第一章 3.2 第2课时 基本不等式的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

第２课时　基本不等式的应用 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 掌握基本不等式 ab≤a＋b２ (a,b≥０)．结合具体实例, 能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 通过学习基本不等式及其应用,重点 提升数学运算、逻辑推理、数学建模 素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] (１)某养殖场要用１００米 的 篱 笆 围 成 一 个 矩 形 的 鸡舍,怎样设计才能使鸡 舍面积最大? (２)某农场主想用篱笆围成一个１００００平方 米的矩形农场,怎样设计才能使所用篱笆最 省呢? 实例中两个问题的实质是什么? 如何求解? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识梳理] [知识点]　基本不等式求最值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．用基本不等式求最值 (１)设x,y为正实数,若x＋y＝s(s为定值),则当 x＝y＝s２ 时,积xy有最大值为s ２ ４． (２)设x,y为正实数,若xy＝p(p为定值),则当 x＝y＝ p时,和x＋y有最小值为　　　　． ２．基本不等式求最值的条件 (１)x,y必须是正数． (２)求积xy的最大值时,应看和x＋y是否为 定值;求和x＋y 的最小值时,应看积xy 是否为定值． (３)等号成立的条件是否满足． [预习自测] １．若x ２－x＋１ x－１ (x＞１)在x＝t处取得最小值, 则t＝ (　　) A．１＋ ２　　　B．２　　　C．３　　　D．４ ２．已知正数x,y满足８x＋ １ y＝１ ,则x＋２y的 最小值是 (　　) A．１８ B．１６ C．８ D．１０ ３．已知正数a,b满足ab＝１０,则a＋b的最小 值是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　利用基本不等式求最值 [例１](１)若x＞０,求函数y＝x＋４x 的最小 值,并求此时x的值; (２)设０＜x＜３２ ,求函数y＝４x(３－２x)的最 大值; (３)已知x＞２,求x＋ ４x－２ 的最小值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)直接应用基本不等式求 最值 ． (２)y＝４x(３－２x)＝２[２x(３－２x)]． (３)x＋ ４x－２＝x－２＋ ４ x－２＋２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋(４)利用基本不等式求最值,“一正、二定、 三相等”三个条件缺一不可． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８３􀅰 数学􀅰必修第一册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．常数代换法求最值的方法步骤 　常数代换法适用于求解条件最值问题． 应用此种方法求解最值的基本步骤为: (１)根 据 已 知 条 件 或 其 变 形 确 定 定 值 (常数)． (２)把确定的定值(常数)变形为１． (３)把“１”的表达式与所求最值的表达式相 乘或相除,进而构造和或积的形式． (４)利用基本不等式求解最值． ２．含有多个变量的条件最值问题的解决 方法 　对含有多个变量的条件最值问题,若无 法直接利用基本不等式求解,可尝试减 少变量的个数,即用其中一个变量表示 另一个,再代入代数式中转化为只含有 一个变量的最值问题． ３．应用基本不等式求最值的原则 利用基本不等式求最值,必须按照“一 正,二定,三相等”的原则,即: (１)一正:符合基本不等式a＋b２ ≥ ab 成立 的前提条件,a＞０,b＞０; (２)二定:化不等式的一边为定值; (３)三相等:必须存在取“＝”号的条件,即 “＝”号成立．以上三点缺一不可． ４．基本不等式的常见变形 (１)a＋b≥２ ab; (２)ab≤ a＋b２ æ è ç ö ø ÷ ２ ≤a ２＋b２ ２ (其中a＞０,b＞０, 当且仅当a＝b时等号成立)． 􀳀[变式训练] １．已知x＞０,y＞０,且２x＋８y－xy＝０．求: (１)xy的最小值; (２)x＋y的最小值． 　　　利用基本不等式求参数的值(范围) [例２]已知a＞０,b＞０,若不等式２a＋ １ b≥ m ２a＋b 恒成立,则m 的最大值等于 (　　) A．１０　　　B．９　　　C．８　　　D．７ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 [思路点拨]　a＞０,b＞０ 时,２a＋ １ b≥ m ２a＋b 恒 成 立,等 价 于 m ≤ (２a＋b)􀅰 ２ a＋ １ b æ è ç ö ø ÷恒成立,利用基本不等式求解． [尝试解答]　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 含参数不等式的求解策略 (１)观察题目特点,利用基本不等式确定相关 成立条件,从而得参数的值或取值范围． (２)在处理含参数的不等式恒成立问题时, 往往将已知不等式看作关于参数的不 等式,体现了主元与次元的转化． (３)恒成立问题:若f(x)在区间D 上存在 最小值,则不等式f(x)＞A 在区间D 上恒成立⇔f(x)min＞A;若f(x)在区间 D上存在最大值,则不等式f(x)＜B在 区间D上恒成立⇔f(x)max＜B． 􀳀[变式训练] ２．已知函数f(x)＝４x＋ax (x＞０,a＞０)在 x＝３时取得最小值,则a＝　　　　． 　　　利用基本不等式解决实际问题 [例３]　某房地产开发公司计划在一楼区内 建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形 A１B１C１D１ 的休闲区和环公园人行道(阴影 部分)组成．已知休闲区 A１B１C１D１ 的面积 为４０００平方米,人行道的宽分别为４米和 １０米(如图所示)． (１)若设休闲区的长和宽的比 A１B１ B１C１ ＝x(x＞１), 求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数解 析式; (２)要 使 公 园 所 占 面 积 最 小,则 休 闲 区 A１B１C１D１ 的长和宽该如何设计? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９３􀅰 第一章　预备知识 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　设出长和宽,列出面积公式． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时,首先审清题意,然后将实际 问题转化为数学问题,再利用数学知识(函 数及不等式性质等)解决问题．用基本不等 式解决此类问题时,应按如下步骤进行: (１)先理解题意,设变量．设变量时一般把 要求最大值或最小值的变量定为函数． (２)建立相应的函数关系式．把实际问题抽 象为函数的最大值或最小值问题． (３)在定义域内,求出函数的最大值或最 小值． (４)正确写出答案． 􀳀[变式训练] ３．党的二十大报告指出:我们要推进美丽中国 建设,坚持山水林田湖草沙一体化保护和系 统治理,统筹产业结构调整、污染治理、生态 保护、应对气候变化,协同推进降碳、减污、 扩绿、增长,推进生态优先、节约集约、绿色 低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统 的重建和维护．若乡财政下拨一项专款４００ 百万元,分别用于植绿护绿和处理污染两个 生态维护项目,植绿护绿项目五年内带来的 生态收益可表示为投放资金x(单位:百万 元)的函数 M(x)(单位:百万元):M(x)＝ ８０x ２０＋x ;处理污染项目五年内带来的生态收 益可表示为投放资金x(单位:百万元)的函 数N(x)(单位:百万元):N(x)＝１４x． (１)设分配给植绿护绿项目的资金为x(百 万元),则两个生态项目五年内带来的收益 总和为y(百万元),写出y关于x 的函数解 析式; (２)生态维护项目的投资开始利润薄弱,只 有持之以恒,才能功在当代,利在千秋．试求 出y的最大值,并求出此时对两个生态项目 的投资分别为多少? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．已知x＞－２,则x＋ １x＋２ 的最小值为 (　　) A．－１２　　　B．－１　　　C．２　　　D．０ ２．某单位为提升服务质量,花费３万元购进了 一套先进设备,该设备每年管理费用为０􀆰１ 万元,已知使用x年的维修总费用为x ２＋x ２７ 万元,则该设备年平均费用最少时的年限为 (　　) A．７ B．８ C．９ D．１０ ３．函数y＝x＋１４x (x＞０)取得最小值时,x的 值为 (　　) A．－１２ B． １ ２ C．１ D．２ ４．已知a＞０,b＞０,３a＋b＝２ab,则a＋b的最小值 为　　　　． ５．某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用 面粉６吨,每吨面粉的价格为１８００元,面 粉的保管费及其他费用为平均每吨每天 ３元,购买面粉每次需支付运费９００元．求 该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天 所支付的总费用最少? 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０４􀅰 数学􀅰必修第一册 知识点二 (１)x＝y　(２)x＝y　２ p [思考] ３．提示:当x＞０时,x＋１x 的最小值是２; 当x＜０时,x＋１x 没有最小值． 预习自测 １．BD ２．D　[因为x＞０,所以３x＋２x≥２ ６ , 当且仅当３x＝２x ,即x＝ ６３ 时取等号．] ３．解析:因为不等式成立的前提条件是各项均为正, 所以x－２y＞０,即x＞２y． 答案:x＞２y 课堂互动学案 [例１]　[解析]　[法一:∵０＜a＜b,∴a＜a＋b２ ＜b ,排除 A,C 两项． 又 ab－a＝ a(b－ a)＞０,即 ab＞a,排除 D项． 法二:取a＝２,b＝８,则 ab＝４,a＋b２ ＝５ , 所以a＜ ab＜a＋b２ ＜b． ] [答案]　B [例２]　(１)　[解析]　a＜０,则a＋４a ≥４ 不成立,故 A 错;a ＝１,b＝１,a２＋b２＜４ab,故B错;a＝４,b＝１６,则 ab＜a＋b２ , 故 C错．由基本不等式可知 D项正确． [答案]　D (２)　[解析]　当ba ,a b 均为正数 时,b a ＋ a b ≥２ ,故 只 须 a、b同号即可,∴①③④均可以． [答案]　C [例３]　[证明]　(１)∵a２＋b２≥２ab, b２＋c２≥２bc, c２＋a２≥２ac． ∴２(a２＋b２＋c２)≥２(ab＋bc＋ca)(当且仅当a＝b＝c取等号) ∴a２＋b２＋c２≥ab＋bc＋ca． (２)因为a,b,c全不相等, 所以b a 与a b ,c a 与a c ,c b 与b c 全不相等, 所以b a ＋ a b ＞２ ,c a ＋ a c ＞２ ,c b ＋ b c ＞２ , 三式相加得,b a ＋ c a ＋ c b ＋ a b ＋ a c ＋ b c ＞６ , 所以 b a ＋ c a －１( )＋ c b ＋ a b －１( )＋ a c ＋ b c －１( ) ＞３, 即b＋c－a a ＋ a＋c－b b ＋ a＋b－c c ＞３． 变式训练 １．ACD　[b２－ab＝b(b－a)＞０,则b２＞ab,A 正确;a＋ １b － b＋１a( )＝(a－b)＋ a－b ab ＝ (a－b)１＋１ab( ) ,而a－b＞０, １＋１ab＞０ ,所以a＋ １b － b＋ １ a( ) ＞０,即a＋ １ b ＞b＋ １ a , B错误;ba ＋ a b ≥２ b a 􀅰a b ＝２ 且 b a ,a b ＞０ ,当 且 仅 当 a＝b时等号成立,而b＜a＜０,故ba ＋ a b ＞２ ,C 正确;a２＋ １ a－ b ２＋１b( )＝a ２－b２＋b－aab ＝ (a－b)a＋b－１ab( ) ,而 a－b＞０,a＋b－ １ab＜０ ,所 以 a２ ＋ １a － b ２＋１b( ) ＜０, 即a２＋１a＜b ２＋１b ,D正确．] ２．CD　[ab≤ a＋b２( ) ２ ≤a ２＋b２ ２ ,当且仅当a＝b＝２时等号成 立,则ab≤ ４２( ) ２ ＝４或 ４２( ) ２ ≤a ２＋b２ ２ ,则１ ab≥ １ ４ ,ab≤２, a２＋b２≥８, １ a２＋b２ ≤１８ ,即 AB错误,D正确;１a ＋ １ b＝ a＋b ab ＝４ab≥４× １ ４＝１ ,C选项正确．] ３．证明:因为x,y,z是互不相等的正数,且x＋y＋z＝１, 所以１ x－１＝ １－x x ＝ y＋z x ＞ ２ yz x ,① １ y－１＝ １－y y ＝ x＋z y ＞ ２ xz y ,② １ z－１＝ １－z z ＝ x＋y z ＞ ２ xy z ,③ 又x,y,z为正数,由①×②×③,得 １ x－１( ) １ y－１( ) １ z－１( ) ＞８． 随堂步步夯实 １．A　[a２＋b２－２ab＝(a－b)２≥０,∴a２＋b２≥２ab,ab≤a ２＋b２ ２ ． ] ２．C　[因为nm ＞０ ,m n ＞０ 且n m ≠ m n , 所以n m ＋ m n ＞２ n m 􀅰m n ＝２． ] ３．解析:x２＝a＋b＋２ ab２ ,y２＝a＋b＝a＋b＋a＋b２ ． ∵a＋b＞２ ab(a＞０,b＞０且a≠b),∴x２＜y２． ∵x,y＞０,∴x＜y． 答案:x＜y ４．解析:因为ab≤ a＋b２( ) ２ ＝１．所以①正确;因为(a＋b)２＝ a＋b＋２ ab＝２＋２ ab≤２＋a＋b＝４,故②不正确;a２＋b２ ≥ (a＋b)２ ２ ＝２ ,所以③正确;１a＋ １ b＝ a＋b ab ＝ ２ ab≥２ ,所以④ 正确． 答案:①③④ ５．证明:(１)∵x＞０,y＞０,∴xy ＞０ ,y x ＞０ , ∴yx ＋ x y ≥２ y x 􀅰x y ＝２ , 由于当且仅当y x ＝ x y ,即x＝y时取等号, 但x≠y,因此不能取等号, ∴yx ＋ x y ＞２． (２)∵x＞０,y＞０,∴x＋y≥２ xy, ∴２xyx＋y≤ ２xy ２ xy ＝ xy, 当且 仅 当 x＝y 时 取 等 号,但 x≠y,因 此 不 能 取 等 号, ∴２xyx＋y＜ xy． 第２课时　基本不等式的应用 课前预习学案 情境引入 　提示　这两个都是求最值问题．第一个问题是矩形周长一 定,即长x与宽y 的和一定,求xy的最大值,xy≤ x＋y２( ) ２ ＝２５２＝６２５,当且仅当x＝y＝２５时取等号,即鸡舍为正方 形,长与宽各为２５米时鸡舍面积最大．第二个问题是矩形面 积一定,求矩形长x 与宽y 之和最小值,x＋y≥２ xy＝ ２ １００００＝２００,当且仅当x＝y＝１００时取等号,即当农场 为正方形,边长为１００米时,所用篱笆最省． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２２􀅰 数学􀅰必修第一册 知识梳理　知识点 １．２ p 预习自测 １．B　[∵x＞１,∴x ２－x＋１ x－１ ＝ x(x－１)＋１ x－１ ＝x＋ １ x－１ ＝x－１＋ １x－１＋１≥２＋１＝３ , 当且仅当x－１＝ １x－１ ,即x＝２时,等号成立．] ２．A　[∵x＞０,y＞０且８x＋ １ y＝１ , ∴x＋２y＝(x＋２y) ８x＋ １ y( )＝１０＋ １６y x ＋ x y ≥１０＋２ １６ ＝１８,当且仅当１６yx ＝ x y ,即x＝１２,y＝３时,等号成立．] ３．解析:a＋b≥２ ab＝２ １０,当且仅当a＝b＝ １０时等号成立． 答案:２ １０ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)∵x＞０, ∴x＋４x≥２ x 􀅰４ x ＝４ , 当且仅当x＝４x ,即x２＝４,x＝２时取等号． ∴函数y＝x＋４x (x＞０)在x＝２时取得最小值４． (２)∵０＜x＜３２ ,∴３－２x＞０, ∴y＝４x(３－２x)＝２[２x(３－２x)] ≤２[２x＋ (３－２x) ２ ]２＝９２． 当且仅当２x＝３－２x,即x＝３４ 时,等号成立． ∵３４∈ ０ ,３ ２( ) , ∴函数y＝４x(３－２x)０＜x＜３２( ) 的最大值为 ９ ２． (３)∵x＞２,∴x－２＞０, ∴x＋ ４x－２＝x－２＋ ４ x－２＋２ ≥２ (x－２)􀅰 ４x－２＋２＝６ , 当且仅当x－２＝ ４x－２ , 即x＝４时,等号成立．∴x＋ ４x－２ 的最小值为６． [例２]　B　[因为a＞０,b＞０,所以２a＋b＞０, 所以要使２ a＋ １ b≥ m ２a＋b 恒成立, 只需m≤(２a＋b) ２a＋ １ b( ) 恒成立, 而(２a＋b) ２a＋ １ b( )＝４＋ ２a b ＋ ２b a ＋１≥５＋４＝９ ,当且仅当 a＝b时,等号成立,所以m≤９．] [例３]　[解]　(１)设休闲区的宽为a米,则长为ax米, 由a２x＝４０００,得a＝２０ １０ x ． 则S＝(a＋８)(ax＋２０)＝a２x＋(８x＋２０)a＋１６０ ＝４０００＋(８x＋２０)􀅰２０ １０ x ＋１６０ ＝８０ １０ ２ x＋ ５ x æ è ç ö ø ÷＋４１６０(x＞１)． (２)因 为 ８０ １０(２ x ＋ ５ x )＋４ １６０≥８０ １０× ２ ２ x× ５ x ＋４１６０＝１６００＋４１６０＝５７６０,当且仅当２ x ＝ ５ x ,即x＝２．５时,等号成立,此时a＝４０,ax＝１００,所以 要使公园所占面积最小,休闲区A１B１C１D１ 应设计为长１００ 米,宽４０米． 变式训练 １．解:(１)xy＝２x＋８y≥２ １６xy,当且仅当２x＝８y, 即x＝１６,y＝４时等号成立, ∴ xy≥８,∴xy≥６４, ∴xy的最小值为６４． (２)由２x＋８y＝xy,得２y＋ ８ x＝１ , ∴x＋y＝(x＋y) ２y＋ ８ x( )＝１０＋ ２x y ＋ ８y x ≥１０＋８＝１８ , 当且仅当２x y ＝ ８y x ． 即x＝１２,y＝６时等号成立, ∴x＋y的最小值为１８． ２．解析:因为x＞０,a＞０,所以f(x)＝４x＋ax ≥２ ４x 􀅰a x ＝４ a,当且仅当４x＝ax ,即４x２＝a时,f(x)取得最小值, 又因为x＝３,所以a＝４×３２＝３６． 答案:３６ ３．解:(１)由题意可得处理污染项目投放资金为４００－x百万元, 则 M(x)＝ ８０x２０＋x ,N(４００－x)＝１４ (４００－x)＝１００－１４x , ∴y＝ ８０x２０＋x－ １ ４x＋１００ ,x∈[０,４００]． (２)由(１)可得,y＝ ８０x２０＋x－ １ ４x＋１００ ＝１８０－１４x－ １６００ ２０＋x ＝１８５－１４ (x＋２０)＋６４００２０＋x[ ] ≤１８５－１２ (２０＋x)􀅰６４００２０＋x＝１４５ , 当且仅当２０＋x＝６４００２０＋x ,即x＝６０时等号成立,此时４００－x＝ ３４０．所以y的最大值为１４５(百万元),分别投资给植绿护绿 项目、污染处理项目的资金为６０(百万元),３４０(百万元)． 随堂步步夯实 １．D　[∵x＞－２,∴x－２＞０,∴x＋ １x＋２＝x＋２＋ １ x＋２－２≥ ２ (x＋２)􀅰 １x＋２( ) －２＝０．当 且 仅 当 x＝ －１时 “＝” 成立．] ２．C　[由题意可得:该设备年平均费用y＝ x２＋x ２７ ＋０．１x＋３ x ＝x２７＋ ３ x＋ ３７ ２７０ (x∈N＋ ) ∵x＞０,则y＝x２７＋ ３ x＋ ３７ ２７０≥２ x ２７× ３ x ＋ ３７ ２７０ ＝２１７２７０ ,当且仅当x ２７＝ ３ x ,即x＝９∈N＋ 时,等号成立,所以 该设备年平均费用最少时的年限为９．] ３．B ４．解析:根据题意,３a＋b＝２ab⇒３２b＋ １ ２a＝１． 则a＋b＝ ３２b＋ １ ２a( )(a＋b)＝２＋ ３a ２b＋ b ２a≥２＋２ ３a ２b 􀅰b ２a ＝２＋ ３, 当且仅当b＝ ３a即a＝ ３＋１２ ,b＝３＋ ３２ 时等号成立, 则a＋b最小值为２＋ ３． 答案:２＋ ３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２２􀅰 参考答案 ５．解:设该厂每x天购买一次面粉．其购买量为６x吨． 由题意可知,面粉的保管费及其他费用为 ３×[６x＋６(x－１)＋６(x－２)＋􀆺＋６×１]＝９x(x＋１)． 设平均每天所支付的总费用为y１ 元, 则y１＝ １ x [９x(x＋１)＋９００]＋６×１８００＝９x＋９００x ＋１０８０９ ≥２ ９x􀅰９００x ＋１０８０９＝１０９８９ (元), 当且仅当９x＝９００x ,即x＝１０时,等号成立． 所以该厂每１０天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的 总费用最少． §４　一元二次函数与一元二次不等式 ４．１　一元二次函数 课前预习学案 知识梳理　知识点一 一般式　顶点式 知识点二 横坐标不变,纵坐标变为原来的a倍得到　开口方向　开口 大小 知识点三 (１)(h,k)　x＝h　减小　增大　ymin＝k　增大　减小 ymax＝k [思考] １．提示:左右平移的原则:“左加右减”;上下平移的原则:“上加 下减”． 知识点四 向上　向下　x＝－b２a　x＝－ b ２a [思考] ２．提示:不一定小,例如函数y＝x２ 与y＝－x２ 的图象的开口大小 相同,决定其开口大小的是|a|,|a|越大,开口越小． ３．提示:把函数y＝x２ 的图象上各点横坐标不变,纵坐标变为原来 的２倍,得到y＝２x２ 的图象;把函数y＝２x２ 的图象向右平移１ 个单位长度得到y＝２(x－１)２ 的图象． ４．提示:利用判别式Δ＝b２－４ac来判断． 当Δ＞０时,有两个不同的公共点;当Δ＝０时,有唯一公共点; 当Δ＜０时,无公共点． 预习自测 １．B　[由２x(３－x)＝０,得x＝０或x＝３,可知图象与x轴的交点 为(０,０),(３,０),排除 A,C．又y＝２x(３－x)＝－２x２＋６x,所以图 象开口向下,故排除D．] ２．B　[y＝x２→y＝x２－１→y＝２(x２－１)＝２x２－２．] ３．解析:由|２|＝|－２|,知二者开口大小相同;由２＞０,－２＜０,知 二者开口方向相反． 答案:相同　相反 课堂互动学案 [例１]　[解]　y＝x２－６x＋６ 横坐标缩小到 原来的 １ ２ 倍 →y＝(２x)２－１２x＋６ ＝４x２－１２x＋６ 纵坐标扩大 到原来的２倍 →y２＝４x ２－１２x＋６, 即y＝８x２－２４x＋１２． 所以图象C２ 的解析式为y＝８x２－２４x＋１２． [例２]　[解]　因为二次函数的图象的顶点坐标是(１,－３), 所以,可设其解析式为y＝a(x－１)２－３． 又其图象过点P(２,０),则a(２－１)２－３＝０,解得a＝３． 所以,这个函数的解析式为y＝３(x－１)２－３． [例３]　[解]　由f(x)＝(x－１)２＋２知抛物线开口向上,对 称轴为x＝１, ∴f(x)在[－２,０]上随x的增大而减小, ∴当x＝－２时, f(x)有最大值f(－２)＝１１; 当x＝０时,f(x)有最小值f(０)＝３． 变式训练 １．解:(１)由－x２－２x＋３＝０, 得－(x＋３)(x－１)＝０,解得x＝－３或x＝１,当x＝０时, y＝－０２－２×０＋３＝３,所以此函数图象与x 轴的交点坐标 为(－３,０),(１,０),与y轴的交点坐标为(０,３)． (２)配方,得y＝－x２－２x＋３＝－(x＋１)２＋４,所以此函数 图象的顶点坐标为(－１,４),对称轴为直线x＝－１． (３)根据(１)(２)画出此函数图象的草图如图: ２．解:因为二次函数的图象与x轴的交点为A(－１,０)和B(１,０), 所以,可设其解析式为y＝a(x－１)(x＋１)． 又其图象与y轴的交点为(０,－１),则a(０－１)(０＋１)＝－１,解 得a＝１．所以,这个函数的解析式为y＝(x－１)(x＋１)＝x２－１． ３．解:(１)由y＝４x２－４ax＋a２－２a＋２＝４ x－a２( ) ２ －２a＋２, 所以抛物线的顶点坐标为 a ２ ,－２a＋２( )． (２)二次函数图象开口向上,对称轴为x＝a２ ,在区间[０,２] 上的最小值,分情况: ①当a２＜０ ,即a＜０时,x＝０时函数取得最小值, 即a２－２a＋２＝３,解得a＝１± ２,又a＜０,所以a＝１－ ２; ②当０≤a２≤２ ,即０≤a≤４时,x＝a２ 时函数取得最小值, 即－２a＋２＝３,解得a＝－１２ 舍去; ③当a２＞２ ,即a＞４时,x＝２时函数取得最小值, 即１６－８a＋a２－２a＋２＝３,解得a＝５± １０, 又a＞４,所以a＝５＋ １０． 综上,a＝１－ ２或a＝５＋ １０． 随堂步步夯实 １．A　[y＝－２(x＋１)２＋３→y＝－２[(x＋１)＋１]２＋３＝－２(x ＋２)２＋３→y＝１２× [－２(x＋２)２＋３]＝－(x＋２)２＋３２． ] ２．A 　 [由 “左 加 右 减 上 加 下 减 ”,y ＝ ３x２ 的 图 象 向左平移１个单位 　 →y＝３(x＋１)２ 向下平移２个单位 　 → y＝３(x＋１)２－２,所以正确选项为 A．] ３．BD　[二次函数y＝(x－２)２－１,开口向上,对称轴为x＝２, 最小值为－１． 对于 A,二次函数y＝(x－２)２－１≥－１,所以∀x∈R,y＝ (x－２)２－１≥１错误,即 A错误;对于B,二次函数y＝(x－ ２)２－１≥－１,所以∀a＞－１,∃x∈R,y＝(x－２)２－１＜a正 确,即B正确;对于C,二次函数y＝(x－２)２－１≥－１,所以 ∀a＜－１,∃x∈R,y＝(x－２)２－１＝a错误,即 C错误;对 于 D,根据二次函数的对称性可知,∃x１≠x２,(x１－２)２－１ ＝(x２－２)２－１正确,即 D正确;综上可知,正确的为BD．] ４．解析:设y＝a(x＋２)(x－２)(a≠０), 因为其图象过点(０,３),所以a(０＋２)(０－２)＝３, 解得a＝－３４． 所以此函数的解析式为y＝－３４ (x＋２)􀅰(x－２) ＝－３４x ２＋３． 答案:y＝－３４x ２＋３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２２２􀅰 数学􀅰必修第一册