第一章 3.1 不等式的性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

又４m２＋４am＋１≥０是一个关于 m 的二次不等式,恒 成立的充要条件是Δ＝(４a)２－１６≤０,解得－１≤a≤１． 由(１)(２)同时成立,故a∈[－１,１]． １４．BC　[当x＝１．５时,[２x]＝[３]＝３,但２[x]＝２[１．５] ＝２×１＝２,A 错误;当x＝２时,[２x]＝[４]＝４＝２[２] ＝２[x],B正确;设[x]＝[y]＝k∈Z,则k≤x＜k＋１, k≤y＜k＋１,∴x－y＜１,C 正确;x＝０．５,y＝０．６,则 [x]＋[y]＝０,但 [x＋y]＝[１．１]＝１＞[x]＋[y], D错误．] 第２课时　全称量词命题与存在量词命题的否定 １．D　２．B　３．D ４．D　[哥德巴赫猜想的否定为“至少存在一个大于２的偶 数不可以表示成两个质数之和”．] ５．AC　[命题的否定是全称量词命题,即原命题为存在量 词命题,故排除B．再根据命题的否定为真命题,即原命 题为假命题．又 D为真命题．故排除 D,AC正确．] ６．ABD　[A．该命题等价于所有无理数都是实数,为真命 题;B．显然为真命题;C．显然不成立,为假命题;D．取x＝１, 能使x２－x＋１＝１是整数,为真命题．] ７．解析:对任意x＞３,x＞a恒成立,即大于３的数恒大于a, 所以a的取值范围是{a|a≤３}． 答案:{a|a≤３} ８．解析:若命题p为真命题, 则Δ＝a２－４a２＜０, ∴a≠０,所以当p为假命题时,实数a的取值集合为{０}． 答案:{０} ９．解析:因为p(１)是假命题,所以１＋２－m≤０,解得m≥３．又 因为p(２)是真命题,所以４＋４－m＞０,解得m＜８,故实 数m 的取值范围是[３,８);若p(１)是真命题,p(２)是假 命题,则 １＋２－m≥０, ４＋４－m＜０{ 解得 m≤３, m＞８,{ ∴无解． 答案:[３,８)　∅ １０．解:说明一个命题是假命题只需举出一个反例即可． (１)􀱑p:∃x∈R,x２＋２x＋１＜０,是假命题． ∵∀x∈R,x２＋２x＋１＝ x＋１( )２≥０恒成立, ∴􀱑p是假命题． (２)􀱑p:至少存在一个正三角形不是等腰三角形,是假 命题． (３)􀱑r:∀x∈R,x２＋１＞０,是真命题． ∵∀x∈R,x２＋１≥１＞０恒成立, ∴􀱑r是真命题． (４)􀱑s:∀x∈{x|x＝３k,k∈N},x都不是质数． ∵当k＝１时,x＝３,是质数, ∴􀱑s是假命题． １１．解:(１)命 题p 的 否 定:对 任 意 实 数x,有x－a≤０且 x－b＞０． (２)要使命题p的否定为真,需要使不等式组 x－a≤０, x－b＞０{ 的解集 不 为 空 集,通 过 画 数 轴(图 略)可 看 出,a、b应满足的条件是b＜a． １２．解:由p为真命题,a≤x２ 对∀x∈[１,２]恒成立, 得a≤１;① 由q为真命题,即x２＋２ax＋２－a＝０有实根, 得Δ＝４a２－４(２－a)≥０, 即a≥１或a≤－２．② 对①②求交集,可得{a|a≤－２,或a＝１}． 综上,所求实数a的取值范围为{a|a≤－２,或a＝１} １３．解:(１)不等式m＋f(x)＞０可化为m＞－f(x),即m＞ －x２＋２x－５＝－(x－１)２－４,要使 m＞－(x－１)２－４ 对于任意x∈R恒成立,只需m＞－４即可,故存在实数 m 使不等式m＋f(x)＞０对于任意x∈R恒成立,此时 需m＞－４． (２)不等式m－f(x０)＞０可化为 m＞f(x０)．若存在一 个实数x０,使不等式m＞f(x０)成立,只需m＞f(x)min, 又f(x)＝(x－１)２＋４,则f(x)min＝４,所以m＞４． 所以所求实数m 的取值范围是(４,＋∞)． １４．解:方案一:选条件①． x２－２x＋a＝(x－１)２＋a－１,若p是真命题, 则a－１≥０,即a≥１．若q为假命题, 则Δ＝１－４(２a－１)＝５－８a＜０,即a＞５８ , 综上,实数a的取值范围是[１,＋∞)． 方案二:选条件②． x２－２x＋a＝(x－１)２＋a－１,若p是假命题, 则a－１＜０,即a＜１．若q为真命题, 则Δ＝１－４(２a－１)＝５－８a≥０,即a≤５８． 综上,实数a的取值范围是 －∞,５８( ]． 方案三:选条件③． x２－２x＋a＝(x－１)２＋a－１,若p是假命题, 则a－１＜０,即a＜１．若q为假命题, 则Δ＝１－４(２a－１)＝５－８a＜０,即a＞５８． 综上,实数a的取值范围是 ５８ ,１( )． §３　不等式 ３．１　不等式的性质 １．A　２．D　３．C　４．D ５．ABD　[运用倒数性质,由a＞b,ab＞０可得 １a ＜ １ b ,②, ④正确．又正数大于负数,①正确,③错误．] ６．AC　[对于 A,由a２－b２＝１及a,b为正实数,可知a－b ＝ １a＋b ,a２＝b２＋１＞１,则a＞１,由a＞１,b＞０,可得a＋b ＞１,所以a－b＝ １a＋b＜１ ,故 A正确;对于B,若a＝３,则 b＝ １ １＋１a ＝３４ ,所以a－b＞１,故 B错误;对于 C,若a＞ b＋１,则a２＞(b＋１)２＞b２＋１,故 C正确;对于 D,若a＝ b≤１,则|a－b|＝０≤|１－ab|,故 D错误．] ７．解析:∵s－t＝a＋b２＋１－(a＋２b)＝b２－２b＋１ ＝(b－１)２≥０,∴s≥t． 答案:s≥t． ８．解析:对于①,∵c２≥０,∴只有c≠０时才成立,①不正 确;对于②,a＜b＜０⇒a２＞ab;a＜b＜０⇒ab＞b２,∴②正 确;对于 ③,若 ０＞a＞b,则a２ ＜b２,如 －１＞ －２,但 (－１)２＜(－２)２,∴③不正确;对于④,∵a＜b＜０,∴－a ＞－b＞０,∴(－a)２＞(－b)２,即a２＞b２．又∵ab＞０, ∴１ab＞０ ,∴a ２ ab＞ b２ ab ,∴ab ＞ b a ．④ 正确． 答案:②④ ９．解析:设应开发 A 类电子器件x件,则开发 B类电子器 件(５０－x)件．根据题意,得x２＋ ５０－x ３ ≤２０ ,解得x≤２０． 由题意,得总产值y＝７．５x＋６×(５０－x)＝３００＋１．５x≤３３０, 当且仅当x＝２０时,y取最大值３３０．所以欲使总产值最 高,A类电子器件应开发２０件,最高产值为３３０万元． 答案:２０　３３０ １０．证明:∵c＜d＜０,∴－c＞－d＞０． ∴０＜－１c＜－ １ d． 又a＞b＞０, ∴－ad ＞－ b c ＞０． ∴ ３ －a d ＞ ３ －b c ,即－ ３ a d ＞－ ３ b c ． 两边同乘以－１,得 ３ a d ＜ ３ b c ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３８３􀅰 参考答案 １１．解:设２a＋３b＝x(a＋b)＋y(a－b), 则 x＋y＝２ x－y＝３{ ,解得 x＝５２ y＝－１２ ì î í ïï ï ． 因为－５２＜ ５ ２ (a＋b)＜１５２ ,－２＜－１２ (a－b)＜－１, 所以－９２＜ ５ ２ (a＋b)－１２ (a－b)＜１３２ ,即－９２＜２a＋ ３b＜１３２． 所以２a＋３b的取值范围为 －９２ ,１３ ２( )． １２．解:设今天的气温为x ℃,则明天的气温为２x ℃, 将两天的气温进行比较,有２x－x＝x,则 x＞０,升温, x＝０,不变, x＜０,降温, { 所以不同地方的网友会有不同的反应． １３．解:∵f(x)＝ax２－c,∴ f (１)＝a－c, f(２)＝４a－c,{ ∴ a＝１３ [f(２)－f(１)], c＝１３f (２)－４３f (１)． ì î í ïï ï ∴f(３)＝９a－c＝８３f (２)－５３f (１), 又∵－４≤f(１)≤－１,－１≤f(２)≤５, ∴５３≤－ ５ ３f (１)≤２０３ , ① －８３≤ ８ ３f (２)≤４０３． ② 把①②的两边分别相加,得－１≤８３f (２)－５３f (１)≤２０, 即－１≤f(３)≤２０．∴f(３)的取值范围是[－１,２０]． １４．BCD　[对于 A,∵a＞b＞０,m＞０,∴b＋ma＋m－ b a ＝m (a－b) a(a＋m)＞０ ,∴b＋ma＋m＞ b a ,故 A错误,对于B, ∵b＞a＞０,m＞０, ∴b＋ma＋m－ b a ＝ m(a－b) a(a＋m)＜０ ,∴ba ＞ b＋m a＋m ,故 B正确; 对于 C,∵a＞b＞０,c＞b＞０, ∴a－b＞０,c－d＞０, ∴ b＋ca＋c － b＋d a＋d ＝ (b＋c)(a＋d)－(b＋d)(a＋c) (a＋c)(a＋d) ＝ (a－b)(c－d) (a＋c)(a＋d)＞０ ,∴b＋da＋d＜ b＋c a＋c ,故 C正确; 对于 D,∵０＜１＋a＜１＋a＋b,０＜１＋b＜１＋a＋b, ∴ a１＋a＞ a １＋a＋b ,b １＋b＞ b １＋a＋b ,∴ a１＋a＋ b １＋b＞ a １＋a＋b＋ b １＋a＋b ,故 D正确．] ３．２　基本不等式 第１课时　基本不等式 １．B　２．B　３．C　４．D ５．AD　[设甲、乙两地之间的距离为s．∵a＜b, ∴v＝ ２ss a ＋ s b ＝２aba＋b＜ ２ab ２ ab ＝ ab．又v－a＝２aba＋b－a ＝ab－a ２ a＋b ＞ a２－a２ a＋b ＝０ ,∴v＞a．] ６．BD　[当ab＜０时,①中的不等式是错误的,①错误;因 为x与４x 同号,所以 x＋４x ＝|x|＋ ４ x 是正确的, 且|x|＝ ４x ,即x＝±２时等号成立,所以②中的基本 不等式计算是正确的,②正确; x２＋２＋ １ x２＋２ ＞２ (当 x２＋２＝ １ x２＋２ 时,x２＝－１无解,等号不成立), 故③错误;因为ab＜０,所以－ab ＞０ 且－ba ＞０ ,且－ba ＝－ab ,即a＝－b时等号成立,所以④中的基本不等式 运算是正确的,④正确．] ７．解析:∵a＞０,b＞０, ∴a＋b≥２ ab,a２＋b２≥２ab, ∴四个数中最大数应为a＋b或a２＋b２． 又∵０＜a＜１,０＜b＜１, ∴a２＋b２－(a＋b) ＝a２－a＋b２－b＝a(a－１)＋b(b－１)＜０, ∴a２＋b２＜a＋b,∴a＋b最大． 答案:a＋b ８．解析:∵a＞０,b＞０,∴ab＝a＋b＋３≥２ ab＋３, 即ab－２ab－３≥０, 解得 ab≥３,即ab≥９． 答案:[９,＋∞) ９．解析:由题意x＞０,xy＋y＝４,所以y＝ ４x＋１＞０ , 所以z＝３x＋ ４x＋１＋２＝３ (x＋１)－３＋ ４x＋１＋２ ＝３(x＋１)＋ ４x＋１－１≥２ ３ (x＋１)􀅰 ４x＋１－１ ＝４ ３－１,当且仅当３(x＋１)＝ ４x＋１ ,即x＝２ ３３ －１＞０ 时 等号成立． 答案:４ ３－１ １０．证明:∵a＞０,b＞０, ∴１a＋ １ b≥２ １ ab＞０ , ∴ ２１ a＋ １ b ≤ ２ ２ １ab ＝ ab, 即 ２ １ a＋ １ b ≤ ab(当a＝b时取“＝”)． １１．解:(１)∵０＜x＜１２ , ∴１－２x＞０, y＝１４ 􀅰２x􀅰(１－２x)≤１４ 􀅰 ２x＋１－２x ２( ) ２ ＝１４× １ ４ ＝１１６． ∴当且仅当２x＝１－２x,即x＝１４ ,y最大值 ＝ １ １６． (２)∵x＜３,∴x－３＜０, ∴f(x)＝ ４x－３＋x＝ ４ x－３＋ (x－３)＋３ ＝－ ４３－x＋ (３－x)[ ]＋３ ≤－２ ４３－x 􀅰(３－x)＋３＝－１, 当且仅当 ４ ３－x＝３－x ,即x＝１时取等号, ∴f(x)的最大值为－１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４８３􀅰 必修第一册 　　　§３　不等式 ３．１　不等式的性质 １．(多选)若x＞１＞y,则下列不等式一定 成立的有 (　　) A．x－１＞y－１ B．x－１＞１－y C．x－y＞１－y D．１－x＞y－x ２．已知a＜０,b＜－１,则下列不等式成立 的是 (　　) A．a＞ab＞ a b２ B．a b２ ＞ab＞a C．ab＞a＞ a b２ D．ab＞ a b２ ＞a ３．已知a＞b＞c,且a＋b＋c＝０,则下列不 等式恒成立的是 (　　) A．ab＞bc B．ac＞bc C．ab＞ac D．a|b|＞|b|c ４．若１a＜ １ b＜０ ,则下列结论中不正确的是 (　　) A．a２＜b２ B．ab＜b２ C．a＋b＜０ D．|a|＋|b|＞|a＋b| ５．(多选)已知下列四个条件:①b＞０＞a, ②０＞a＞b,③a＞０＞b,④a＞b＞０,能 推出１ a＜ １ b 成立的有 (　　) A．①　　B．②　　C．③　　D．④ ６．(多选)设a,b为正实数,则下列命题正 确的是 (　　) A．若a２－b２＝１,则a－b＜１ B．若１b－ １ a＝１ ,则a－b＜１ C．若a＞b＋１,则a２＞b２＋１ D．若a≤１,b≤１,则|a－b|≥|１－ab| ７．设t＝a＋２b,s＝a＋b２＋１,则s与t的大 小关系是　　　　． ８．对于实数a,b,c,给出下列命题: ①若a＞b,则ac２＞bc２; ②若a＜b＜０,则a２＞ab＞b２; ③若a＞b,则a２＞b２; ④若a＜b＜０,则ab＞ b a． 其中正确命题的序号是　　　　． ９．某公司有２０名技术人员,计划开发 A, B两类共５０件电子器件,每类每件所需 人员和预计产值如下: 电子器 件种类 每件需要 人员数 每件产值 (万元/件) A类 １２ ７．５ B类 １３ ６ 今制订计划欲使总产值最高,则 A类电 子器件应开发　　　　件,最高产值为 　　　　万元． １０．已知a＞b＞０,c＜d＜０． 求证: ３a d＜ ３b c． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９８２􀅰 第一章　预备知识 １１．若－１＜a＋b＜３,２＜a－b＜４,求２a＋３b 的取值范围． １２．网上发布了“明天气温是今天气温的２ 倍”的信息,各地有不同的反应: (１)一位南方的网友做出的第一反应 是“明天升温了”; (２)一位北方的网友做出的第一反应 是“明天降温了”; (３)另一位北方的网友做出的第一反 应是“明天的气温没有变化”． 请从数学上解释为什么不同地方的网 友会有不同的反应． １３．已知函数f(x)＝ax２－c,－４≤f(１) ≤－１,－１≤f(２)≤５,求f(３)的取值 范围． １４．(多选)生活经验告诉我们,a克糖水中 有b克糖(a＞０,b＞０,且a＞b),若再 添加c克糖(c＞０)后,糖水会更甜,于 是得出一个不等式:b＋c a＋c＞ b a． 趣称之 为“糖水不等式”．根据生活经验和不 等式的性质判断下列命题一定正确 的是 (　　) A．若a＞b＞０,m＞０,则b＋ma＋m 与b a 的 大小关系随m 的变化而变化 B．若b＞a＞０,m＞０,则ba＞ b＋m a＋m C．若 a＞b＞０,c＞d＞０,则b＋da＋d ＜b＋ca＋c D．若a＞０,b＞０,则一定有 a１＋a＋b＋ b １＋a＋b＜ a １＋a＋ b １＋b 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０９２􀅰 必修第一册