专题2.1 一元二次方程（高效培优讲义）数学湘教版九年级上册

专题2.1 一元二次方程 教学目标 1.探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识。 2.在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系。 3.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。 教学重难点 1.重点 （1）了解一元二次方程的概念； （2）掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)，能分清二次项、一次项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般形式。 2.难点：能根据具体问题的数量关系，建立方程模型．。 知识点01 一元二次方程的概念 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 【即学即练1】 1．下列方程①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一定是一元二次方程的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 2．关于的方程是一元二次方程，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 3．若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 知识点02 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 要点：(1)只有当时，方程才是一元二次方程； 　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 【即学即练2】 4．关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（   ） A． B． C． D． 5．把方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．3，，1 B．3，6，1 C．3，1，6 D．3，6， 6．把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 知识点03 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 【即学即练3】 7．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为 ． 8．若是方程的根，则的值为 ． 9．若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 题型01 判断是否是一元二次方程 【典例1】下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列方程是一元二次方程的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 利用一元二次方程的定义求参数 【典例1】关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为 ． 【变式1】方程是关于一元二次方程，则的值为 ． 【变式2】若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【变式3】若关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 题型03 一元二次方程的一般形式 【典例1】一元二次方程的一般形式是 ． 【变式1】一元二次方程化成一般形式后为 ． 【变式2】已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ． 【变式3】一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 题型04 一元二次方程的解求参数的值 【典例1】已知是关于的方程的解，则的值为 ． 【变式1】已知是关于的一元二次方程的一个根，则 ． 【变式2】已知是方程的一个根，则的值是 ． 【变式3】若关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为 ． 题型05 一元二次方程的解求代数式的值 【典例1】若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是 ． 【变式1】若是关于x的方程的解，则的值是 【变式2】已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【变式3】已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 题型06 一元二次方程的解的估算 【典例1】观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【变式1】根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【变式2】观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【变式3】）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若一元二次方程化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是（   ） A．3 B． C．5 D． 3．若是方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C．2 D．6 4．根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 5．已知关于的方程（，，为常数，）的解是，，那么方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．已知某一元二次方程的一个根是，则此方程可以是 ．（填一个即可） 7．将一元二次方程化成一般形式为 ． 8．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 9．若是关于的方程的解，则的值为 ． 10．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是 ． 11．将一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 12．已知关于的一元二次方程有一个根为1，有一个根为，求的值． 13．方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 14．已知一元二次方程 (1)如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？ (2)如果方程有一个根是，那么a、b、c之间有什么关系？ (3)如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？ 15．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和谐方程”，说明理由； (2)已知是关于x的“和谐方程”，若是此“和谐方程”的一个根，求m，n的值． 16．从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … … 可以发现，当时，，所以是方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 思考 (1)一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？ (2)方程有一个根为，它还有其它的根吗？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 一元二次方程 教学目标 1.探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识。 2.在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系。 3.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。 教学重难点 1.重点 （1）了解一元二次方程的概念； （2）掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)，能分清二次项、一次项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般形式。 2.难点：能根据具体问题的数量关系，建立方程模型．。 知识点01 一元二次方程的概念 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 【即学即练1】 1．下列方程①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一定是一元二次方程的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】①，时，不是一元二次方程； ②，整理得，是一元二次方程； ③，不是一元二次方程； ④，不是一元二次方程； ⑤，不是一元二次方程； ⑥，是一元二次方程； ⑦，整理得，不是一元二次方程； ∴一元二次方程有②⑥，共2个． 故选：A． 2．关于的方程是一元二次方程，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，根据一元二次方程的定义即可求得的值． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴，且， ∴，， ∴， 故选：B． 3．若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得， 故答案为：1． 知识点02 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 要点：(1)只有当时，方程才是一元二次方程； 　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 【即学即练2】 4．关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，理解并掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式是关键． 根据一元二次方程的概念及一般式“”判定即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为， 故选：D ． 5．把方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．3，，1 B．3，6，1 C．3，1，6 D．3，6， 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是（是常数，且），它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键．通过移项，将方程化成一般形式，由此即可得． 【详解】解：把方程化成一般形式为， 则二次项系数为3、一次项系数为、常数项为1， 故选：A． 6．把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： ，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中、、分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式，找出，，的值即可． 【详解】解：方程整理得：， 则，，的值分别是，，． 故选：B． 知识点03 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 【即学即练3】 7．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为 ． 【答案】2 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查了一元二次方程，熟知一元二次方程的解满足方程是解题的关键． 根据一元二次方程解的定义，把代入方程，即可解得m的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴． 故答案为：2． 8．若是方程的根，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】判断是否是一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出，推出，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：是方程的根， 故答案为：1． 9．若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】2033 【知识点】判断是否是一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，根据一元二次方程解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，即，再根据进行求解即可． 【详解】解；∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型01 判断是否是一元二次方程 【典例1】下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次幂为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、原方程化简得：，不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； D、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选A． 【变式1】下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐一判断即可．一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、不是整式方程，故该选项不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项符合题意； D、不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C 【变式2】下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，故符合题意； B．含2个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； C．的分母含未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D．当时，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选A． 【变式3】下列方程是一元二次方程的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是含有一个未知数且未知数的最高次数是是解题关键．根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，是一元二次方程； ③，不是整式方程，不是一元二次方程； ④，含有两个未知数，并且未知数的最高次数是，不是一元二次方程； 故选：B． 题型02 利用一元二次方程的定义求参数 【典例1】关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解即可． 【详解】解：把 代入，得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 【变式1】方程是关于一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是根据一元二次方程定义确定方程中未知数的最高次数以及二次项系数的条件． 根据一元二次方程的定义，方程中未知数最高次数为2且二次项系数不为0，据此确定a的值． 【详解】根据题意可得： 未知数的最高次数，即， 二次项系数，即， 综合以上两个条件，只能取， 故答案为：． 【变式2】若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的定义求参数 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义得到，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 【变式3】若关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），特别要注意的条件．根据题意列出关于m的等式求解即可． 【详解】解：根据题意可知 解得． 故答案为：． 题型03 一元二次方程的一般形式 【典例1】一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而合并同类项求出即可． 【详解】解： ， 整理得： 故答案为： 【变式1】一元二次方程化成一般形式后为 ． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，熟记一元二次方程的一般形式是解题的关键．去括号，将移到方程的左边即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 【变式2】已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式的项或项的系数时，带着前面的符号．根据一元二次方程的一般形式得出答案即可． 【详解】解：∵一元二次方程的二次项的系数为3， ∴一次项的系数为， 故答案为：． 【变式3】一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 2 【知识点】多项式的项、项数或次数、化成一元二次方程的一般式 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握形如的式子叫做一元二次方程是解题的关键． 先将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】解：将方程化成一般形式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 故答案为：． 题型04 一元二次方程的解求参数的值 【典例1】已知是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】3 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．把代入方程，解之即可得到的值． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 解得． 故答案为：3． 【变式1】已知是关于的一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，掌握方程的解的含义是解题的关键． 把代入原方程可得答案． 【详解】解：把代入原方程：， ． 故答案为：． 【变式2】已知是方程的一个根，则的值是 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解． 把代入，即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3】若关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为 ． 【答案】3 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，根据题意把代入关于x的一元二次方程中即可求出m的值． 【详解】解：将代入方程中得， 解得． 故答案为：3． 题型05 一元二次方程的解求代数式的值 【典例1】若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是 ． 【答案】2025 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解．把代入原方程，可得，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的一个解是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2025． 【变式1】若是关于x的方程的解，则的值是 【答案】2021 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，理解一元二次方程的解的意义是解题的关键． 根据一元二次方程的解得到，将其代入中求解，即可解题． 【详解】解：是关于x的方程的解， ， 整理得， 则， 故答案为：． 【变式2】已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】2031 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，求代数式的值，根据一元二次方程的根的定义得出，然后把变形为，再把整体代入计算即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴ ， 故答案为：2031． 【变式3】已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义求解即可． 【详解】解：将代入， 得，即， ∵， ∴， 故答案为：1． 题型06 一元二次方程的解的估算 【典例1】观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，根据表格中的数据可知 当时，，所以方程的一个近似解是． 【详解】解：， 由表中数据可知：当时，， 一元二次方程的解是． 故选：C． 【变式1】根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 【变式2】观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 【变式3】）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 【答案】/ 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：时，， 时，， 时，存在， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握是解题的关键． 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该方程符合一元二次方程的定义，符合题意； B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．该方程不是整式方程，不符合题意； D．该方程中，当时，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2．若一元二次方程化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先将方程化为一般形式，然后写出一次项系数解答即可． 将方程整理为一般形式，确定一次项系数。 【详解】解：原方程化为一般式为 此时二次项系数为2，一次项系数为， 故选：B． 3．若是方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．代入到方程，得到关于的方程，即可求解． 【详解】解：代入得，， 解得：． 故选：D． 4．根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格，找到相邻两个的值，使的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：当时，，当时，， ∴当时，必然存在一个，使， ∴（，，，为常数）一个解的范围是； 故选D． 5．已知关于的方程（，，为常数，）的解是，，那么方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】此题主要考查了方程解的定义，把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解，注意由两个方程的特点进行简便计算． 【详解】解：∵关于的方程（为常数，）的解是，， ∴方程变形为：， 即或， 解得：或， 故选：D． 6．已知某一元二次方程的一个根是，则此方程可以是 ．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一）． 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题主要考查了元二次方程的根，即方程的解的定义．解此题的关键是设一元二次方程为，把这一根代入方程得出a、b、c之间的数量关系，只要求出满足该数量关系的a、b、c的值就可得出一元二次方程．设一元二次方程为，把代入可得a、b、c之间的数量关系，只要满足该数量关系的方程即为所求．所以答案不唯一． 【详解】解：设一元二次方程为，把代入可得，， 所以只要a ，b、c的值满足即可． 如等，答案不唯一． 故答案为：（答案不唯一）． 7．将一元二次方程化成一般形式为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式），并通过移项将给定方程化为该形式． 根据等式的基本性质，把方程中的各项进行移项，使方程右边为0，从而得到一元二次方程的一般形式． 【详解】将化成一般形式可得， 故答案为：． 8．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据定义可知且，从而解得答案． 【详解】解：是一元二次方程 且 故答案为： 9．若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】2027 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，理解一元二次方程的解的意义是解题的关键． 把代入方程，求得，再把整体代入计算即可． 【详解】解∶把代入方程，得 ， ∴， ∴． 故答案为∶2027 10．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据表格数据解答即可求解，看懂表格数据是解题的关键． 【详解】解：由表可知，时，；当时，， ∴当时，必有一个解， ∴的取值范围是， 故答案为：． 11．将一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】，二次项系数：2；一次项系数：；常数项：9． 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程，其中叫做二次项系数，叫做一次项系数，叫做常数项解答即可． 本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 整理，得， 故方程的一般形式为：， ∴二次项系数：2；一次项系数：；常数项：9． 12．已知关于的一元二次方程有一个根为1，有一个根为，求的值． 【答案】0 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键，将代入一元二次方程中，可得到关于的三元一次方程组，再将两个式子相加即可得到答案． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个根， ∴代入可得：， ∴两式相加得：． 13．方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 【答案】(1)； (2)或． 【知识点】一元二次方程的定义、判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：方程是一元二次方程， ， ； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． 14．已知一元二次方程 (1)如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？ (2)如果方程有一个根是，那么a、b、c之间有什么关系？ (3)如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】一元二次方程的解 【分析】此题考查了一元二次方程的解，当已知一元二次方程的解时，将其代入即可求出其他参数的值或是关系，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键． （1）将代入原方程即可； （2）将代入原方程即可； （3）将代入原方程即可． 【详解】（1）解：将代入原方程得：，即； （2）解：将代入原方程得：，即； （3）解：将代入原方程可得：， ∴． 15．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和谐方程”，说明理由； (2)已知是关于x的“和谐方程”，若是此“和谐方程”的一个根，求m，n的值． 【答案】(1)一元二次方程是 “和谐方程”，理由见解析 (2) 【知识点】加减消元法、一元二次方程的解 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． （1）根据“和谐方程”的定义进行计算即可； （2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，， 故一元二次方程是 “和谐方程”； （2）解：是关于x的“和谐方程”， 当时，， 是此“和谐方程”的一个根， ， 即， 解得． 故． 16．从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … … 可以发现，当时，，所以是方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 思考 (1)一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？ (2)方程有一个根为，它还有其它的根吗？ 【答案】(1)一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根 (2) 【知识点】一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程的根． （1）根据一元二次方程根的定义即可求解； （2）将代入方程，验证左右两边相等，可知也是方程的一个根． 【详解】（1）解：一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根； （2）由于时，，故也是方程的一个根． 即：方程还有另一个根：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$