第一章 3.2 第1课时 基本不等式-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

§３　不等式 ３．１　不等式的性质 课前预习学案 情境引入 １．提示　x１＝５０＋x３－５５＝x３－５,x２＝x１－２０＋３０＝x１＋１０, x３＝x２－３５＋３０＝x２－５． ２．提示　由１知x１＝x３－５,x２＝x３＋５,则x１＜x３＜x２． 知识梳理　知识点一 a－b＞０　a－b＜０　a－b＝０ [思考] １．提示:是． ２．提示:p⇔q的含义是:p可以推出q,q也可以推出p,即p与 q可以互推． 知识点二 １．ac＞bc　ac＜bc [思考] ３．提示:a＋c＞b＋d成立,a－c＞b－d不一定成立,但a－d＞ b－c成立． ４．提示:不一定,但当a＞b＞０,c＞d＞０时,一定成立． 预习自测 １．C　２．A　３．＜ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(x２＋y２)(x－y)－(x２－y２)(x＋y) ＝(x－y)(x２＋y２)－(x－y)(x＋y)２ ＝(x－y)[(x２＋y２)－(x＋y)２] ＝(x－y)(－２xy)． 由于x＜y＜０,所以x－y＜０,－２xy＜０, 所以(x－y)(－２xy)＞０, 即(x２＋y２)(x－y)＞(x２－y２)(x＋y)． [例２]　A　[对于 A 项,因为 １a ＞ １ b ,所 以 １ a － １ b ＞０ ,即 b－a ab ＞０． 又a＞b,所以b－a＜０．所以ab＜０,所以a＞０,b＜０,故 A正确;对于B项,当a＞０,b＜０时,有ab ＜０＜１ ,故B项错; 对于 C项,当a＝１０,b＝３时,虽有１０＋１＞３＋２,但１＜２,故 C项错;对于 D项,当a＝－１,b＝－２时,有(－１)×(－１)＞ (－２)×７,但－１＜７,故 D项错．] [例３]　证明:因为bc－ad≥０,所以bc≥ad, 所以bc＋bd≥ad＋bd,即b(c＋d)≥d(a＋b)． 又bd＞０,两边同除以bd得,a＋bb ≤ c＋d d ． [例４]　[解]　∵３＜b＜４,∴－４＜－b＜－３． ∴１－４＜a－b＜６－３,即－３＜a－b＜３． 又１ ４＜ １ b＜ １ ３ ,∴１４＜ a b ＜ ６ ３ , 即１ ４＜ a b ＜２． 综上,a－b的取值范围为(－３,３),ab 的取值 范围为 １ ４ ,２( )． 变式训练 １．解:(１)(x２＋１)２－(x４＋x２＋１) ＝(x４＋２x２＋１)－(x４＋x２＋１)＝x２． 因为x２≥０,所以(x２＋１)２－(x４＋x２＋１)≥０, 即(x２＋１)２≥x４＋x２＋１,当且仅当x＝０时取等号． (２)(x３－１)－(２x２－２x) ＝(x－１)(x２＋x＋１)－２x(x－１) ＝(x－１)(x２－x＋１) ＝(x－１) x－１２( ) ２ ＋３４[ ]． 因为x＜１,所以x－１＜０, 又 x－１２( ) ２ ＋３４＞０ , 所以(x－１) x－１２( ) ２ ＋３４[ ] ＜０, 所以x３－１＜２x２－２x． ２．解析:(１)① c a ＜ c b c＞０ }⇒ １ a ＜ １ b ,当a＜０,b＞０时,此式成 立,推不出a＞b,所以①错． ②当a＝３,b＝１,c＝－２,d＝－３时,命题显然不成立．所以 ②错． ③a＞b＞０c＞d＞０}⇒ a d ＞ b c ＞０⇒ a d ＞ b c 成立． 所以③对． ④显然c２＞０,所以两边同乘以c２,得a＞b． 所以④对． (２)∵１a＜ １ b＜０ ,∴b＜a＜０,∴b２＞a２,ab＜b２,a＋b＜０, ∴A,B,C 均正确,∵b＜a＜０,∴|a|＋|b|＝|a＋b|,故 D 错误． 答案:(１)①×　②×　③√　④√　(２)D ３．证明:∵c＜d＜０,∴－c＞－d＞０． 又a＞b＞０,∴a－c＞b－d＞０, 则(a－c)２＞(b－d)２＞０, 即 １(a－c)２ ＜ １(b－d)２ ． 又e＜０,∴ e(a－c)２ ＞ e(b－d)２ ４．解:∵１＜a＜４,２＜b＜８,∴２＜２a＜８,６＜３b＜２４． ∴８＜２a＋３b＜３２． ∵２＜b＜８,∴－８＜－b＜－２． 又∴１＜a＜４,∴１＋(－８)＜a＋(－b)＜４＋(－２), 即－７＜a－b＜２． 故２a＋３b的取值范围是(８,３２),a－b的取值范围是(－７,２)． 随堂步步夯实 １．A　[由－１＜β＜１,得－１＜－β＜１,又－１＜α＜１,所以－２＜ α－β＜２,而α＜β,所以－２＜α－β＜０．] ２．A　[由题意可令a＝１,b＝－１,此时①不对,③中,此时a－b ＝２,有 １a－b＜ １ a ,故③不 对,令a＝－１,b＝－２,此 时 ② 不对．] ３．BC　[对于 A,a＞b＞１,则１a＜ １ b ,则c a ＞ c b ,A 错误;对于 B,a＞b＞１,则ac＜bc,B正确;对于C,a＞b＞１,则－a＜－b, 则－ac＞－bc,则ab－ac＞ab－bc,则a(b－c)＞b(a－c), C正确;对于 D,a＞b＞１,则a－c＞b－c,又c＜０,则a－c＞a, 故a与b－c的大小关系不确定,D错误．] ４．解析:∵－１≤b≤２,∴－２≤－b≤１,又１≤a≤５, ∴－１≤a－b≤６． 答案:[－１,６] ５．证明:因为c＜d＜０,所以－c＞－d＞０, 又因为a＞b＞０,所以a－c＞b－d＞０． 不等式的两边同乘 １(a－c)(b－d) , 得 １ b－d＞ １ a－c＞０ , 又因为f＜０,所以 fb－d＜ f a－c ,即 f a－c＞ f b－d． ３．２　基本不等式 第１课时　基本不等式 课前预习学案 情境引入 　提示:(１)a２＋b２≥２ab　(２) ab≤a＋b２ 知识梳理　知识点一 １．a２＋b２≥２ab　２．a＝b　算术平均数　几何平均数　不小于 [思考] １．提示:a,b既可以是具体的某个数,也可以是代数式． ２．提 示:不 能,如 (－３)＋(－４) ２ ≥ (－３)×(－４)是 不 成 立的． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１２􀅰 参考答案 知识点二 (１)x＝y　(２)x＝y　２ p [思考] ３．提示:当x＞０时,x＋１x 的最小值是２; 当x＜０时,x＋１x 没有最小值． 预习自测 １．BD ２．D　[因为x＞０,所以３x＋２x≥２ ６ , 当且仅当３x＝２x ,即x＝ ６３ 时取等号．] ３．解析:因为不等式成立的前提条件是各项均为正, 所以x－２y＞０,即x＞２y． 答案:x＞２y 课堂互动学案 [例１]　[解析]　[法一:∵０＜a＜b,∴a＜a＋b２ ＜b ,排除 A,C 两项． 又 ab－a＝ a(b－ a)＞０,即 ab＞a,排除 D项． 法二:取a＝２,b＝８,则 ab＝４,a＋b２ ＝５ , 所以a＜ ab＜a＋b２ ＜b． ] [答案]　B [例２]　(１)　[解析]　a＜０,则a＋４a ≥４ 不成立,故 A 错;a ＝１,b＝１,a２＋b２＜４ab,故B错;a＝４,b＝１６,则 ab＜a＋b２ , 故 C错．由基本不等式可知 D项正确． [答案]　D (２)　[解析]　当ba ,a b 均为正数 时,b a ＋ a b ≥２ ,故 只 须 a、b同号即可,∴①③④均可以． [答案]　C [例３]　[证明]　(１)∵a２＋b２≥２ab, b２＋c２≥２bc, c２＋a２≥２ac． ∴２(a２＋b２＋c２)≥２(ab＋bc＋ca)(当且仅当a＝b＝c取等号) ∴a２＋b２＋c２≥ab＋bc＋ca． (２)因为a,b,c全不相等, 所以b a 与a b ,c a 与a c ,c b 与b c 全不相等, 所以b a ＋ a b ＞２ ,c a ＋ a c ＞２ ,c b ＋ b c ＞２ , 三式相加得,b a ＋ c a ＋ c b ＋ a b ＋ a c ＋ b c ＞６ , 所以 b a ＋ c a －１( )＋ c b ＋ a b －１( )＋ a c ＋ b c －１( ) ＞３, 即b＋c－a a ＋ a＋c－b b ＋ a＋b－c c ＞３． 变式训练 １．ACD　[b２－ab＝b(b－a)＞０,则b２＞ab,A 正确;a＋ １b － b＋１a( )＝(a－b)＋ a－b ab ＝ (a－b)１＋１ab( ) ,而a－b＞０, １＋１ab＞０ ,所以a＋ １b － b＋ １ a( ) ＞０,即a＋ １ b ＞b＋ １ a , B错误;ba ＋ a b ≥２ b a 􀅰a b ＝２ 且 b a ,a b ＞０ ,当 且 仅 当 a＝b时等号成立,而b＜a＜０,故ba ＋ a b ＞２ ,C 正确;a２＋ １ a－ b ２＋１b( )＝a ２－b２＋b－aab ＝ (a－b)a＋b－１ab( ) ,而 a－b＞０,a＋b－ １ab＜０ ,所 以 a２ ＋ １a － b ２＋１b( ) ＜０, 即a２＋１a＜b ２＋１b ,D正确．] ２．CD　[ab≤ a＋b２( ) ２ ≤a ２＋b２ ２ ,当且仅当a＝b＝２时等号成 立,则ab≤ ４２( ) ２ ＝４或 ４２( ) ２ ≤a ２＋b２ ２ ,则１ ab≥ １ ４ ,ab≤２, a２＋b２≥８, １ a２＋b２ ≤１８ ,即 AB错误,D正确;１a ＋ １ b＝ a＋b ab ＝４ab≥４× １ ４＝１ ,C选项正确．] ３．证明:因为x,y,z是互不相等的正数,且x＋y＋z＝１, 所以１ x－１＝ １－x x ＝ y＋z x ＞ ２ yz x ,① １ y－１＝ １－y y ＝ x＋z y ＞ ２ xz y ,② １ z－１＝ １－z z ＝ x＋y z ＞ ２ xy z ,③ 又x,y,z为正数,由①×②×③,得 １ x－１( ) １ y－１( ) １ z－１( ) ＞８． 随堂步步夯实 １．A　[a２＋b２－２ab＝(a－b)２≥０,∴a２＋b２≥２ab,ab≤a ２＋b２ ２ ． ] ２．C　[因为nm ＞０ ,m n ＞０ 且n m ≠ m n , 所以n m ＋ m n ＞２ n m 􀅰m n ＝２． ] ３．解析:x２＝a＋b＋２ ab２ ,y２＝a＋b＝a＋b＋a＋b２ ． ∵a＋b＞２ ab(a＞０,b＞０且a≠b),∴x２＜y２． ∵x,y＞０,∴x＜y． 答案:x＜y ４．解析:因为ab≤ a＋b２( ) ２ ＝１．所以①正确;因为(a＋b)２＝ a＋b＋２ ab＝２＋２ ab≤２＋a＋b＝４,故②不正确;a２＋b２ ≥ (a＋b)２ ２ ＝２ ,所以③正确;１a＋ １ b＝ a＋b ab ＝ ２ ab≥２ ,所以④ 正确． 答案:①③④ ５．证明:(１)∵x＞０,y＞０,∴xy ＞０ ,y x ＞０ , ∴yx ＋ x y ≥２ y x 􀅰x y ＝２ , 由于当且仅当y x ＝ x y ,即x＝y时取等号, 但x≠y,因此不能取等号, ∴yx ＋ x y ＞２． (２)∵x＞０,y＞０,∴x＋y≥２ xy, ∴２xyx＋y≤ ２xy ２ xy ＝ xy, 当且 仅 当 x＝y 时 取 等 号,但 x≠y,因 此 不 能 取 等 号, ∴２xyx＋y＜ xy． 第２课时　基本不等式的应用 课前预习学案 情境引入 　提示　这两个都是求最值问题．第一个问题是矩形周长一 定,即长x与宽y 的和一定,求xy的最大值,xy≤ x＋y２( ) ２ ＝２５２＝６２５,当且仅当x＝y＝２５时取等号,即鸡舍为正方 形,长与宽各为２５米时鸡舍面积最大．第二个问题是矩形面 积一定,求矩形长x 与宽y 之和最小值,x＋y≥２ xy＝ ２ １００００＝２００,当且仅当x＝y＝１００时取等号,即当农场 为正方形,边长为１００米时,所用篱笆最省． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２２􀅰 数学􀅰必修第一册 ３．２　基本不等式 第１课时　基本不等式 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 掌握基本不等式a＋b ２ ≥ ab (a,b都是正数)． 能用基本不等式解决问题 通过学习基本不等式及其简单应用,重点培养 数学运算、逻辑推理素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] (１)对∀a、b∈R．a２＋b２ 与２ab的大小如何? (２)在图中,AB 是圆的直径, 点C 是AB 上一点,AC＝a, BC＝b．过点C 作垂直于AB 的弦DE,连接AD,BD．可得 到CD＝ ab,１２AB＝ a＋b ２ ,由 CD 小于或等于圆的半径,可得出什么样的不 等关系? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识梳理] [知识点一]　重要不等式与基本不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．重要不等式 ∀a,b∈R,有　　　　　　,当且仅当a＝b 时,等号成立． ２．基本不等式 如果a＞０,b＞０,有 ab≤a＋b２ ,当且仅当 　　　　时,等号成立． 其中,a＋b ２ 叫做正数a,b的　　　　　　, ab叫做正数a,b的　　　　　　． 基本不等式表明:两个正数的算术平均数 　　　　它们的几何平均数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．基本不等式中的a,b只能是具体 的某个数吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．基本不等式成立的条件“a,b＞０” 能省略吗? 请举例说明． 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点二]　基本不等式与最值 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　已知x,y都是正数,则 (１)如果和x＋y等于定值s(和为定值),那么 当　　　　时,积xy有最大值１４s ２． (２)如果积xy等于定值p(积为定值),那么当 　　　时,和x＋y有最小值　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３．x＋１x 上的最小值是２吗? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．(多选)下列结论正确的是 (　　) A．对于任意a,b∈R,a２＋b２≥２ab,a＋b≥ ２ ab均成立 B．若a,b同号,则ba＋ a b≥２ C．若a＞０,b＞０,则ab≤a＋b２ 恒成立 D．若a＞０,b＞０,且a≠b,则a＋b＞２ ab ２．已知x＞０,则３x＋２x 的最小值为 (　　) A．３　　B．２ ３　　C．３ ２　　D．２ ６ ３．不等式(x－２y)＋ １x－２y≥２ 成立的前提条 件为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５３􀅰 第一章　预备知识 　　　利用基本不等式比较大小 [例１]设０＜a＜b,则下列不等式中正确的是 (　　) A．a＜b＜ ab＜a＋b２ 　B．a＜ ab＜ a＋b ２ ＜b C．a＜ ab＜b＜a＋b２ D．ab＜a＜ a＋b ２ ＜b 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 [思路点拨]　当a＞０,b＞０时,a＋b２ ≥ ab,当且仅当a＝b时取等号,注意等号成 立的条件． [尝试解答]　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用基本等式比较实数大小的注意事项 (１)利用基本不等式比较大小,常常要注意 观察其形式(和与积)． (２)利用基本不等式时,一定要注意条件是 否满足a＞０,b＞０． 􀳀[变式训练] １．(多选)已知b＜a＜０,则下列不等式正确的是 (　　) A．b２＞ab B．a＋１b＜b＋ １ a C．ba＋ a b＞２ D．a ２＋１a＜b ２＋１b 　　利用基本不等式判断不等式的成立 [例２](１)下列不等式中正确的是 (　　) A．a＋４a≥４ B．a ２＋b２≥４ab C．ab≥a＋b２ D．x ２＋３ x２ ≥２ ３ (２)给出下列条件:①ab＞０;②ab＜０;③a＞０, b＞０;④a＜０,b＜０,其中能使ba＋ a b≥２ 成立 的条件有 (　　) A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　根据基本不等式成立的条件 判断． [尝试解答]　(１)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 (２)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 不等式a２＋b２≥２ab与a＋b≥ ab的比较 (１)两个不等式a２＋b２≥２ab与a＋b２ ≥ ab 成 立的条件是不同的．前者要求a,b是实数 即可,而后者要求a,b都是正实数(实际 上后者只要a≥０,b≥０即可)． (２)两个不等式a２＋b２≥２ab和a＋b２ ≥ ab 都 是带有等号的不等式,都是“当且仅当 a＝b时,等号成立”． 􀳀[变式训练] ２．(多选)若a＞０,b＞０．且a＋b＝４,则下列不 等式恒成立的是 (　　) A．０＜１ab≤ １ ４ B．ab＜２ C．１a＋ １ b≥１ D． １ a２＋b２ ≤１８ 　　　利用基本不等式证明不等式 [例３]　(１)证明不等式a２＋b２＋c２≥ab＋ bc＋ca; (２)已知a,b,c是全不相等的正实数,求证: b＋c－a a ＋ a＋c－b b ＋ a＋b－c c ＞３． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　利用基本不等式证明不等 式,注意等号成立的条件． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６３􀅰 数学􀅰必修第一册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用基本不等式证明不等式的注意事项 (１)策略:从已证不等式和问题的已知条件 出发,借助不等式的性质和有关定理, 经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求 问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐 步推向“未知”． (２)注意事项: ①多次使用基本不等式时,要注意等号 能否成立; ②累加法是不等式证明中的一种常用 方法,在证明不等式时注意使用条件; ③对不能直接使用基本不等式的证明可 重新组合,形成基本不等式模型再使用． 􀳀[变式训练] ３．已知x,y,z是互不相等的正数,且x＋y＋z ＝１,求证:１x－１ æ è ç ö ø ÷ １ y－１ æ è ç ö ø ÷ １ z－１ æ è ç ö ø ÷＞８． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．下列不等式成立的是 (　　) A．ab≤a ２＋b２ ２ 　　　　　　B．ab≥ a２＋b２ ２ C．a＋b≥２ ab D．a＋b≤２ ab ２．若m＜n＜０,则下列不等式中正确的是 (　　) A．１n＞ １ m B．|n|＞|m| C．nm＋ m n＞２ D．m＋n＞mn ３．已知a,b是不相等的正数,x＝ a＋b ２ ,y＝ a＋b,则x,y的大小关系是　　　　． ４．若a＞０,b＞０．a＋b＝２．则下列不等式 ①ab≤１,② a＋b≤ ２;③a２＋b２≥２; ④１a＋ １ b≥２． 对满足条件的a,b恒成立的 是　　　　(填序号)． ５．已知x,y都是正数,且x≠y． 求证:(１)yx＋ x y＞２ ; (２)２xyx＋y＜ xy． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７３􀅰 第一章　预备知识