第一章 4.3 一元二次不等式的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

４．３　一元二次不等式的应用 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．会解简单的分式不等式 ２．通过三个“二次间的关系”解简单一元二次不等式恒成立问题 ３．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以求解 通过求方程组解 集, 提升数学运算、数学 抽象和逻辑推理素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 不等式１ x＞１ 与x＜１等价吗? １x＞１ 的解集 应是什么? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识梳理] [知识点一]　一般的分式不等式的同解变形 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 法则 􀪋􀪋 １．f (x) g(x)＞　　　　　　　　． ２．f (x) g(x)≤０⇔ 　　　　, 　　　　．{ ３．f (x) g(x)≥a⇔ f(x)－ag(x) g(x) ≥０． [知识点二]　一元二次不等式恒成立的情况 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．ax２＋bx＋c＞０(a≠０)恒成立⇔ a＞０Δ＜０{ ; ２．ax２＋bx＋c≤０(a≠０)恒成立⇔ a＜０Δ≤０{ ． [预习自测] １．不等式x－１x＋２＜０ 的解集为 (　　) A．{x|x＞１}　　　B．{x|x＜－２} C．{x|－２＜x＜１}D．{x|x＜－２,或x＞１} ２．若 集 合 A＝ {x|－１≤２x＋１≤３},B＝ x|x－２x ≤０{ },则A∩B＝ (　　) A．{x|－１≤x＜０}B．{x|０＜x≤１} C．{x|０≤x≤２} D．{x|０≤x≤１} ３．不 等 式 x２ ＋mx＋m２＞０ 恒 成 立 的 条 件 是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　解简单的分式不等式 [例１]解不等式: (１)x ２－x－６ x－１ ＞０ ; (２)２x－１３－４x＞１． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 [思路点拨]　(１)x ２－x－６ x－１ ＞０⇔ (x２－ x－６)(x－１)＞０ (２)２x－１３－４x＞１⇔ ３x－２ ４x－３＜０⇔ (３x－２)(４x－ ３)＜０ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解分式不等式的策略 (１)对于形如f (x) g(x)＞０ (＜０)的不等式可等 价转化为f(x)g(x)＞０(＜０)来解决; 对于形如f(x) g(x)≥０ (≤０)的不等式可等价 转化为 f(x)􀅰g(x)≥０(≤０) g(x)≠０{ ,来解决． (２)对于不等号右边不为零的较复杂的分 式不等式,先移项再通分 (不要去分 母),使之转化为不等号右边为零,然后 再用上述方法求解． 􀳀[变式训练] １．(１)关于x 的不等式x－ax＋１＞０ 的解集为 {x|x＜－１,或x＞４},则实数a＝　　　　． (２)不等式２x－１３＋４x＞１ 的解集为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８４􀅰 数学􀅰必修第一册 　　　一元二次不等式的实际应用 [例２]某摩托车生产企业,上年度生产摩托 车的投入成本为１万元/辆,出厂价为１．２ 万元/辆,年销售量为１０００辆．本年度为适 应市场需求,计划提高产品档次,适度增加 投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为 x(０＜x＜１),则出厂价相应的提高比例为 ０．７５x,同时预计年销售量增加的比例为 ０．６x．已知年利润＝(出厂价一投入成本)× 年销售量． (１)写出本年度预计的年利润y与投入成本 增加的比例x 的关系式; (２)为使本年度的年利润比上年度有所增 加,问投入成本增加的比例x 应在什么范 围内? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　年利润＝(出厂价－投入成 本)×年销售量．所以y＝－６０x２＋２０x＋ ２００(０＜x＜１)解不等式． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解不等式应用题的步骤 􀳀[变式训练] ２．假设国家计划收购mkg某种农副产品,收 购价格是每千克１２元,其中征税标准是每 １００元征税８元(称为税率是８％),为了减 轻农民负担,国家决定将税率降低x 百分 点,预计收购量可增加２x百分点,要使此项 税收在税率降低后不低于原计划的７８％, 试确定实数x的取值范围． 　　　二次不等式的恒成立问题 [例３]　已知函数y＝mx２＋mx＋(m－１)的 值恒为负值,求m 的取值范围． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　讨论m＝０和m≠０两种情况． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一元二次不等式在R上的恒成立问题 (１)①一元二次不等式ax２＋bx＋c＞０,对 任 意 实 数 x ∈ R 恒 成 立 的 条 件 是 a＞０, Δ＜０{ ; ②一元二次不等式ax２＋bx＋c≥０,对 任 意 实 数 x ∈ R 恒 成 立 的 条 件 是 a＞０, Δ≤０;{ ③一元二次不等式ax２＋bx＋c＜０,对 任 意 实 数 x ∈ R 恒 成 立 的 条 件 是 a＜０, Δ＜０;{ ④一元二次不等式ax２＋bx＋c≤０,对 任 意 实 数 x ∈ R 恒 成 立 的 条 件 是 a＜０, Δ≤０．{ [提醒]　当不等式ax２＋bx＋c＞０未说明 为一元二次不等式时,对任意实数x∈R 恒 成 立 时 满 足 的 条 件 为 a＞０, Δ＜０,{ 或 a＝b＝０, c＞０．{ (２)在给定区间上的恒成立问题． ①a＞０时,ax２＋bx＋c＜０在x∈{x|α ≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax ２＋bx＋c在 x＝α,x＝β时的函数值同时小于０．②a ＜０时,ax２＋bx＋c＞０在x∈{x|α≤x ≤β}上恒成立⇔y＝ax ２＋bx＋c在x＝ α,x＝β时的函数值同时大于０． 􀳀[变式训练] ３．若∀１≤x≤４,不等式x２－(a＋２)x＋４≥ －a－１恒 成 立,则 实 数 a 的 取 值 范 围 为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９４􀅰 第一章　预备知识 １．不等式x ２－２x－２ x２＋x＋１ ＜２的解集为 (　　) A．{x|x≠－２}　　B．R C．∅ D．{x|x＜－２,或x＞２} ２．某商品在最近３０天内的价格m 与时间t(单 位:天)的函数关系是m＝t＋１０(０＜t≤３０,t∈ N);销售量y与时间t的函数关系是y＝－t＋ ３５(０＜t≤３０,t∈N),则使这种商品日销售金额 不小于５００元的t的范围为 (　　) A．{t|１５≤t≤２０} B．{t|１０≤t≤１５} C．{t|１０＜t＜１５} D．{t|０＜t≤１０} ３．在R上定义运算􀱋:A􀱋B＝A(B－２),若不 等式ax􀱋x＞－１的解集为x∈R,则实数a 的取值范围是 (　　) A．０＜a＜４ B．－４＜a＜０ C．０≤a＜１ D．－４＜a≤０ ４．若关于x的不等式是kx２－６kx＋k＋８≥０在R 上恒成立,则实数k的取值范围是　　　　． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 [网络构建] 集 合 集合的含义 元素与集合关系 属于 ∈,不属于 ∉ 集合的表示 列举法 图示法 描述法 集合中元素的特性 确定性 互异性 无序性 集合间的 基本关系 包含 子集 A ⊆B 真子集 A ⫋B 相等 A ＝B 集合的运算 并集 A ∪B＝ {x|x∈A,或x∈B} 交集 A ∩B＝ {x|x∈A,且x∈B} 补集 ∁UA ＝ {x|x∈U,且x∉A} 常 用 逻 辑 用 语 充分条件与 必要条件 充要条件 判定定理 必要条件 性质定理 充要条件 数学定义 全称量词与 存在量词 全称量词 全称量词命题 存在量词 存在量词命题 全称量词 命题和存 在量词命 题的否定 􀅰０５􀅰 数学􀅰必修第一册 数学·必修第一册 3.解：，ar+br+c>0的解桑为{x一3<x<4}, ,.a<0且一3和4是一元二次方程dz十b,x十c=0的两根， |-3+4=-6 ,“,解得一a -3×4= 1c=-12a .不等式bx2+2u.x-c-36<0 可化为-a.x2+2a,x十15a<0. 即x2-2.x-15<0, .-3<x<5, .所求不等式的解集为{x一3<x<5}. 随堂步步夯实 1.B2.BCD3.{a1≤≤2}4.m≤1或m≥9 5.解：将x-3ax-18a>0变形得(x-6a)(x+3a)>0, 方程(x一6a)(x+3a)=0的两根为6a,一3a. 所以当t>0时，6a>一34，原不等式的解集为{x|x<一3a, 或x>6a}: 当a=0时，6a=一3a=0,原不等式的解集为{xx≠0}； 当a<0时，6a<一3a,原不等式的解集为{x|x<6a, 或x>-3u}. 4.3 一元二次不等式的应用 课前预习学案 情境引入 提示：不等价：{x0<x<1}. 知识梳理知识点一 1.0=f(x)·gx)>02.f.x)·g(x)≤0g(x)≠0 预习自测 1.C2.B 3.{m0n2 课堂互动学案 [例1门解：(1)原不等式等价于 =仁56>00 “1x-10 解得x>3或-2<x<1. .原不等式的解集为{xx>3,或一2x<1}. (2)原不等式可化为1-1>0， 3-4x 即3-名<0，等价于(3x-2)(4x-3)<0, 4x-3 << 3 “原不等式的解集为女导<<号} [例2[解](1)由题意，得y=[1.2×(1十0.75x)一1× (1+x)]×1000×(1+0.6.x)(0<x<1). 整理得y=一60.x2十20x+200(0<x<1). (2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当 (二1.2-DX1000>0,p{-60x+20r>0. 10<x<1, 10<x<1, 解不等式血，得0<号，所以为保运本年度的年利润比上年 度有所增加，投入成本增加的比例x的范国为{红0<<分} [例3][解]函数y=m.x2十mx十(m一1)的值恒为负值，即 不等式m十mx十(m一1)<0对一切实数x都成立，于是 ①当m=0时，一1<0恒成立： ②当m≠0时，要使其位成立， 剩有m<0, 解得m<0. △=m-4m(一1)<0， 综上，m的取值范图为(mm≤0} 变式训练 1.解析：1年>0=(+1Dr-a)>0 又围为原不等式的解集为{xx<一1，或x>4}, 所以(x十1)(x-4)>0,所以a=4. ·2 ()原不等式化为纤品-1>0，中号<0， 所以(x+2(4x+3)<0,所以-2<x<- 3 所以原不等式的解条为{-2<<-是} 答案：42-2KK-} 2.解：税率降低后是(8-x)%,枚购量为m(1十2x%)kg,税率 降低后的税收为12m(1十2r%)(8一x)%元，原来的税收为 12m×8%元. 根据题意，可得12m(1十2x%)(8-x)%≥12m×8%×78%, 即x十42.x一88≤0.解得一44≤x≤2. 又x>0,.0<x≤2， ∴.实数x的取值范园是{x0<x≤2} 3.解析：H1≤x≤4，不等式x2-(a十2)x十4>-a-1恒成 立，即H1≤x≤4，a(x-1)≤x2-2x十5恒成立， ①当x=1时，不等式为0≤4恒成立，此时a∈R: ②当1<≤4时4≤-2+5=x-1+ x-1 x-1 1<x≤4，.0<x-1≤3， -1+≥2-1 x-1 =4(当且仅当x-1 与，即x=3时取等号)心a≤4.综上，实数a的取值范 4 图为{aa≤4}. 答案：{aa≤4 随堂步步夯实 1.A2.B 3.C[由a.x⊙x>一1的解集为x∈R,可得ax(x-2)>-1 恒成立，即a.x2一2a.x+1>0恒成立，当a=0时，1>0恒成 立灵题意：宝0时：有”0部得0<1.能 上可得，0≤u<1.] 4.{k10≤k≤1) 章末归纳提升 归纳提升 [例1][解析](1)：a∈A,b∈A,x=a十b,所以x=2,3, 4,5,6,8,.B中有6个元素，故选C (2)当x=0,y=0时，xy=0:当x=0,y=1时，x一y= 一1；当x=0,y=2时，x-y=-2:当x=1,y=0时x-y= 1:当x=1y=1时-y=0:当x=1y=2时，2-y=-1: 当x=2,y=0时，x一y=2:当x=2,y=1时，r一y=1:当x =2,y=2时，x一y=0.根据集合中元素的互异性知，B中元 素有0，-1，-2,1,2，共5个. 「答案](1)C(2)C [例2][解析](1)用列举法表示集合A.B,根据集合关系 求出集合C的个数.由x2一3x十2=0得m=1或x=2, .A=1,2}.由题意知B=〈1,2,3,4》，.满足条件的C可 为{1,2}，1,2,3}，{1,2,4}，1,2,3,4}，共4个 (2)由B二A,则x=4或x=2x,当x=4时，x=士2，但 x=2时，2x=4,这与集合元素的互异性相矛盾：当.x°=2x 时，x=0或x=2(舍)， 综上所述，x=一2或x=0. (3)当B=☒时，有m十1≥2m一1，则m≤2. 当B≠☑时，若B二A,如图】 -2m+10 2m17元 m十1≥-2， 则2m-1≤7. 解得2<m≤4. m十1<2m-1, 综上，m的取值范围为（一∞，4门. [答案](1)D(2)0或-2(3)(-∞，4]