第七章 概率 B卷·素养提升卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂单元双测卷（北师大版2019）

　　　　第七章　概率 　　　　B卷􀅰素养提升卷 (时间:１２０分钟,满分:１５０分) 第Ⅰ卷(选择题　共５８分) 一、单项选择题(本题共８小题,每小题５ 分,共４０分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) １．给出下列四个命题: ①“三个球全部放入两个盒子,其中必有 一个盒子有一个以上的球”是必然事件; ②“当x为某一实数时,可使x２≤０”是不 可能事件; ③“明天天津市要下雨”是必然事件; ④“从１００个灯泡(含有１０个次品)中取 出５个,５个全是次品”是随机事件． 其中正确命题的个数是 (　　) A．０　　　B．１　　　C．２　　　D．３ ２．若“A＋B”发生(A,B 中至少有一个发 生)的概率为０􀆰６,则􀭿A,􀭺B 同时发生的概 率为 (　　) A．０􀆰６ B．０􀆰３６ C．０􀆰２４ D．０􀆰４ ３．今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某 项围棋比赛,胜者可获得２４０００元奖金． 比赛规定下满五局,五局中获胜局数多 者赢得比赛,比赛无平局,若比赛已进行 三局,甲两胜一负,由于突发因素无法进 行后面比赛,如何分配奖金最合理 (　　) A．甲１２０００元,乙１２０００元 B．甲１６０００元,乙８０００元 C．甲２００００元,乙４０００元 D．甲１８０００元,乙６０００元 ４．如果３个正整数可作为一个直角三角形 三条边的边长,则称这３个数为一组勾 股数．从１,２,３,４,５中任取３个不同的 数,则 这 ３ 个 数 构 成 一 组 勾 股 数 的 概 率为 (　　) A．３１０ B． １ ５ C． １ １０ D． １ ２０ ５．考察下列命题: ①掷两枚硬币,可能出现“两个正面”“两个 反面”“一正一反”３种等可能的结果; ②某袋中装有大小均匀的三个红球、二 个黑球、一个白球,那么每种颜色的球被 摸到的可能性相同; ③从－４,－３,－２,－１,０,１,２中任取一 数,取到的数小于０与不小于０的可能性 相同; ④分别从３个男同学、４个女同学中各选 一个作代表,那么每个同学当选的可能 性相同; ⑤５人抽签,甲先抽,乙后抽,那么乙与甲 抽到某号中奖签的可能性肯定不同．其 中正确的命题有 (　　) A．０个 B．１个 C．２个 D．３个 ６．甲、乙、丙三位同学上课后独立完成５道 自我检测题,甲及格概率为４ ５ ,乙及格概 率为２ ５ ,丙及格概率为２ ３ ,则三人中至少 有一人及格的概率为 (　　) A．１６７５ B． ５９ ７５ C． １ ２５ D． ２４ ２５ ７．掷一个骰子的试验,事件A 表示“小于５ 的偶数点出现”,事件B 表示“小于５的 点数出现”,则一次试验中,事件A∪􀭺B 发 生的概率为 (　　) A．１３ B． １ ２ C． ２ ３ D． ５ ６ ８．甲、乙两位同学各拿出６张游戏牌,用作 投骰子的奖品,两人商定:骰子朝上的面 的点数为奇数时甲得１分,否则乙得１ 分,先积得３分者获胜得所有１２张游戏 牌,并结束游戏．比赛开始后,甲积２分, 乙积１分,这时因意外事件中断游戏,以 后他们不想再继续这场游戏,下面对这 １２张游戏牌的分配合理的是 (　　) A．甲得９张,乙得３张 B．甲得６张,乙得６张 C．甲得８张,乙得４张 D．甲得１０张,乙得２张 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页１第　卷 　章七第　题试学数 二、多项选择题(本题共３小题,每小题６ 分,共１８分,在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求,全部选对的得６分, 部分选对的得部分分,有选错的得０分) ９．一个人连续射击２次,则下列各事件关 系中,说法正确的是 (　　) A．事件“两次均击中”与事件“至少一次 击中”互为对立事件 B．事件“第一次击中”与事件“第二次击 中”互为互斥事件 C．事件“恰有一次击中”与事件“两次均 击中”互为互斥事件 D．事件“两次均未击中”与事件“至少一 次击中”互为对立事件 １０．以下对各事件发生的概率判断正确的是 (　　) A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏, 则玩一局甲不输的概率是１ ３ B．每个大于２的偶数都可以表示为两个 素数的和,例如８＝３＋５,在不超过 １４的素数中随机选取两个不同的数, 其和等于１４的概率为１１５ C．将一枚质地均匀的正方体骰子先后 抛掷两次,观察朝上面的数字,则数 字之和是６的概率是５３６ D．从三件正品、一件次品中随机取出两 次,则取出的产品全是正品的概率 是１ ２ １１．甲罐中有５个红球、２个白球和３个黑 球,乙罐中有４个红球、３个白球和３个 黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙 罐,分别用A１,A２ 和A３ 表示由甲罐取 出的球是红球、白球和黑球的事件,再 从乙罐中随机取出一球,用B 表示由乙 罐取出的球是红球的事件,则下列结论 中正确的是 (　　) A．P(B)＝９２２ B．事件B 与事件A１ 相互独立 C．A１,A２,A３ 是两两互斥的事件 D．P(B)的值不能确定,因为它与 A１, A２,A３ 中究竟哪一个发生有关 第Ⅱ卷(非选择题　共９２分) 三、填空题(本题共３小题,每小题５分,共 １５分,其中１２题、１４题第一空２分,第二空 ３分) １２．有一道数学难题,在半小时内,甲能解 决的概率是１ ２ ,乙能解决的概率是１ ３ ,２ 人试图独立地在半小时内解决它,则两 人都未解决的概率为　　　　,问题得 到解决的概率为　　　　． １３．从分别写有１,２,３,４,５的５张卡片中随 机抽取１张,放回后再随机抽取１张,则 抽得的第一张卡片上的数大于第二张 卡片上的数的概率为　　　　　　　． １４．某景区内有１０个景点, 其平面图如图所示,当t ＝０时甲在A 地,乙在B 地,若每经过一个单位时 间,他们都将随机走向与 之相邻的任意一个景区, 记某时刻甲、乙出现在同一景区的概率为 P(t),则P(２)＝　　　;P(３)＝　　　． 四、解答题(本题共５小题,共７７分．解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤) １５．(１３分)甲、乙两人玩一种游戏,每次由 甲、乙各出１到５根手指,若和为偶数算 甲赢,否则算乙赢． (１)若以A表示和为６的事件,求P(A); (２)现连玩三次,若以B 表示甲至少赢 一次的事件,C 表示乙至少赢两次的事 件,试问 B 与C 是否为互斥事件? 为 什么? (３)这 种 游 戏 规 则 公 平 吗? 试 说 明 理由． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页２第　卷 　章七第　题试学数 １６．(１５分)某班甲、乙、丙三名同学竞选班 委,甲当选的概率为４ ５ ,乙当选的概率为 ３ ５ ,丙当选的概率为７ １０． (１)求恰有一名同学当选的概率; (２)求至多有两人当选的概率． １７．(１５分)一汽车厂生产 A,B,C 三类轿 车,每类轿车均有舒适型和标准型两种 型号,某月的产量(单位:辆)如下表: 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 １００ １５０ x 标准型 ３００ ４５０ ６００ 按类用分层抽样的方法在这个月生产 的轿车中抽取５０辆,其中有A 类轿车 １０辆． (１)求x的值; (２)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽 取一个容量为５的样本．将该样本看成 一个总体,从中任取２辆,求至少有１辆 舒适型轿车的概率; (３)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿 车中抽取８辆,经检测它们的得分为: ９􀆰４,８􀆰６,９􀆰２,９􀆰６,８􀆰７,９􀆰３,９􀆰０,８􀆰２． 把这８辆轿车的得分看成一个总体,从 中任取一个数,求该数与样本平均数之 差的绝对值不超过０􀆰５的概率． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页３第　卷 　章七第　题试学数 １８．(１７分)某保险公司利用简单随机抽样 的方法,对投保的车辆进行抽样,样本 车辆中每辆车的赔付结果统计如下: 赔付金额(元) ０ １０００ ２０００ ３０００ ４０００ 车辆数(辆) ５００ １３０ １００ １５０ １２０ (１)若每辆车的投保金额为２８００元,估 计赔付金额大于投保金额的概率; (２)在样本车辆中,车主是新司机的占 １０％,在赔付金额为４０００元的样本车 辆中,车主是新司机的占２０％,估计在 投保车辆中,新司机获赔金额为４０００ 元的概率． １９．(１７分)交通指数是指交通拥堵指数的 简称,是综合反映道路畅通或拥堵的概 念性指数值,记交通指数为T,其范围为 [０,１０],分别有五个级别:T∈[０,２),畅 通;T∈[２,４),基本畅通;T∈[４,６),轻 度拥堵;T∈[６,８),中度拥堵;T∈[８,１０], 严重拥堵．在晚高峰时段(T≥２),从某 市交通指挥中心选取了市区２０个交通 路段,依据其交通指数数据绘制的频率 分布直方图如图所示． (１)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵 的路段的个数; (２)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中 度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取６个 路段,求依次抽取的三个级别路段的 个数; (３)从(２)中抽取的６个路段中任取２ 个,求至少有 １ 个路段为轻度拥堵的 概率． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页４第　卷 　章七第　题试学数 １３．解析:至少有一个准时响的概率为１－(１－０􀆰９０)(１－ ０􀆰８０)＝１－０􀆰１０×０􀆰２０＝０􀆰９８． 答案:０􀆰９８ １４．解析:三人都能达标的概率是４５× ３ ５× １ ２＝ ６ ２５． 三人 都 没 有 达 标 的 概 率 是 １－４５( ) × １－ ３ ５( ) × １－１２( )＝ １ ２５ ,因此至少有一人能达标的概率是 １－１２５＝ ２４ ２５． 答案:６ ２５　 ２４ ２５ １５．解:(１)１１５× (２􀆰５×２＋７􀆰５×６＋１２􀆰５×４＋１７􀆰５×２＋ ２２􀆰５×１)＝１１５×１５７􀆰５＝１０􀆰５ ,故这１５名乘客的平均 候车时间为１０􀆰５min． (２)由频率估计概率,可知候车时间少于１０min的概 率为２＋６ １５ ＝ ８ １５ ,故这６０名乘客中候车时间少于１０min 的人数约为６０×８１５＝３２． １６．解:(１)在所给数据中,降雨量为１１０mm的有３个,为 １６０mm的有７个,为２００mm的有３个．故近２０年６ 月份降雨量频率分布表为: 降雨量 ７０ １１０ １４０ １６０ ２００ ２２０ 频率 ０􀆰０５ ０􀆰１５ ０􀆰２ ０􀆰３５ ０􀆰１５ ０􀆰１ (２)由已知可得y＝０􀆰５x＋４２５, 记“发电量低于４９０万千瓦时或超过５３０万千瓦时”为 事件A, 则P(A)＝P(y＜４９０或y＞５３０)＝P(x＜１３０或x＞２１０) ＝P(x＝７０)＋P(x＝１１０)＋P(x＝２２０) ＝０􀆰０５＋０􀆰１５＋０􀆰１＝０􀆰３． 因此估计今年６月份该水力发电站的发电量低于 ４９０万千瓦时或超过５３０万千瓦时的概率为０􀆰３． １７．解:(１)因为抽取的２０件日用品中,等级系数为４的 恰有３件, 所以b＝３２０＝０􀆰１５． 等级系数为５的恰有２件,所以c＝２２０＝０􀆰１． 从而a＝１－０􀆰２－０􀆰４５－０􀆰１－０􀆰１５＝０􀆰１． 所以a＝０􀆰１,b＝０􀆰１５,c＝０􀆰１． (２)从x１,x２,x３,y１,y２ 这５件日用品中任取２件,其 样本空间 Ω＝{(x１,x２),(x１,x３),(x１,y１),(x１, y２),(x２,x３),(x２,y１),(x２,y２),(x３,y１),(x３,y２), (y１,y２)},共１０个样本点． 设事件A 表示“从x１,x２,x３,y１,y２ 这５件日用品中 任取２件,其等级系数相等”,则事件A 所包含的样 本空间Ω＝{(x１,x２),(x１,x３),(x２,x３),(y１,y２)}, 共４个样本点．故所求的概率P(A)＝４１０＝０􀆰４． １８．解:(１)设乙、丙能被录用的概率分别为x,y, 则 １－２３( )×(１－x)＝ １ １２ ,且xy＝３８ ,解得x＝３４ , y＝１２ ,∴乙、丙能被录用的概率分别为３４ ,１ ２． (２)设甲、乙、丙能被录用的事件分别为A、B、C, 则P(A)＝２３ ,P(B)＝３４ ,P(C)＝１２ , 且A、B、C相互独立,三人至少有两人能被录用包括 ABC、􀭿ABC、A􀭺BC、AB􀭺C 四种彼此互斥的情况, 则其概率为P(ABC＋􀭿ABC＋A􀭺BC＋AB􀭺C) ＝P(ABC)＋P(􀭿ABC)＋P(A􀭺BC)＋P(AB􀭺C) ＝２３× ３ ４× １ ２＋ １ ３× ３ ４× １ ２＋ ２ ３× １ ４× １ ２＋ ２ ３× ３ ４× １ ２＝ １７ ２４． １９．解:(１)设这m人的平均年龄为x,则x＝２２．５×０．０５＋ ２７．５×０．３５＋３２．５×０．３＋３７．５×０．２＋４２．５×０．１ ＝３２．２５(岁)． 设第８０百分位数为a, 法一:由５×０．０２＋(４０－a)×０．０４＝０．２, 解得a＝３７．５． 法二:由０．０５＋０．３５＋０．３＋(a－３５)×０．０４＝０．８, 解得a＝３７．５． (２)(i)由题意得,第四组应抽取４人,记为A,B,C, 甲,第五组抽取２人,记为D,乙, 对应的样本空间为:Ω＝{(A,B),(A,C),(A,甲), (A,乙),(A,D),(B,C),(B,甲),(B,乙),(B,D), (C,甲),(C,乙),(C,D),(甲,乙),(甲,D),(乙, D)},共１５个样本点．设事件 M＝“甲、乙两人至少一 人被选上”,则 M＝{(A,甲),(A,乙),(B,甲),(B, 乙),(C,甲),(C,乙),(甲,乙),(甲,D),(乙,D)},共 有９个样本点．所以P(M)＝n (M) n(Ω)＝ ３ ５． (i)设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别 为x４,x５,方差分别为s２４,s２５,则x４＝３７,x５＝４３,s２４＝ ５ ２ , s２５＝１,设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数 为z,方差为s２．则z＝ ４x４＋２x５ ６ ＝３９ ,s２＝１６× {４× [s２４＋(x４－z)２]＋２×[s２５＋(x５－z)２]}＝１０,因此,第四 组和第五组所有宣传使者的年龄方差为１０,据此,可 估计这m 人中年龄在３５~４５岁的所有人的年龄方 差约为１０． 第七章　概率 (B卷) １．C　[①④正确．] ２．D　[“A＋B”发生指A,B 中至少有一个发生,它的对 立事件为A,B 都不发生,即A,B同时发生．故A,B同 时发生的概率为１－０􀆰６＝０􀆰４．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９２􀅰 参考答案 ３．D　[乙最终获胜的概率为 １２× １ ２＝ １ ４ ,甲最终获胜 的概率为１－１４＝ ３ ４ ,所以甲、乙两人按照３∶１分配奖 金才比较合理,所以甲２４０００×３４＝１８０００ 元, 乙２４０００×１４＝６０００ 元．] ４．C　[从１,２,３,４,５中任取３个不同的数,有１０种方 法．能成为勾股数的只有３,４,５一组,∴P＝１１０． ] ５．A　[①中,出现“两个正面”“两个反面”的概率都是 １ ４ ,出现“一正一反”的概率是１ ２ ,因此不是等可能的; ②中,每种颜色的球的个数不同,因此被摸到的可能 性不同;③中,小于０的数有４个,不小于０的数有３ 个,显然取到的数小于０的可能性更大;④中,每个男 同学当选为代表的机会是１ ３ ,每个女同学当选为代表 的机会是１ ４ ,显然可能性不同;⑤中,抽签无论先抽还 是后抽,中奖的机会相等．] ６．D　[设甲及格为事件A,乙及格为事件B,丙及格为 事件C,则P(A)＝４５ ,P(B)＝２５ ,P(C)＝２３∴P (􀭿A) ＝１５ ,P(􀭺B)＝３５ ,P(􀭺C)＝１３ 则三人都不及格的概率 为P(􀭿A􀭺B􀭺C)＝P(􀭿A)P(􀭺B)P(􀭺C)＝１５× ３ ５× １ ３＝ １ ２５ , ∴三人中至少有一人及格的概率为１－P(􀭺A􀭺B􀭺C)＝２４２５． ] ７．C　[掷一个骰子的试验有６种可能结果,依题意P(A) ＝２６＝ １ ３ ,P(B)＝４６＝ ２ ３ ,所以P(B)＝１－P(B) ＝１－２３＝ １ ３ ,因为B表示“出现５点或６点”的事件, 因此事件A 与B互斥,从而P(A∪B)＝P(A)＋P(B) ＝１３＋ １ ３＝ ２ ３． ] ８．A　[由题意,得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为 １ ２ ,即甲、乙每局得分的概率相等,所以甲获胜的概率 是１ ２＋ １ ２× １ ２＝ ３ ４ ,乙获胜的概率是１ ２× １ ２＝ １ ４． 所 以甲得到的游戏牌为１２×３４＝９ (张),乙得到的游戏 牌为１２×１４＝３ (张)．] ９．CD　[对于 A,事件“至少一次击中”包含“一次击中” 和“两次均击中”,所以不是对立事件,A错误;对于B, 事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和 “第一次击中、第二次不中”,所以与事件“第二次击 中”不是互斥事件,B错误;对于 C,事件“恰有一次击 中”是“一次击中、一次不中”,它与事件“两次均击中” 是互斥事件,C正确;对于 D,事件“两次均未击中”的 对立事件是“至少一次击中”,D正确．] １０．BCD　[对于 A,画树状图如下: 从树状图可以看出,所有可能出现的结果共有９种, 这些结果出现的可能性相等． P(甲获胜)＝１３ ,P(乙获胜)＝１３ ,P(平局)＝１３ ,故 玩一局甲不输的概率是２ ３ ,故 A错误; 对于B,不超过１４的素数有２,３,５,７,１１,１３,共６个, 从这６个素数中任取２个,有２与３,２与５,２与７,２ 与１１,２与１３,３与５,３与７,３与１１,３与１３,５与７,５ 与１１,５与１３,７与１１,７与１３,１１与１３,共１５种结 果,其中和等于１４的只有一组３与１１,所以在不超 过１４的素数中随机选取两个不同的数,其和等于１４ 的概率为１ １５ ,故B正确; 对于C,该试验的样本点的总数为６×６＝３６,其中点 数之和是６的有(１,５),(２,４),(３,３),(４,２),(５,１), 共５个样本点,则所求概率是５３６ ,故C正确; 对于 D,记三件正品分别为A１,A２,A３,一件次品为 B,任取两件产品的所 有 可 能 结 果 有 A１A２,A１A３, A１B,A２A３,A２B,A３B,共６种,其中两件都是正品的 有A１A２,A１A３,A２A３,共３种,则所求概率为P＝ ３ ６ ＝１２ ,故 D正确．] １１．AC　[P(B)＝P(A１B)＋P(A２B)＋P(A３B)＝ ５ １０× ５ １１＋ ２ １０× ４ １１＋ ３ １０× ４ １１＝ ９ ２２ ,故 A正确,D不正确;事 件B发生的 概 率 受 事 件 A１ 的 影 响,故 B 不 正 确; A１,A２,A３ 不可能同时发生,是两两互斥的事件,故 C正确．] １２．解析:都未解决的概率为 １－１２( ) １－ １ ３( ) ＝ １ ２× ２ ３ ＝１３． 问题得到解决就是至少有１人能解决问题． ∴P＝１－１３＝ ２ ３． 答案:１ ３　 ２ ３ １３．解析:如图共有２５个样本点,满足 １ ２ ３ ４ ５ １ (１,１) (２,１) (３,１) (４,１) (５,１) ２ (１,２) (２,２) (３,２) (４,２) (５,２) ３ (１,３) (２,３) (３,３) (４,３) (５,３) ４ (１,４) (２,４) (３,４) (４,４) (５,４) ５ (１,５) (２,５) (３,５) (４,５) (５,５) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０３􀅰 数学􀅰必修第一册 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的 样本点共１０种,故概率为P＝１０２５＝ ２ ５． 答案:２ ５ １４．解析:给每个景区编号,记t时刻,第k(k＝１,２,３,４, ５,６,７,８,９,１０)个景点路径条数为f(k,t), １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ sum t＝０ １ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ １ t＝１ ０ １ １ １ １ ０ ０ ０ ０ ０ ４ t＝２ ４ １ ２ ２ １ １ １ １ １ ０ １４ t＝３ ６ ７ ８ ８ ７ ４ ４ ２ ２ ４ ５２ 观察表中数据,寻找规律,可以发现(k,t)满足以下条 件:f(１,t)＝f(２,t－１)＋f(３,t－１)＋f(４,t－１)＋ f(５,t－１),f(２,t)＝f(１,t－１)＋f(３,t－１)＋f(６, t－１),f(３,t)＝f(１,t－１)＋f(３,t－１)＋f(５,t－１) ＋f(８,t－１),f(４,t)＝f(１,t－１)＋f(３,t－１)＋ f(５,t－１)＋f(８,t－１),f(５,t)＝f(１,t－１)＋f(４, t－１)＋f(９,t－１),f(６,t)＝f(２,t－１)＋f(７,t－１) ＋f(１０,t－１),f(７,t)＝f(３,t－１)＋f(６,t－１)＋ f(８,t－１)＋f(１０,t－１),f(８,t)＝f(４,t－１)＋f(７, t－１)＋f(９,t－１)＋f(１０,t－１),f(９,t)＝f(５, t－１)＋f(８,t－１)＋f(１０,t－１),f(１０,t)＝f(６, t－１)＋f(７,t－１)＋f(８,t－１)＋f(９,t－１),∵图象 对称, ∴P(２)＝２×４１４× ０ １４＋４× １ １４× １ １４＋４× １ １４× ２ １４＝ ３ ４９ , P(３)＝２×６５２× ４ ５２＋４× ７ ５２× ２ ５２＋４× ８ ５２× ４ ５２＝ ２９ ３３８． 答案:３ ４９　 ２９ ３３８ １５．解:(１)甲、乙出手指都有５种可能,因此其样本空间 中样本点的总数为５×５＝２５(种),事件A 包括甲、乙 出的手指的样本点有(１,５),(５,１),(２,４),(４,２), (３,３),共５种情况,∴P(A)＝５２５＝ １ ５． (２)B 与C 不是互斥事件．因为事件B 与C 可以同时 发生,如甲赢一次,乙赢两次的事件即符合题意． (３)这种游戏规则不公平．由(１)知和为偶数的样本 点有１３个,即(１,１),(１,３),(１,５),(２,２),(２,４), (３,１),(３,３),(３,５),(４,２),(４,４),(５,１),(５,３),(５,５)． 所以甲赢的概率为１３ ２５ ,乙赢的概率为１２ ２５． 所以这种游 戏规则不公平． １６．解析:设甲、乙、丙当选的事件分别为A、B、C, 则P(A)＝４５ ,P(B)＝３５ ,P(C)＝７１０． (１)易知事件A、B、C相互独立, 所以恰有一名同学当选的概率为 P(A􀭺B􀭺C)＋P(􀭺AB􀭺C)＋P(􀭺A􀭺BC)＝P(A)P(􀭺B)P(􀭺C)＋ P(􀭿A)P(B)P(􀭺C)＋P(􀭿A)P(􀭺B)P(C) ＝４５× ２ ５× ３ １０＋ １ ５× ３ ５× ３ １０＋ １ ５× ２ ５× ７ １０＝ ４７ ２５０． (２)至多有两人当选的概率为１－P(ABC) ＝１－P(A)P(B)P(C) ＝１－４５× ３ ５× ７ １０＝ ８３ １２５． １７．解:(１)设该厂这个月共生产轿车n辆, 由题意得５０ n＝ １０ １００＋３００ ,所以n＝２０００． 则x＝２０００－(１００＋３００)－(１５０＋４５０)－６００＝４００． (２)设所抽样本中有a辆舒适型轿车, 由题意得 ４００ １０００＝ a ５ ,即a＝２． 因此抽取的容量为５的样本中,有２辆舒适型轿车, ３辆标准型轿车． 用A１,A２ 表示２辆舒适型轿车,用B１,B２,B３ 表示 ３辆标准型轿车,用 E 表示事件“在该样本中任取 ２辆,其中至少有１辆舒适型轿车”, 则样本 空 间 Ω＝{(A１,A２),(A１,B１),(A１,B２), (A１,B３),(A２,B１),(A２,B２),(A２,B３),(B１,B２), (B１,B３),(B２,B３)},共１０个样本点．事件E 包含的 样本点为:(A１,A２),(A１,B１),(A１,B２),(A１,B３), (A２,B１),(A２,B２),(A２,B３),共７个． 故P(E)＝７１０ ,即所求概率为７ １０． (３)样本平均数􀭵y＝１８× (９􀆰４＋８􀆰６＋９􀆰２＋９􀆰６＋８􀆰７＋ ９􀆰３＋９􀆰０＋８􀆰２)＝９． 设D 表示事件“从样本中任取一个数,该数与样本平 均数之差的绝对值不超过０􀆰５”,则样本空间中有８ 个样本点,事件 D 包含的样本点为:９􀆰４,８􀆰６,９􀆰２, ８􀆰７,９􀆰３,９􀆰０,共６个,所以P(D)＝６８＝ ３ ４ ,即所求 概率为３ ４． １８．解:(１)设A 表示事件“赔付金额为３０００元”,B 表示 事件“赔 付 金 额 为 ４０００ 元”,由 频 率 估 计 概 率 得 P(A)＝ １５０１０００＝０􀆰１５ ,P(B)＝ １２０１０００＝０􀆰１２ ,由于投 保金额为２８００元,赔付金额大于投保金额的情形是 赔付３０００元和 ４０００元,所以其概率为 P(A)＋ P(B)＝０􀆰１５＋０􀆰１２＝０􀆰２７． (２)设C 表示 事 件“投 保 车 辆 中 新 司 机 获 赔 ４０００ 元”,由已知,样本车辆中车主是新司机的有０􀆰１× １０００＝１００(位),而赔付金额为４０００元的车辆中车 主为新司机的有０􀆰２×１２０＝２４(位), 所以样本车辆中新司机车主获赔金额为４０００元的 频率为２４ １００＝０􀆰２４ , 由频率估计概率得P(C)＝０􀆰２４． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１３􀅰 参考答案 １９．解:(１)由频率分布直方图得,这２０个交通路段中, 轻度拥堵的路段有(０􀆰１＋０􀆰２)×１×２０＝６(个), 中度拥堵的路段有(０􀆰２５＋０􀆰２)×１×２０＝９(个), 严重拥堵的路段有(０􀆰１＋０􀆰０５)×１×２０＝３(个)． (２)由(１)知,拥堵路段共有６＋９＋３＝１８(个),按分 层抽样,从１８个路段抽取６个,则抽取的三个级别路 段的个数分别为６ １８×６＝２ ,６ １８×９＝３ ,６ １８×３＝１ ,即 从交通指数在[４,６),[６,８),[８,１０]的路段中分别抽 取的个数为２,３,１． (３)记抽取的２个轻度拥堵路段为A１,A２,抽取的３ 个中度拥堵路段为B１,B２,B３,抽取的１个严重拥堵 路段为C１,则从这６个路段中抽取２个路段的样本 空间Ω＝{(A１,A２),(A１,B１),(A１,B２),(A１,B３), (A１,C１),(A２,B１),(A２,B２),(A２,B３),(A２,C１), (B１,B２),(B１,B３),(B１,C１),(B２,B３),(B２,C１), (B３,C１)},共１５个样本点,其中至少有１个路段为 轻度 拥 堵 的 样 本 点 为:(A１,A２),(A１,B１),(A１, B２),(A１,B３),(A１,C１),(A２,B１),(A２,B２),(A２, B３),(A２,C１),共９个．所以所抽取的２个路段中至 少有１个路段为轻度拥堵的概率为９１５＝ ３ ５． 期末测试卷 (A卷) １．A　[∵A＝{０,２},B＝{－２,－１,０,１,２}, ∴A∩B＝{０,２}．] ２．B　[每个高中毕业生上大学的概率为４５ ,而该样本中 上大学的人数为８０,所以样本量为８０÷４５＝１００ ,于 是每个高中毕业生回家待业的概率为 ８ １００＝ ２ ２５ ,所以 每个高中毕业生不补习的概率为４ ５＋ ２ ２５＝ ２２ ２５． ] ３．B　[根据存在量词命题的否定是全称量词命题,知原 命题的否定为:“∀x∈R,x２＝x”] ４．D　[A＝{x|x２－x－６＞０}＝{x|x＜－２或x＞３},B＝ {x|－a＜x＜４－a},因为“x∈A”是“x∈B”的必要不 充分条件,所以B⫋A,所以４－a≤－２或－a≥３,解 得a≤－３或a≥６．] ５．D　[要使函数有意义,则x２－２x－８＞０,解得x＜－２或 x＞４,结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合 函数同 增 异 减 的 原 则 可 得 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 (４,＋∞)．] ６．B　[由题意,设y＝x２＋(a２－１)x＋a－２,要使关于x 的方程x２＋(a２－１)x＋a－２＝０的一根比１大且另 一根比１小,则根据二次函数的图象(图略)与性质, 知需满足x＝１时,y＜０,即a２＋a－２＜０,即(a－１)(a ＋２)＜０,解得－２＜a＜１．] ７．A　[当x０≤０时,f(x０)＞２化为２x０＋２＞２, 即x０＋２＞１,解得x０＞－１,∴－１＜x０≤０; 当x０＞０时,不等式化为log２x０＞２,解得x０＞４． 综上,x０ 的取值范围是－１＜x０≤０或x０＞４．] ８．D　[∵任意x∈Ω 恒成立,任意x∈∅恒不成立, ∴f(Ω)＝１,f(∅)＝０,故①正确;对任意事件A,f(A) ＝ ０,x∉A １,x∈A{ ,∴f(A)∈{０,１},∴０≤f(A)≤１成立, 故②正确;如果A∩B＝∅,当x∈A∪B 时,f(A∪B) ＝１,此时x∈A 或x∈B．若x∈A,则x∉B,f(A)＝１, f(B)＝０,f(A)＋f(B)＝１,f(A∪B)＝f(A)＋f(B) 成立;x∈B 时,x∉A,f(A)＝０,f(B)＝１,f(A)＋ f(B)＝１,f(A∪B)＝f(A)＋f(B)成立;当x∉A∪B 时,x∉A,x∉B,∴f(A∪B)＝０,f(A)＝０,f(B)＝０, 那么f(A∪B)＝f(A)＋f(B)成立,∴③正确;当x∈A 时,x∉A,此时f(A)＝１,f(A)＝０,f(A)＋f(A)＝１ 成立;当x∉A 时,x∈A,此时f(A)＝０,f(A)＝１, f(A)＋f(A)＝１成立,故④正确．综上,正确的结论有 ４个．] ９．ABD　[A 中,样本空间Ω＝{１,２,３,４,５,６},事件 M ＝{２,４,６},事件N＝{３,６},事件 MN＝{６}, ∴P(M)＝３６＝ １ ２ ,P(N)＝２６＝ １ ３．P (MN)＝１２× １ ３ ＝１６． 即P(MN)＝P(M)P(N)．故事件 M 与N 相互 独立,A 正确;B中,根据事件的特点易知,事件 M 是 否发生对事件N 发生的概率没有影响,故 M 与N 是 相互独立事件,B正确;C中,由于第１次摸到球不放 回,因此会对第２次摸到球的概率产生影响,因此不 是相互独立事件,C错误;D 中,从甲组中选出１名男 生与从乙组中选出１名女生这两个事件的发生没有 影响,所以它们是相互独立事件,D正确．] １０．ABC　[当c＝０时,f(x)＝x|x|＋bx,此时f(－x) ＝－f(x),x∈R,故f(x)为奇函数,A正确; 当b＝０,c＞０时,f(x)＝x|x|＋c,若x≥０,则f(x) ＝０无解,若x＜０,则f(x)＝０有一解x＝－ c, B正确; ∵f(－x)＝－x|x|－bx＋c, ∴f(－x)＋f(x)＝２c, ∴函数f(x)的图象关于点(０,c)对称,C正确; 令b＝－１,c＝０,则f(x)＝x|x|－x,令f(x)＝０,得 x＝－１或０或１,故 D错误．] １１．ABD　[由题设有 |x－１|－１≠０, x２(１－x２)≥０,{ 解得－１≤x＜０ 或０＜x≤１,故函数的定义域为[－１,０)∪(０,１],故 A 正 确;当 x∈ [－１,０)∪ (０,１]时,f(x)＝ |x| １－x２ －x ,此时f(－x)＝－f(x),所以f(x)为 [－１,０)∪(０,１]上的奇函数,故其图象关于原点对 称,故 D正确;f(x)＝ １－x２,x∈[－１,０), － １－x２,x∈(０,１],{ 当x∈[－１,０)时,０≤f(x)＜１;当x∈(０,１]时,－１ ＜f(x)≤０,故f(x)的值域为(－１,１);故B正确;由 f(－１)＝f(１)＝０可得f(x)不是定义域上的增函 数,故C错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２３􀅰 数学􀅰必修第一册 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 第七章　概率　B卷 数学答题卡 选择题(１－８小题,每小题５分,９－１１小题,每小题６分,共５８分) １A B C D ４ A B C D ７A B C D １０ A B C D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２ A B C D ５ A B C D ８ A B C D １１A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３A B C D ６A B C D ９A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 非选择题　(需用０．５毫米黑色签字笔书写) 填空题(共３小题,每小题５分,共１５分,其中１２题、１４题第一空２分,第二空３分) １２．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１３．　　　　　　　　　　　　　　　　 １４．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解答题:本题共５小题,共７７分． １５．(本小题满分１３分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页１第　卷 　章七第　卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １６．(本小题满分１５分) １７．(本小题满分１５分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页２第　卷 　章七第　卡题答学数 考生 必填 姓名　　　　座号 考生务必将姓名、座号用０．５毫米黑色签字笔认真填写在书写框内,座 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字．填写样例:若座号０２,则填 写为０ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 １８．(本小题满分１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页３第　卷 　章七第　卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １９．(本小题满分１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页４第　卷 　章七第　卡题答学数