１＜x２ ⇔f(x１)＜f(x２)． (２)利用单调性比较函数值的大小,务必将 自变量x的值转化到同一单调区间上 才能进行比较,最后写结果时再还原 回去． ２．利用函数单调性解不等式 　与函数单调性有关的结论 (１)正向结论:若y＝f(x)在给定区间上是 增函数,则 当x１＜x２ 时,f(x１)＜f(x２); 当x１＞x２ 时,f(x１)＞f(x２)． (２)逆向结论:若y＝f(x)在给定区间上是 增函数,则 当f(x１)＜f(x２)时,x１＜x２; 当f(x１)＞f(x２)时,x１＞x２． (３)当y＝f(x)在给定区间上是减函数时, 也有(１)(２)相应的结论． 􀳀[变式训练] ３．已知函数f(x)在(０,＋∞)上是减函数,且 f(x)＜f(２x－３),求x的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２７􀅰 数学􀅰必修第一册 　　　单调性的综合应用 [例４]已知函数f(x)＝x２＋２(a－１)x＋２在 区间(－∞,４]上是减函数,求实数a的取值 范围． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　解答本题可先将函数解析式 配方,然后找出图象的对称轴,再考虑对称 轴与所给区间的位置关系,利用数形结合 求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．函数单调性的定义具有“双向性”;利用 函数单调性的定义可以判断、证明函数 的单调性,反过来,若已知函数的单调 性,可以确定函数中参数的范围． ２．利用函数的单调性可以比较函数值或自 变量的大小．例如,若函数f(x)的解析 式是未知的,欲求x的取值范围,我们可 以根据函数单调性的定义(也就是函数 单调性的性质),将符号“f”脱掉,只要注 意到函数的定义域,即可列出关于x的不 等式(组)． ３．若一个函数在区间[a,b]上是单调的, 则此函数在这一单调区间内的任意子 集上也是单调的． ４．已知函数的单调性求参数的取值范 围,要注意数形结合思想,采用逆向思 维．利用已知函数研究函数单调性问 题,像一次函数、二次函数、正、反比例 函数的单调性不必用定义研究,直接 判断即可． 􀳀[变式训练] ４．(１)若函数f(x)＝－x２－２(a＋１)x＋３在 区间(－∞,３]上是增函数,则实数a的取值 范围是　　　　． (２)已知函数y＝f(x)是(－∞,＋∞)上的 增函数,且f(２x－３)＞f(５x－６),则实数x 的取值范围为　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．函数f(x)＝|x＋２|在[－３,０]上 (　　) A．单调递减　　　　　　　B．单调递增 C．先减后增 D．先增后减 ２．若函数f(x)＝４x２－kx－８在[５,８]上是单 调函数,则k的取值范围是 (　　) A．(－∞,４０] B．(４０,６４) C．(－∞,４０]∪[６４,＋∞) D．[６４,＋∞) ３．函 数 y＝x２ －２x 的 单 调 递 减 区 间 是 　　　　,单调递增区间是　　　　． ４．已知函数f(x)为定义在区间[－１,１]上的增函 数,则满足f(x)＜f １２ æ è ç ö ø ÷的实数x的取值范围 为　　　　． ５．用定义法证明:函数f(x)＝x３＋x 在 R上 是增函数． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３７􀅰 第二章　函数 数学·必修第一册 (3)当x∈[1,4时，g(x)=f(x)+(2a-1)x十2 =x+2ax+2,配方得g(x)=(x十a)2+2-a2 当-a≤即a>-号时g-4)=18+8a, 时，g(r)=g(1)=3+2a, 18+8a,a≥-2 5 综上可知，g(r)mx 3+2aa<-2 5 随堂步步夯实 1.B[令x-1=2,得x=3,∴f(2)=3-3=6.J 2,C[当x<0时，图象为抛物线y=x在y轴左侧的图象， 当x≥0，图象为直线y=x一1在y轴右侧的图象。 3.解析：(1)由g(fx)=2,.f(x)=2,x=1. (2)g(2)=2,.f(g(2))=f(2)=3. 答案：(1)1(2)3 4.解析：令x=y=1,则f(2)=f(1)十f(1) ∴.2f(1)=4..f(1)=2. 答案：2 5.解：(1)函数的定义城为(0,12)， 当0r≤4时，)=号X4Xx=2 当4r<8时，x)=号×4X4=8: 当8<<12时x)=×4×12-)=24-2x 2.x,x∈(0,4] 所以函数解析式为f(x)=8,x∈(4,8]， 24-2x,x∈(8,12) (2)图象如图所示.从图象可以看出f(x)的值域为(0,8]. yt 024681012x §3函数的单调性和最值 第1课时函数的单调性 课前预习学案 情境引入 提示：随着x值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的 下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内里 下降趋势 知识梳理知识点 f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x) [思考] 1.提示：不能 知识点二 单调递增单调递减单调区间 [思考] 2.提示：不一定，可能是定义域的一部分」 3提示：y=子在定义城上不是减西数，包是它有两个单调递 减区间（一0,0），(0，十∞). 预习自测 1.D2.D3.(-∞，1]和(1，+o∞) 课堂互动学案 [例1][证明]对于任意的1·x:∈(0，十o),且x1<x4, 有f)-fx)=号-号=-王_-)(+) tix r2>x1>0. -x1>0,x1+>0,xx2>0. fx)-f(x)>0,即f(x,)>f(x). “函数f(x)=二在(0，十0)上是减函数 对于任意的1x∈（一∞，0），且x1<x,有 ·2 )-f2)=)(+x) TIT t<x2<0,∴.x2-<0,十x1>0,xix>0. .f八x1)-f(x)<0.即f(x1)<f(x). 函教f()=在(-00,0)上是减函数. T [例2][解]y=-x2+2x+3 -厂r+2x+3=-(x-1)2+4,(x≥0. -x2-2x+3=-(.x+1)°+4，(x<0). 函数图象如图所示 3-1013￥ 函数在（一∞，一1），[0,1)上是增函数， 函数在[一1,0)，[1，十o∞)上是减函数 .函数的单调增区间是（一∞，-1）和[0,1) 单调减区间是[一1,0)和[1，十°). 例3][解析](1)B[f(x)在(0，十)上是减函数，且 。-a+1=(a-)+>>0, ∴u-a+10≤(）门 (2)因为函数(x)在定义域（一1,1）上是减西数，且f(1一4) ≤f(3a-2),所以-1<3a-2≤1-a<1,解得a ∈（得] 答案：（付是] [例4][解]f(x)=x+2(a-1)x+2 =[x+(u-1)]2-(4-1)2+2, .此二次函数的对称轴为x=1一a. .f(x)的单调递减区间为(-∞，1一a]. f(x)在（一∞，4]上是减函数， ∴.对称轴x=1一4必须在直线x=4的右侧或与其重合 ∴.1一a≥4，解得u≤-3. 变式训练 1.解：任取1<x1<x2,因为f(x1)一f(x) -十1十12(2-无) -1-1(-1)(x,-1D ,1<x1<xg· .x1-1>0,x2-1>0,x-x1>0, .f(1)-f(x4)>0→f(x1)>f(x), .f(x)在区间(1，十∞)上是单调减函数 2.解：f(x)=x-3,(r≤1) 1一2)'+3，(x>1D的图象知图所示. 20 由图可知，函数的单调递减区间为（一○，1]和(1,2）：单调增区 间为[2，+co). 3.解：f(x)是定义在(0，十)上的减函数， 且f(x)<f(2x-3), x>0, 23>0,解释受<<3 x>2x-3, ÷x的取植范国是（停3） 30 4.解析：(1)，f(x)=-x2一2(a十1)x+3的开口向下，要使 f(.x)在(-0∞，3]上是增函数，只需一(a十1)≥3，即a≤-4. .实数a的取值范围为（一oo,一4]. (2),f(x)在（一0，十o)上是增函数， 且f(2.x-3)>f(5.x-6), ∴.2r-3>5x-6,即x1, 实数x的取值范四为（一0,1）， 答案：(1)(-0，-4](2)（一0,1） 随堂步步夯实 1.c2.C3(-∞，1山[1，+o)4[-1,2） 5.证明：设x1,是R上的任意两个实教，且无<x2, 则f(x2)一f(x1)=(x+x)一(x十x1) =(x2-x1)(x十x2x+x)+(x2-x1) =(x:-x)(xi+zx+xi+1) =-[+受)）++小 (+)+是+1>0-6>0. ∴.f(x)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1), .函数f(x)=x十x在R上是增函数. 第2课时函数的单调性与最大（小）值 课前预习学案 情境引入 提示：(1)图①中函数y■一x2的图象上有一个最高点：图② 中函数y=一工的图象上没有最高点. (2)对任意x∈R,都有f(x)≤f(0). 知识梳理知识点一 最大值最小值纵坐标纵坐标 [思考] 提示：不一定.如函数f(x)=一x≤1恒成立，但是1不是 函数的最大值 预习自测 1.C2.C3.4 课堂互动学案 [例1门[解]y=x+1一1x-2 3(x≥2)， =2x-1(-1<x<2),作出函数 (-3(x≤-1). 的图象，由图可知，y∈[-3,3].所以 函数的最大值为3，最小值为一3. [例2幻(1)[解析]因为x>0时， -4 叶是≥2·至=2，当且仅当x=子申=5时取 “=”,所以高数y=a--是=a-(+是)）a-25- 5,解得a=33,m=√3，所以a-m=35-√3=2√5. [答案]C (2)[解]任取，x,x∈[1,2]且1<x2, 则广，=+县- 4 =(-)+）=1-5)二4， Ti: 1≤x<x2≤2，∴x-x<0,1<xx2<4, x1xg-4<0,.f(x1)-f(x)>0, 即八国)>fx)=x+兰在1,2]上是减画数. 从而函数的最大值是f(1)=1+4=5,最小值是 f(2)=2十2=4. ·2 参考答案 [例3][解]f(x)=(x-a)-1一a,对称轴为x=a. ⑤ ④ ①当a<0时，由图①可知， f(x)=f(0)=-1, f(x)x=f(2)=3-4a. ②当0≤a<1时，由图②可知， f(x)a=f(a)=-1-a”, fx)w=f(2)=3-4a. ③当1≤a≤2时，由图③可知， f(x)=f(a)=-1-a2, f(.x)x=f(0)=-1. ④当a>2时，由图④可知， f(x)=f(2)=3-4a,f(.x).=f(0)=-1. [例4][解](1)设月产量为x台，则总成本为20000+100x, 从而f(x)= 7+30r-2000.0≤≤40. 60000-100x,x>400. (2)当0≤x≤400时， /)=-c-30)产+2500. ∴.当x=300时，f(.x),=25000. 当x>400时， f(x)=60000一100.x是减画数， f(x)<60000-100×40025000. .当x=300时，f(x).=25000. 即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元. 变式训练 1.解：f(x)的图象如图所示， -2-10 1 -2 f(x)的单朗递增区间是（一∞，0）和[0，十∞)，函数的最小 值为f(0)=一1. ②解：（门）函数（工），十在区间[1,2]上是减画数，证明 如下： 任取xx∈[1,2]且x1<x4, 剥红)-f)=,1 1 x1+1x4十1 十1-西-1 xg一x =+1+-a++币 因为xx∈[1,2]且x,<· 所以x一x1>0,1十1>0，+1>0，