第二章 2.2 函数的表示法-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

１．已知f(x)＝π(x∈R),则f(π２)的值是 (　　) A．π２ B．π C．π D．不确定 ２．函数f(x)＝ ２x＋１＋ ３－x 的定义域为 (　　) A．(－∞,－１)∪(－１,３] B．(－∞,３] C．(－１,３] D．(－∞,－１) ３．下列各组函数表示相同函数的是 (　　) A．f(x)＝ x２和g(x)＝(x)２ B．f(x)＝１和g(x)＝x０ C．f(x)＝|x|和g(x)＝ x,x≥０ －x,x＜０{ D．f(x)＝x＋１和g(x)＝x ２－１ x－１ ４．已知函数f(x)＝２x－３,x∈{x∈N|１≤x≤５}, 则函数f(x)的值域为　　　　　　　． ５．已知f(x)＝１－x１＋x (x∈R,且x≠－１),g(x) ＝x２－１(x∈R)． (１)求f(２),g(３)的值; (２)求f(g(３))的值及f(g(x))． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．２　函数的表示法 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图象 法以及各自的优缺点 ２．在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的 方法表示函数 ３．通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单 应用 １．结合实例,经历函数三种表示法的抽象 过程,体会三种表示法的作用,培养学生 的数学抽象素养 ２．结合实例,加深对分段函数概念的理解 及应用,提升逻辑推理、数学运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　如图,艾宾浩斯遗忘曲线告诉我们,学习 中的遗忘是有规律的,遗忘的进程是不均衡 的,记忆的最初阶段遗忘的速度很快,后来就 逐渐慢了,这条曲线表明了遗忘的发展规律是 “先快后慢”. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４６􀅰 数学􀅰必修第一册 根据初中学习的知识,你能说出以上问题是用 什么法表示函数的吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[知识梳理] [知识点一]　函数的表示方法 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．所有的函数都能用解析法、列表法 和图象法表示吗? 为什么? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．函数的三种表示方法各有哪些优缺点? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点二]　分段函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．分段函数 如果函数y＝f(x),x∈A,根据自变量x在 A 中不同的取值范围,有着不同的对应关 系,则称这样的函数为分段函数． ２．分段函数的图象 分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组 成．在同一直角坐标系中,根据每段的定义区 间和表达式依次画出图象,要注意每段图象的 端点是空心点还是实心点,组合到一起就得到 整个分段函数的图象． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３．分段函数y＝ －x,x＜０, x,x≥０,{ 是两个 函数吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ４．分段函数的定义域、值域是怎么规定的? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．已知学校宿舍与办公室相距am,某同学有 重要材料要送给老师,从宿舍出发,先匀速 跑步３分钟来到办公室,停留２分钟,然后 匀速步行１０分钟返回宿舍．在这个过程中, 这位同学行走的路程是时间的函数,则这个 函数图象是 (　　) ２．已知函数f(x)＝x－mx ,且此函数图象过点 (５,４),则实数m 的值为　　　　． ３．若反比例函数f(x)满足f(３)＝－６,则 f(x)的解析式为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　函数的表示法 [例１] 某商场新进了１０台彩电,每台售价 ３０００元,试求售出台数x与收款数y 之间 的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法 表示出来． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　根据自变量与函数值的对应 关系用不同的方法表示． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 函数的三种表示法的选择和应用的注意点 解析法、图象法和列表法分别从三个不同 的角度刻画了自变量与函数值的对应关 系．采用解析法的前提是变量间的对应关 系明确,采用图象法的前提是函数的变化 规律清晰,采用列表法的前提是定义域内 自变量的个数较少． 在用三种方法表示函数时要注意: (１)解析法必须注明函数的定义域; (２)列表法必须罗列出所有的自变量与函 数值的对应关系; (３)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５６􀅰 第二章　函数 􀳀[变式训练] １．已知函数f(x),g(x)分别由下表给出, x ０ １ ２ x ０ １ ２ f(x) １ ２ １ g(x) ２ １ ０ 则f[g(１)]＝　　　　　　;满足f[g(x)]＞ g[f(x)]的x的值是　　　　　　． 　　　函数图象的作法及应用 [例２]作出下列函数的图象并求出其值域: (１)y＝２x＋１,x∈[０,２]; (２)y＝２x ,x∈[２,＋∞); (３)y＝x２＋２x,x∈[－２,２]． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　按列表、描点、连线的思路作图． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．画函数图象的两种常见方法 (１)描点法 一般步骤: ①列表———先找出一些(有代表性 的)自变量x,并计算出与这些自变 量相对应的函数值f(x),用表格的 形式表示出来; ②描点———从表中得到一系列的点 (x,f(x)),在 坐 标 平 面 上 描 出 这 些点; ③连线———用光滑曲线把这些点按 自变量由小到大的顺序连接起来． (２)变换作图法:常用的有水平平移变 换、竖直平移变换、翻折变换等． ２．画函数图象的三点注意 注意一:先确定定义域,在定义域内 画图; 注意二:实、虚点(线)要分清; 注意三:标出关键点． 􀳀[变式训练] ２．作出下列函数的图象: (１)y＝－x＋１,x∈Z; (２)y＝２x２－４x－３,０≤x＜３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６６􀅰 数学􀅰必修第一册 　　　求函数解析式 [例３]　(１)已知f(x＋１)＝x２＋４x＋１, 求f(x)的解析式; (２)已 知 f (x)是 一 次 函 数,且 满 足 ３f(x＋１)－f(x)＝２x＋９．求f(x); (３)已知f(x)满足２f(x)＋f １x æ è ç ö ø ÷ ＝３x, 求f(x)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)换元法,设x＋１＝t, 求f(t)． (２)待定系数法． (３)构造方程组法,依题意 ２f(x)＋f １x æ è ç ö ø ÷＝３x ２f １x æ è ç ö ø ÷＋f(x)＝３x ì î í ï ï ï ï ,解方程组求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．已知f(g(x))＝h(x),求f(x)常用的两 种方法 (１)换元法,即令t＝g(x)解出 x,代入 h(x)中得到一个含t的解析式,即为函 数解析式,注意换元后新元的范围． (２)配凑法,即从f(g(x))的解析式中配凑 出“g(x)”,即用g(x)来表示h(x),然 后将解析式中的g(x)用x代替即可． ２．待定系数法求函数解析式 已知函数的类型,如是一次函数、二次函 数等,即可设出f(x)的解析式,再根据 条件列方程(或方程组),通过解方程 (组)求出待定系数,进而求出函数解 析式． ３．已知关于f(x)与f １x æ è ç ö ø ÷或f(－x)的表 达式,可根据已知条件再构造出另外一 个等式组成方程组,通过解方程组求 出f(x)． 􀳀[变式训练] ３．(１)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))＝ ４x－３,求f(x)的解析式; (２)已知二次函数 f(x)满足 f(０)＝１, f(１)＝２,f(２)＝５,求f(x)的解析式; (３)已知f(x－１)＝x＋２ x,求f(x)的解 析式． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７６􀅰 第二章　函数 　　　分段函数的定义域、值域与最值 [例４]　(１)设函数f(x)＝ １－x２,x≤１ x２＋x－２,x＞１{ , 则f １f(２) æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．１５１６　　　　　　　　B．４ C．３ D．－３ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　∵f(２)＝２２＋２－２＝４, ∴f １f(２) æ è ç ö ø ÷＝f １４ æ è ç ö ø ÷＝１５１６． [尝试解答]　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 (２)函数f(x)＝ ２x２,０≤x≤１ ２,１＜x＜２ ３,x≥２ ì î í ï ï ï ï 的值域是 (　　) A．R B．[０,＋∞) C．[０,３] D．[０,２]∪{３} 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　求出每一段的值域,再合并． [尝试解答]　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．分段函数问题的常见解法 (１)求分段函数的函数值的方法:先确定要 求值的自变量的取值属于哪一段区间, 然后代入该段的解析式求值．当出现 f(f(a))的形式时,应从内到 外 依 次 求值． (２)已知分段函数的函数值,求自变量的值 的方法:先假设自变量的值在分段函数 定义域的各段上,然后求出相应自变量 的值,切记要检验． (３)在分段函数的前提下,求某条件下自变 量的取值范围的方法:先假设自变量的 值在分段函数定义域的各段上,然后求 出在相应各段定义域上自变量的取值 范围,再求它们的并集即可． ２．定义域取每一段定义域的并集． ３．值域取每一段函数值的并集． 􀳀[变式训练] ４．已知函数f(x)＝ x２,x≤０, ２－x,x＞０．{ 求下列问题: (１)计算f(f(－２))的值; (２)求方程f(x)＝１２x 的解． 　　　分段函数的图象及应用 [例５]　根据如图所示的函数y＝f(x)的图 象,写出函数的解析式． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　如图给出的图象,其实是一 个分段函数的图象,求各段图象对应的函 数解析式时,要注意其定义域是否包括所 在区间的端点． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８６􀅰 数学􀅰必修第一册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．由分段函数的图象确定函数解析式的 方法 (１)定类型:根据自变量在不同范围内的图 象的特点,先确定函数的类型． (２)设函数式:设出函数的解析式． (３)列方程(组):根据图象中的已知点,列 出方程(组),求出该段内的解析式． (４)下结论:最后用“{”表示出各段解析式, 注意自变量的取值范围． ２．分段函数应用问题的两个关注点 (１)应用情境 日常生活中的出租车计费、自来水费、 电费、个人所得税的收取等,都是最简 单的分段函数． (２)注意问题 求解分段函数模型问题应明确分段函 数的“段”一定要分得合理． 􀳀[变式训练] ５．已知函数f(x)＝ x２＋x,x≥０ ２－x,x＜０{ ． (１)若f(a)＝６,求实数a的值; (２)画出函数的图象并写出函数f(x)在区间 [－２,２]上的值域; (３)若函数g(x)＝f(x)＋(２a－１)x＋２,求 函数g(x)在[１,４]上最大值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．已知函数f(x－１)＝x２－３,则f(２)的值为 (　　) A．－２　　　B．６　　　C．１　　　D．０ ２．下列图象是函数y＝ x２,x＜０, x－１,x≥０{ 的图象 的是 (　　) ３．已知函数f(x),g(x)分别由下表给出 x １ ２ ３ f(x) ２ ３ １ x １ ２ ３ g(x) ３ ２ １ (１)则当g(f(x))＝２时,x＝　　　　． (２)则f(g(２))＝　　　　． ４．已知函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x＋y)＝ f(x)＋f(y),且f(２)＝４,则f(１)＝　　　　． ５．如图所示,在边长为４的 正 方 形ABCD上 有 一 点 P,沿着折线BCDA 由B 点(起点)向 A 点(终点) 移动．设P 点移动的路程 为x,△ABP 的面积为y＝f(x)． (１)求△ABP 的面积与P 移动的路程的函 数关系式; (２)作出函数的图象,并根据图象求f(x)的 值域． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９６􀅰 第二章　函数 [例２]　[解析] 序号 是否相等 原因 ① 不等 定义域不同,f(x)定义域为{x|x≠０}, g(x)定义域为 R． ② 不等 对应法则不同,f(x)＝ １ x , g(x)＝ x． ③ 相等 定义域、对应关系都相同． ④ 不等 值域不同,f(x)≥０,g(x)∈R． ⑤ 相等 定义域、对应关系都相同． [答案]　③⑤ [例３]　[解]　(１)要使此函数有意义,应满足 x－１≥０ , ４－x≥０,{ 即１≤x≤４,所以此函数的定义域是{x|１≤x≤４}． (２)要使此函数有意义,则 x＋３≥０, x＋２≠０{ ⇒ x≥－３, x≠－２{ ⇒x≥－３,且x≠－２． 所以f(x)的定义域为{x|x≥－３,且x≠－２}． [例４]　[解]　(１)f(２)＝２＋１２＋２＝ ３ ４． (２)f(x)＝x＋１x＋２＝ x＋２－１ x＋２ ＝１－ １ x＋２ , 又 １ x＋２≠０ ,∴１－ １x＋２≠１ , ∴f(x)≠１, 即函数值域是{y|y∈R,且y≠１}． 变式训练 １．D　[对于 A选项,A 中的元素０在B 中没有对应元素,不是 函数;B选项中A 集合中负数没有平方根,不是函数;C选项 中集合A 中的元素２在集合B 中有两个元素± ２与之对 应,不是函数．D选项符合函数的概念．] ２．解:(１)虽然表示自变量的字母不同,但定义域、对应关系均 相同,因而是相等函数． (２)∵f(x)的定义域为{x|x≥１},而g(x)的定义域为{x|x ≤－１,或x≥１},两函数的定义域不同,∴f(x)与g(x)不是 相等函数． ３．解析:由y＝ －x２＋x＋６＋ １x－１ ,得 －x ２＋x＋６≥０ x－１≠０{ ⇒ x∈[－２,１)∪(１,３], 故函数的定义域为x∈[－２,１)∪(１,３]． 答案:[－２,１)∪(１,３] ４．解:(１)因为x∈R,所以２x＋１∈R,即函数的值域为 R． (２)配方:y＝x２－４x＋６＝(x－２)２＋２, 因为x∈[１,５),由图所示． 所以所求函数的值域为[２,１１)． 随堂步步夯实 １．B　[f(π２)＝π．] ２．A　[由已知 x＋１≠０ , ３－x≥０,{ 解得x≤３且x≠－１．] ３．C　[对于 A,函数f(x)＝ x２的定义域为 R,函数g(x)＝ (x)２ 的定义域为[０,＋∞),两个函数的定义域不同,所以 表示不同的函数,不符合题意;对于B,函数f(x)＝１的定义 域为R,函数g(x)＝x０ 的定义域为(－∞,０)∪(０,＋∞),两 个函数的定义域不同,所以表示不同的函数,不符合题意;对 于 C,函数f(x)＝|x|＝ x,x≥０ －x,x＜０{ 与g(x)＝ x,x≥０ －x,x＜０{ 的 定义域和对应法则都相同,所以表示相同的函数,符合题意; 对于 D,函数f(x)＝x＋１的定义域为R,函数g(x)＝x ２－１ x－１ 的定义域为{x|x≠１},两个函数的定义域不同,所以表示不 同的函数,不符合题意．] ４．{－１,１,３,５,７} ５．解:(１)因为f(x)＝１－x１＋x , 所以f(２)＝１－２１＋２＝－ １ ３． 因为g(x)＝x２－１,所以g(３)＝３２－１＝８． (２)依题意,知f(g(３))＝f(８)＝１－８１＋８＝－ ７ ９ , f(g(x))＝１－g (x) １＋g(x)＝ １－(x２－１) １＋(x２－１) ＝２－x ２ x２ (x≠０)． ２．２　函数的表示法 课前预习学案 情境引入 　提示:图象法 知识梳理 [思考] １．提示:并不是所有的函数都能用解析式表示;事实上,图象法 也不适用于所有函数,如D(x)＝ ０ ,x∈Q, １,x∈∁RQ;{ ;列表法虽在 理论上适用于所有函数,但对于自变量有无数个取值的情 况,列表法只能表示函数的一个概况或片段． ２．提示:三种方法的优、缺点 ３．提示:分段函数是一个函数,只不过不同范围上解析式不同． ４．提示:定义域为各段范围的并集;值域为各段上值域的并集． 预习自测 １．A　[由题意可得先匀速跑步３分钟来到办公室,路程是递 增的,停留２分钟,路程不发生变化,再匀速步行１０分钟返 回宿舍,总路程也是增加的,只有 A符合．] ２．解析:将点(５,４)代入f(x)＝x－mx ,得m＝５． 答案:５ ３．f(x)＝－１８x 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)列表法: x/台 １ ２ ３ ４ ５ y/元 ３０００ ６０００ ９０００ １２０００ １５０００ x/台 ６ ７ ８ ９ １０ y/元 １８０００ ２１０００ ２４０００ ２７０００ ３００００ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８２２􀅰 数学􀅰必修第一册 (２)图象法: (３)解析法:y＝３０００x,x∈{１,２,３,􀆺,１０}． [例２]　[解]　(１)当x∈[０,２]时,图象是 直线y＝２x＋１的一部 分,观 察 图 象 可 知,其值域为[１,５)． (２)当x∈[２,＋∞)时,图象是反比例函 数y＝ ２x 的一部分,观察图象可知其值 域为(０,１]． (３)当－２≤x≤２时,图象是抛物线y＝x２＋２x的一部分． 由图可得函数的值域是[－１,８]． [例３]　[解]　(１)法一:(换元法)设x＋１＝t, 则x＝t－１, 所以f(t)＝(t－１)２＋４(t－１)＋１, 即f(t)＝t２＋２t－２, 所以所求函数解析式为f(x)＝x２＋２x－２． 法二:(配凑法) f(x＋１)＝x２＋４x＋１＝(x＋１)２＋２(x＋１)－２, 所以所求函数解析式为f(x)＝x２＋２x－２． (２)(待定系数法)由题意, 设函数为f(x)＝ax＋b(a≠０), 因为３f(x＋１)－f(x)＝２x＋９, 所以３a(x＋１)＋３b－ax－b＝２x＋９, 即２ax＋３a＋２b＝２x＋９, 由恒等式性质,得 ２a＝２, ３a＋２b＝９,{ 所以a＝１,b＝３． 所以所求函数解析式为f(x)＝x＋３． (３)２f(x)＋f １x( )＝３x,① 将①中x换成１x ,得２f １x( )＋f(x)＝ ３ x ,② ①×２－②得３f(x)＝６x－３x． 所以f(x)＝２x－１x． [例４]　[解析]　 (１)由 题 意 知 f(２)＝２２ ＋２－２＝４,则 f １f(２)( )＝f １ ４( )＝１－ １ ４( ) ２ ＝１５１６． (２)当x∈[０,１]时,f(x)＝２x２∈[０,２],所以函数f(x)的值 域为[０,２]∪{２,３}＝[０,２]∪{３}． [答案]　(１)A　(２)D [例５]　[解]　当－１≤x＜１时,函数y＝f(x)的图象是一条 线段,故可设f(x)＝ax＋b(a≠０),将点(－１,－２),(１,１)代 入,解得a＝３２ ,b＝－１２ ,故f(x)＝３２x－ １ ２ ; 当１≤x＜２时,函数y＝f(x)的图象是一条平行于x轴的线 段,即f(x)＝１; 当２≤x≤３时,同理可得f(x)＝２． 综上可知,f(x)＝ ３ ２x－ １ ２　 (－１≤x＜１), １　(１≤x＜２), ２　(２≤x≤３)． ì î í ïï ï 变式训练 １．解析:依题意,f[g(１)]＝f(１)＝２;f[g(０)]＝f(２)＝１,g[f(０)] ＝g(１)＝１,f[g(１)]＝f(１)＝２,g[f(１)]＝g(２)＝０,f[g(２)]＝ f(０)＝１,g[f(２)]＝g(１)＝１,因 此 当 且 仅 当 x＝１ 时, f[g(x)]＞g[f(x)]成立,所以满足f[g(x)]＞g[f(x)]的 x的值是１． 答案:２　１ ２．解:(１)函数y＝－x＋１,x∈Z的图象是直线y＝－x＋１上 所有横坐标为整数的点,如图(a)所示． (２)由于０≤x＜３,故函数的图象是抛物线y＝２x２－４x－３介于 ０≤x＜３之间的部分,如图(b)． ３．解:(１)设f(x)＝kx＋b(k≠０),则 f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝４x－３, 即 k ２＝４ kb＋b＝－３{ ,解得 k＝２ b＝－１{ ,或 k＝－２ b＝３{ , 所以f(x)＝２x－１或f(x)＝－２x＋３． (２)由题意设f(x)＝ax２＋bx＋c(a≠０), 所以 f(０)＝c＝１ f(１)＝a＋b＋c＝２ f(２)＝４a＋２b＋c＝５ { ,解得 a＝１ b＝０ c＝１{ , 所以f(x)＝x２＋１． (３)法一:(拼凑法)因为f(x－１)＝x＋２ x ＝(x－１)２＋４(x－１)＋３,而 x－１≥－１, 所以f(x)＝x２＋４x＋３(x≥－１)． 法二:(换元法)令t＝ x－１, 则 x＝t＋１,且t≥－１． 所以f(t)＝(t＋１)２＋２(t＋１)＝t２＋４t＋３, 即f(x)＝x２＋４x＋３(x≥－１)． ４．解:(１)因为f(x)＝ x２,x≤０, ２－x,x＞０,{ 所以f(f(－２))＝f(４)＝２－４＝－２． (２)当x≤０时,则x２＝１２x ,即x＝０或x＝１２ , 所以x＝０;当x＞０时,２－x＝１２x ,即x＝４３ ,所以x＝４３． 综上,x＝０或４３． ５．解:(１)当a≥０时,f(a)＝a２＋a＝６,得a＝２, 当a＜０时,f(a)＝２－a＝６,得a＝－４, 综上可知a＝２或a＝－４． (２)图象如图: ∵f(０)＝０,f(２)＝２２＋２＝６,f(－２)＝２－(－２)＝４, ∴由图象可知函数f(x)的值域为[０,６]． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９２２􀅰 参考答案 (３)当x∈[１,４]时,g(x)＝f(x)＋(２a－１)x＋２ ＝x２＋２ax＋２,配方得g(x)＝(x＋a)２＋２－a２, 当－a≤５２ ,即a≥－５２ 时,g(x)max＝g(４)＝１８＋８a, 当－a＞５２ ,即a＜－５２ 时,g(x)max＝g(１)＝３＋２a, 综上可知,g(x)max＝ １８＋８a,a≥－５２ ３＋２a,a＜－５２ ì î í ïï ï ． 随堂步步夯实 １．B　[令x－１＝２,得x＝３,∴f(２)＝３２－３＝６．] ２．C　[当x＜０时,图象为抛物线y＝x２ 在y轴左侧的图象, 当x≥０,图象为直线y＝x－１在y轴右侧的图象．] ３．解析:(１)由g(f(x))＝２,∴f(x)＝２,∴x＝１． (２)∵g(２)＝２,∴f(g(２))＝f(２)＝３． 答案:(１)１　(２)３ ４．解析:令x＝y＝１,则f(２)＝f(１)＋f(１), ∴２f(１)＝４．∴f(１)＝２． 答案:２ ５．解:(１)函数的定义域为(０,１２), 当０＜x≤４时,f(x)＝１２×４×x＝２x ; 当４＜x≤８时,f(x)＝１２×４×４＝８ ; 当８＜x＜１２时,f(x)＝１２×４× (１２－x)＝２４－２x． 所以函数解析式为f(x)＝ ２x,x∈(０,４], ８,x∈(４,８], ２４－２x,x∈(８,１２)．{ (２)图象如图所示．从图象可以看出f(x)的值域为(０,８]． §３　函数的单调性和最值 第１课时　函数的单调性 课前预习学案 情境引入 　提示:随着x值的增大,函数图象有的呈上升趋势,有的呈 下降趋势,有的在一个区间内呈上升趋势,在另一区间内呈 下降趋势． 知识梳理　知识点一 f(x１)＜f(x２)　f(x１)＞f(x２)　 [思考] １．提示:不能． 知识点二 单调递增　单调递减　单调区间 [思考] ２．提示:不一定,可能是定义域的一部分． ３．提示:y＝１x 在定义域上不是减函数,但是它有两个单调递 减区间(－∞,０),(０,＋∞)． 预习自测 １．D　２．D　３．(－∞,１]和(１,＋∞) 课堂互动学案 [例１]　[证明]　对于任意的x１,x２∈(０,＋∞),且x１＜x２, 有f(x１)－f(x２)＝ １ x２１ －１ x２２ ＝ x２２－x２１ x２１x２２ ＝ (x２－x１)(x２＋x１) x２１x２２ ． ∵x２＞x１＞０, ∴x２－x１＞０,x１＋x２＞０,x２１x２２＞０． ∴f(x１)－f(x２)＞０,即f(x１)＞f(x２)． ∴函数f(x)＝１x２ 在(０,＋∞)上是减函数． 对于任意的x１,x２∈(－∞,０),且x１＜x２,有 f(x１)－f(x２)＝ (x２－x１)(x２＋x１) x２１x２２ ． ∵x１＜x２＜０,∴x２－x１＜０,x２＋x１＞０,x２１x２２＞０． ∴f(x１)－f(x２)＜０,即f(x１)＜f(x２)． ∴函数f(x)＝１x２ 在(－∞,０)上是减函数． [例２]　[解]　y＝－x２＋２|x|＋３ ＝ －x ２＋２x＋３＝－(x－１)２＋４,(x≥０), －x２－２x＋３＝－(x＋１)２＋４,(x＜０)．{ 函数图象如图所示． 函数在(－∞,－１),[０,１)上是增函数, 函数在[－１,０),[１,＋∞)上是减函数． ∴函数的单调增区间是(－∞,－１)和[０,１), 单调减区间是[－１,０)和[１,＋∞)． [例３]　[解析]　(１)B　[∵f(x)在(０,＋∞)上是减函数,且 a２－a＋１＝ a－１２( ) ２ ＋３４≥ ３ ４＞０ , ∴f(a２－a＋１)≤f ３４( )．] (２)因为函数f(x)在定义域(－１,１)上是减函数,且f(１－a) ≤f(３a－２),所 以 －１＜３a－２≤１－a＜１,解 得 a ∈ １３ ,３ ４( ]． 答案: １ ３ ,３ ４( ] [例４]　[解]　f(x)＝x２＋２(a－１)x＋２ ＝[x＋(a－１)]２－(a－１)２＋２, ∴此二次函数的对称轴为x＝１－a． ∴f(x)的单调递减区间为(－∞,１－a]． ∵f(x)在(－∞,４]上是减函数, ∴对称轴x＝１－a必须在直线x＝４的右侧或与其重合． ∴１－a≥４,解得a≤－３． 变式训练 １．解:任取１＜x１＜x２,因为f(x１)－f(x２) ＝ x１＋１ x１－１ － x２＋１ x２－１ ＝ ２(x２－x１) (x１－１)(x２－１) , ∵１＜x１＜x２, ∴x１－１＞０,x２－１＞０,x２－x１＞０, ∴f(x１)－f(x２)＞０⇒f(x１)＞f(x２), ∴f(x)在区间(１,＋∞)上是单调减函数． ２．解:f(x)＝ －x－３,　(x≤１) (x－２)２＋３,　(x＞１){ 的图象如图所示． 由图可知,函数的单调递减区间为(－∞,１]和(１,２);单调增区 间为[２,＋∞)． ３．解:∵f(x)是定义在(０,＋∞)上的减函数, 且f(x)＜f(２x－３), ∴ x＞０, ２x－３＞０, x＞２x－３,{ 解得 ３ ２＜x＜３． ∴x的取值范围是 ３２ ,３( )． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０３２􀅰 数学􀅰必修第一册