第一章 4.2 一元二次不等式及其解法-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

数学·必修第一册 随堂。步步夯实 1.把函数y=一2(x+1)2十3的图象向左平移 4.已知二次函数y=f(x)的图象如图所示，则 1个单位长度，并把所得到的函数图象上的 此函数的解析式为 每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 所得到的函数的解析式为 ( Ay=-(+2y+号 0 B.y=-(x+2)2+3 5.求函数f(x)=x2-4ax-2在区间[0,2]上 Cy=-+ 的最小值. D.y=-x2+3 2.一元二次函数y=3(x+1)2-2的图象可以 由函数y=3x2的图象经过怎样的变换得到 () A.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 C.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 3.（多选)下列关于二次函数y=(x-2)2一1 的说法正确的是 () A.Hx∈R,y=(x-2)2-1≥1 B.Ha>-1,3x∈R,y=(x-2)2-1<a C.Va<-1,3x∈R,y=(x-2)2-1=a C温馨提 学习至此，请完成配套训练 D.3x1≠2，(x1-2)2-1=(x2-2)2-1 4.2一元二次不等式及其解法 课程标准 素养解读 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 通过求一元二次方程的解集及根 2.掌握图象法解一元二次不等式 与系数关系的应用，提升逻辑推 3.会对含参数的一元二次不等式分类讨论 理和数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] 令a.x2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)） 利用恒等式的变形，推导一元二次方程根与系 =ax-a(x+x2)x+axxz, 数的关系如下 b=-a(x十x)·即 2+x2=-b a 设一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)，两根 c=, 为x1xg” x12= ·44· 第一章预备知识 [知识梳理] 2.本质：一元二次方程、一元二次不等式是 [知识点一]一元二次不等式 元二次函数y=a.x2+bx十c(a≠0)的特殊 1.定义：形如a.x2+bx十c>0,或a.x2+x+c<0, 情况，它们之间是一种包含关系，也就是当 或a.x2十b.x十c≥0，或ax2+bx十c≤0（其中 x为未知数，a,b,c均为常数，且a≠0)的不 y=0时，函数y=a.x2十bx+c(a≠0)就转化 等式叫做一元二次不等式 为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元 2.一元二次不等式的解集：使一元二次不等式 二次不等式 的所有 的值组成的集合 3.应用：①解一元二次不等式：②已知一元二 叫作这个一元二次不等式的解集 次不等式的解集求参数， 幻思考1.不等式x2+2>0是一元二次不等 2思考3.当△=0时，不等式a.x2十bx十c≥0 式吗？ (a>0)与ax2+bx+c≤0(a>0)的解集分 别是什么？ 2.一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以 省略吗？ [知识点二]一元二次函数与一元二次方程、 [预习自测] 一元二次不等式的解的对应关系 1.对应关系 1.不等式-2x2十x十3<0的解集是 △>0 △=0 △<0 A.{xx<-1} B{女>别 y=ar'+bx +c(a>0) C{-1KK}DK-1.或>} 的图象 2.使式子1一有意义的实数x的取值范围是 有两个不相 有两个相等 ax+bx+c 等的实数根 的实数根 没有实 =0(a>0) x2(x1< x1=x2= 数根 A.{x|x>0,或x<-1} 的根 x:) b 2a B.{xx≥0，或x≤-1} ax'+bx+c C.{x|-1<x<0} >0(a>0) D.{x-1≤x≤0} 的解集 3.若二次函数y=a.x2十bx+c(a<0)的图象 a.x+h.x十c <0(a>0) 与x轴的两个交点为（一1,0）和(3,0)，则不 的解集 等式a.x2+b.x+c<0的解集是 45 数学·必修第一册 课堂®互动学亲 题型 二元二次不等式的解法 ⊙[变式训练] [例1]解下列不等式： 1.解下列不等式： (1)2x2+5.x-3<0: (1)x2-x-6>0: (2)-3x2+6.x≤2； (2)25.x2-10.x+1>0: (3)4x2+4x+1>0: (3)-2x2+x+1<0. (4)-x2+6.x-10>0. [思路点拨]先求对应方程的解，再依据 二次函数的图象写出不等式的解集. 题里二含参数的二元二次不等式的解法 [例2]解关于x的不等式a.x2-(a+1)x+1<0. [思路点拨]分a=0和a≠0两种情况讨论. 规律方法 一元二次不等式的两种解法 1.图象法：一般地，当a>0时，解形如ax +bx+c>0(或≥0)或a.x2+b.x+e<0 (或≤0)的一元二次不等式，一般可分为 三步： ①确定对应方程ax2十bx十c=0的解； ②画出对应函数y=a.x2+bx+c的 图象； ③由图象得出不等式的解集 对于a<0的一元二次不等式，可以直接 采取类似a>0时的解题步骤求解：也可 以先把它化成二次项系数为正的一元二 规律方法 次不等式，再求解 含参数的一元二次不等式的解法 2.代数法：将所给不等式化为一般式后借 讨论次 二次项若含付参数应讨论是等于0，小于0 项系数 还是人于0，然后将不等式转化为一次项系 助分解因式或配方求解，当p<g时，若 数为止的形式 (r-p)(x-q)>0,则x>q或x<p;若 判断方独 判断力祥的根的个数，讨论判别式△与0 根的个数 的关系 (x-p)(x一q)<0,则p<x<q.有口诀 确定无根时可肖接与山解集，确定方程有 如下“大于取两边，小于取中间” 写解集 两个银时，要讨论两根的大小关系，从前 疏定解集形成 ·46· 第一章预备知识 ⊙[变式训练] (2)求解步骤： 2.已知y=x2-(a十1)x十a. 第一步：审结论—明确解题方向 (1)当a=3时，求不等式y>0的解集； 如要解cx2十bx十a<0,首先确定c的 (2)解关于x的不等式x-(a十1).x十a≤0. 符号，最好能确定a,b,c的值. 第二步：审条件—挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不 等式的解集的关系列出关于a,b,c的 方程组，用a表示b,c, 题型三个“三次”关系的应用 第三步：建联系—一找解题突破口 [例3](1)若不等式ax2+bx+2>0的解集 由给定不等式的解集形式→确定关于 是{女一2<}则a+b= a,b,c的方程组→用a表示b,c→代入 所求不等式→求解cx2十b.x十a<0的 (2)已知不等式a.x2+bx+c>0的解集为 解集， {x2<x<3},则不等式cx2一bx+a>0的 ⊙[变式训练] 解集为 3.若关于x的不等式ax2+b.x+c>0的解集 [思路点拨]设一元二次方程a.x十bx十c 为{x|一3<x<4},求关于x的不等式 =0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x1十x2 bx2+2ax-c-3b<0的解集. a a [尝试解答](1) (2) 规律方法 一元二次不等式解集逆向应用 问题的解法及步骤 (1)求解方法： 由已知不等式的解可转化为一元二次 方程的两根，从而由根与系数的关系， 找出系数a,b,c之间的关系，写出不等 式的解集， 随堂。步步夯实 1.在R上定义运算⊙：a⊙b=ab十2a十b,则满 4.方程x2+(m一3)x十m=0有两个实根，则 足x⊙(x一2)<0的实数x的取值范围为 实数m的取值范围是 ( 5.解关于x的不等式x2-3ax-18a2>0. A.{x0<x<2 B.{xl-2<x<1} C.{x<-2,或x>1}D.{x-1<x<2 2.(多选)关于x的不等式mx2-a.x-1>0 (m>0)的解集不可能是 ( A{<-1,或> B.R c- D.☑ 3.已知集合A={x1<x<2},B={xx2 2ax十a2-1<0),若A二B,则实数a的取值 C温馨提西 范围是 学习至此，请完成配套训练 ·47·５．解:f(x)＝x２－４ax－２＝(x－２a)２－４a２－２,对称轴为直线 x＝２a． (１)当a＜０时,函数在区间[０,２]上是增加的, 因为,f(x)min＝f(０)＝－２; (２)当０≤a≤１时,f(x)min＝f(２a)＝－４a２－２; (３)当a＞１时,函数在区间[０,２]上是减少的, 因此f(x)min＝f(２)＝２－８a． 综上,f(x)min＝ －２,a＜０, －４a２－２,０≤a≤１． ２－８a,a＞１．{ ４．２　一元二次不等式及其解法 课前预习学案 知识梳理　知识点一 ２．成立　未知数 [思考] １．提示:不是．一元二次不等式一定为整式不等式． ２．提示:不可以．若a＝０,就不是二次不等式了． 知识点二 １．{x|x＜x１,或x＞x２}　 x|x≠－ b ２a{ }　R　{x|x１＜x＜x２} 　∅　∅ [思考] ３．提示:R,x|x＝－b２a{ }． 预习自测 １．D　２．C　３．{x|x＞３,或x＜－１} 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)Δ＝４９＞０,方程２x２＋５x－３＝０的两根为 x１＝－３,x２＝ １ ２ , 作出函数y＝２x２＋５x－３的图象,如图①所示． 由图可得原不等式的解集为 x|－３＜x＜１２{ }． (２)原不等式等价于３x２－６x＋２≥０．Δ＝１２＞０,解方程３x２ －６x＋２＝０,得x１＝ ３－ ３ ３ ,x２＝ ３＋ ３ ３ , 作出函数y＝３x２－６x＋２的图象,如图②所示,由图可得原 不等式的解集为 x|x≤３－ ３３ ,或x≥３＋ ３３{ }, (３)∵Δ＝０,∴方程４x２＋４x＋１＝０有两 个相等的实根x１＝x２＝－ １ ２． 作出函数 y＝４x２＋４x＋１的图象如图③所示． 由图可得原不等式的解集为 x|x≠－１２ ,x∈R{ }． (４)原不等式可化为x２－６x＋１０＜０, ∵Δ＝－４＜０, ∴方程x２－６x＋１０＝０无实根, ∴原不等式的解集为∅． [例２]　[解]　①当a＝０时,原不等式即为－x＋１＜０, 解得x＞１． ②当a＜０时,原不等式化为 x－１a( )(x－１)＞０, 解得x＜１a 或x＞１． ③当a＞０时,原不等式化为 x－１a( )(x－１)＜０． 若a＝１,即１a＝１ 时,不等式无解; 若a＞１,即１a＜１ 时,解得１ a＜x＜１ ; 若０＜a＜１,即１a＞１ 时,解得１＜x＜１a． 综上可知,当a＜０时,不等式的解集为 x|x＜１a ,或x＞１{ }; 当a＝０时,不等式的解集为{x|x＞１}; 当０＜a＜１时,不等式的解集为 x|１＜x＜１a{ }; 当a＝１时,不等式的解集为∅; 当a＞１时,不等式的解集为 x|１a＜x＜１{ }． [例３]　(１)　[解析]　由已知得, ax２＋bx＋２＝０的解为－１２ ,１ ３ ,且a＜０． ∴ －ba ＝－ １ ２＋ １ ３ , ２ a＝ － １ ２( )× １ ３ , ì î í ïï ï 解得 a＝－１２, b＝－２,{ ∴a＋b＝－１４． [答案]　－１４ (２)　[解析]　由题意知 ２＋３＝－ba , ２×３＝ca , a＜０, ì î í ï ï ï ï 即 b＝－５a, c＝６a, a＜０．{ 代入不等式cx２－bx＋a＞０, 得６ax２＋５ax＋a＞０(a＜０)． 即６x２＋５x＋１＜０,解得－１２＜x＜－ １ ３ , 所以所求不等式的解集为 x|－１２＜x＜－ １ ３{ }． [答案]　 x|－１２＜x＜－ １ ３{ } 变式训练 １．解:(１)方程x２－x－６＝０的两根为x１＝－２,x２＝３,结合二 次函数y＝x２－x－６的图象知x２－x－６＞０的解集为{x|x ＞３,或x＜－２}． (２)方程２５x２－１０x＋１＝０的两相等实根,x１＝x２＝ １ ５． 结合二次函数y＝２５x２－１０x＋１的图象知２５x２－１０x＋１＞０ 的解集为 x|x≠１５{ }． (３)法一:方程－２x２＋x＋１＝０的 解 为 x１＝－ １ ２ ,x２＝１,函数y＝－２x２＋x＋１ 的图象是开口向 下 的 抛 物 线,与x 轴 的 交点为 －１２ ,０( ) 和(１,０),如图, 观察图象知不等式的解集为 x|x＜－１２ ,或x＞１{ }． 法二:在不等式两边同乘－１,可得２x２－ x－１＞０,方程２x２－x－１＝０的解为x１ ＝－１２ ,x２＝１;画出函数y＝２x２－x－１ 的图象如图所示． 观察图象,可得原不等式的解集为 x|x＜－１２ ,或x＞１{ }． ２．解:(１)当a＝３时,x２－４x＋３＞０,(x－１)(x－３)＞０,∴x＞３ 或x＜１,不等式解集为{x|x＞３,或x＜１}． (２)不等式可化为(x－a)(x－１)≤０． ①当a＝１时,原不等式即为(x－１)２≤０,解得x＝１; ②当a＜１时,原不等式化为(x－a)(x－１)≤０, 解得a≤x≤１; ③当a＞１时,原不等式化为(x－a)(x－１)≤０, 解得１≤x≤a． 综上可知,当a＜１时,不等式的解集为{x|a≤x≤１};当a＝１ 时,不等式的解集为{x|x＝１};当a＞１时,不等式的解集为 {x|１≤x≤a}． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３２２􀅰 参考答案 ３．解:∵ax２＋bx＋c＞０的解集为{x|－３＜x＜４}, ∴a＜０且－３和４是一元二次方程ax２＋bx＋c＝０的两根, ∴ －３＋４＝－ba －３×４＝ca ì î í ïï ï ,解得 b＝－a c＝－１２a{ ． ∴不等式bx２＋２ax－c－３b＜０ 可化为－ax２＋２ax＋１５a＜０, 即x２－２x－１５＜０, ∴－３＜x＜５, ∴所求不等式的解集为{x|－３＜x＜５}． 随堂步步夯实 １．B　２．BCD　３．{a|１≤a≤２}　４．m≤１或m≥９ ５．解:将x２－３ax－１８a２＞０变形得(x－６a)(x＋３a)＞０, 方程(x－６a)(x＋３a)＝０的两根为６a,－３a． 所以当a＞０时,６a＞－３a,原不等式的解集为{x|x＜－３a, 或x＞６a}; 当a＝０时,６a＝－３a＝０,原不等式的解集为{x|x≠０}; 当a＜０时,６a＜－３a,原不等式的解集为{x|x＜６a, 或x＞－３a}． ４．３　一元二次不等式的应用 课前预习学案 情境引入 　提示:不等价;{x|０＜x＜１}． 知识梳理　知识点一 １．０⇔f(x)􀅰g(x)＞０　２．f(x)􀅰g(x)≤０　g(x)≠０ 预习自测 １．C　２．B ３．{m|０＜m＜２} 课堂互动学案 [例１]　解:(１)原不等式等价于 ⇔ x ２－x－６＞０ x－１＞０{ ,或 x２－x－６＜０ x－１＜０{ ． 解得x＞３或－２＜x＜１． ∴原不等式的解集为{x|x＞３,或－２＜x＜１}． (２)原不等式可化为２x－１３－４x－１＞０ , 即３x－２ ４x－３＜０ ,等价于(３x－２)(４x－３)＜０, ∴２３＜x＜ ３ ４． ∴原不等式的解集为 x|２３＜x＜ ３ ４{ }． [例２]　[解]　(１)由题意,得y＝[１．２×(１＋０．７５x)－１× (１＋x)]×１０００×(１＋０．６x)(０＜x＜１), 整理得y＝－６０x２＋２０x＋２００(０＜x＜１)． (２)要 保 证 本 年 度 的 利 润 比 上 年 度 有 所 增 加,当 且 仅 当 y－(１．２－１)×１０００＞０, ０＜x＜１,{ 即 －６０x２＋２０x＞０, ０＜x＜１,{ 解不等式组,得０＜x＜１３ ,所以为保证本年度的年利润比上年 度有所增加,投入成本增加的比例x的范围为 x|０＜x＜１３{ }． [例３]　[解]　函数y＝mx２＋mx＋(m－１)的值恒为负值,即 不等式mx２＋mx＋(m－１)＜０对一切实数x都成立,于是 ①当m＝０时,－１＜０恒成立; ②当m≠０时,要使其恒成立, 则有 m＜０, Δ＝m２－４m(m－１)＜０,{ 解得m＜０． 综上,m 的取值范围为{m|m≤０}． 变式训练 １．解析:(１)x－ax＋１＞０⇔ (x＋１)(x－a)＞０, 又因为原不等式的解集为{x|x＜－１,或x＞４}, 所以(x＋１)(x－４)＞０,所以a＝４． (２)原不等式化为２x－１３＋４x－１＞０ ,即x＋２ ４x＋３＜０ , 所以(x＋２)(４x＋３)＜０,所以－２＜x＜－３４． 所以原不等式的解集为 x|－２＜x＜－３４{ }． 答案:(１)４　(２)x|－２＜x＜－３４{ } ２．解:税率降低后是(８－x)％,收购量为 m(１＋２x％)kg,税率 降低后的税收为１２m(１＋２x％)(８－x)％元,原来的税收为 １２m×８％元． 根据题意,可得１２m(１＋２x％)(８－x)％≥１２m×８％×７８％, 即x２＋４２x－８８≤０,解得－４４≤x≤２． 又x＞０,∴０＜x≤２, ∴实数x的取值范围是{x|０＜x≤２}． ３．解析:∀１≤x≤４,不等式x２－(a＋２)x＋４≥－a－１恒成 立,即∀１≤x≤４,a(x－１)≤x２－２x＋５恒成立． ①当x＝１时,不等式为０≤４恒成立,此时a∈R; ②当１＜x≤４时,a≤x ２－２x＋５ x－１ ＝x－１＋ ４ x－１． ∵１＜x≤４,∴０＜x－１≤３, ∴x－１＋ ４x－１≥２ (x－１)􀅰 ４x－１＝４ (当 且 仅 当 x－１ ＝ ４x－１ ,即x＝３时取等号),∴a≤４．综上,实数a的取值范 围为{a|a≤４}． 答案:{a|a≤４} 随堂步步夯实 １．A　２．B ３．C　[由ax􀱋x＞－１的解集为x∈R,可得ax(x－２)＞－１ 恒成立,即ax２－２ax＋１＞０恒成立,当a＝０时,１＞０恒成 立,满足题意;当a≠０时,有 a＞０ ４a２－４a＜０{ ,解得０＜a＜１,综 上可得,０≤a＜１．] ４．{k|０≤k≤１} 章末归纳提升 归纳提升　 [例１]　[解析]　(１)　∵a∈A,b∈A,x＝a＋b,所以x＝２,３, ４,５,６,８,∴B 中有６个元素,故选 C． (２)当x＝０,y＝０时,x－y＝０;当x＝０,y＝１时,x－y＝ －１;当x＝０,y＝２时,x－y＝－２;当x＝１,y＝０时,x－y＝ １;当x＝１,y＝１时,x－y＝０;当x＝１,y＝２时,x－y＝－１; 当x＝２,y＝０时,x－y＝２;当x＝２,y＝１时,x－y＝１;当x ＝２,y＝２时,x－y＝０．根据集合中元素的互异性知,B 中元 素有０,－１,－２,１,２,共５个． [答案]　(１)C　(２)C [例２]　[解析]　(１)用列举法表示集合A,B,根据集合关系 求出集合C 的 个 数．由x２－３x＋２＝０ 得x＝１ 或x＝２, ∴A＝{１,２}．由题意知B＝{１,２,３,４},∴满足条件的C 可 为{１,２},{１,２,３},{１,２,４},{１,２,３,４},共４个． (２)由B⊆A,则x２＝４或x２＝２x．当x２＝４时,x＝±２,但 x＝２时,２x＝４,这与集合元素的互异性相矛盾;当x２＝２x 时,x＝０或x＝２(舍), 综上所述,x＝－２或x＝０． (３)当B＝∅时,有m＋１≥２m－１,则m≤２． 当B≠∅时,若B⊆A,如图． 则 m＋１≥－２, ２m－１≤７, m＋１＜２m－１, { 解得２＜m≤４． 综上,m 的取值范围为(－∞,４]． [答案]　(１)D　(２)０或－２　(３)(－∞,４] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４２２􀅰 数学􀅰必修第一册