2.4有理数的乘方&2.5有理数的混合运算 典型系列专题讲义2025-2026学年北师大版七年级上册数学

2025-2026北师大版七年级上册数学典型例题系列「2026版」 2.4 有理数的乘方&2.5 有理数的混合运算 第一篇 专题精析 专题名称 有理数的乘方和混合运算 专题内容 有理数幂的理解和相关混合运算 讲解建议 根据知识点和题型进行讲解 考点题型 十六个题型 第二篇 典型例题目录 题型一：有理数幂的概念理解 2 题型二：有理数的乘方运算 7 题型三：有理数乘方逆运算 19 题型四：乘方运算的符号规律 22 题型五：乘方的应用 25 题型六：有理数四则混合运算 29 题型七：有理数四则混合运算的实际应用 38 题型八：程序流程图与有理数计算 40 题型九：算24点 44 题型十：含乘方的有理数混合运算 50 题型十一：计算器——有理数 64 题型十二：用科学计数法表示绝对值大于1的数 65 题型十三：将用科学计数法表示的数变回原数 68 题型十四：求一个数的近似数 72 题型十五：求近似数的精确度 76 题型十六：近似数推断取值范围 79 第三篇 典型例题汇总 题型一：有理数幂的概念理解 【例题1-1】．（24-25七年级上·广东梅州·期中）的底数是 ，指数是 ． 【例题1-2】．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）在中，底数是 ，指数是 ． 【例题1-3】．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）把“8”写成（a，n均为正整数）的形式是 ． 【例题1-4】．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）在中，底数是 ． 【例题1-5】．（24-25七年级上·广东·期中）在中，底数是（    ） A．10 B．8 C． D． 【例题1-6】．（24-25七年级上·北京·期中）式子可表示为（   ） A． B． C． D． 【例题1-7】．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）表示的意义是（    ） A．与5相乘 B．2个相乘 C．5个2相乘的相反数 D．2个5相乘的相反数 【例题1-8】．（24-25七年级上·广西南宁·期中）的底数是（   ） A． B． C．3 D．9 【例题1-9】．（2025·河北石家庄·模拟预测）若k为正整数，则的意义为（   ） A．7个相加 B．12个k相加 C．4个相乘 D．7个相乘 【例题1-10】．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）的底数是（    ） A．3 B．8 C． D． 【例题1-11】（2025·吉林长春·模拟预测）可表示（   ） A．五个2相加 B．两个5相加 C．五个2相乘 D．两个5相乘 【例题1-12】（2021·河北石家庄·一模）若为整数，则表示的是（   ） A．3个相乘 B．2个相加 C．3个相加 D．5个相乘 【例题1-13】（22-23七年级上·河北秦皇岛·期末）表示（   ） A．2个3相乘 B．3个2相乘 C．2个3相加 D．3个2相加 【例题1-14】（24-25七年级下·河北唐山·期中）化简＝（　　） A． B． C． D． 【例题1-15】（24-25七年级上·河南许昌·期末）计算与的和的式子为（　　） A． B． C． D． 【例题1-16】（2025·河南周口·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【例题1-17】（24-25七年级下·福建三明·期中）对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 【例题1-18】（2025·河北·模拟预测）“”可以写成（    ） A． B． C． D． 题型二：有理数的乘方运算 【例题2-1】（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）下列说法中正确的有（        ） ①一定是负数；②若，则这个数一定是负数；③一个负数减去一个正数，差一定为负数；④0可以是非负整数，也可以是非正整数；⑤负数的平方为正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题2-2】（22-23七年级上·广西河池·期末）下列各数中，是负数的是（    ） A． B． C． D． 【例题2-3】（2022七年级上·全国·专题练习）填空： ； ； ； ； ； ． 【例题2-4】（2025·广东广州·二模）计算： ． 【例题2-5】．（2025·贵州黔东南·一模）计算： ． 【例题2-6】．（2025·河南濮阳·二模）是的（   ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．6倍 【例题2-7】．（23-24八年级上·广西河池·期末）若；则m等于（　　） A．1 B．3 C．4 D．无法计算 【例题2-8】．（24-25七年级上·广西河池·期末）下列各式中，不相等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例题2-9】．（2025·江西·模拟预测）的平方是（   ） A． B．0 C．2 D．4 【例题2-10】．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列各式中正确的是（   ）． A． B． C． D． 【例题2-11】．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）下列式子一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【例题2-12】．（2025七年级下·浙江·专题练习）若，，，，则它们的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【例题2-13】．（24-25七年级下·全国·假期作业）在中，是正数的是（　　） A． B． C． D． 【例题2-14】．（2025·广西柳州·三模）“结绳计数”是远古时代人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，类似我们现在熟悉的“进位制”，如图所示是一位古人记录的当天采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，这位古人当天采摘果实的个数是（   ） A．186 B．185 C．184 D．183 【例题2-15】．（24-25七年级上·广东湛江·期中）下列各组数中，运算结果相同的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【例题2-16】．（2025·河南焦作·二模）音乐中的八度是指相邻的音组中相同音名的两个音（包括变化音级），从某一音级到它上方或下方第一个同名音级之间的音高距离，就是八度．如到、到．以频率来表示，相邻一个八度的两个同名音高的声波振动频率高低之比为．观察下面的钢琴键盘示意图，可以得出的振动频率是的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【例题2-17】．（24-25七年级上·北京东城·期中）若，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【例题2-18】．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若 ，则整数的值为 【例题2-19】．（24-25七年级上·山东德州·期中）已知、互为相反数，、互为倒数，的值是 ． 【例题2-20】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【例题2-21】．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算： ． 【例题2-22】．（24-25七年级上·浙江温州·期中）将，，这三个数的大小关系用“”号连接可表示为 ． 【例题2-23】．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）规定：求若干个相同的有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：_______； (2)比较大小：_______；（填“”，“”或“”） (3)算一算：； (4)关于除方，下列说法错误的是________ A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n，1的圈n次方等于1 C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 题型三：有理数乘方逆运算 【例题3-1】．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【例题3-2】．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）无论x取何值，代数式的值都不变，则m等于（    ） A．0 B． C． D．2 【例题3-3】（24-25七年级上·四川达州·期中）2021年第十四届国际数学教育大会（ICME－14）在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“ ”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7 共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，2021表示 ICME－14 的举办年份．【注：】某同学设计了一个n进制数501 ，换算成十进制数是406 ，则n的值为 ． 【例题3-4】．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知，那么 ； 的立方等于． 【例题3-5】．（24-25七年级上·全国·单元测试）如果，那么 ． 【例题3-6】（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 题型四：乘方运算的符号规律 【例题4-1】．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【例题4-2】．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）若，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【例题4-3】（24-25七年级上·山东淄博·期中）已知三边长a，b，c，且满足，则此三角形一定是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形 【例题4-4】．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）若，则的值是（   ） A． B．1 C．0 D．2 【例题4-5】．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）给出下列判断：①若，则；②若a、b互为相反数，则；③单项式﹣的系数是；④代数式的值永远是正的；⑤几个有理数相乘，当负因数的个数是奇数个时，积一定为负；⑥多项式是关于x，y的四次多项式，其中判断正确的有（    ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【例题4-6】．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知有理数n、m满足，则 ． 题型五：乘方的应用 【例题5-1】．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例题5-2】．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）定义：如果，那么叫做以为底的对数，记做．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③若，则； A．3 B．2 C．1 D．0 【例题5-3】．（2025·山东烟台·二模）《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第2025次截取后剩下的木棒有 尺 【例题5-4】．（2025·安徽蚌埠·三模）中国的5G技术领先世界，技术中的数学原理之一是香农公式：，其中表示最大信息传送速率，为信道带宽，为信道内所传信号的平均功率，为信道内部的高斯噪声功率，叫作信噪比．已知某次信息传送的信道带宽为200，信噪比为15，则这次信息传送的最大速率是 ． 【例题5-5】．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子可以变形为，也可以变形为．在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．根据上面的规定，请计算 ． 【例题5-6】．（24-25七年级上·福建福州·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，将二进制换算成十进制数的结果为（   ） A．8 B．9 C．14 D．15 【例题5-7】．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种待定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图是某次考试中两位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：，同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1110，111，11100，1101，转化成10进制为：14，07，28，13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813，其中第一行编码“24”和第二行编码“14”表示区域和学校，第三行编码“07”表示班级为07班，第四行编码“28”表示考场号为28，第五行编码“13”表示座位号是13；若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，则小张的准考证号为（   ） A．2410252110 B．2010272108 C．2212272408 D．2410272108 【例题5-8】．（24-25七年级上·山东德州·期末）计算（    ） A． B． C． D． 题型六：有理数四则混合运算 【例题6-1】．（24-25七年级上·北京·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【例题6-2】．（24-25七年级上·吉林长春·期中）计算： (1) (2) 【例题6-3】．（24-25七年级上·北京·期中）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【例题6-4】．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）计算： (1)； (2)． 【例题6-5】．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）运算 (1)； (2)． 【例题6-6】．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）计算： (1) (2) 【例题6-7】．（24-25七年级上·广东佛山·期中）（1）计算：； （2）计算：． 【例题6-8】．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算： (1) (2) 【例题6-9】．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）计算下列各题 (1) (2) (3) (4) (5) 题型七：有理数四则混合运算的实际应用 【例题7-1】．（24-25七年级上·吉林长春·期中）某检修小组驾驶检修车从A地出发，在东西方向的笔直的公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：）： ，，，，， (1)计算说明检修小组最终在A地何方，距A地多远？ (2)若检修小组使用燃油汽车，该车每千米耗油升，当天从出发到收工共耗油多少升？若汽油价格为元升，该检修小组该天的油费是 元． (3)若该检修小组使用新能源汽车，该新能源汽车每行驶耗电度，且使用充电桩充电的价格是每度电元，则该天使用新能源汽车的耗电费用比使用燃油汽车的燃油费用省 元（精确到十分位）． 【例题7-2】．（24-25七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）某粮店有10袋玉米准备出售，称得质量如下（单位：千克）： 182，178，177，，183，184，181，185，，180． (1)若以180作为基准数，用正、负数表示这10袋玉米的质量与它的差； (2)试计算这10袋玉米的总质量是多少千克 (3)若每千克玉米的售价为元，则这10袋玉米能卖多少元（精确到1元）？ 【例题7-3】．（2024七年级上·全国·专题练习）中国以占世界不到的耕地，养活了占世界多的人口．其中“杂交水稻之父”袁隆平立下了汗马功劳，他一路攻坚克难，水稻亩产量从最初的300千克左右提高到500千克、700千克、800千克如今的最高纪录约是1600千克，与最初相比，如今的最高纪录提高了百分之几？（百分号前保留两位小数） 题型八：程序流程图与有理数计算 【例题8-1】．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图是小宇用计算机设计的一个有理数运算的程序框图，若输入的数为1，则输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【例题8-2】（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果可能是（    ） A． B． C． D． 【例题8-3】．（22-23六年级上·山东东营·期中）如果按照如图所示的按键顺序操作，那么最后的结果为(    ) A．32 B． C．48 D． 【例题8-4】．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 【例题8-5】．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）按照如图所示的计算程序图操作，当输入6时，输出的结果是 ． 【例题8-6】．（24-25七年级上·吉林·期末）如图是计算机程序计算，当输入的数为0时，输出的结果 ． 【例题8-7】．（24-25七年级上·四川成都·期末）小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ． 【例题8-8】．（24-25七年级上·福建泉州·期末）按如图所示的程序计算，当输入的值为时，输出的值为 ． 【例题8-9】．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）按如图所示的程序计算，当输入有理数m，n，满足时，y的值为 ． 题型九：算24点 【例题9-1】．（2025·广东惠州·一模）“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式： ． 【例题9-2】．（24-25七年级上·福建宁德·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 【例题9-3】．（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 【例题9-4】．（24-25七年级上·河南安阳·期末）请选择使用“加、减、乘、除和括号”（可重复），将四个数组成算式（每个数必须用一次且只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是 ．（写出一种即可） 【例题9-5】．（24-25七年级上·四川成都·期末）24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式 ． 【例题9-6】．（24-25七年级上·重庆·期末）有一种“24点”游戏规则：根据提供的四个数（每个数必须都使用一次且不能使用这四个数之外的其他数）用加、减、乘、除四则运算（可用括号）列出一个结果等于24的算式．现有四个数：，请你列出一个“24点”算式： ． 【例题9-7】．（24-25七年级上·湖北恩施·期末）有一种游戏叫24点游戏，规则是：2位小朋友从分得的26张扑克牌（不含大小王，J算11点、Q算12点、K算13点、A算1点）各抽出2张，共4个点数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24．如：两人抽出的点数为2、3、4、5，可以由或．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌的点数分别是3、4、1、7，他苦思不得其解，相信聪明的你一定能帮他解除困难，请你写出一个成功的算式： ． 【例题9-8】．（2024七年级上·全国·专题练习）中考新趋势·一题多问  在学习了《有理数及其运算》以后，小明和小亮一起玩“24点”游戏，规则如下：从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24或，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K分别代表11，12，13．现在小亮抽到的扑克牌代表的数分别是：3，，，10，请你帮助他写出两个算式，使其运算结果分别等于24、： 、 ． 【例题9-9】．（24-25七年级上·广东深圳·期中）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为 ． 【例题9-10】.（23-24七年级上·浙江湖州·期中）如图，有4张写着数字的卡片：，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，结果为24（要求每个数字只能用一次，例如：），请写出另一个符合条件的算式： ． 【例题9-11】．（24-25六年级上·山东济南·期中）选用运算符号“加、减、乘、除、乘方”将，3，，7连成一个代数式，使其结果是24． ．（每个数必须用一次且只能使用一次，可以使用括号，运算符号可以重复使用） 【例题9-12】．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）玩“24点”游戏，规则如下：任取四个整数（每个数只用一次）进行“、、、”四则运算，使其运算结果为24.现有四个整数、、4、5，请用上述规则，写出算式 ． 【例题9-13】．（24-25六年级上·山东淄博·期中）有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是这样的：任意取4个之间的自然数，将这4个数（每一个数只能用一次）进行加、减、乘、除四则运算（可以使用括号），使其结果等于24．比如，自然数，可以这样运算得到，等等． (1)有4个有理数，分别为：，根据上述规则，请你写出3种列式方法，使其结果等于24； 方法1：_______； 方法2：_______； 方法3：_______； (2)如果换成另外的4个有理数：，请你写出1个运算式子，使其结果等于24．列式：______________． 【例题9-14】．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）如图，现有5张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题． (1)①从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最小，则和的最小值为____________； ②从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为____________． (2) 从中任意取出4张卡片（每张卡片上的数字只能用一次），使这4张卡片上的数字运算结果为24，写出两个不同的等式． 题型十：含乘方的有理数混合运算 【例题10-1】．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【例题10-2】．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例题10-3】．（24-25七年级上·四川南充·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【例题10-4】．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）计算 (1) (2) 【例题10-5】．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）计算： 【例题10-6】．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【例题10-7】．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）计算： (1)； (2)． 【例题10-8】．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6)（用简便方法计算） 【例题10-9】．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，按照从右到左的顺序满五进一，即“结绳计数”．某天两同学背单词比赛，如图①是同学和同学在绳子上打结记录的背单词的总数量，图②是同学比同学多背诵的单词数量．则在这一天，同学背诵的单词数量是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例题10-10】．（24-25九年级下·福建漳州·期中）以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务． 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨是德国伟大的哲学家、数学家，是历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德．莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位，二进制数的发现与完善是他在数学史上的伟大学术成就之一，现代的计算机和依赖计算机的设备里都在使用二进制． 我们在数学学习中所用的数都是十进制数，一共有十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，其进位规则是“逢十进一”，比如数字．而二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的进位原则是“逢二进一”，二进制数可以转化为十进制数，转化如下：比如：． 任务：已知，是两个不相等的十进制三位数，且，若三位二进制数的三个数位均为，将其转化为十进制数为（   ） A．1 B．7 C．13 D．111 【例题10-11】．（23-24九年级下·山东德州·阶段练习）计算的结果是 （    ） A． B． C． D． 【例题10-12】．（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【例题10-13】．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）为了求的值，可令，则，因此所以，仿照以上推理，计算（   ） A． B． C． D． 【例题10-14】．（24-25七年级上·广东江门·期中）我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法．例如：一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数，图1是孩子出生后30天时母亲打绳结的情况（因为：）．图2是芽芽用相同的方式记录自己为中考立志奋斗后努力的天数，请问芽芽已为中考奋斗了（    ）天． A．510 B．511 C．513 D．520 【例题10-15】．（2025·湖南长沙·模拟预测）二进制是一种以2为基数的记数法，通常用0和1来表示，计算机内部的所有数据，包括数字，字符，图像，音频等，都是以二进制的形式存储和处理的．与我们在数学学习中所用十进制数的“逢十进一”不同的是，二进制的进位规则为“逢二进一”．例如：254可分解为，将其转化为二进制数，转化过程为：，，，，，，，，将所有的余数从右到左排列，得到11111110，所以254转化为二进制数是，验证：254可分解为，结果正确．按照此种方法，现有四位同学对2025的二进制转化过程展开讨论： 同学：．因此二进制数为； 同学：分解过程中最大的2的幂是，故二进制共有11位； 同学：分解到时，剩余部分不足16，因此其系数为0； 同学：2025的二进制末三位为001． 其中对2025的二进制转化理解错误的同学是（填写字母代号） ． 【例题10-16】．（2025·甘肃定西·三模）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：．例如：．则 ． 【例题10-17】．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【例题10-18】．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）课本再现 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1，称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为． 观察发现 （1）从左起第四个符号表示的二进制数为___________． 拓展延伸 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，依此类推），后相加，例如：． （2）图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； 类比迁移 （3）仿照二进制的说明与算法，将八进制数：转换成十进制数，请求出结果． 题型十一：计算器——有理数 【例题11-1】．（24-25六年级上·山东烟台·期中）计算器是一种方便实用的计算工具，借助计算器可以进行复杂的数字计算．利用科学计算器可以进行有理数混合运算．如图是一种科学计算器的面板． 小明用计算器求某个式子的值时，按键顺序为： 请你根据小明的按键顺序列出算式，并进行计算． 题型十二：用科学计数法表示绝对值大于1的数 【例题12-1】．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）年第十五届中国珠海航展圆满落幕，此次航展成交金额亿美元，折合人民币亿元，将数据“亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【例题12-2】．（24-25七年级上·北京·期中）求索半世纪、奋斗十余载，中国人的“大飞机梦”在新时代终成现实——我国首次按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式干线客机完成研发、制造、取证、投运．2024年9月19日中午，印有“”字样的南航航班从广州白云机场腾空而起，飞向上海虹桥机场，（标准航程型）最大起飞质量，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【例题12-3】．（2024九年级·河北·学业考试）某芯片每秒可执行100亿次运算，它工作2025秒可执行的运算次数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【例题12-4】．（2024七年级上·全国·专题练习）我国渤海、黄海、东海、南海海水中含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为吨．用科学记数法表示铝、锰元素总量的和约是（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【例题12-5】．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）在第个“双十一”购物狂欢节，天猫“双十一”总成交额为亿，再创历史新高；其中，亿可用科学记数法表示为 （    ） A． B． C． D． 【例题12-6】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约万吨．将数据万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【例题12-7】．（2024七年级上·江西·专题练习）据统计我国每年浪费的粮食约吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示是（　　） A． B． C． D． 【例题12-8】．（24-25七年级上·福建福州·期中）2024年国庆节期间，仅第一天福州三坊七巷游客量高达万人次，其中“万”用科学记数法表示应为（　　） A． B． C． D． 【例题12-9】．（24-25七年级上·河北邢台·期中）2024巴黎奥运会包括临时看台在内的所有场馆中，约有个座位由回收材料制成，为打造“最绿色的奥运会”，附近的奥运村更是采用可回收纸板床，数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【例题12-10】．（24-25七年级上·广西桂林·期中）数据米用科学记数法表示为（  ） A．米 B．米 C．米 D．米 题型十三：将用科学计数法表示的数变回原数 【例题13-1】．（2025·天津南开·三模）2021年我国发布的《中国应对气候变化的政策与行动》白皮书指出，2020年我国碳排放强度（单位国内生产总值二氧化碳排放）比2015年下降18.8%，比2005年下降48.4%，超额完成了我国向国际社会承诺的“到2020年下降40%~45%”的目标，累计少排放二氧化碳约58亿吨，基本扭转了二氧化碳排放快速增长的局面．其中数据58亿用科学计数法表示为，则数据所表示的原数应为（    ） A．58000000 B．580000000 C．5800000000 D．58000000000 【例题13-2】．（2025·河北邢台·三模）一个数用科学记数法表示为，则这个数的整数数位有（    ） A．7位 B．6位 C．3位 D．1位 【例题13-3】．（2025·河南驻马店·三模）据新华社2025年3月3日电，中国科学家已成功构建目前最高水准超导量子计算机——105比特超导量子计算原型机“祖冲之三号”，再次打破超导体系量子计算优越性世界纪录．已知105比特兆字节，则这个数对应的原数是（   ） A．1251700 B．0.000012517 C．0.00012517 D．125170 【例题13-4】．（2025九年级下·广西·专题练习）截至2025年3月25日，中国国家博物馆文创凤冠冰箱贴累计销量突破件，带动凤冠全系列产品销售额跨越亿元．用科学记数法表示的数原来是（ ） A．100000 B．1000000 C．10000000 D．0.000001 【例题13-5】．（2025·河北邢台·二模）用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例题13-6】．（24-25九年级下·江苏·期中）我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为吨，则铝、锰元素总量的和约为（   ） A．8000000吨 B．160000000吨 C．16000000吨 D．80000000吨 【例题13-7】．（2025·辽宁辽阳·二模）若一个数用科学记数法表示为，则这个数是（   ） A．39600 B．396000 C．0.00396 D．0.0000396 【例题13-8】．（24-25七年级上·河南商丘·期末）2023年8月31日，世界首个超超临界二次再热火电工程在山东郓城开建，与常规煤电组比较，每年可节约标煤吨，将数据还原正确的是（   ） A．35000000 B．3500000 C．350000 D．35000 【例题13-9】．（2025·河北沧州·模拟预测）用科学记数法表示的数为，则它的原数是（   ） A．20500 B．2050 C．205000 D．20500 【例题13-10】．（24-25七年级上·四川广元·期末）已知某数用科学记数法表示为，则这个数是（   ） A．41000 B．410000 C．4100000 D．41000000 【例题13-11】．（24-25七年级上·河南开封·阶段练习）小华在做练习题时，不小心把墨水洒在了习题上，如图所示，他翻看答案后得知本题的正确答案选B，则原数中数字“3”后“0”的个数为（   ） 长江是世界第三长河，也是亚洲最长的河流，全长约63米，将63用科学记数法表示为（   ） A．  B．  C．  D． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型十四：求一个数的近似数 【例题14-1】．（24-25七年级上·广西百色·期中）将205001精确到万位的近似数是（    ） A．20 B．21 C． D． 【例题14-2】．（24-25七年级上·山东济宁·期中）近似数1.9045按四舍五入法精确到百分位的结果是（   ） A．1.9 B．1.90 C．1.905 D．1.904 【例题14-3】．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．近似数精确到十分位 B．将数80360保留2个有效数字是 C．用四舍五入法得到的近似数精确到 D．用科学记数法表示的近似数，其原数是60600 【例题14-4】．（24-25七年级上·广东韶关·期中）下列说法正确的是（    ） A．绝对值为本身的数是正数 B．饼干的包装袋上标着“净含量”的字样，市场监管局随机抽取一包饼干，测得的质量为，则该包饼干是合格品 C．1.8963精确到百分位的结果是1.9 D．只有符号不同的两个数互为相反数 【例题14-5】．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）下列说法中正确的是（   ） A．万精确到万位 B．近似数千和精确度是相同的 C．精确到千位可以表示为万，也可表示为 D．近似数和的精确度不相同 【例题14-6】．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．近似数1.2和1.20精确度相同 B．取3.14，身高约，其中3.14和165都是近似数 C．0.0156（用四舍五入法精确到0.001）≈0.015 D．由四舍五入得到的近似数，精确到百分位 【例题14-7】．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）用四舍五入法对取近似数，精确到十分位的结果是 ． 【例题14-8】．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）月球轨道呈椭圆形，近地点平均距离为，用科学记数法表示363300为 （精确到10000）． 【例题14-9】．（24-25七年级上·北京·期中）圆周率是数学美的象征，它的无限不循环小数形式引发了人们对数学的好奇和探索．圆周率，用四舍五入法把精确到千分位，得到的近似值是 ． 【例题14-10】．（24-25七年级上·吉林·期中）用四舍五入法将精确到，结果是 ． 题型十五：求近似数的精确度 【例题15-1】（24-25七年级上·安徽淮南·阶段练习）下列说法正确的有（   ） ①最小的整数是；②平方等于的数是；③精确到百分位是；④若是非负数，则；⑤在数轴上到的距离为 A．个 B．个 C．个 D．个 【例题15-2】．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．数精确到千分位是 B．将数精确到千位是 C．按科学记数法表示的数，其原数是 D．近似数精确到 【例题15-3】．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）下列说法中正确的有（    ） 近似数与表示的意义不同； 近似数是精确到十位； 近似数是精确到； 精确到百位； 近似数所表示的准确数是． A．个 B．个 C．个 D．个 【例题15-4】．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．是精确到十位 B．两数相加，和一定大于其中任何一个加数 C．近似数0.8和0.80的精确度不同 D．用科学记数法表示的数，其原数是25000 【例题15-5】．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．近似数1.2和1.20精确度相同 B．取3.14，身高约，其中3.14和165都是近似数 C．0.0156（用四舍五入法精确到0.001）≈0.015 D．由四舍五入得到的近似数，精确到百分位 题型十六：近似数推断取值范围 【例题16-1】（24-25七年级上·广东广州·期中）由四舍五入法得到的近似数是2.75，那么原数不可能是（   ） A．2.7514 B．2.7493 C．2.7504 D．2.755 【例题16-2】．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）近似数1.50是由数四舍五入得到的，那么数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题16-3】．（2024七年级上·全国·专题练习）近似数所表示的准确值的范围是（　　） A． B． C． D． 【例题16-4】．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）近似数3.14所表示的准确数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例题16-5】．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例题16-6】．（24-25七年级上·四川眉山·期中）下列说法正确的是（    ） A．的倒数是 B．若，则 C．几个数相乘，当负乘数个数为奇数时，积为负，当负乘数个数为偶数时，积为正 D．数a的近似数为，那么a的真实值的范围是 【例题16-7】．（24-25七年级上·广西梧州·期中）若将数四舍五入后得到的近似值为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题16-8】．（24-25七年级上·福建漳州·期中）把数精确到百分位得到的近似数是，则下列的值的不可能是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026北师大版七年级上册数学典型例题系列「2026版」 2.4 有理数的乘方&2.5 有理数的混合运算 第一篇 专题精析 专题名称 有理数的乘方和混合运算 专题内容 有理数幂的理解和相关混合运算 讲解建议 根据知识点和题型进行讲解 考点题型 十六个题型 第二篇 典型例题目录 题型一：有理数幂的概念理解 2 题型二：有理数的乘方运算 7 题型三：有理数乘方逆运算 19 题型四：乘方运算的符号规律 22 题型五：乘方的应用 25 题型六：有理数四则混合运算 29 题型七：有理数四则混合运算的实际应用 38 题型八：程序流程图与有理数计算 40 题型九：算24点 44 题型十：含乘方的有理数混合运算 50 题型十一：计算器——有理数 64 题型十二：用科学计数法表示绝对值大于1的数 65 题型十三：将用科学计数法表示的数变回原数 68 题型十四：求一个数的近似数 72 题型十五：求近似数的精确度 76 题型十六：近似数推断取值范围 79 第三篇 典型例题汇总 题型一：有理数幂的概念理解 【例题1-1】．（24-25七年级上·广东梅州·期中）的底数是 ，指数是 ． 【答案】 3 【难度】0.94 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，a叫做底数，n叫做指数．根据乘方的意义解答即可． 【详解】解：的底数是，指数是3． 故答案为：，3． 【例题1-2】．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）在中，底数是 ，指数是 ． 【答案】 7 【难度】0.94 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】此题考查了有理数的乘方，原式利用幂的定义判断即可得到结果．熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 【详解】解：在中的底数是，指数是7． 故答案为：；7． 【例题1-3】．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）把“8”写成（a，n均为正整数）的形式是 ． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了有理数的乘方幂的概念理解，根据乘方的定义，底数是相同的因数，指数是相同因数的个数，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：或． 【例题1-4】．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）在中，底数是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题主要考查了幂的定义，利用幂的定义解答即可．求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，记作，读作a的n次幂．熟练掌握幂的定义是解题的关键．注意底数是负数时要加括号． 【详解】解：中，底数是， 故答案为：． 【例题1-5】．（24-25七年级上·广东·期中）在中，底数是（    ） A．10 B．8 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了有理数幂的概念，根据有理数幂的概念解答即可，熟练掌握有理数幂的概念是解此题的关键． 【详解】解：在中，底数是10， 故选：A． 【例题1-6】．（24-25七年级上·北京·期中）式子可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】有理数幂的概念理解、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了乘法以及乘方的意义，理解乘方的意义是解题的关键．根据m个5相乘可表示为，n个9相加可以表示为，即可得解． 【详解】解：式子可表示为， 故选：C． 【例题1-7】．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）表示的意义是（    ） A．与5相乘 B．2个相乘 C．5个2相乘的相反数 D．2个5相乘的相反数 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】相反数的定义、有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了有理数幂的概念、相反数，熟练掌握有理数幂的概念和相反数的定义是解题的关键．根据有理数幂的概念和相反数的定义即可解答． 【详解】解：表示的意义是5个2相乘的相反数． 故选：C． 【例题1-8】．（24-25七年级上·广西南宁·期中）的底数是（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查有理数幂的定义，根据有理数幂的定义，其中为底数，进行判断即可． 【详解】解：的底数是； 故选A． 【例题1-9】．（2025·河北石家庄·模拟预测）若k为正整数，则的意义为（   ） A．7个相加 B．12个k相加 C．4个相乘 D．7个相乘 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了幂的乘方，根据幂的乘方的含义即可确定．熟练掌握幂的乘方的含义是解题的关键． 【详解】解：根据幂的乘方的含义，可得表示4个相乘， 故选：C． 【例题1-10】．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）的底数是（    ） A．3 B．8 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，在解题时要根据有理数的乘法法则进行计算是本题的关键．本题需先根据有理数的乘法意义，进行选择，即可求出答案． 【详解】解：的底数是， 故选：C． 【例题1-11】（2025·吉林长春·模拟预测）可表示（   ） A．五个2相加 B．两个5相加 C．五个2相乘 D．两个5相乘 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题主要考查有理数的乘方，牢记有理数乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义（个相同的因数相乘，记作），即可求得答案． 【详解】解：表示个2相乘． 故选：C． 【例题1-12】（2021·河北石家庄·一模）若为整数，则表示的是（   ） A．3个相乘 B．2个相加 C．3个相加 D．5个相乘 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查幂的乘方运算，熟练掌握并理解幂的乘方等于底数不变，指数相乘是解题的关键．根据幂的乘方法则：，即幂的乘方等于底数不变，指数相乘，进行分析即可． 【详解】解：表示3个相乘或者表示6个相乘． 故选：A． 【例题1-13】（22-23七年级上·河北秦皇岛·期末）表示（   ） A．2个3相乘 B．3个2相乘 C．2个3相加 D．3个2相加 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了乘方运算概念的运用能力，运用乘方的定义进行辨别． 【详解】解：， 故选：B． 【例题1-14】（24-25七年级下·河北唐山·期中）化简＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了乘方的意义，根据乘方的意义分别表示出分子分母即可． 【详解】解：由乘方的意义可得分子表示个相乘，表示为；由乘法的意义可得分母表示个相加，表示为， ∴． 故选：B． 【例题1-15】（24-25七年级上·河南许昌·期末）计算与的和的式子为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】有理数加法运算、有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了乘方的意义和乘法的意义，解题关键是根据乘方的意义和乘法的意义写出算式． 【详解】解：，， 它们的和为：， 故选：A． 【例题1-16】（2025·河南周口·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了幂的定义，幂的乘方的运算，根据幂的定义化简即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：根据可得个相加，为， 可得个相乘，为， 计算的结果为， 故选：A． 【例题1-17】（24-25七年级下·福建三明·期中）对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的认识和运算，准确分析判断是解题的关键． 根据幂的性质判断即可． 【详解】∵，， ∴与，底数不同，运算结果相同． 故选：C． 【例题1-18】（2025·河北·模拟预测）“”可以写成（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了乘方的定义，利用乘方的定义解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 题型二：有理数的乘方运算 【例题2-1】（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）下列说法中正确的有（        ） ①一定是负数；②若，则这个数一定是负数；③一个负数减去一个正数，差一定为负数；④0可以是非负整数，也可以是非正整数；⑤负数的平方为正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】正负数的定义、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了正负数的定义，绝对值，乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：当时，则为非负数，故①不符合题意； 当，则这个数一定为非负数，故②不符合题意； 当一个负数减去一个正数，差一定为负数，故③符合题意； 0可以是非负整数，也可以是非正整数，故④符合题意； 负数的平方为正数，故⑤符合题意； 故选：C 【例题2-2】（22-23七年级上·广西河池·期末）下列各数中，是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】有理数的乘方运算、求一个数的绝对值、化简多重符号、正负数的定义 【分析】本题考查正负数的判断，先求出绝对值，进行有理数的乘方运算，化简多重符号，化简后，根据小于0的数为负数，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是负数，不符合题意； B、，是负数，符合题意； C、，不是负数，不符合题意； D、，不是负数，不符合题意； 故选B． 【例题2-3】（2022七年级上·全国·专题练习）填空： ； ； ； ； ； ． 【答案】 9 / 【难度】0.65 【知识点】有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算 【分析】根据乘方的意义计算即可． 【详解】解：；；；；； 故答案为：9，，，，，． 【点睛】本题考查乘方运算，理解乘方的意义进行计算是解决问题的关键． 【例题2-4】（2025·广东广州·二模）计算： ． 【答案】/0.125 【难度】0.94 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方，根据乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【例题2-5】．（2025·贵州黔东南·一模）计算： ． 【答案】4 【难度】0.94 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据计算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【例题2-6】．（2025·河南濮阳·二模）是的（   ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．6倍 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】有理数的除法运算、有理数的乘方运算 【分析】该题考查了有理数的乘方和乘除法运算，先算出和的值，即可解答． 【详解】解：，， ∵， ∴是的3倍， 故选：B． 【例题2-7】．（23-24八年级上·广西河池·期末）若；则m等于（　　） A．1 B．3 C．4 D．无法计算 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，分别计算各项即可得出结论. 【详解】解：∵即， 故， ∵；；故A、C、D不符合题意， 故答案为：B． 【例题2-8】．（24-25七年级上·广西河池·期末）下列各式中，不相等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数乘方的运算，绝对值，熟练掌握乘法的定义及运算是解题的关键．利用乘方的定义依次进行计算，即可判断． 【详解】解：A中，∵，， ∴， 故选项A正确，不符合题意； B中，∵，， ∴， 故选项B正确，不符合题意； C中，∵，， ∴， 故选项C错误，符合题意； D中，∵，， ∴， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【例题2-9】．（2025·江西·模拟预测）的平方是（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了平方的计算，熟练掌握方法是解答本题的关键．根据平方计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【例题2-10】．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列各式中正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法和绝对值，根据偶次方的非负性和绝对值的非负性进行求解即可． 【详解】解：A、，原式错误，不符合题意； B、，原式正确，符合题意； C、，原式错误，不符合题意； D、，原式错误，不符合题意； 故选：B． 【例题2-11】．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）下列式子一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】有理数的乘方运算、求一个数的绝对值 【分析】本题考查有理数相关运算，涉及有理数乘方运算、绝对值运算等知识，根据有理数乘方运算及绝对值运算法则逐项验证即可得到答案．熟记有理数乘方运算、绝对值运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：A、，计算错误，式子不成立，不符合题意； B、，计算错误，式子不成立，不符合题意； C、，计算正确，式子成立，符合题意； D、，计算错误，式子不成立，不符合题意； 故选：C． 【例题2-12】．（2025七年级下·浙江·专题练习）若，，，，则它们的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】有理数的乘方运算、有理数大小比较 【分析】本题考查有理数乘方运算，比较有理数大小．先根据有理数乘方法、零指数幂运算法则计算各数，再根据有理数大小比较法则比较即可． 【详解】解：，，，， ． 故选：C． 【例题2-13】．（24-25七年级下·全国·假期作业）在中，是正数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】正负数的定义、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方运算，绝对值，正负数的定义，根据乘方法则，绝对值的意义分别计算各选项的值，判断其正负性即可． 【详解】解：； 故是正数的是； 故选D． 【例题2-14】．（2025·广西柳州·三模）“结绳计数”是远古时代人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，类似我们现在熟悉的“进位制”，如图所示是一位古人记录的当天采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，这位古人当天采摘果实的个数是（   ） A．186 B．185 C．184 D．183 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的运算，读懂题意，理解古代记数规则，再转化为现代的十进制数是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，绳子上按照古代记数规则是，由于满四进一，将其转化为现在的十进制数为， 故选：D． 【例题2-15】．（24-25七年级上·广东湛江·期中）下列各组数中，运算结果相同的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查有理数的乘方，分别计算各选项中两个表达式的值，比较是否相等． 【详解】解：A.，，结果不相等，故选项A不符合题意； B.，，结果相等，故选项B符合题意； C.，，结果不相等，故选项C不符合题意； D.，，结果不相等，故选项D不符合题意； 故选：B． 【例题2-16】．（2025·河南焦作·二模）音乐中的八度是指相邻的音组中相同音名的两个音（包括变化音级），从某一音级到它上方或下方第一个同名音级之间的音高距离，就是八度．如到、到．以频率来表示，相邻一个八度的两个同名音高的声波振动频率高低之比为．观察下面的钢琴键盘示意图，可以得出的振动频率是的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了音乐中的八度的理解，有理数的乘方，根据所给定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据钢琴键盘示意图可知，从到音高依次经过， ∴跨越了个八度， ∵相邻一个八度的两个同名音高的声波振动频率高低之比为 ∴的振动频率是的， 故选：． 【例题2-17】．（24-25七年级上·北京东城·期中）若，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】有理数的乘方运算、绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【例题2-18】．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若 ，则整数的值为 【答案】或或． 【难度】0.65 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查乘方的意义，当时，可得：，其中，，可得成立；当时，，根据任何不为的数的次幂为，可知成立；当 时，，其中，  ，根据，，可知成立． 【详解】解：， 当时， 解得：， 此时， 其中，， ， 成立； 当时，， 其中，， ，， 成立； 当 时，， 其中，  ， ，， 成立． 综上所述，整数解为或或． 【例题2-19】．（24-25七年级上·山东德州·期中）已知、互为相反数，、互为倒数，的值是 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】相反数的定义、有理数的乘方运算、倒数 【分析】本题考查了绝对值，相反数，倒数，有理数加减，乘方运算，根据题意得出，，，进而分类讨论得出答案，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】解：∵互为相反数，互为倒数，， ∴，，， 当时， 原式 ； 当时， 原式 ； 故的值为或． 故答案为：或． 【例题2-20】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)49 (2)－216 (3) (4)－9 (5) (6) 【难度】0.85 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （3）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （4）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （5）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （6）根据有理数的乘方运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 【例题2-21】．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算： ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方，正确理解题意是解题的关键．根据新定义计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 【例题2-22】．（24-25七年级上·浙江温州·期中）将，，这三个数的大小关系用“”号连接可表示为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数大小比较、有理数的乘方运算 【分析】本题比较有理数比较大小，根据有理数的乘方法则，以及正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小进行判断即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴； 故答案为：． 【例题2-23】．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）规定：求若干个相同的有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：_______； (2)比较大小：_______；（填“”，“”或“”） (3)算一算：； (4)关于除方，下列说法错误的是________ A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n，1的圈n次方等于1 C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【答案】(1) (2) (3) (4)C 【难度】0.65 【知识点】有理数大小比较、有理数的除法运算、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查有理数的新定义运算方法，在有理数除法的基础上定义多个相同的非零数的除法的表达方法，并根据有理数除法法则计算； 理解除方的定义、掌握有理数的乘除法、乘方运算法则是解题的关键． （1）根据除方的定义、有理数除法法则计算即可； （2）根据除方的定义，结合有理数除法的运算法则计算，再比较大小即可； （3）先将乘方、除方按照运算规则展开，再算乘除，最后算加减，计算的过程中注意符号(正负)的变化． （4）根据除方的定义，结合有理数除法的运算法则逐一判断即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：，，， 故答案为：； （3）解： ； （4）解：A、任何非零数的圈2次方就是两个相同的数相除，即都等于1，说法正确，不符合题意； B、多少个1相除都是1，即对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1，说法正确，不符合题意； C、，，，即，说法错误，符合题意； D、负数的圈奇数次方相当于奇数个负数相除，结果是负数；负数的圈偶数次方相当于偶数个负数相除，结果是正数，说法正确，不符合题意， 故答案为：C ． 题型三：有理数乘方逆运算 【例题3-1】．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 【例题3-2】．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）无论x取何值，代数式的值都不变，则m等于（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】整式加减中的无关型问题、有理数乘方逆运算 【分析】本题主要考查了代数式，掌握代数式的值与某一字母值无关即是关于该字母的代数式中，该字母各相应项的系数为0是解题的关键．先由无论x取何值，多项式的值不变，求得即可． 【详解】解： ， ∵无论x取何值，多项式的值不变， ∴， 解得：， 故选：C． 【例题3-3】（24-25七年级上·四川达州·期中）2021年第十四届国际数学教育大会（ICME－14）在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“ ”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7 共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，2021表示 ICME－14 的举办年份．【注：】某同学设计了一个n进制数501 ，换算成十进制数是406 ，则n的值为 ． 【答案】9/九 【难度】0.85 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】本题考查了乘方的逆运算；根据题意得：，即可求得n的值． 【详解】解：501转换成n进制数为：， 由题意得：， 即； 由于，不考虑负值； 故； 故答案为：9． 【例题3-4】．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知，那么 ； 的立方等于． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】本题考查的是乘方运算的逆运算，由平方与立方的逆运算可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴的立方等于； 故答案为：， 【例题3-5】．（24-25七年级上·全国·单元测试）如果，那么 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】有理数的乘方运算、有理数乘方逆运算 【分析】本题考查了有理数的乘方的定义及法则．熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义，已知等式中的相当于的5次方，由此可以求出x的值为．已知等式中的8相当于2的3次方，由此可以求出y的值为2．进而可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 因此． 故答案为：4． 【例题3-6】（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数乘方逆运算、乘方的应用 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的运算，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． （1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解： ． 题型四：乘方运算的符号规律 【例题4-1】．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】本题考查的是乘方运算的符号规律，分别根据，，进行探究即可得到答案． 【详解】解：当，则， 当，则， 当，则，则， ∴当，则， 故选：C 【例题4-2】．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）若，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】绝对值非负性、乘方运算的符号规律 【分析】本题考查了绝对值的非负性、平方的非负性，由，得出，，求出、的值，再得出的值即可． 【详解】解：，， 又∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 【例题4-3】（24-25七年级上·山东淄博·期中）已知三边长a，b，c，且满足，则此三角形一定是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】绝对值非负性、乘方运算的符号规律 【分析】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，由，可分别求出a，b，c的值，根据边长可判断三角形的形状． 【详解】解：， ，，， ，，． ∴， 此三角形是等腰三角形． 故选：A． 【例题4-4】．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）若，则的值是（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】绝对值非负性、有理数加法运算、乘方运算的符号规律 【分析】本题考查了非负数的性质，有理数的乘方和加法运算，掌握平方和绝对值的非负性是解题关键．根据非负数的性质，得出，，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故选：A． 【例题4-5】．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）给出下列判断：①若，则；②若a、b互为相反数，则；③单项式﹣的系数是；④代数式的值永远是正的；⑤几个有理数相乘，当负因数的个数是奇数个时，积一定为负；⑥多项式是关于x，y的四次多项式，其中判断正确的有（    ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数、多个有理数的乘法运算、乘方运算的符号规律 【分析】根据绝对值的意义即可判断①，根据相反数的性质即可判断②，根据单项式的系数即可判断③，根据乘方的非负性即可判断④，根据多个有理数的乘法符号法则即可判断⑤，根据多项式的定义进行判断即可⑥． 【详解】解：①若，则，故说法错误； ②若a、b互为相反数且，则，故说法错误； ③单项式的系数是，故说法错误； ④∵，∴代数式，即代数式的值永远是正的，故说法正确； ⑤几个非零有理数相乘，当负因数的个数是奇数个时，积一定为负，故说法错误； ⑥多项式是关于x，y的三次多项式，故说法错误； 综上可知，判断正确的有1个， 故选：A 【点睛】此题考查了绝对值的意义、乘方的非负性、单项式和多项式、多个有理数的乘法、相反数等知识，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 【例题4-6】．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知有理数n、m满足，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】绝对值非负性、乘方运算的符号规律 【分析】本题考查了绝对值的非负性及乘方运算的符号规律，依题意得，，再代入原式即可求解，熟练掌握绝对值的非负性及乘方运算的符号规律是解题的关键． 【详解】解：依题意得： ，即：， ，即：， ， 故答案为：． 题型五：乘方的应用 【例题5-1】．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】乘方的应用 【分析】此题考查了有理数的乘方，理解题意列出式子是解本题的关键．根据题意列出算式计算即可得到结果． 【详解】解：根据第1次截取后，剩， 第2次截取后，剩， 第3次截取后，剩 第4次后剩下，即（米） 故选B． 【例题5-2】．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）定义：如果，那么叫做以为底的对数，记做．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③若，则； A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】乘方的应用 【分析】本题以新定义题型为背景，主要考查了学生的数的乘方的计算能力，在解答新定义题型的时候，首先一定要把定义理解透彻，然后灵活应用定义变化，一一判断给出的说法是否正确．根据新定义，结合乘方的意义逐个求解判断即可． 【详解】解：①∵， ∴，故说法①正确，符合题意； ②设，，则，， ∴，即， ∴， ∴，即，故②正确，符合题意； ③设，则，， ∴， ∴， ∴，解得，故③说法正确，符合题意； ∴正确的说法有3个， 故选：A． 【例题5-3】．（2025·山东烟台·二模）《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第2025次截取后剩下的木棒有 尺 【答案】 【难度】0.94 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的乘方运用，根据题意，分别得出第1次截取后，剩余的木棒有尺；第2次截取后，剩余的木棒有，以此类推即可解答，熟知期中规律是解题的关键． 【详解】解：第1次截取后，剩余的木棒有尺； 第2次截取后，剩余的木棒有尺； 第3次截取后，剩余的木棒有尺， ， 第2025次截取后，剩余的木棒有尺， 故答案为：． 【例题5-4】．（2025·安徽蚌埠·三模）中国的5G技术领先世界，技术中的数学原理之一是香农公式：，其中表示最大信息传送速率，为信道带宽，为信道内所传信号的平均功率，为信道内部的高斯噪声功率，叫作信噪比．已知某次信息传送的信道带宽为200，信噪比为15，则这次信息传送的最大速率是 ． 【答案】800 【难度】0.65 【知识点】乘方的应用 【分析】本题主要考查乘方的应用，将相关数据代入，可得，再求解即可． 【详解】解：由题意，得 ∴ ∴ ， ． 故答案为：800． 【例题5-5】．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子可以变形为，也可以变形为．在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．根据上面的规定，请计算 ． 【答案】8 【难度】0.85 【知识点】有理数的乘方运算、乘方的应用 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，乘方的逆运算，根据新定义运算，结合乘方运算，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：8． 【例题5-6】．（24-25七年级上·福建福州·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，将二进制换算成十进制数的结果为（   ） A．8 B．9 C．14 D．15 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】乘方的应用 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是弄清二进制数转化为十进制数的计算方法．根据已知，从个位数字起，将二进制的每一位数分别乘以，再把所得结果相加即可得． 【详解】解：由题意得： ． 故选：B． 【例题5-7】．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种待定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图是某次考试中两位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：，同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1110，111，11100，1101，转化成10进制为：14，07，28，13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813，其中第一行编码“24”和第二行编码“14”表示区域和学校，第三行编码“07”表示班级为07班，第四行编码“28”表示考场号为28，第五行编码“13”表示座位号是13；若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，则小张的准考证号为（   ） A．2410252110 B．2010272108 C．2212272408 D．2410272108 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，理解题意，掌握有理数的混合法则是解题的关键． 根据题意，分别表示每行的二进制编码，再转换成10进制进行判定即可． 【详解】解：黑色代表1，白色代表0， ∴图2中，第一行，转换成10进制数为：， 第二行，转换成10进制数为：， 第三行，转换成10进制数为：， 第四行，转换成10进制数为：， 第五行，转换成10进制数为：， ∴小张的准考证号为， 故选：D ． 【例题5-8】．（24-25七年级上·山东德州·期末）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】有理数乘法的实际应用、乘方的应用 【分析】本题考查了乘法与乘方的定义．解题关键在对乘法与乘方定义的区分，本题的易错点在于因没有注意观察，而把两种运算当成一种运算．根据乘法的定义：求几个相同加数的运算，叫做乘法，和乘方的定义：求几个相同因数乘积的运算，叫做乘方，即可得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 题型六：有理数四则混合运算 【例题6-1】．（24-25七年级上·北京·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用有理数的加减法则计算即可； （3）利用有理数的乘除法则计算即可； （4）利用乘法分配律计算即可； （5）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可； （6）先算乘方，再算括号里面的，然后算乘除，最后算减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【例题6-2】．（24-25七年级上·吉林长春·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算减法即可得到答案； （2）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解； ； （2）解： ． 【例题6-3】．（24-25七年级上·北京·期中）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)5 (2)2 (3)4 (4) 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，有理数的乘除混合运算，乘法运算律，含乘方的有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键． （1）先化简多重复号，再进行加减运算即可； （2）按顺序计算即可； （3）利用乘法分配率计算即可； （4）先计算有理数的乘方，再按顺序计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【例题6-4】．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)60 (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）首先将除法转化成乘法，然后利用有理数的乘法分配律求解即可； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【例题6-5】．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）运算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了乘法分配律，含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据乘法分配律去括号，然后计算乘法，最后计算加减法即可得到答案； （2）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解； ． 【例题6-6】．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的法则和顺序是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则求解即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先去括号，按此顺序进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 【例题6-7】．（24-25七年级上·广东佛山·期中）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】有理数加减中的简便运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数加减的混合运算、含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先省略括号，再利用结合律进行计算即可得； （2）先计算乘方、有理数乘法的分配律，再计算除法与乘法，然后计算加减法即可得． 【详解】解：（1） ． （2） ． 【例题6-8】．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）将除法变为乘法，再根据乘法分配律计算； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例题6-9】．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）计算下列各题 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)8 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减运算法则计算即可； （2）先利用乘法分配律计算，再加减即可； （3）利用有理数的加减运算法则计算即可； （4）先计算括号，再按先乘方、再乘除、后加减的运算顺序即可即可； （5）先计算括号和绝对值，再按先乘方、再乘除、后加减的运算顺序即可即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 题型七：有理数四则混合运算的实际应用 【例题7-1】．（24-25七年级上·吉林长春·期中）某检修小组驾驶检修车从A地出发，在东西方向的笔直的公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：）： ，，，，， (1)计算说明检修小组最终在A地何方，距A地多远？ (2)若检修小组使用燃油汽车，该车每千米耗油升，当天从出发到收工共耗油多少升？若汽油价格为元升，该检修小组该天的油费是 元． (3)若该检修小组使用新能源汽车，该新能源汽车每行驶耗电度，且使用充电桩充电的价格是每度电元，则该天使用新能源汽车的耗电费用比使用燃油汽车的燃油费用省 元（精确到十分位）． 【答案】(1)收工时在A地东边处； (2)当天从出发到收工共耗油6升， (3) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数四则混合运算的实际应用、求一个数的近似数 【分析】此题主要考查了正负数的意义，绝对值的意义，有理数四则运算的实际应用． （1）把所有的行驶记录相加，然后根据正负数的意义解答； （2）用所有行驶记录的绝对值的和乘以，可得耗油量，再乘以单价可得费用； （3）由行驶耗电度，再乘以单价可得新能源汽车的费用，再利用油车的费用减去新能源汽车的费用可得答案． 【详解】（1）解： ， 答：收工时在A地东边处； （2）解： ， （升）． ∴（元）， 答：当天从出发到收工共耗油6升，该检修小组该天的油费是元； （3）解：∵该新能源汽车每行驶耗电10度， ∴行驶耗电（度）， ∴该汽车该天的耗电费用约为（元）， ∴比使用燃油汽车省（元）． 【例题7-2】．（24-25七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）某粮店有10袋玉米准备出售，称得质量如下（单位：千克）： 182，178，177，，183，184，181，185，，180． (1)若以180作为基准数，用正、负数表示这10袋玉米的质量与它的差； (2)试计算这10袋玉米的总质量是多少千克 (3)若每千克玉米的售价为元，则这10袋玉米能卖多少元（精确到1元）？ 【答案】(1)，，，，，，，，， (2)这10袋玉米的总质量是1811千克 (3)这10袋玉米能卖2898元 【难度】0.65 【知识点】正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用、求一个数的近似数 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，有理数乘法的实际应用，正负数的实际应用，有理数减法的实际应用： （1）把180千克作为基准数，计算出这10袋玉米的质量与180千克的差值即可； （2）把（1）中求得的数据相加，再加上10袋标准重量的玉米质量即可得到答案； （3）把（2）中求得的数据乘以，精确到1元即可得到答案． 【详解】（1）解：，，，，，，，，，， ∴这10袋玉米的质量分别为：，，，，，，，，，； （2）解：（千克）， ∴这10袋玉米的总质量是1811千克； （3）解：元， ∴这10袋玉米能卖2898元． 【例题7-3】．（2024七年级上·全国·专题练习）中国以占世界不到的耕地，养活了占世界多的人口．其中“杂交水稻之父”袁隆平立下了汗马功劳，他一路攻坚克难，水稻亩产量从最初的300千克左右提高到500千克、700千克、800千克如今的最高纪录约是1600千克，与最初相比，如今的最高纪录提高了百分之几？（百分号前保留两位小数） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算、求一个数的近似数 【分析】本题考查了有理数的混合运算，百分数，近似数和有效数字，根据题意，水稻亩产量从最初的300公斤到如今的最高纪录是1600公斤，提高了（公斤），然后用最初的产量最后的产量即可得到提高率，解答此题的关键明白：提高率提高的数量原来的数量． 【详解】解： ， 答：如今的最高纪录整整提高了． 题型八：程序流程图与有理数计算 【例题8-1】．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图是小宇用计算机设计的一个有理数运算的程序框图，若输入的数为1，则输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查对程序设计的理解和有理数的运算顺序，再代入计算求值即可． 【详解】解：根据题意可知，开始输入a的值为1， ∴； ∴输出的结果为． 故选：A． 【例题8-2】（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查有理数的运算及代数式求值．根据题意列式计算，直至结果小于输出结果即可． 【详解】解：若开始输入的值为， 则，返回继续运算； ，输出结果； 故选：B． 【例题8-3】．（22-23六年级上·山东东营·期中）如果按照如图所示的按键顺序操作，那么最后的结果为(    ) A．32 B． C．48 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】计算器——有理数 【分析】本题考查了科学计算器，熟练掌握科学计算器使用原理方法，是解题的关键， 此按键顺序是使计算器先自动计算立方，再计算乘除， 【详解】解：根据按键顺序可得算式为：． 故选：B． 【例题8-4】．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 【答案】7 【难度】0.65 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 先根据流程图的程序列出算式，再计算出结果，根据输出的条件得出结论即可． 【详解】解：把代入，得， 再把代入，得， ∴输出y的值为7． 故答案为：7． 【例题8-5】．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）按照如图所示的计算程序图操作，当输入6时，输出的结果是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据程序列式，然后进行计算即可． 【详解】解： ； 【例题8-6】．（24-25七年级上·吉林·期末）如图是计算机程序计算，当输入的数为0时，输出的结果 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相反数的定义、有理数大小比较、程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查有理数的加、减运算，有理数比较大小，相反数，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 根据所给的程序图代入相应的值进行运算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ． ∴输出的结果 故答案为：． 【例题8-7】．（24-25七年级上·四川成都·期末）小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ． 【答案】2或7或37 【难度】0.65 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意列式计算求出符合题意的答案即可． 【详解】解：如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217， 则； ； ； 故答案为：2或7或37． 【例题8-8】．（24-25七年级上·福建泉州·期末）按如图所示的程序计算，当输入的值为时，输出的值为 ． 【答案】26 【难度】0.65 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的乘方，读懂程序流程图，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键．先将代入计算出结果为，再将代入计算，其结果大于10，由此即可得． 【详解】解：由程序图得：当时，， 当时，， 所以当输入的值为时，输出的值为26， 故答案为：26． 【例题8-9】．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）按如图所示的程序计算，当输入有理数m，n，满足时，y的值为 ． 题型九：算24点 【例题9-1】．（2025·广东惠州·一模）“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式： ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查有理数的混合运算，正确运用运算律及适当添加括号是解题的关键．根据题意列式求解即可． 【详解】根据题意得，． 故答案为：． 【例题9-2】．（24-25七年级上·福建宁德·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的加减乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据、利用有理数的加法与乘法列出算式即可得． 【详解】解：可列出算式是， 故答案为：． 【例题9-3】．（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 【答案】或或（答案不唯一，任选一个） 【难度】0.85 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则列式即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 【例题9-4】．（24-25七年级上·河南安阳·期末）请选择使用“加、减、乘、除和括号”（可重复），将四个数组成算式（每个数必须用一次且只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是 ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据有理数的加减乘除运算法则求解即可得． 【详解】解：因为， 所以列出的算式是， 故答案为：（答案不唯一）． 【例题9-5】．（24-25七年级上·四川成都·期末）24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】算“24”点 【分析】本题主要考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．根据有理数的混合运算可进行求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【例题9-6】．（24-25七年级上·重庆·期末）有一种“24点”游戏规则：根据提供的四个数（每个数必须都使用一次且不能使用这四个数之外的其他数）用加、减、乘、除四则运算（可用括号）列出一个结果等于24的算式．现有四个数：，请你列出一个“24点”算式： ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】有理数四则混合运算、算“24”点 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，根据有理数的四则混合计算法则计算24点即可． 【详解】解：由题意，得． 答案为：． 【例题9-7】．（24-25七年级上·湖北恩施·期末）有一种游戏叫24点游戏，规则是：2位小朋友从分得的26张扑克牌（不含大小王，J算11点、Q算12点、K算13点、A算1点）各抽出2张，共4个点数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24．如：两人抽出的点数为2、3、4、5，可以由或．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌的点数分别是3、4、1、7，他苦思不得其解，相信聪明的你一定能帮他解除困难，请你写出一个成功的算式： ． 【答案】或（答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 运用有理数的混合运算进行计算使其等于即可． 【详解】解：四张牌的点数分别是3、4、1、7， ∴，， 故答案为：或（答案不唯一） ． 【例题9-8】．（2024七年级上·全国·专题练习）中考新趋势·一题多问  在学习了《有理数及其运算》以后，小明和小亮一起玩“24点”游戏，规则如下：从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24或，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K分别代表11，12，13．现在小亮抽到的扑克牌代表的数分别是：3，，，10，请你帮助他写出两个算式，使其运算结果分别等于24、： 、 ． 【答案】 （答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】算“24”点 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握计算法则是解题关键．根据有理数的混合运算法则进行计算即可解答． 【详解】解：或． 故答案为：或．（答案不唯一） 【例题9-9】．（24-25七年级上·广东深圳·期中）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为 ． 【答案】(答案不唯一) 【难度】0.85 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及正数和负数，根据题意列出算式即可，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：由题意得：或或． 故答案为：或或． 【例题9-10】.（23-24七年级上·浙江湖州·期中）如图，有4张写着数字的卡片：，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，结果为24（要求每个数字只能用一次，例如：），请写出另一个符合条件的算式： ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】算“24”点 【分析】此题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用“”，再写出符合要求的式子即可． 【详解】解：由题意可得，符合要求的运算式子为：， 故答案为：. 【例题9-11】．（24-25六年级上·山东济南·期中）选用运算符号“加、减、乘、除、乘方”将，3，，7连成一个代数式，使其结果是24． ．（每个数必须用一次且只能使用一次，可以使用括号，运算符号可以重复使用） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】算“24”点、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据有理数的混合运算法则尝试计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 【例题9-12】．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）玩“24点”游戏，规则如下：任取四个整数（每个数只用一次）进行“、、、”四则运算，使其运算结果为24.现有四个整数、、4、5，请用上述规则，写出算式 ． 【答案】或（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数混合运算的式子解答即可． 【详解】解： ； ． 故答案为：或（答案不唯一）． 【例题9-13】．（24-25六年级上·山东淄博·期中）有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是这样的：任意取4个之间的自然数，将这4个数（每一个数只能用一次）进行加、减、乘、除四则运算（可以使用括号），使其结果等于24．比如，自然数，可以这样运算得到，等等． (1)有4个有理数，分别为：，根据上述规则，请你写出3种列式方法，使其结果等于24； 方法1：_______； 方法2：_______； 方法3：_______； (2)如果换成另外的4个有理数：，请你写出1个运算式子，使其结果等于24．列式：______________． 【答案】(1)，，（答案不唯一）； (2)（答案不唯一）． 【难度】0.65 【知识点】算“24”点 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用“二十四点”游戏规则写出相应算式即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）根据“二十四点”游戏规则得， 方法1：； 方法2：； 方法3：； 故答案为：，，（答案不唯一）； （2）； 故答案为：（答案不唯一）． 【例题9-14】．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）如图，现有5张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题． (1)①从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最小，则和的最小值为____________； ②从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为____________． (2)从中任意取出4张卡片（每张卡片上的数字只能用一次），使这4张卡片上的数字运算结果为24，写出两个不同的等式． 【答案】(1)①；②6 (2)见解析，答案不唯一 【难度】0.85 【知识点】有理数加法运算、有理数的除法运算、算“24”点 【分析】本题主要考查有理数的混合运算， （1）①选取两个最小的数，相加即可；②选取绝对值的最大数和绝对值的最小数相除即可； （2）任意取出4张卡片，得出结果即可． 【详解】（1）解：①取出2张卡片为 和的最小值为 故答案为：； ②取出2张卡片为 商的最大值为 故答案为：6； （2）解：答案不唯一， 如：第一种：抽，，2，， 第二种：抽，，，， ． 题型十：含乘方的有理数混合运算 【例题10-1】．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、有理数乘除混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）利用加法交换律和结合律进行计算，即可解答； （2）利用乘法分配律进行计算，即可解答； （3）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答； （4）先算乘方，再算乘法，后算加减，有括号先算括号里，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 【例题10-2】．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的含有乘方的混合运算．解题关键是熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）将除法转化为乘法，根据乘法计算即可； （4）先算乘方和绝对值，再算乘除法，再算加法 【详解】（1）解： ； （2）解： + ； （3）解： ； （4）解： ； 【例题10-3】．（24-25七年级上·四川南充·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)6 (4) 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）先去括号，再根据有理数加减法法则计算即可； （2）先将除法转化为乘法，再根据有理数乘法法则计算即可； （3）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行计算即可； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【例题10-4】．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先去括号和绝对值符号，再计算加减即可； （2）先计算乘方和括号内运算，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例题10-5】．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）计算： 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，原式分别计算乘方、绝对值，再计算乘法，最后进行加法运算即可得到答案． 【详解】解： ． 【例题10-6】．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】解： ． 【例题10-7】．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先乘方、化简绝对值、括号内计算，再计算乘法，再计算减法即可； （2）先进行括号内计算，再计算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例题10-8】．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6)（用简便方法计算） 【答案】(1) (2)107 (3) (4)23 (5) (6) 【难度】0.65 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键； （1）先化简绝对值，在运用有理数加减法法则解答即可； （2）根据运算法则先算乘方，再算乘除，最后算加减即可解答； （3）先算乘除，再算加减即可解答； （4）先算乘方，在利用乘法分配律，最后算加减即可解答； （5）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可解答； （6）运用乘法分配律解答即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3） 解：原式 ； （4）解：原式 ； （5） 解：原式 ； （6） 解：原式 ． 【例题10-9】．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，按照从右到左的顺序满五进一，即“结绳计数”．某天两同学背单词比赛，如图①是同学和同学在绳子上打结记录的背单词的总数量，图②是同学比同学多背诵的单词数量．则在这一天，同学背诵的单词数量是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，由题意得两人背单词的总数量为个，进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，两人背单词的总数量为个， 同学比同学多背诵的单词数量为个， ∴同学背诵的单词数量为个， 故选：． 【例题10-10】．（24-25九年级下·福建漳州·期中）以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务． 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨是德国伟大的哲学家、数学家，是历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德．莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位，二进制数的发现与完善是他在数学史上的伟大学术成就之一，现代的计算机和依赖计算机的设备里都在使用二进制． 我们在数学学习中所用的数都是十进制数，一共有十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，其进位规则是“逢十进一”，比如数字．而二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的进位原则是“逢二进一”，二进制数可以转化为十进制数，转化如下：比如：． 任务：已知，是两个不相等的十进制三位数，且，若三位二进制数的三个数位均为，将其转化为十进制数为（   ） A．1 B．7 C．13 D．111 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了二进制数转十进制数. 直接根据二进制数只有0，1两个数码，数位为即，求出三位二进制数为111，再根据转化方法计算即可. 【详解】∵三位二进制数的三个数位均为， ∴， ∵二进制数只有0，1两个数码， ∴， ∴ 即三位二进制数为111， ∴ 故选B. 【例题10-11】．（23-24九年级下·山东德州·阶段练习）计算的结果是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】有理数加法运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的加法，熟练掌握其运算规则是解题的关键．根据个相加的和为，个相乘是，即可得到答案． 【详解】解：个相加的和为，个相乘是，那么原式 故选：A． 【例题10-12】．（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查新定义，有理数的混合运算，根据新定义，列出算式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：8． 【例题10-13】．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）为了求的值，可令，则，因此所以，仿照以上推理，计算（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．根据题目信息，设，求出，然后错位相减计算即可得解． 【详解】解：设，则， ， ， ， 故选：C． 【例题10-14】．（24-25七年级上·广东江门·期中）我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法．例如：一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数，图1是孩子出生后30天时母亲打绳结的情况（因为：）．图2是芽芽用相同的方式记录自己为中考立志奋斗后努力的天数，请问芽芽已为中考奋斗了（    ）天． A．510 B．511 C．513 D．520 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，仿照题干给出的计算方法，列出算式进行计算即可． 【详解】解：（天）； 故选A． 【例题10-15】．（2025·湖南长沙·模拟预测）二进制是一种以2为基数的记数法，通常用0和1来表示，计算机内部的所有数据，包括数字，字符，图像，音频等，都是以二进制的形式存储和处理的．与我们在数学学习中所用十进制数的“逢十进一”不同的是，二进制的进位规则为“逢二进一”．例如：254可分解为，将其转化为二进制数，转化过程为：，，，，，，，，将所有的余数从右到左排列，得到11111110，所以254转化为二进制数是，验证：254可分解为，结果正确．按照此种方法，现有四位同学对2025的二进制转化过程展开讨论： 同学：．因此二进制数为； 同学：分解过程中最大的2的幂是，故二进制共有11位； 同学：分解到时，剩余部分不足16，因此其系数为0； 同学：2025的二进制末三位为001． 其中对2025的二进制转化理解错误的同学是（填写字母代号） ． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，读懂材料中两种进制数互化的例子及二进制的四则运算法则是关键．根据二进制的含义，再结合四则运算的顺序和计算法则，对2025的二进制转化过程计算，即可判定． 【详解】解：2025可分解为， 将其转化为二进制数，转化过程为：，，，，，，，，，，，将所有的余数从右到左排列，得到， 所以2025转化为二进制数是， 验证：2025可分解为． 故其中对2025的二进制转化理解错误的是同学， 故答案为：A． 【例题10-16】．（2025·甘肃定西·三模）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：．例如：．则 ． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查新定义运算，有理数混合运算．理解新定义是解题的关键． 根据新定义的运算得到，再根据有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：3． 【例题10-17】．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能找出分子及分母的公因数是解题的关键． 将分子和分母分别提取和，再进行计算即可． 【详解】解：由题知，原式 ． 故答案为：． 【例题10-18】．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）课本再现 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1，称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为． 观察发现 （1）从左起第四个符号表示的二进制数为___________． 拓展延伸 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，依此类推），后相加，例如：． （2）图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； 类比迁移 （3）仿照二进制的说明与算法，将八进制数：转换成十进制数，请求出结果． 【答案】（1）；（2）3745；（3）1045 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了二进制数与十进制数的转换，八进制与十进制数的转换： （1）根据题意即可得到答案； （2）根据二进制数与十进制数的转换方法分别求出图2中四个二进制数转换成十进制数的结果即可得到答案； （3）仿照二进制数与十进制数的转换方法将八进制数各位上的数字乘以8的相应次方再求和即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，从左起第四个符号表示的二进制数为； 故答案为：； （2）图2对应的二进制数从左往右依次为，，，， ∵， ， ， ， ∴这个四位数是3745； （3）． 题型十一：计算器——有理数 【例题11-1】．（24-25六年级上·山东烟台·期中）计算器是一种方便实用的计算工具，借助计算器可以进行复杂的数字计算．利用科学计算器可以进行有理数混合运算．如图是一种科学计算器的面板． 小明用计算器求某个式子的值时，按键顺序为： 请你根据小明的按键顺序列出算式，并进行计算． 【答案】详见解析 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算、计算器——有理数 【分析】本题主要考查了利用计算器进行数有理数的乘方运算，根据计算器的按键顺序计算即可得解，熟练掌握计算器求幂的时候指数的使用方法是解决此题的关键． 【详解】 ． 题型十二：用科学计数法表示绝对值大于1的数 【例题12-1】．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）年第十五届中国珠海航展圆满落幕，此次航展成交金额亿美元，折合人民币亿元，将数据“亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了用科学记数法表示一个较大的数，用科学记数法表示一个数就是把这个数写成的形式，其中，其中的指数与小数点移动的位数有关．首先把展开可得，用科学记数法表示需要把小数点向左移动位，所以的指数为． 【详解】解：， ． 故选：A． 【例题12-2】．（24-25七年级上·北京·期中）求索半世纪、奋斗十余载，中国人的“大飞机梦”在新时代终成现实——我国首次按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式干线客机完成研发、制造、取证、投运．2024年9月19日中午，印有“”字样的南航航班从广州白云机场腾空而起，飞向上海虹桥机场，（标准航程型）最大起飞质量，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．将写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选：B． 【例题12-3】．（2024九年级·河北·学业考试）某芯片每秒可执行100亿次运算，它工作2025秒可执行的运算次数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：亿， 亿， 故选：C． 【例题12-4】．（2024七年级上·全国·专题练习）我国渤海、黄海、东海、南海海水中含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为吨．用科学记数法表示铝、锰元素总量的和约是（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定a、n的值是解题的关键． 先根据题意列出，然后运算并用科学记数法法表示即可． 【详解】解：铝、锰元素总量的和约是：吨． 故选：C． 【例题12-5】．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）在第个“双十一”购物狂欢节，天猫“双十一”总成交额为亿，再创历史新高；其中，亿可用科学记数法表示为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键； 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿； 故选：A 【例题12-6】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约万吨．将数据万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义； 根据科学记数法，将一个数表示成“”的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同； 【详解】解：将数据万用科学记数法表示为； 故选：A 【例题12-7】．（2024七年级上·江西·专题练习）据统计我国每年浪费的粮食约吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：； 故答案为：D． 【例题12-8】．（24-25七年级上·福建福州·期中）2024年国庆节期间，仅第一天福州三坊七巷游客量高达万人次，其中“万”用科学记数法表示应为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将万写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：万． 故选C． 【例题12-9】．（24-25七年级上·河北邢台·期中）2024巴黎奥运会包括临时看台在内的所有场馆中，约有个座位由回收材料制成，为打造“最绿色的奥运会”，附近的奥运村更是采用可回收纸板床，数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，掌握科学记数法的定义是解答本题的关键． 根据科学记数法的定义确定以及的值即可解答本题． 【详解】解：， 故选：B． 【例题12-10】．（24-25七年级上·广西桂林·期中）数据米用科学记数法表示为（  ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：米米， 故选：． 题型十三：将用科学计数法表示的数变回原数 【例题13-1】．（2025·天津南开·三模）2021年我国发布的《中国应对气候变化的政策与行动》白皮书指出，2020年我国碳排放强度（单位国内生产总值二氧化碳排放）比2015年下降18.8%，比2005年下降48.4%，超额完成了我国向国际社会承诺的“到2020年下降40%~45%”的目标，累计少排放二氧化碳约58亿吨，基本扭转了二氧化碳排放快速增长的局面．其中数据58亿用科学计数法表示为，则数据所表示的原数应为（    ） A．58000000 B．580000000 C．5800000000 D．58000000000 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查了将科学记数法表示的数还原；指数为正整数，只要把用科学记数法表示的数中的小数点向右移9位即可得到原数． 【详解】解：； 故选：C． 【例题13-2】．（2025·河北邢台·三模）一个数用科学记数法表示为，则这个数的整数数位有（    ） A．7位 B．6位 C．3位 D．1位 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，时，是几，小数点就向后移几位． 【详解】解：， 用科学记数法表示为，则这个数有个整数位． 故选：B． 【例题13-3】．（2025·河南驻马店·三模）据新华社2025年3月3日电，中国科学家已成功构建目前最高水准超导量子计算机——105比特超导量子计算原型机“祖冲之三号”，再次打破超导体系量子计算优越性世界纪录．已知105比特兆字节，则这个数对应的原数是（   ） A．1251700 B．0.000012517 C．0.00012517 D．125170 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 【例题13-4】．（2025九年级下·广西·专题练习）截至2025年3月25日，中国国家博物馆文创凤冠冰箱贴累计销量突破件，带动凤冠全系列产品销售额跨越亿元．用科学记数法表示的数原来是（ ） A．100000 B．1000000 C．10000000 D．0.000001 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大（或较小）的数，一般形式为，其中，n为整数，确定a与n的值是解题的关键．根据科学记数法的方法进行解题即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意． 故选：B． 【例题13-5】．（2025·河北邢台·二模）用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：由可知：还原后0的个数为6个； 故选C． 【例题13-6】．（24-25九年级下·江苏·期中）我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为吨，则铝、锰元素总量的和约为（   ） A．8000000吨 B．160000000吨 C．16000000吨 D．80000000吨 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题主要考查了科学记数法还原，科学记数法的表达方法：其中，确定n的值是解题的关键．直接将铝、锰元素总量相加，再将其用科学记数法表示即可得到答案． 【详解】铝、锰元素总量的和约是：吨． 故选：C． 【例题13-7】．（2025·辽宁辽阳·二模）若一个数用科学记数法表示为，则这个数是（   ） A．39600 B．396000 C．0.00396 D．0.0000396 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 【例题13-8】．（24-25七年级上·河南商丘·期末）2023年8月31日，世界首个超超临界二次再热火电工程在山东郓城开建，与常规煤电组比较，每年可节约标煤吨，将数据还原正确的是（   ） A．35000000 B．3500000 C．350000 D．35000 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，当把一个用科学记数法表示的数还原为原数时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉即可． 【详解】解：． 故选C． 【例题13-9】．（2025·河北沧州·模拟预测）用科学记数法表示的数为，则它的原数是（   ） A．20500 B．2050 C．205000 D．20500 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查了科学记数法—表示较大的数（将用科学记数法表示的数变回原数），熟练掌握由科学记数法求原数的方法是解题的关键：1、把科学记数法形式的数还原为原数，有两种思路：①按照乘方和乘法的运算进行；②逆用科学记数法的表示方法，即原数的整数部分的位数等于的指数加上．另外，还要注意不要遗漏符号；2、具体做法：将科学记数法表示的数还原，若科学记数法表示的数，还原的数，就是把的小数点向右移动位所得到的数；若科学记数法表示较小的数，还原为原来的数，需要把的小数点向左移动位得到原数；还要注意符号． 根据由科学记数法求原数的方法求解即可． 【详解】解：， 它的原数是， 故选：． 【例题13-10】．（24-25七年级上·四川广元·期末）已知某数用科学记数法表示为，则这个数是（   ） A．41000 B．410000 C．4100000 D．41000000 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查了将科学记数法表示的数还原成原数．根据有理数乘法与乘方作答即可． 【详解】依题意：； 故选：C． 【例题13-11】．（24-25七年级上·河南开封·阶段练习）小华在做练习题时，不小心把墨水洒在了习题上，如图所示，他翻看答案后得知本题的正确答案选B，则原数中数字“3”后“0”的个数为（   ） 长江是世界第三长河，也是亚洲最长的河流，全长约63米，将63用科学记数法表示为（   ） A．  B．  C．  D． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题主要考查了科学记数法表示原数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 则原数中数字“3”后“0”的个数为5， 故选：C 题型十四：求一个数的近似数 【例题14-1】．（24-25七年级上·广西百色·期中）将205001精确到万位的近似数是（    ） A．20 B．21 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求一个数的近似数、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了近似数“一般的来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位”、科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．熟练掌握近似数和科学记数法是解题关键．根据近似数和科学记数法的定义求解即可得． 【详解】解：将205001精确到万位的近似数是， 故选：D． 【例题14-2】．（24-25七年级上·山东济宁·期中）近似数1.9045按四舍五入法精确到百分位的结果是（   ） A．1.9 B．1.90 C．1.905 D．1.904 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查近似数，精确到百分位时，需观察千分位上的数，“四舍五入”即可． 【详解】解：近似数1.9045按四舍五入法精确到百分位的结果是1.90． 故选B． 【例题14-3】．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．近似数精确到十分位 B．将数80360保留2个有效数字是 C．用四舍五入法得到的近似数精确到 D．用科学记数法表示的近似数，其原数是60600 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求近似数的精确度、求一个数的近似数、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查的知识点是近似数与有效数字，关键是要明确其近似数和有效数字的意义．根据近似数和有效数字的意义对每个选项逐一分析判断，得出正确选项． 【详解】解：A、近似数精确到十分位，，所以说精确到十分位不正确； B、将数80360保留2个有效数字是：，所以正确； C、用四舍五入法得到的近似数精确到，所以说精确到不正确； D、用科学记数法表示的近似数，应是约等于60600，因为是近似数，所以不正确； 故选：B． 【例题14-4】．（24-25七年级上·广东韶关·期中）下列说法正确的是（    ） A．绝对值为本身的数是正数 B．饼干的包装袋上标着“净含量”的字样，市场监管局随机抽取一包饼干，测得的质量为，则该包饼干是合格品 C．1.8963精确到百分位的结果是1.9 D．只有符号不同的两个数互为相反数 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、求一个数的近似数 【分析】本题考查了绝对值，有理数的实际意义，近似数，相反数的概念，逐一分析即可解答，熟知上述概念是解题的关键． 【详解】解：A、绝对值为本身的数是正数和零，故该选项错误； B、“净含量”的字样，合格品的是质量应该大于等于小于等于，故该选项错误； C、1.8963精确到百分位的结果是，故该选项错误； D、只有符号不同的两个数互为相反数，故该选项正确， 故选：D． 【例题14-5】．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）下列说法中正确的是（   ） A．万精确到万位 B．近似数千和精确度是相同的 C．精确到千位可以表示为万，也可表示为 D．近似数和的精确度不相同 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求近似数的精确度、求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数和有效数字，熟练掌握近似数和有效数字是解题的关键； 精确位和有效数字是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 根据近似数的精确度对各选项进行判断． 【详解】解：A．万精确到百位，所以选项错误； B．近似数千精确度到千位，近似数精确到个位，所以选项错误； C．精确到千位可以表示为万，也可以表示为，所以选项正确； D．近似数和都精确到十分位，精确度是一样的，所以选项错误． 故选：C 【例题14-6】．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．近似数1.2和1.20精确度相同 B．取3.14，身高约，其中3.14和165都是近似数 C．0.0156（用四舍五入法精确到0.001）≈0.015 D．由四舍五入得到的近似数，精确到百分位 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求近似数的精确度、求一个数的近似数 【解析】略 【例题14-7】．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）用四舍五入法对取近似数，精确到十分位的结果是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数，熟练掌握近似数的表示方法是解题的关键；精确到哪一位，则把后面与其相邻的数位上的数字四舍五入得到近似数；由题意，把百分位的数四舍五入即可． 【详解】解：用四舍五入法对取近似数，精确到十分位结果是， 故答案为： 【例题14-8】．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）月球轨道呈椭圆形，近地点平均距离为，用科学记数法表示363300为 （精确到10000）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的近似数、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：363300用科学记数法表示为，精确到10000为， 故答案为：． 【例题14-9】．（24-25七年级上·北京·期中）圆周率是数学美的象征，它的无限不循环小数形式引发了人们对数学的好奇和探索．圆周率，用四舍五入法把精确到千分位，得到的近似值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求近似数的精确度、求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数和有效数字，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 根据题意，将千分位的数字四舍五入即可得出答案； 【详解】解：用四舍五入法把精确到千分位，得到的近似值是， 故答案为： 【例题14-10】．（24-25七年级上·吉林·期中）用四舍五入法将精确到，结果是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题主要考查“四舍五入”，熟练掌握“四舍五入”是解题的关键．根据“四舍五入”即可得到答案． 【详解】解：用四舍五入法将精确到，结果是． 故答案为：． 题型十五：求近似数的精确度 【例题15-1】（24-25七年级上·安徽淮南·阶段练习）下列说法正确的有（   ） ①最小的整数是；②平方等于的数是；③精确到百分位是；④若是非负数，则；⑤在数轴上到的距离为 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的乘方运算、求一个数的近似数、求近似数的精确度 【分析】本题考查近似数，绝对值的含义，数轴，熟练掌握相关知识是解题的关键； 根据整数的定义，绝对值，近似数，数轴点的距离，一一判断即可求解； 【详解】解：①最小的整数不是，该说法不正确； ②平方等于的数是或，该说法不正确； ③精确到百分位是，该说法正确； ④若是非负数，则，该说法正确； ⑤在数轴上到的距离为，该说法正确； 正确的有③④⑤，共个； 故选：B 【例题15-2】．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．数精确到千分位是 B．将数精确到千位是 C．按科学记数法表示的数，其原数是 D．近似数精确到 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数、求一个数的近似数、求近似数的精确度 【分析】本题考查了有效数字、精确度和科学记数法等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据有效数字、精确度和科学记数法等知识逐项进行判断即可． 【详解】解：A、数精确到千分位是，故A选项错误； B、将数精确到千位是，故B选项正确； C、按科学记数法表示的数，其原数是，故C选项错误； D、近似数精确到，故D选项错误； 故选：B． 【例题15-3】．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）下列说法中正确的有（    ） 近似数与表示的意义不同； 近似数是精确到十位； 近似数是精确到； 精确到百位； 近似数所表示的准确数是． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求近似数的精确度、近似数推断取值范围、将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题主要考查了指出一个近似数精确到哪一位，由近似数推断真值范围等知识点，熟练掌握近似数的相关知识是解题的关键． 根据精确度判断；根据系数中的位置确定精确度，从而判断；根据末位数字的位置确定精确度，从而判断；根据末位数字的位置确定精确度，从而判断；根据四舍五入方法判断． 【详解】解：近似数的精确度是，的精确度是，故正确； 近似数是精确到十位，故正确； 近似数是精确到的近似数，故正确； 精确到个位，故错误； 近似数所表示的准确数的范围是，故错误； 说法正确的有，共个， 故选：． 【例题15-4】．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．是精确到十位 B．两数相加，和一定大于其中任何一个加数 C．近似数0.8和0.80的精确度不同 D．用科学记数法表示的数，其原数是25000 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求近似数的精确度 【分析】本题考查了精确度及科学记数法，分别根据近似数和科学记数法的定义判断即可． 【详解】解：A、是精确到十位，故A选项不符合题意； B、两数相加，和不一定大于其中任何一个加数，故B选项符合题意； C、近似数0.8精确到十分位，0.80精确到百分位，故C选项不符合题意； D、用科学记数法表示的数，其原数是25000，故D选项不符合题意． 故选：B． 【例题15-5】．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．近似数1.2和1.20精确度相同 B．取3.14，身高约，其中3.14和165都是近似数 C．0.0156（用四舍五入法精确到0.001）≈0.015 D．由四舍五入得到的近似数，精确到百分位 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求一个数的近似数、求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数和精确度，根据近似数的定义分别进行解答即可． 【详解】解：A、近似数1.2和1.20精确度不一样，1.2精确到十分位，1.20精确到百分位，故本选项错误； B、取3.14，身高约，其中3.14和165都是近似数，故本选项正确； C、0.0156（用四舍五入法精确到0.001）≈0.016，故本选项错误； D、由四舍五入得到的近似数，精确到百位，故本选项错误； 故选：B． 题型十六：近似数推断取值范围 【例题16-1】（24-25七年级上·广东广州·期中）由四舍五入法得到的近似数是2.75，那么原数不可能是（   ） A．2.7514 B．2.7493 C．2.7504 D．2.755 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】本题主要考查了根据近似数求原数的取值范围，根据近似数的求解方法可得原数满足大于等于，小于，据此可得答案． 【详解】解：∵由四舍五入法得到的近似数是2.75， ∴这个数大于等于，小于， 故选：D． 【例题16-2】．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）近似数1.50是由数四舍五入得到的，那么数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】本题考查了近似数近似数与精确数的接近程度，可根据近似数的精确度求解． 【详解】解：近似数1.50是由数四舍五入得到的，那么数的取值范围， 故选：C． 【例题16-3】．（2024七年级上·全国·专题练习）近似数所表示的准确值的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】本题主要考查的是求近似数的取值范围，属于基础题型．近似数等于的数有无数个，确定它们的范围应该从两个极端值进行分析．根据近似数精确到百分位，是由千分位上的数字四舍五入得到的，结合四舍五入的方法，求出a的取值范围即可． 【详解】解：近似数精确到百分位，是由千分位上的数字四舍五入得到的． 若千分位上的数字大于或等于5，百分位上的数字应是“9”，十分位上的数字应是“6”，此时a的最小值为； 若千分位上的数字小于5，百分位上的数字应是“0”，十分位上的数字应是“7”，即此时， 准确值a的范围是：． 故选：C． 【例题16-4】．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）近似数3.14所表示的准确数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】本题考查了近似数，解题的关键是用四舍五入的方法来解答． 根据五入的方法得近似数3.14，说明a千分位是5或比5大，百分位是3，所以；根据四舍的方法得近似数3.14，说明千分位小于5，百分位是4，所以，由此得到答案． 【详解】解：近似数3.14所表示的准确数a的取值范围是：， 故选：D． 【例题16-5】．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】此题主要考查了近似数，取近似数的方法：精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入． 【详解】解：根据取近似数的方法，知：当百分位大于或等于5时，十分位应是3； 当百分位小于5时，十分位应是4． ∴的准确值的范围为：， 故选B． 【例题16-6】．（24-25七年级上·四川眉山·期中）下列说法正确的是（    ） A．的倒数是 B．若，则 C．几个数相乘，当负乘数个数为奇数时，积为负，当负乘数个数为偶数时，积为正 D．数a的近似数为，那么a的真实值的范围是 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、倒数、多个有理数的乘法运算、近似数推断取值范围 【分析】本题考查了倒数的定义，绝对值的化简，有理数的乘法法则，近似数，根据倒数的定义，绝对值的性质，有理数的乘法法则，近似数对各项判断即可． 【详解】解：A、非0有理数的倒数是，故原说法错误，不符合题意； B、若，则，正确，符合题意； C、几个不为0的数相乘，当负乘数个数为奇数时，积为负，当负乘数个数为偶数时，积为正，故原说法错误，不符合题意； D、数a的近似数为，那么a的真实值的范围是，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【例题16-7】．（24-25七年级上·广西梧州·期中）若将数四舍五入后得到的近似值为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】近似值是通过四舍五入得到的：精确到哪一位时，若下一位大于或等于，则应进；若下一位小于，则应舍去． 本题考查了近似数和有效数字，注意：取近似数的时候，精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入． 【详解】解：根据取近似数的方法，则的取值范围是． 故选：． 【例题16-8】．（24-25七年级上·福建漳州·期中）把数精确到百分位得到的近似数是，则下列的值的不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】本题主要考查了根据近似数求原数的范围，根据精确到百分位，那么是对千分位上的数字进行四舍五入，据此求出原数的范围即可得到答案． 【详解】解：∵把数精确到百分位得到的近似数是， ∴， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $$