第一章 2.1 第2课时 充要条件-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　　　　　第２课时　充要条件 １．若a∈R,则“a２＝１”是“|a|＝１”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ２．两个三角形全等的一个充要条件是 (　　) A．两个三角形的面积相等 B．两个三角形的对应角相等 C．两个三角形的对应边相等 D．两个三角形的对应外角相等 ３．(２０２３􀅰北京卷)若xy≠０,则“x＋y＝０” 是“y x＋ x y＝－２ ”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ４．设x,y是两个实数,命题:“x,y中至少 有一个数大于１”成立的充分不必要条 件是 (　　) A．x＋y＝２　　　　B．x＋y＞２ C．x２＋y２＞２ D．xy＞１ ５．(多选)设计如图所示的四个电路图,若 p:开关S闭合,q:灯泡 L亮,则p 是q 的充要条件的电路图是 (　　) ６．(多选)设全集为U,在下列选项中,是 B⊆A的充要条件的有 (　　) A．A∪B＝A B．(∁UA)∩B≠∅ C．(∁UA)⊆(∁UB) D．A∪(∁UB)＝U ７．下列不等式: ①x＜１;②０＜x＜１;③－１＜x＜０; ④－１＜x＜１;⑤x＞－１． 其中,可以作为x２＜１的一个充分不必 要条件的所有序号为　　　　;可以作 为x２＜１的一个必要不充分条件的所 有序号为　　　　． ８．关于x的不等式|２x－３|＞a的解集为 R的充要条件是　　　　． ９．已知集合A＝{x|a－２＜x＜a＋２},B＝ {x|x≤－２,或x≥４},则A∩B＝∅的 充要条件是　　　　　　　　　　． １０．已知关于x 的方程x２－mx＋２m－３ ＝０,求使方程有两个大于１的实根的 充要条件． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３８２􀅰 第一章　预备知识 １１．设x,y∈R,求证|x＋y|＝|x|＋|y|成 立的充要条件是xy≥０． １２．设集合U＝{(x,y)|x∈R,y∈R},A＝ {(x,y)|２x－y＋m＞０},B＝{(x,y)| x＋y－n≤０},那么点P(２,３)∈A∩ (∁UB)的充要条件是 (　　) A．m＞－１,n＜５ B．m＜－１,n＜５ C．m＞－１,n＞５ D．m＜－１,n＞５ １３．设a,b,c为△ABC 三边长,求证:方程 x２＋２ax＋b２＝０与x２＋２cx－b２＝０, 有公共根的充要条件是∠A＝９０°． １４．在整数集中,被４除所得余数为k的 所有整数组成一个“类”,记为[k],即 [k]＝{４n＋k|n∈Z},k＝０,１,２,３．给 出下列四个结论． ①２０２５∈[１];②－１∈[１];③Z＝[０] ∪[１]∪[２]∪[３];④“整数a,b属于同 一‘类’”的充要条件是“a－b∈[０]”． 其中正确的结论是　　　　　(填所 有正确的结论的序号)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４８２􀅰 必修第一册 此时d＝２(a􀱇b)＋a􀱋bb ＝２×０×１＋ ０－１ (０＋１)２＋１ ＝－１２ ,所以A＝ －１２{ }． (２)能． 若(∁UA)∩B＝∅,则B⊆A． ①若B＝∅,则Δ＝(－３)２－４m＜０,解得 m＞ ９４ ,满足 要求; ② 若 B ≠ ∅, 则 B ＝ A ＝ －１２( ) , 所 以 －１２( ) ２ －３× －１２( )＋m＝０, (－３)２－４m＝０．{ 无解． 综上所述,集合A,B 能满足(∁UA)∩B＝∅, 此时m 的取值范围为m＞９４． §２　常用逻辑用语 ２．１　必要条件与充分条件 第１课时　必要条件与充分条件 １．B　２．A　３．B　４．A ５．AD　[①由xt２＞yt２ 可知t２＞０,所以x＞y,故xt２＞yt２ ⇒x＞y; ②当t＞０时,x＞y,当t＜０时,x＜y,故xt＞yt⇒/x＞y; ③由x２＞y２,得|x|＞|y|,故x２＞y２⇒/x＞y; ④由０＜１x＜ １ y⇒x＞y． ] ６．AB　[若A∩B＝∅,则a＋１≥２a－３或 a＋１＜２a－３ a＋１≥－２ ２a－３≤７{ , 解得a≤４或４＜a≤５, 所以A∩B＝∅的充要条件为a≤５, 所以A∩B＝∅的必要不充分条件可能为a＜７,a＜６． ] ７．解析:a＝２⇒(a－１)(a－２)＝０;(a－１)(a－２)＝０⇒a＝１ 或a＝２,从而可知“a＝２”是“(a－１)(a－２)＝０”的充分 不必要条件． 答案:充分不必要 ８．解析:∵－２＜x＜１⇒/x＞１或x＜－１,并且x＞１或x＜ －１⇒/ －２＜x＜１,∴“－２＜x＜１”是“x＞１或x＜－１” 的既不充分条件也不必要条件． 答案:既不充分也不必要 ９．(１)必要条件　(２)充分条件 １０．解:(１)因为命题“若x＝１,则x２－４x＋３＝０”是真命 题,而命题“若x２－４x＋３＝０,则x＝１”是假命题,所以 p是q的充分条件,但不是必要条件,即p 是q 的充分 不必要条件． (２)∵p ⇒/q,而q⇒p,∴p是q的必要不充分条件． (３)∵p⇒q,而q⇒/p,∴p是q的充分不必要条件． (４)∵p⇒q,而q⇒/p,∴p是q的充分不必要条件． (５)∵p ⇒/q,而q ⇒/p,∴p 是q 的 既 不 充 分 也 不 必 要条件． １１．解:令M＝{x|２x２－３x－２≥０}＝{x|(２x＋１)(x－２)≥０} ＝{x|x≤－１２ ,或x≥２}; N＝{x|x２－２(a－１)x＋a(a－２)≥０} ＝{x|(x－a)[x－(a－２)]≥０} ＝{x|x≤a－２,或x≥a}, 由已知p⇒q,且q⇒/p,得 M⫋N． 所以 a－２≥－ １ ２ , a＜２,{ 或 a－２＞－１２ , a≤２,{ ⇔ ３ ２≤a＜２ 或 ３ ２ ＜a≤２⇔３２≤a≤２． 即所求a的取值范围是 ３２ ,２[ ]． １２．解:y＝x２－３２x＋１＝ x－ ３ ４( ) ２ ＋７１６ , 因为x∈ ３４ ,２[ ] ,所以７１６≤y≤２, 所以A＝ y ７１６≤y≤２{ }． 由x＋m２≥１,得x≥１－m２,所以B＝{x|x≥１－m２}． 因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A⊆B, 所以１－m２≤７１６ ,解得m≥３４ 或m≤－３４ , 故实数m的取值范围是 －∞,－３４( ] ∪ ３ ４ ,＋∞[ )． １３．解:由x２－x－２＞０,解得x＞２,或x＜－１, 令A＝{x|x＞２,或x＜－１}, 由４x＋p＜０,得B＝{x|x＜－p４ }, 当B⊆A 时,即－p４≤－１ ,即p≥４, 此时x＜－p４≤－１⇒x ２－x－２＞０, ∴当p≥４时,４x＋p＜０是x２－x－２＞０的充分条件． １４．解:(１)由x２－x－m＝０可得m＝x２－x＝ x－１２( ) ２ －１４ , ∵－１＜x＜１,∴－１４≤m＜２ , ∴M＝ m －１４≤m＜２{ }． (２)若x∈N 是x∈M 的必要条件,则 M⊆N． ①当a＞２－a,即a＞１时,N＝{x|２－a＜x＜a}, 则 ２－a＜－１４ , a≥２, a＞１, ì î í ïï ï 即a＞９４． ②当a＜２－a,即a＜１时,N＝{x|a＜x＜２a}, 则 a＜１, a＜－１４ , ２－a≥２, ì î í ïï ï 即a＜－１４． ③当a＝２－a,即a＝１时,N＝∅,此时不满足题意． 综上可得,实数a的取值范围是a＞９４ 或a＜－１４． 第２课时　充要条件 １．C　２．C ３．C　[法一:因为xy≠０,且xy ＋ y x ＝－２ ,所以x２＋y２＝ －２xy,即x２＋y２＋２xy＝０,即(x＋y)２＝０,所以x＋y＝０． 所以“x＋y＝０”是“xy ＋ y x ＝－２ ”的充要条件． 法二:充分性:因为xy≠０,且x＋y＝０,所以x＝－y,所以 x y ＋ y x ＝ －y y ＋ y －y＝－１－１＝－２ ,所以充分性成立; 必要性:因为xy≠０,且xy ＋ y x ＝－２ ,所以x２＋y２＝－２xy, 即x２＋y２＋２xy＝０,即(x＋y)２＝０,所以x＋y＝０．所以 必要性成立．所 以 “x＋y＝０”是 “xy ＋ y x ＝－２ ”的 充 要条件．] ４．B ５．BD　[由题知,电路图 A 中,开关 S闭合,灯泡 L亮,而 灯泡 L亮,开关S不一定闭合,故 A 中p 是q 的充分不 必要条件;电路图B中,开关S闭合,灯泡L亮,且灯泡L 亮,则开关S一定闭合,故B中p是q 的充要条件;电路 图 C中,开关S闭合,灯泡 L不一定亮,灯泡 L亮,则开 关S一定闭合,故 C中p 是q 的必要不充分条件;电路 图 D中,开关S闭合,则灯泡 L亮,灯泡 L亮,则一定有 开关S闭合,故 D中p是q的充要条件．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１８３􀅰 参考答案 ６．ACD　[由 Venn图可知,A,B,C,D都是充要条件．] ７．解析:由x２＜１,得－１＜x＜１,而{x|０＜x＜１}⫋{x|－１ ＜x＜１},{x|－１＜x＜０}⫋{x|－１＜x＜１},所以０＜x ＜１和－１＜x＜０都可作为x２＜１的一个充分不必要条 件．因为{x|－１＜x＜１}⫋{x|x＜１},{x|－１＜x＜１}⫋ {x|x＞－１},所以x＜１和x＞－１均可作为x２＜１的一 个必要不充分条件． 答案:②③　①⑤ ８．解析:由题意知|２x－３|＞a恒成立,∵|２x－３|≥０,∴a＜０． 答案:a＜０ ９．解析:A∩B＝∅⇔ a＋２≤４ , a－２≥－２,{ ⇔０≤a≤２． 答案:０≤a≤２ １０．解:设方程x２－mx＋２m－３＝０的两根分别为x１,x２, 由题意知 Δ≥０ x１＞１ x２＞１ { ⇔ Δ≥０ (x１－１)＋(x２－１)＞０ (x１－１)(x２－１)＞０ { ⇔ Δ≥０ x１＋x２＞２ x１x２－(x１＋x２)＋１＞０ { ⇔ m２－４(２m－３)≥０ m＞２ ２m－３－m＋１＞０{ ⇔m≥６． 即使方程有两个大于１的实根的充要条件为m≥６． １１．证明:充分性:如果xy≥０,则有xy＝０和xy＞０两种情 况,当xy＝０时,不妨设x＝０,得|x＋y|＝|y|,|x|＋ |y|＝|y|,∴等式成立． 当xy＞０,即x＞０,y＞０或x＜０,y＜０时． 又当x＞０,y＞０时, |x＋y|＝x＋y,|x|＋|y|＝x＋y,∴等式成立． 当x＜０,y＜０时,|x＋y|＝－(x＋y), |x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y),∴等式成立． 总之,当xy≥０时,|x＋y|＝|x|＋|y|成立． 必要性:若|x＋y|＝|x|＋|y|且x,y∈R, 得|x＋y|２＝(|x|＋|y|)２, 即x２＋２xy＋y２＝x２＋y２＋２|x|􀅰|y|, ∴|xy|＝xy,∴xy≥０． 综上可知,xy≥０是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要 条件． １２．A　[要求P∈A∩(∁UB)的充要条件,应从充分性、必要性 两方面入手． (１)∁UB＝{(x,y)|x＋y－n＞０}, A∩(∁UB)＝{(x,y)|x＋y－n＞０,且２x－y＋m＞０}, 由P∈A∩(∁UB)知, ５－n＞０, １＋m＞０,{ 即m＞－１,n＜５． 所以m＞－１,n＜５是P(２,３)∈A∩(∁UB)的必要条件． (２)当m＞－１,n＜５时,x＋y≥５２x－y≥１{ 解得 x≥２, y≥３．{ 即P(２,３)∈A∩(∁UB),所以 m＞－１,n＜５是P(２,３) ∈A∩(∁UB)的充分条件．] １３．证明:必要性:设方程x２＋２ax＋b２＝０与x２＋２xc－b２ ＝０,有公共根x０,则x２０＋２ax０＋b２＝０,x２０＋２cx０－b２ ＝０且a≠c, 两式相减,得x０＝ b２ c－a ,将此式代入x２０＋２ax０＋b２＝０, 可得b２＋c２＝a２,故∠A＝９０°． 充分性:∠A＝９０°,∴b２＋c２＝a２,b２＝a２－c２, ① 将①代入方程x２＋２ax＋b２＝０,可得,x２＋２ax＋a２－c２ ＝０, 而(x＋a－c)(x＋a＋c)＝０, 将①代入方程x２＋２cx－b２＝０,可得 x２＋２cx＋c２－a２＝０,即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝０, 故两方程有公共根x＝－(a＋c)． 综上,方程x２＋２ax＋b２＝０与x２＋２cx－b２＝０有公共 根的充要条件是∠A＝９０°． １４．解析:对 于①,∵２０２５＝４×５０６＋１,则２０２５∈[１], ①正确;对于②,∵－１＝４×(－１)＋３,则－１∈[３],② 不正确;对于③,∵任意整数除以４,余数可以且只可以 是０,１,２,３四类,则Z＝[０]∪[１]∪[２]∪[３],③正确; 对于④,若整数a、b属于同一“类”,则整数a、b被４除 的余数相同,可设a＝４n１＋k,b＝４n２＋k,其中n１,n２∈Z, k∈{０,１,２,３},则a－b＝４(n１－n２),故a－b∈[０],若 a－b∈[０],不妨令a＝４n１＋k１,b＝４n２＋k２(n１,n２∈Z, k１,k２∈{０,１,２,３}),则a－b＝４(n１－n２)＋(k１－k２), 显然n１－n２∈Z,|k１－k２|∈{０,１,２,３},于是得|k１－k２| ＝０,∴k１＝k２,即整数a,b属于同一‘类’,∴“整数a,b 属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[０]”,④正确．综 上所述,正确的结论是①③④． 答案:①③④ ２．２　全称量词与存在量词 第１课时　全称量词命题与存在量词命题 １．C ２．B　[“能除５整数的数也能被２整除”省略了“所有”．] ３．B　４．A ５．CD　[当n＝１时,２n２＋５n＋２不能被２整除,当n＝２ 时,２n２＋５n＋２ 能 被 ２ 整 除,所 以 A、B 错 误,C、D 正确．] ６．ABD　[A中,x＝－１时,满足x２－２x－３＝０,所以 A 是 真命题;B中,６能同时被２和３整除,所以 B是真命题; D中,２既是自然数又是偶数,所以 D是真命题;C中,因 为所有实数的绝对值非负,所以 C是假命题．] ７．解析:①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”,是 全称量词命题;②是全称量词命题,即“凡是有两个角相 等的三角形都是等腰三角形”;③可表述为“所有正数的 平方根都不 等 于 ０”,是 全 称 量 词 命 题;④ 是 存 在 量 词 命题． 答案:①②③　④ ８．解析:∵x≥３∴２x－１≥５,∴m≤５． 答案:(－∞,５] ９．解析:当a≤０时命题为真;当a＞０时命题为真,必使 Δ＝４－４a２＞０,即－１＜a＜１,∴a＜１． 答案:a＜１ １０．解:(１)∀x∈{x|x是凸n 边形},x的外角和是２π, (２)∃x∈Q,x２＝３, (３)∀α∈R,sin２α＋cos２α＝１． １１．解:(１)存在量词命题．x＝２时,x－２＝０成立．所以命 题是真命题． (２)全称 量 词 命 题．邻 边 不 相 等 的 矩 形 的 对 角 线 不 垂 直,所以,全称量词命题“矩形的对角线垂直平分”是假 命题． (３)全称量词命题．三角形中,两边之和大于第三边,所 以,全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真 命题． (４)存在量词命题．３是素数也是奇数,所以,存在量词 命题“有些素数是奇数”是真命题． １２．解:不等式２x＞m(x２＋１)恒成立,即不等式mx２－２x＋ m＜０恒成立． (１)当m＝０时,不等式可化为－２x＜０,显然不恒成立, 不合题意． (２)当m≠０时,要使不等式 mx２－２x＋m＜０恒成立, 则 m＜０, ４－４m２＜０,{ 解得m＜－１． 综上可知,所求实数m 的取值范围是(－∞,－１)． １３．解:(１)当m＝０时,f(x)＝x－a与x轴恒相交, 所以a∈R; (２)当m≠０时,二次函数f(x)＝mx２＋x－m－a的图 象和x 轴恒有公共点的充要条件是Δ′＝１＋４m(m＋a) ≥０恒成立,即４m２＋４am＋１≥０恒成立． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２８３􀅰 必修第一册