第二章 1 生活中的变量关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

变式训练 １．解析:(１)易知A＝{１,２},又 A∪B＝(０,１,２},所以集合B 可以是:{０},{０,１},{０,２},{０,１,２}． (２)当m＋２＝５时,m＝３,M＝{１,５,１３),符合题意; 当m２＋４＝５时,m＝１或m＝－１,若m＝１,则 M＝{１,３,５}, 符合题意;若m＝－１,则m＋２＝１,不满足元素的互异性,故 m＝３或１． 答案:(１)C　(２)３或１ ２．D　[当m＝０时,方程mx－６＝０无解,B＝∅,满足B⊆A; 当m≠０时,B＝{ ６m } ,因为B⊆A,所以 ６ m＝２ 或６ m＝３ , 解得m＝３或m＝２．] ３．(１)D　[由题意得,B＝{１,４,７,１０},所以A∩B＝{１,４}．] (２)A　[由题意知∁UA＝{２,５}, 所以(∁UA)∪B＝{２,４,５}．] ４．(１)B　[量词“存在”否定后为“任意”,结论“它的平方是有 理数”否定后为“它的平方不是有理数”．] (２)BC　[A 中,x２＋x＋３＝ x＋１２( ) ２ ＋１１４ ＞０ ,故 A 是假 命题;B中,x∈Q,１３x ２＋１２x＋１ 一定是有理数,故 B是真 命题;C中,x＝４,y＝１时,３x－２y＝１０成立,故 C 是真命 题;对于 D,当x＝０时,左边＝右边＝０,故 D为假命题．] ５．解:由题意知p:－２≤x－３≤２, 即１≤x≤５,∴命题p的否定:x＜１或x＞５． ∵命题q:m－１≤x≤m＋１, ∴命题q的否定:x＜m－１或x＞m＋１． 又∴命题p的否定是命题q的否定的充分不必要条件, ∴ m－１＞１ , m＋１≤５{ 或 m－１≥１, m＋１＜５,{ ∴２≤m≤４． ∴实数m 的取值范围是[２,４]． ６．(１)AD　[因为a＞１,所以１a ＜１ ,所以 A 正确;若a＋c＞b, 可令a＝１,c＝１,b＝－１,则有１a＞ １ b ,故 B错误;对于 C,可 取a＝１２ ,则a２＜a,故 C错误;因为ac２＞bc２,所以c２＞０, 所以a＞b,故 D正确．] (２)解:a ２ b＋ b２ a( )－(a＋b)＝ a２ b－b＋ b２ a－a ＝a ２－b２ b ＋ b２－a２ a ＝(a２－b２) １b－ １ a( ) ＝(a２－b２)a－bab ＝ (a－b)２(a＋b) ab , 因为a＞０,b＞０,且a≠b, 所以(a－b)２＞０,a＋b＞０,ab＞０, 所以 a ２ b＋ b２ a( )－(a＋b)＞０, 即a ２ b＋ b２ a＞a＋b． ７．解:(１)原不等式组可化为 x＜－２ 或x＞０, －１＜x＜１,{ ,即０＜x＜１, 所以原不等式组的解集为{x|０＜x＜１}． (２)原不等式等价于 ６－２x≤x２－３x, x２－３x＜１８,{ 即 x２－x－６≥０, x２－３x－１８＜０,{ 因式分解,得 (x－３)(x＋２)≥０, (x－６)(x＋３)＜０,{ 所以 x≤－２,或x≥３, －３＜x＜６,{ 所以－３＜x≤－２或３≤x＜６． 所以不等式的解集为{x|－３＜x≤－２,或３≤x＜６}． ８．解:因为x＞０,y＞０,且x＋２y＝５, 所以９ x＋ ２ y＝ １ ５ (x＋２y) ９x＋ ２ y( ) ＝１５ １３＋ １８y x ＋ ２x y( ) ≥ １ ５ １３＋２ １８y x 􀅰２x y æ è ç ö ø ÷＝５, 当且仅当 x＋２y＝５, １８y x ＝ ２x y ,{ 即 x＝３,y＝１,{ 时等号成立． 所以９ x＋ ２ y 的最小值为５,此时x＝３,y＝１． ９．D　[∵x＞０,y＞０,不等式 １x ＋ １ y ＋ m x＋y≥０ 恒成立,即 m≥－ １x＋ １ y( ) (x ＋ y)恒 成 立,∴ 只 需 m ≥ － １x＋ １ y( )(x＋y)[ ] max,∵ １ x＋ １ y( )(x＋y)＝２＋ x y ＋ y x ≥２＋２ x y 􀅰y x ＝４ ,当且仅当x＝y时取等号． 所以－ １x＋ １ y( )(x＋y)≤－４．∴实数m≥－４, ∴实数m 的最小值为－４．] １０．解:(１)依题意y＝１００ １－x１０( ) 􀅰１００ １＋ ８ ５０x( ) , 又售价不能低于成本价, 所以１００ １－x１０( )－８０≥０,解得x≤２, 所以y＝f(x)＝２０(１０－x)(５０＋８x)(０≤x≤２)． (２)２０(１０－x)(５０＋８x)≥１０２６０, 化简得:８x２－３０x＋１３≤０,解得１２≤x≤ １３ ４． 又x∈[０,２],所以x的取值范围为１２≤x≤２． 第二章　函数 §１　生活中的变量关系 课前预习学案 知识梳理　知识点二 每一个值　都有唯一确定 [思考] １．提示:判断两个变量有无依赖关系,主要看其中一个变量变 化时,另一个变量是否随之变化． ２．提示:能,符合函数关系,可以是多对一,一对一． ３．提示:一个函数． 预习自测 １．D　[D中,当x＝２时,y＝±３,即给定了一个x 的值,有两 个y值与之对应,因此y不是x的函数;当y＝３时,x＝±２,即 给定了一个y的值,有两个x值与之对应,因此x也不是y 的 函数．] ２．A　 [小 麦 总 产 量 与 种 子、施 肥 量、水、日 照 时 间 等 都 有 关系．] ３．解析:(１)球的表面积随半径的变化而变化,且由半径唯一确 定,所以是函数关系． (２)一般情况下,家庭支出随家庭收入的变化而变化,但收入 一定时,支出并不唯一确定,所以是依赖关系． 答案:(１)函数　(２)依赖 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)科学家通过实验发现,做自由落体运动的 物体下落的距离(h)与时间(t)具有关系h＝ １２gt ２,其中g 是常量,很显然,对于时间t在其变化范围内的每一个取值, 都有唯一的下落距离h与之对应,故这两个变量存在依赖关 系,且距离是时间的函数． (２)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依 赖关系,但商品的销售额还受其他因素的影响,比如产品的 质量、价格、售后服务等,所以商品的销售额与广告费之间不 是函数关系． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６２２􀅰 数学􀅰必修第一册 (３)家庭的食品支出与电视价格之间不存在依赖关系．综上 可知,(１)中的变量间存在依赖关系,且是函数关系;(２)中变 量间存在依赖关系,但不是函数关系;(３)中两个变量间不存 在依赖关系． [例２]　[解]　观察图象可知: (１)全天最高气温大约是９ ℃,在１４时达到,全天最低气温 大约是－２℃,在４时达到． (２)大约在８时和２２时,气温为０℃． (３)在８时到２２时之间,气温在０℃以上． (４)由图象可知随着时间的增加气温先降再升后降,对于时 间t的每个取值,都有唯一的气温Q 与之对应,所以气温Q 是时间t的函数． [例３]　[解]　依题意知邮件的质量６kg与邮资 M 元的函数 解析式为M＝ １２,０＜m≤１, ２０,１＜m≤２, ２８,２＜m≤３, ⋮　　　⋮ ２４４,２９＜m≤３０． ì î í ï ï ï ï 其图象如图: 变式训练 １．解:(１)因为圆的面积S 与半径r 存在S＝πr２ 的关系,因此 圆的面积与其半径长存在依赖关系,也是函数关系． (２)一般情况下,商品的价格越低,销售量越大,但只是依赖 关系,不是函数关系． (３)一个人的身高与体重有一定的关系,但体重并不完全由 身高来决定,还受人的胖瘦等因素的影响,因此一个人的身 高与体重之间存在依赖关系,但不是函数关系． (４)某同学的学习成绩与学习时间有一定的关系,但学习成 绩并不完全由学习时间而定,还受其他因素的影响,如这位 同学的学习效率、智力等,因此某同学的学习时间与其学习 成绩之间存在依赖关系,但不是函数关系． 综上所述,(１)(２)(３)(４)均存在依赖关系,其中仅(１)是函数 关系． ２．解:是函数关系,因为x,y 的取值范围分别是A＝{１０,１５, ２０,３０,４０,５０,６０},B＝{９００,９５０,１０００,１５００,２０００,２５００, ４０００},它们都是非空数集,且按照表格中给出的对应关系, 对任意的x∈A,在B 中都有唯一确定的值与之对应,所以y 是x 的函数,即y与x 是函数关系． ３．[解]　前５分钟的速度y＝１５x＋２００　(０≤t≤５); 匀速跑步１０分钟,y＝２００＋７５＝２７５　(５＜x≤１５), ∴y＝ １５x＋２００(０≤x≤５) ２７５(５＜x≤１５){ 如图: 随堂步步夯实 １．C　[A、B、D是依赖关系,对 C,W 是关于t的函数．] ２．C　[根据函数的定义,每一个自变量x的值,都有唯一确定 的y值与之对应,选项 C中,某些x 的值,有两个y值与之 对应,不符合函数的定义,所以正确选项为 C．] ３．解析:(１)题表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系; 其中所挂物体质量是自变量,弹簧长度是因变量． (２)当所挂物体重量为３千克时,弹簧长２４cm;当不挂重物 时,弹簧长１８cm． (３)弹簧长度y与所挂物体质量x 之间的关系可以用式子表 示为y＝２x＋１８(x≥０)． 答案:(１)所挂物体的质量　弹簧长度　(２)２４cm　１８cm　 (３)y＝２x＋１８(x≥０) ４．解析:(１)由表格可知y与x 是正比例函数关系y＝kx,且比 列系数为k＝２,所以x与y 的关系式为y＝２x． (２)把x＝２．５代入y＝２x,得y＝５． 答案:(１)y＝２x　(２)５ ５．解:(１)题中反映的自变量是燃烧时间,因变量是剩余长度． (２)由题表可知燃烧时间每增加１０min,长度减小１cm, ∴所求关系式为y＝２０－x１０． §２　函数 ２．１　函数概念 课前预习学案 情境引入 　(１)提示:A＝{t|０≤t≤２６)． (２)提示:B＝{h|０≤h≤８４５}． (３)提示:唯一确定． 知识梳理　知识点一 １．非空的数集　确定的　任意　唯一　y＝f(x),x∈A ２．x的取值范围A　３．函数值的集合{f(x)|x∈A}　子集 [思考] １．提示:不一定．值域是集合B 的子集,即{f(x)|x∈A}⊆B． ２．提示:不一定．可以是数表,也可以是图象． ３．提示:这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x 的函数”的数 学表示,应理解为x是自变量,它是关系所施加的对象;f是 对应关系,它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格, 也可以是文字描述;y是自变量的函数,当x 允许取某一具 体值时,相 应 的y 值 为 与 该 自 变 量 值 对 应 的 函 数 值．y＝ f(x)仅仅是函数符号,不表示“y等于f 与x 的乘积”．在研 究函数时,除用符号f(x)外,还常用g(x),F(x),G(x)等来 表示函数． ４．提示:f(x)与f(a)的区别与联系:f(a)表示当x＝a时,函 数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,一般 情况下,它是一个变量,f(a)是f(x)的一个特殊值,如一次 函数f(x)＝３x＋４,当x＝８时,f(８)＝３×８＋４＝２８是一个 常数． 知识点二 １．定义域　对应关系　值域　２．定义域　对应关系　定义域 　对应关系 [思考] ５．提示:由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域,所 以判断两个函数是否是同一个函数,只看定义域和对应关系 即可． ６．提示:不一定,如果对应关系不同,这两个函数一定不是同一 个函数． 预习自测 １．①②④　２．{x|x＜４}　３．③ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)A 中的任一元素按照对应关系y＝|x|,在 B 中都有唯一确定的元素与之对应,故是集合 A 到集合B 的函数． (２)A 中的元素０在B 中没有对应元素,故不是集合A 到集 合B 的函数． (３)A 中元素负数没有平方根,故在B 中没有对应的元素, 且 x不一定是整数,故此对应关系不是集合A 到集合B 的 函数． (４)对于集合A中任意一个实数x,按照对应关系f:x→y＝１, 在集合B 中都有唯一一个确定的数１与它对应,故是集合A 到集合B 的函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７２２􀅰 参考答案 §１　生活中的变量关系 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．通过生活中的实际例子,引起学生积极的思考和交流,从而认识到 生活中处处可以遇到变量间的依赖关系,能够利用初中对函数的 认识,了解依赖关系与函数关系的联系与区别 ２．在实际问题中找出变量之间的对应关系,深刻理解函数的概念;分 段函数的概念,能够写出分段函数的解析式,画出其图象 结合实例判断变量之间 的函数关系,发展学生 数学抽象、直观想象、逻 辑推理素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 居民每月应缴电费y(单位:元)是用电量x(单 位:kW􀅰h)的函数,反过来,x是y的函数吗? 为什么? [知识梳理] [知识点一]　两变量之间的关系 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．依赖关系:在某变化过程中有两个变量,如 果其中一个变量的值发生了变化,另一个变 量的值也会随之发生变化,那么就称这两个 变量具有依赖关系． ２．非依赖关系:在某变化过程中有两个变量, 如果其中一个变量的值发生了变化,另一个 变量的值不会发生任何变化,那么就称这两 个变量具有非依赖关系． [知识点二]　函数的关系 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 如果在一个变化过程中,有两个变量x和y, 对于变量x的　　　　　　,变量y　　　 　　　的值和它对应,那么y 就是x 的函 数,其中x是自变量,y是因变量． 表示两个变量关系的函数的代数式,叫函数 解析式． 凡是要确定两个变量具有函数关系,就要判 断“对于变量x的每一个值,变量y都有唯 一确定的值和它对应．” 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．如何判断两个变量之间具有依赖 关系? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．在判断两个变量是否是函数关系时,如果 有两个变量x１,x２ 都对应同一个变量y, 其他每一个x都对应唯一确定的y,能否 判断两个变量具有函数关系? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点三]　分段函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 在变量x的不同取值范围内,有不同的对应 关系,需要用不同的解析式来表示的函数叫 作分段函数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３．分段函数是一个函数还是多 个 函数? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６５􀅰 数学􀅰必修第一册 [预习自测] １．下列等式中的变量x,y 不具有函数关系 的是 (　　) A．y＝２x B．y＝１x C．y＝x２＋３x－１ D．y２＝x２＋５ ２．张大爷种植了１０亩小麦,每亩施肥x千克, 小麦总产量为y千克,则 (　　) A．x,y之间有依赖关系 B．x,y之间有函数关系 C．y是x 的函数 D．x是y 的函数 ３．(１)球的半径与表面积之间的关系是　　　 关系． (２)家庭收入与支出之间的关系是　　　　 关系． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　两变量关系的判断 [例１]下列过程中,各变量之间是否存在依 赖关系? 其中哪些是函数关系? (１)做自由落体运动的物体下落的距离与时 间的关系; (２)商品的销售额与广告费之间的关系; (３)家庭的食品支出与 电 视 价 格 之 间 的 关系． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　根据依赖关系和函数关系的 定义判断． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 依赖关系与函数关系的判断方法与步骤 (１)对于两个变量,如果一个变量的改变影 响另一个变量,则这两个变量具有依赖 关系,否则不具有依赖关系． (２)如果两个变量具有依赖关系,且一个变 量的确定决定另一个变量的确定,则这 两个变量具有函数关系,否则不具有函 数关系． 􀳀[变式训练] １．下列各组中的两个变量之间是否存在依赖 关系? 其中哪些是函数关系? (１)圆的面积和它的半径长; (２)商品的价格与销售量; (３)一个人的身高与体重; (４)某同学的学习时间与其学习成绩． 　变量关系的表示 [例２]如图所示为某市一天２４小时内的气温 变化图,根据图象回答下列问题． (１)全天的最高气温,最低气温分别是多少? (２)大约在什么时刻,气温为０℃? (３)大约在什么时刻内,气温在０℃以上? (４)变量Q 是关于变量t的函数吗? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　抓住图象的特征:上升、下 降,以及图中数据解题． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７５􀅰 第二章　函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)表述两变量关系的常用方法是图象法 和表格法． (２)在解题过程中要尽可能地利用题目所 提供的数据,充分挖掘图象以及数据、 表格中包含的信息,从而将问题解决． 􀳀[变式训练] ２．以下是某电视台的广告价格表(单位:元) 　　　　 播出 　　　　 时长 价格　 　播出时间段　　 １０s１５s２０s３０s４０s５０s６０s １９:３０~２２:００ ９００ ９５０ １０００１５００２０００２５００ ４０００ 试问:广告价格与播出时间之间的关系是否 是函数关系? 分段函数关系 [例３]国内某快递公司邮寄普通货物限重 ３０kg,从A 城市到B 城市的快递资费标准 是:质量１kg及以下收费１２ 元,以后质量 每增加１kg收费增加８元,质量不足１kg 按１kg计算．请写出邮件的质量Gkg与邮 资 M 元的函数解析式,并画出局部图象． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　根据分段函数的定义,写出 当定义域不同时,每一部分的解析式,然后 作图． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 形如例３中的函数,一般叫作分段函数． 解决这类问题的关键是在自变量的不同范 围内因变量对应的关系不同． 􀳀[变式训练] ３．小芳以２００米/分的速度起跑后,先匀加速 跑５分钟,每分提高速度１５米/分,又匀速 跑１０分钟,试写出这段时间里她跑步速度 y(米/分)随跑步时间x(分)变化的函数关 系式,并画出图象． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８５􀅰 数学􀅰必修第一册 １．下列变量之间的关系是函数关系的是 (　　) A．生活质量与人的身体状况间的关系 B．某人的体重与饮食状况 C．一只６０瓦的白炽灯的耗电量W 与时间t D．蔬菜的价格与供应量 ２．以下形式中,不能表示“y是x 的函数”的是 (　　) A． x １ ２ ３ ４ y １ ２ ３ ４ B． C．x２＋y２＝１ D．y＝x２ ３．在一次实验中,马达同学把一根弹簧的上端 固定、在其下端悬挂物体,下面是测得的弹 簧的长度y 与所挂物体质量x 的一组对 应值． 所挂物体 质量x/kg ０ １ ２ ３ ４ ５ 弹簧长度 y/cm １８ ２０ ２２ ２４ ２６ ２８ (１)上表反映了哪两个变量之间的关系, 　　　　是自变量,　　　　是因变量; (２)当所挂物体重量为３千克时,弹簧长 　　　　;不挂重物时弹簧长　　　　; (３)弹簧长度y与所挂物体质量x 之间的关 系可以用式子表示为　　　　　　　． ４．变量x与变量y 之间的关系如表: x ０ １ ２ ３ ４ 􀆺 y ０ ２ ４ ６ ８ 􀆺 (１)写出x与y 的关系式:　　　　; (２)当x＝２．５时,y＝　　　　． ５．一支原长为２０cm 的蜡烛,点燃后,其剩余 长度y(cm)与燃烧时间x(min)之前的关系 如表: 燃烧时间x (min) １０ ２０ ３０ ４０ ５０ 􀆺 剩余长度y (cm) １９ １８ １７ １６ １５ 􀆺 (１)表中反映的自变量是什么? 因变量是 什么? (２)求 出 剩 余 长 度 y(cm)与 燃 烧 时 间 x(min)之间的关系式． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９５􀅰 第二章　函数