第七章 概率 A卷·基础达标卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂单元双测卷（北师大版2019）

　　　　　第七章　概率 　　　　　A卷􀅰基础达标卷 (时间:１２０分钟,满分:１５０分) 第Ⅰ卷(选择题　共５８分) 一、单项选择题(本题共８小题,每小题５ 分,共４０分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) １．高一(１)班计划从A,B,C,D,E 这五名 班干部中选两人代表班级参加一次活 动,则样本空间中样本点的个数为 (　　) A．５　　　B．１０　　　C．１５　　　D．２０ ２．若干个人站成一排,其中为互斥事件的是 (　　) A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” ３．给甲、乙、丙三人打电话,若打电话的顺 序是任意的,则第一个打电话给甲的概 率是 (　　) A．１６ B． １ ３ C． １ ２ D． ２ ３ ４．两个实习生每人加工一个零件,加工为 一等品的概率分别为２ ３ 和３ ４ ,两个零件是 否加工为一等品相互独立,则这两个零 件中恰有一个一等品的概率为 (　　) A．１２ B． ５ １２ C． １ ４ D． １ ６ ５．在一个袋子中装有分别标注１,２,３,４,５ 的五个小球,这些小球除标注的数字外 完全相同,现从中随机取出２个小球,则 取出小球标注的数字之差的绝对值为２ 或４的概率是 (　　) A．１１０ B． ３ １０ C． ２ ５ D． １ ４ ６．科目二,又称小路考,是机动车驾驶证考 核的一部分,是场地驾驶技能考试科目 的简称．假设甲每次通过科目二的概率 均为３ ４ ,且每次考试相互独立,则甲第３ 次考试才通过科目二的概率为 (　　) A．１６４ B． ２７ ６４ C． ９ ６４ D． ３ ６４ ７．一批型号相同的产品,有２件次品,５件 正品,每次抽一件测试,将２件次品全部 区分出后停止,假定抽后不放回,则第５ 次测试后停止的概率是 (　　) A．１２１ B． ５ ２１ C． １０ ２１ D． ２０ ２１ ８．投壶是从先秦延续 至清末的汉民族传 统礼仪和宴饮游戏, 在春秋战国时期较 为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图,假设 甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与 者,且甲、乙、丙每次投壶时,投中与不投 中是等可能的．若甲、乙、丙各投壶１次, 则这３人中至少有２人投中的概率为 (　　) A．１２ B． ３ ８ C． ２ ３ D． ５ ８ 二、多项选择题(本题共４小题,每小题５ 分,共２０分,在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求,全部选对的得５分, 部分选对的得２分,有选错的得０分) ９．在一次随机试验中,已知A,B,C 三个事 件发生的概率分别为０．２,０．３,０．５,则下 列说法不正确的是 (　　) A．B 与C 是互斥事件 B．A∪B 与C 是对立事件 C．A∪B∪C是必然事件 D．０．３≤P(A∪B)≤０．５ １０．从装有两个红球和三个黑球的口袋里 任取两个球,那么不互斥的两个事件是 (　　) A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是红球” 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页１第　卷 　章七第　题试学数 １１．下列说法正确的是 (　　) A．若事件A 与B 互斥,则A∪B 是必 然事件 B．«西游记»«三国演义»«水浒传»«红楼 梦»是我国四大名著．若在这四大名 著中,甲、乙、丙、丁分别任取一本进 行阅读,设事件 E＝“甲取到«红楼 梦»”,事件F＝“乙取到«红楼梦»”, 则E 与F 是互斥但不对立事件 C．掷一枚骰子,记录其向上的点数,记事 件A＝“向上的点数不大于５”,事件 B＝“向上的点数为质数”,则B⊆A D．１０个产品中有２个次品,从中抽取一 个产品检查其质量,则样本空间含有 ２个样本点 第Ⅱ卷(非选择题　共９２分) 三、填空题(本题共３小题,每小题５分,共１５ 分,其中１４题第一空２分,第二空３分) １２．在集合{１,２,３}中有放回地先后随机取 两个数,若把这两个数按照取的先后顺 序组成一个两位数,则“个位数与十位 数不相同”的概率是　　　　　． １３．某天上午,李明要参加“青年文明号”活 动．为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟 叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是 ０􀆰８０,乙闹钟准时响的概率是０􀆰９０,则 两个闹钟至少有一个准时响的概率是 　　　　． １４．A,B,C三人将参加某项测试,三人能否 达标互不影响．已知他们能达标的概率 分别是４ ５ ,３ ５ ,１ ２ ,则三人都能达标的概 率是　　　　,三人中至少有一个能达 标的概率是　　　　． 四、解答题(本题共５小题,共７７分．解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤) １５．(１３分)城市公交车的数量太多容易造 成资源的浪费,太少又难以满足乘客的 需求,为此,某市公交公司在某站台６０ 名候车乘客中随机抽取１５人,将他们 的候车时间作为样本分成５组,如下表 所示(单位:min): 组别 候车时间 人数 一 [０,５) ２ 二 [５,１０) ６ 三 [１０,１５) ４ 四 [１５,２０) ２ 五 [２０,２５] １ (１)求这１５名乘客的平均候车时间; (２)估计这６０名乘客中候车时间少于 １０min的人数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页２第　卷 　章七第　题试学数 １６．(１５分)某河流上的一座水力发电站,每 年６月份的发电量y(单位:万千瓦时) 与该河上游在６月份的降雨量x(单位: mm)有关．据统计,当x＝７０ 时,y＝ ４６０;x每增加１０,y 增加５．已知近２０ 年x的值为１４０,１１０,１６０,７０,２００,１６０, １４０,１６０,２２０,２００,１１０,１６０,１６０,２００, １４０,１１０,１６０,２２０,１４０,１６０． (１)完成如下的频率分布表: 近２０年６月份降雨量频率分布表 降雨量 ７０ １１０ １４０ １６０ ２００ ２２０ 频率 ０􀆰０５ ０􀆰２ ０􀆰１ (２)将频率视为概率,试估计今年６月 份该水力发电站的发电量低于４９０万 千瓦时或超过５３０万千瓦时的概率． １７．(１５分)某日用品按行业质量标准分成 五个等级,等级系数X 依次为１,２,３,４, ５,现从一批该日用品中随机抽取 ２０ 件,对其等级系数进行统计分析,得到 如下频率分布表: X １ ２ ３ ４ ５ f a ０􀆰２ ０􀆰４５ b c (１)若所抽取的２０件日用品中,等级系 数为４的恰有３件,等级系数为５的恰 有２件,求a,b,c的值; (２)在(１)的条件下,将等级系数为４的 ３件日用品记为x１,x２,x３,等级系数为 ５的２件日用品记为y１,y２,现从x１,x２, x３,y１,y２ 这５件日用品中任取２件(假 定每件日用品被取出的可能性相同), 写出所有可能的结果,并求这２件日用 品的等级系数恰好相等的概率． １８．(１７分)西安世园会志愿者招聘正如火 如荼进行着,甲、乙、丙三名大学生跃跃 欲试,已知甲能被录用的概率为２ ３ ,甲、 乙两人都不能被录用的概率为１ １２ ,乙、 丙两人都能被录用的概率为３ ８． (１)乙、丙两人各自能被录用的概率; (２)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录 用的概率． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页３第　卷 　章七第　题试学数 １９．(１７分)某市为了了解人们对“中国梦” 的伟大构想的认知程度,针对本市不同 年龄和不同职业的人举办了一次“一带 一路”知识竞赛,满分１００分(９５分及以 上为认知程度高),结果认知程度高的 有m 人,按年龄分成５组,其中第一组: [２０,２５),第 二 组:[２５,３０),第 三 组: [３０,３５),第 四 组:[３５,４０),第 五 组: [４０,４５],得到如图所示的频率分布直 方图,已知第一组有１０人． (１)根据频率分布直方图,估计这 m 人 的平均年龄和第８０百分位数; (２)现从以上各组中用分层随机抽样的 方法抽取２０人,担任本市的“中国梦” 宣传使者． (i)若有甲(年龄３８),乙(年龄４０)两人 已确定入选宣传使者,现计划从第四组 和第五组被抽到的使者中,再随机抽取 ２名作为组长,求甲、乙两人至少有一人 被选上的概率; (i)若第四组宣传使者的年龄的平均数 与方差分别为３７和５２ ,第五组宣传使者 的年龄的平均数与方差分别为４３和１, 据此估计这m 人中３５~４５岁所有人的 年龄的方差． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 )页４共(　页４第　卷 　章七第　题试学数 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 第七章　概率　A卷 数学答题卡 选择题(１－８小题,每小题５分,９－１１小题,每小题６分,共５８分) １A B C D ４ A B C D ７A B C D １０ A B C D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２ A B C D ５ A B C D ８ A B C D １１A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３A B C D ６A B C D ９A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 非选择题　(需用０．５毫米黑色签字笔书写) 填空题(共３小题,每小题５分,共１５分,其中１４题第一空２分,第二空３分) １２．　　　　　　　　　　　　　　　　　１３．　　　　　　　　　　　　　　　　 １４．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解答题:本题共５小题,共７７分． １５．(本小题满分１３分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页１第　卷 　章七第　卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １６．(本小题满分１５分) (１) 降雨量 ７０ １１０ １４０ １６０ ２００ ２２０ 频率 ０􀆰０５ ０􀆰２ ０􀆰１ １７．(本小题满分１５分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页２第　卷 　章七第　卡题答学数 考生 必填 姓名　　　　座号 考生务必将姓名、座号用０．５毫米黑色签字笔认真填写在书写框内,座 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字．填写样例:若座号０２,则填 写为０ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 １８．(本小题满分１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页３第　卷 　章七第　卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １９．(本小题满分１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页４第　卷 　章七第　卡题答学数 利用组中值估算抽样学生的平均分为 ４５􀅰f１＋５５􀅰f２＋６５􀅰f３＋７５􀅰f４＋８５􀅰f５＋９５􀅰 f６＝４５×０􀆰１＋５５×０􀆰１５＋６５×０􀆰１５＋７５×０􀆰３＋８５ ×０􀆰２５＋９５×０􀆰０５＝７１． 估计这次考试的平均分是７１分． １９．解:(１)甲的射靶环数从小到大排列为５,６,６,７,７,７, ７,８,８,９,∴中位数为７环．乙的射靶环数依次为２, ４,６,８,７,７,８,９,９,１０,∴x乙＝１１０ (２＋４＋６＋８＋７＋７ ＋８＋９＋９＋１０)＝７(环)．乙的射靶环数从小到大排 列为２,４,６,７,７,８,８,９,９,１０,∴中位数是７＋８２ ＝７􀆰５ (环)．于是填充后的表格,如图所示: 平均数 中位数 命中９环以上(含９环) 甲 ７ ７ １ 乙 ７ ７􀆰５ ３ (２)s２甲 ＝１１０ [(５－７)２＋(６－７)２×２＋(７－７)２×４＋ (８－７)２×２＋(９－７)２]＝１􀆰２, s２乙＝１１０ [(２－７)２＋(４－７)２＋(６－７)２＋(７－７)２×２＋ (８－７)２×２＋(９－７)２×２＋(１０－７)２]＝５􀆰４． ①甲、乙的平均数相同,均为７,但s２甲 ＜s２乙 ,说明甲偏 离平均数的程度小,而乙偏离平均数的程度大． ②甲、乙的平均数相同,而乙的中位数比甲大, 说明乙射靶环数的优秀次数比甲多． ③甲、乙的平均数相同,而乙命中９环以上(含９环) 的次数比甲多２次, 可知乙的射靶成绩比甲好． ④从折线图上看,乙的成绩呈上升趋势,而甲的成绩 在平均线上波动不大, 说明乙的状态在提升,更有潜力． 第七章　概率 (A卷) １．B　[从A,B,C,D,E 五人中选两人,不同的选法有: (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B, E),(C,D),(C,E),(D,E),共１０种,所以样本空间中 样本点的个数为１０．] ２．A　[由互斥事件的定义知,“甲站在排头”与“乙站在 排头”不能同时发生,是互斥事件．] ３．B　[给三人打电话的不同顺序的样本空间为 Ω＝ {(甲,乙,丙),(甲,丙,乙)(乙,甲,丙)(乙,丙,甲) (丙,甲,乙)(丙,乙,甲)}有６种可能,其中第一个给 甲打电话的可能有２种,故所求概率为P＝２６＝ １ ３． ] ４．B　[设“两个零件中恰有一个一等品”为事件A,因事 件相互独立,所以P(A)＝２３× １ ４＋ １ ３× ３ ４＝ ５ １２． ] ５．C　[从中随机取出２个小球的样本空间Ω＝{(１,２), (１,３),(１,４),(１,５),(２,３),(２,４),(２,５),(３,４), (３,５),(４,５)},共有１０个样本点,取出小球标注的数 字之差的绝对值为２或４的样本点有(１,３),(２,４), (３,５),(１,５),共有４个,所以取出小球标注的数字之 差的绝对值为２或４的概率是４１０＝ ２ ５． ] ６．D　[甲每次通过科目二的概率均为３４ ,且每次考试相 互独立,则甲第３次考试才通过科目二的概率为P＝ １－３４( )× １－ ３ ４( )× ３ ４＝ ３ ６４． ] ７．B　[P＝２７× ５ ６× ４ ５× ３ ４× １ ３＋ ５ ７× ２ ６× ４ ５× ３ ４× １ ３＋ ５ ７ × ４ ６ × ２ ５ × ３ ４ × １ ３ ＋ ５ ７ × ４ ６ × ３ ５ × ２ ４ × １ ３＋ ５ ７× ４ ６× ３ ５× ２ ４× １ ３＝ ５ ２１． ] ８．A　[记甲、乙、丙投中分别即为事件A１,A２,A３,由题 知P(A１)＝P(A２)＝P(A３)＝P(A１)＝P(A２) ＝P(A３)＝ １ ２ ,则３人中至少有２人投中的概率为 P＝P(A１A２A３)＋P(A１A２A３)＋P(A１A２A３)＋ P(A１A２A３)＝ １ ２( ) ３ ＋ １２( ) ３ ＋ １２( ) ３ ＋ １２( ) ３ ＝１２． ] ９．ABC　[A,B,C 三 个 事 件 发 生 的 概 率 分 别 为 ０．２, ０．３,０．５,对于选项 A,B 与C 有可能同时发生,故不 一定是互斥事件,故 A 错误;对于选项 B,A∪B 与C 有可能同时发生,故不一定是对立事件,故 B错误;对 于选项C,A,B,C不一定是互斥事件,故A∪B∪C 不 一定是必然事件,故 C错误;对于选项D,P(A∪B)≤ P(A)＋P(B)＝０．２＋０．３＝０．５,P(A∪B)≥max{P(A), P(B)}＝０．３,故D正确．] １０．AB　[“至少有一个黑球”中包含“都是黑球”,A正确; “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发 生,B正确;“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不 可能同时发生,C不正确;“至少有一个黑球”与“都是 红球”不可能同时发生,D不正确．] １１．BCD　[对于 A,事件A 与B 互斥时,A∪B 不一定是 必然事件,故 A不正确． 对于B,事件E与F不会同时发生,所以E与F是互 斥事件,但除了事件E 与F 之外还有“丙取得«红楼 梦»”“丁取得«红楼梦»”,所以E 与F 不是对立事件, 故E与F是互斥但不对立事件,B正确． 对于C,事件A＝{１,２,３,４,５},事件B＝{２,３,５},所以 B包含于A,C正确． 对于D,样本空间Ω＝{正品,次品},含有２个样本点, 故D正确．] １２．解析:根据题意,在集合{１,２,３}中有放回地先后随机 取两个 数,样 本 空 间 Ω＝{(１,１),(１,２),(１,３), (２,１),(２,２),(２,３),(３,１),(３,２),(３,３)}９个样本点, 按照取的先后顺序组成一个两位数后,其中个位数与 十位数相同的有３个样本点,即(１,１),(２,２),(３,３), 则“个位数与十位数不相同”的有９－３＝６(种),则其 概率为６ ９＝ ２ ３． 答案:２ ３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８２􀅰 数学􀅰必修第一册 １３．解析:至少有一个准时响的概率为１－(１－０􀆰９０)(１－ ０􀆰８０)＝１－０􀆰１０×０􀆰２０＝０􀆰９８． 答案:０􀆰９８ １４．解析:三人都能达标的概率是４５× ３ ５× １ ２＝ ６ ２５． 三人 都 没 有 达 标 的 概 率 是 １－４５( ) × １－ ３ ５( ) × １－１２( )＝ １ ２５ ,因此至少有一人能达标的概率是 １－１２５＝ ２４ ２５． 答案:６ ２５　 ２４ ２５ １５．解:(１)１１５× (２􀆰５×２＋７􀆰５×６＋１２􀆰５×４＋１７􀆰５×２＋ ２２􀆰５×１)＝１１５×１５７􀆰５＝１０􀆰５ ,故这１５名乘客的平均 候车时间为１０􀆰５min． (２)由频率估计概率,可知候车时间少于１０min的概 率为２＋６ １５ ＝ ８ １５ ,故这６０名乘客中候车时间少于１０min 的人数约为６０×８１５＝３２． １６．解:(１)在所给数据中,降雨量为１１０mm的有３个,为 １６０mm的有７个,为２００mm的有３个．故近２０年６ 月份降雨量频率分布表为: 降雨量 ７０ １１０ １４０ １６０ ２００ ２２０ 频率 ０􀆰０５ ０􀆰１５ ０􀆰２ ０􀆰３５ ０􀆰１５ ０􀆰１ (２)由已知可得y＝０􀆰５x＋４２５, 记“发电量低于４９０万千瓦时或超过５３０万千瓦时”为 事件A, 则P(A)＝P(y＜４９０或y＞５３０)＝P(x＜１３０或x＞２１０) ＝P(x＝７０)＋P(x＝１１０)＋P(x＝２２０) ＝０􀆰０５＋０􀆰１５＋０􀆰１＝０􀆰３． 因此估计今年６月份该水力发电站的发电量低于 ４９０万千瓦时或超过５３０万千瓦时的概率为０􀆰３． １７．解:(１)因为抽取的２０件日用品中,等级系数为４的 恰有３件, 所以b＝３２０＝０􀆰１５． 等级系数为５的恰有２件,所以c＝２２０＝０􀆰１． 从而a＝１－０􀆰２－０􀆰４５－０􀆰１－０􀆰１５＝０􀆰１． 所以a＝０􀆰１,b＝０􀆰１５,c＝０􀆰１． (２)从x１,x２,x３,y１,y２ 这５件日用品中任取２件,其 样本空间 Ω＝{(x１,x２),(x１,x３),(x１,y１),(x１, y２),(x２,x３),(x２,y１),(x２,y２),(x３,y１),(x３,y２), (y１,y２)},共１０个样本点． 设事件A 表示“从x１,x２,x３,y１,y２ 这５件日用品中 任取２件,其等级系数相等”,则事件A 所包含的样 本空间Ω＝{(x１,x２),(x１,x３),(x２,x３),(y１,y２)}, 共４个样本点．故所求的概率P(A)＝４１０＝０􀆰４． １８．解:(１)设乙、丙能被录用的概率分别为x,y, 则 １－２３( )×(１－x)＝ １ １２ ,且xy＝３８ ,解得x＝３４ , y＝１２ ,∴乙、丙能被录用的概率分别为３４ ,１ ２． (２)设甲、乙、丙能被录用的事件分别为A、B、C, 则P(A)＝２３ ,P(B)＝３４ ,P(C)＝１２ , 且A、B、C相互独立,三人至少有两人能被录用包括 ABC、􀭿ABC、A􀭺BC、AB􀭺C 四种彼此互斥的情况, 则其概率为P(ABC＋􀭿ABC＋A􀭺BC＋AB􀭺C) ＝P(ABC)＋P(􀭿ABC)＋P(A􀭺BC)＋P(AB􀭺C) ＝２３× ３ ４× １ ２＋ １ ３× ３ ４× １ ２＋ ２ ３× １ ４× １ ２＋ ２ ３× ３ ４× １ ２＝ １７ ２４． １９．解:(１)设这m人的平均年龄为x,则x＝２２．５×０．０５＋ ２７．５×０．３５＋３２．５×０．３＋３７．５×０．２＋４２．５×０．１ ＝３２．２５(岁)． 设第８０百分位数为a, 法一:由５×０．０２＋(４０－a)×０．０４＝０．２, 解得a＝３７．５． 法二:由０．０５＋０．３５＋０．３＋(a－３５)×０．０４＝０．８, 解得a＝３７．５． (２)(i)由题意得,第四组应抽取４人,记为A,B,C, 甲,第五组抽取２人,记为D,乙, 对应的样本空间为:Ω＝{(A,B),(A,C),(A,甲), (A,乙),(A,D),(B,C),(B,甲),(B,乙),(B,D), (C,甲),(C,乙),(C,D),(甲,乙),(甲,D),(乙, D)},共１５个样本点．设事件 M＝“甲、乙两人至少一 人被选上”,则 M＝{(A,甲),(A,乙),(B,甲),(B, 乙),(C,甲),(C,乙),(甲,乙),(甲,D),(乙,D)},共 有９个样本点．所以P(M)＝n (M) n(Ω)＝ ３ ５． (i)设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别 为x４,x５,方差分别为s２４,s２５,则x４＝３７,x５＝４３,s２４＝ ５ ２ , s２５＝１,设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数 为z,方差为s２．则z＝ ４x４＋２x５ ６ ＝３９ ,s２＝１６× {４× [s２４＋(x４－z)２]＋２×[s２５＋(x５－z)２]}＝１０,因此,第四 组和第五组所有宣传使者的年龄方差为１０,据此,可 估计这m 人中年龄在３５~４５岁的所有人的年龄方 差约为１０． 第七章　概率 (B卷) １．C　[①④正确．] ２．D　[“A＋B”发生指A,B 中至少有一个发生,它的对 立事件为A,B 都不发生,即A,B同时发生．故A,B同 时发生的概率为１－０􀆰６＝０􀆰４．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９２􀅰 参考答案