专题02 空间中的角度和距离（压轴题专项训练）数学人教B版2019高二选择性必修第一册

专题02 空间中的角度和距离 目录 典例详解 1 类型一、已知两线垂直 1 类型二、已知线面垂直 4 类型三、已知面面垂直 6 类型四、根据点的位置直接设坐标 9 类型五、根据共线或共面定理设点 11 压轴专练 14 类型一、异面直线成角 求异面直线所成角的一般步骤： （1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线． （2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． （3）结论——设（2）所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求． 注意：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角. 与的夹角为β l1与l2所成的角为θ 范围 求法 例1．如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E为SC中点，，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出、，再由向量的夹角公式计算可得答案. 【详解】因为平面，底面是正方形， 故以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 因为点E为SC中点，所以， 所以，， 设异面直线EB与AC所成角为， 则. 故选：A. 变式1-1．在空间直角坐标系中，已知点，，为正半轴上的点，且直线与直线所成角的余弦值为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由向量数量积的坐标运算，以及向量的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设，又，， 所以，， 根据向量点积公式，， ，， 已知直线与直线所成角的余弦值为， 则， 两边平方可得， 所以， 所以， 所以， 所以或（舍去）， 所以点的坐标为. 故选：D 变式1-2．在体积为的正四棱锥中，为底面内的任意两点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用直线与面内直线所成角的最小值是直线和面上射影所成角，再结合边长计算求解. 【详解】设正四棱锥的高为，则，解得， 所以. 由已知，，， 设，且，又， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 设直线与直线所成角为， 所以当直线与直线平行或重合时，取得最大值，最大值为. 故选：A. 变式1-3．中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解即可. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接、、， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则、、、， 所以，，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 类型二、线面成角 几何解法: （1）确定斜线与平面的交点（斜足）； （2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； （3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形． 向量解法： 设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线l与平面所成的角为，两向量与的夹角为，则有. 例2．如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设，连接，设，通过题设证明，，进而求证即可； （2）设的中点为，连接，先证明平面，则为直线与平面所成角，进而求解即可. 【详解】（1）连接，设，连接，设， 在菱形中，， 在直四棱柱中，平面，且平面， 所以，又平面， 所以平面， 因为平面，所以. 在菱形中，，则， 则，则，而， 因为，所以，则， 则，故，即， 因为平面， 所以平面. （2）设的中点为，连接， 由于，则， 因为平面，且平面， 所以， 又平面， 所以平面， 则为直线与平面所成角， 因为， 所以在中，， 则直线与平面所成角的正切值为． 变式2-1．如图，在棱长为2的正方体中，M、E分别是、的中点，点F在线段上，平面. (1)证明：F是的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根基线面平行的向量表示，设出F的坐标，根据线面平行，说明F是的中点. （2）建立空间直角坐标系，根据线面角的向量方法，求出线面角的正弦值. 【详解】（1） 如图所示，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系. 因为正方体的棱长为2，则， 设， ，可得，解得， 可得，则设平面的一个法向量， 则，得，解得，所以F是的中点. （2） 如图所示，，，当时，， 设面的法向量，则，即， 令，解得，面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 变式2-2．已知三棱锥，是边长为2的正三角形，，． (1)证明：； (2)动点满足，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明线线垂直，可通过线面垂直推导出线线垂直，即证明平面即可. （2）首先根据垂直关系建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及的坐标，利用向量夹角的余弦值公式将直线与平面所成角的正弦值表示出来，并确定其最大值. 【详解】（1）证明：如图所示，取中点，连接． 在中，根据余弦定理得 ， 得．同理． 所以，又为中点，所以， 又是正三角形，为中点，所以， 又平面， 故平面，因为平面，因此． （2）在中，， 又，所以， 由勾股定理逆定理得，即， 由（1）可知，又，平面， 所以平面． 因此建立如图所示建立空间直角坐标系，． ，设，则， 由，得， ． 设平面的法向量为，则 ，令得，即． 设与平面所成角为， 则． 设，则， 由，得，所以， 此时，因此． 变式2-3．如图，在四棱锥中，，，，，.    (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明平面，结合线面垂直的性质定理即可得证； （2）思路一：根据，两点到平面等距即可列方程求解；思路二：建立适当的空间直接坐标系，得到直线的方向向量与平面的法向量，结合向量夹角的余弦公式即可求解. 【详解】（1）由，，可知，所以. 取的中点，连结，，    则，，且，平面， 所以平面， 又平面，所以. （2）法一：由（1）及可知，又， 平面， 所以平面，（或者平面），而平面， 可知，又，，平面， 因此平面， 所以点到平面的距离. 由，可知平面， 因此，两点到平面等距，即. 又， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 法二：同法一，先证明平面， 以为原点，，分别为，轴， 过作平面的垂线为轴，建立如图空间直角坐标系.    则，，，. 设， 得. 所以，，. 设平面的法向量为， 则即可取， 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 变式2-4 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，，，E是BC的中点，点Q在侧棱PC上.    (1)求证：； (2)是否存在点Q，使DC与平面DEQ所成角的正弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或. 【分析】（1）取AD中点O，连接OP，OB，结合等边三角形的性质利用线面垂直的判定定理得平面PBO，进而利用线面垂直的性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设，，则，求出平面DEQ的法向量，利用线面角的向量公式列方程求出，即可得解. 【详解】（1）证明：取AD中点O，连接OP，OB. ∵，∴， 在菱形ABCD中，，可得为等边三角形， ∴，又∵PO，平面PBO，且， ∴平面PBO，∵平面PBO，∴.    （2）解：∵，平面平面ABCD，平面平面， 且平面PAD，∴平面ABCD， 以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 假设存在点Q满足题意，设，， 则， ∴，，，， 设平面DEQ的法向量为， 则 令，则，，∴. 设DC与平面DEQ所成角为，则，解得或. ∴存在点Q，使得DC与平面DEQ所成角的正弦值为，此时或. 类型三、两平面成角和二面角 几何法： （1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 向量法 如图①，AB，CD是二面角­l­两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小为＝〈，〉； 如图②③，，分别是二面角­l­的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足. 例3．如图1，已知三棱锥，图2是其平面展开图，四边形为正方形，和均为正三角形，分别为的中点，. (1)证明： 平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析. (2)证明见解析. (3) 【分析】（1）利用三角形中位线定理得到线线平行，再依据线面平行的判定定理证明 平面； （2）通过计算边长，利用勾股定理逆定理得到线线垂直，进而根据面面垂直的判定定理证明平面平面平面； （3）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式求出二面角的余弦值. 【详解】（1）在中，因为分别为的中点， 根据三角形中位线定理可得：. 又因为平面平面， 根据直线与平面平行的判定定理可得： 平面； （2）已知，因为四边形为正方形， 所以，因为和均为正三角形， 所以在中，，所以，根据勾股定理逆定理可知，即，且，在正方形中，， 在三棱锥中，，则，根据勾股定理逆定理可知，即. 因为平面，根据直线与平面垂直的判定定理得：平面. 又因为平面，根据平面与平面垂直的判定定理可得：平面平面； （3）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 则 所以 设平面的法向量为，则，即，令，解得，所以. 设平面的法向量为，则，即，令，解得，所以. 设二面角为，二面角为锐角，根据向量的夹角公式，则，所以. 变式3-1．如图，在四棱锥中，四边形是边长为4的菱形,,为等边三角形，，E，F分别是棱，的中点. (1)求四棱锥的体积. (2)在棱上是否存在点G，使得平面平面?若点G存在，求出的值；若不存在，请说明理由. (3)若H是棱的中点，求二面角的正弦值. 【答案】(1)16 (2)存在，. (3). 【分析】（1）根据边长的关系可证明垂直，进而根据线面垂直的判定求解平面，即可由体积公式求解； （2）利用线线平行可证明平面，进而根据比例关系可得求证线面平行，即可根据面面平行的判定求解； （3）根据长度关系可证明，即可利用等体积法求解点到平面的距离，即可求解. 【详解】（1）连接. 因为四边形是边长为4的菱形，， 所以为边长为4的等边三角形. 因为是线段的中点，所以，所以. 因为是边长为4的等边三角形，且是线段的中点，所以，且. 因为，，所以，所以. 因为平面，平面，且，所以平面， 则四棱锥的体积为. （2）存在满足条件的点，此时. 理由如下： 连接，记，，连接，，，. 因为E，F分别是棱，的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为四边形是菱形，所以是的中点，所以. 因为，且是棱的中点，所以，所以. 若平面平面，平面与平面与平面分别相交于直线, 故，所以，故， 所以在棱上存在点G，使得平面平面，且. （3）连接. 在中，由余弦定理可得. 由（1）可知平面，且平面，所以. 因为，所以. 因为平面，平面，且， 所以平面. 因为平面，所以，则. 因为，，且为棱的中点， 所以. 因为，，，所以，所以. 作，垂足为M，则，解得. 设点到平面的距离为. 因为，即, 则， 所以，解得. 设二面角的大小为，则， 即二面角的正弦值为. 变式3-2．如图，在三棱锥中，，，，. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在三角形里用余弦定理求边长，由勾股定理逆定理得，再证得平面，进而得面面垂直. （2）先建空间直角坐标系，确定相关点坐标，得到向量坐标，通过法向量与平面内向量垂直列方程组求平面法向量，已知平面法向量，最后用公式求两平面夹角余弦值. 【详解】（1）证明：中，，，则有； 在中，，， 由余弦定理，，解得， 中，由余弦定理：， .     又，，所以平面，     又平面，所以平面平面. （2）解：建系如图，以点为原点，为轴，为轴建立坐标系， 在等腰三角形中，，则， ，，， ，.     设是平面的一个法向量， 令，则.     平面的一个法向量，     设平面与平面夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 变式3-3．如图所示，两个正方形框架ABCD，ADEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.点M，N分别在正方形对角线BD和AE上移动，且AN和BM的长度保持相等，记. (1)为何值时，MN的长最小？ (2)当MN的长最小时，求平面MNA与平面MND夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式得出，最后配方法进行求解即可； （2）求出，再利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系（如图）， ， . ； 当时，|MN|最小，最小值为； （2）由（1）可知，当M，N为中点时，MN最短， 则，取MN的中点，连接AG，DG，则， ， 是平面MNA与平面MND的夹角或其补角. ， . 平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是 类型四、空间中的距离 求点线、点面、线面距离的方法 （1）若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离（如图所示）． （2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离． （3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解． ②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解． ③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解． 向量法： 1、 点到线的距离 若为直线外的一点， 在直线上，为直线的方向向量，，则点到直线距离为. 2、点到面的距离 已知平面的法向量为，A是平面内的定点，P是平面外一点，过点P作平面的垂线l,交平面于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此 . 3、线到面的距离 线到面的距离问题一般情况下需要转化为点到面的距离问题进行求解. 例4．已知正方体的棱长为1，是的中点，过的平面与分别交于，且． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用线线平行得出异面直线所成角，再应用正切计算求角； （2）建立空间直角坐标系得出平面的法向量，再应用点到平面距离公式计算求解. 【详解】（1）由题意，， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以， 所以异面直线与所成角的大小与相等． ，即． （2）建立D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴的坐标系得， ，，，所以，， 设平面的法向量为，则，令，即． 由点到平面的距离公式．  所以到平面的距离． 变式4-1．如图，点为四边形所在平面外的一点，平面，，，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，通过为平行四边形，即可求证； （2）通过等体积法即可求解. 【详解】（1） 取的中点，连接， 由中位线可得， 又，， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又在平面内，不在平面， 所以平面 （2） 连接， 因为平面，都在平面内， 所以， 又，， 由勾股定理可得：， 所以， 设点到平面的距离为， 由， 可得：， 所以， 又是的中点， 所以点到平面的距离为. 变式4-2．在地平面上有一竖直的旗杆（在地平面上），为了测得它的高度，在地平面上取一基线，测得其长为20m.在处测得点的仰角为30°，在处测得点的仰角为45°，又测得. (1)求旗杆的高度； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，结合余弦定理即可求解； （2）过点作于点，说明所求为线段的长度，解三角形即可得解. 【详解】（1）由题意，而，， 所以由余弦定理有，即，解得； （2）如图所示，过点作于点， 由题意平面，又平面，所以， 又因为，平面， 所以平面， 故所求为线段的长度， 由（1）可知， 所以. 变式4-3．如图，是圆柱的母线，是底面圆的直径，点B，D在底面圆周上（异于A，C），平面⊥平面． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直可得线面垂直，可证明底面为矩形，利用线面平行的判定定理得证； （2）利用等体积法可求出点到平面的距离. 【详解】（1）因为平面⊥平面，为交线，,平面， 所以平面，又平面， 所以，即， 又是底面圆的直径，所以， 所以四边形为矩形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）设点到平面的距离为， 由可知，, 由， 可得， ，， 又平面, 所以平面，又平面， 所以， 故，， 所以，解得， 即点到平面的距离为. 多选题 1．如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上（含端点）运动，下列选项中正确的有（    ） A．线段长度的最大值是 B．点P到平面的距离是定值 C．直线与BD所成角的最小值是 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，设，且，利用空间两点间的距离通过求函数最大值即可判断A；由∥平面得到点P到平面的距离即为点到平面的距离，并通过等体积法求得距离可判断B；利用空间向量表示线线角、线面角并利用函数单调性求得最值或范围，从而判断CD. 【详解】如图，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 设，且. 对于A，， 当时，.故A正确； 对于B，正方体中，∥，平面， 平面， 所以∥平面，因为，所以点P到平面的距离是等于点到平面的距离, 设到平面的距离为，由得，，得，故B不正确； 设，且. 对于C，，， 设直线与BD的所成角为， 则 令，则， 函数，在上单调递减，在上单调递增，所以 ，所以，故C正确； 对于D，设平面的法向量，则 取，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为： 因为在上单调递增 ，故D正确 故选：ACD 2．在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（    ）    A．若，则 面 B．若，则 C．若，则到平面的距离为 D．若时，直线与平面所成角为，则 【答案】ACD 【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得，利用线面角的向量求法得到，借助于函数的单调性即可求得的范围. 【详解】连结，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确；      如图以为原点建立空间直角坐标系，则 ，， 对于A，， 则，得，则， ，A正确： 对于B，由A分析可得， 故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又， 设平面的法向量为，则， 故可取，又， 则到平面的距离为，故C正确： 对于D，当时，，则， 又由C已得平面的法向量为， 则 当， 当， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确. 故选：ACD. 3．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别为，BC的中点，若点P在棱上运动，则下列说法中正确的有（   ） A． B．点P到直线BC的距离的最大值为 C．与平面所成最小角的正切值为 D．点N到平面AMP距离的最大值为 【答案】AB 【分析】首先建立空间直角坐标系，利用坐标法，代入垂直关系的坐标表示，以及点到直线的距离，点到平面的距离公式，即可判断选项. 【详解】如图，以为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，，，， 所以，，，所以，故A正确； ，，，，， 点到距离为，当时，取得最大值，故B正确； 平面的法向量，设与平面所成的角为，则，当或2时，取得最小值，此时，故C错误； ，，设平面的一个法向量为， 则，令，则，，即， ，所以点到平面的距离为， 设， ，得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，故D错误. 故选：AB 4．已知棱长为1的正方体的所有顶点都在以为球心的球面上，点是棱的中点，点是棱上的动点.则下列说法正确的有（    ） A．若是棱的中点，则平面 B．点到直线的距离的最小值为 C．棱上存在点，使得 D．若是棱的三等分点，则过的平面截球所得的截面面积最小为 【答案】ACD 【分析】对于A，设的中点为，通过证明四边形为平行四边形，可证得平面；对于B，通过建系设点，利用空间点到线的距离公式可求最小值；对于C，利用向量的坐标表示出夹角，计算出当时，，即可判断；对于D，由题意可求，再利用球的截面问题可直接求截面面积的最小值. 【详解】如图，设的中点为，连接，   是中点，，且， 对于A，若是中点，，且， ，且，所以四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面，故A正确； 根据题意，以为原点，以直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系， 设，，，， 所以点到直线的距离， 即点到直线的距离的最小值为，故B错误； 对于C，，所以， 则，当时，，即， 所以棱上存在点，使得，故C正确； 对于D，当是棱的三等分点时，点或，球心， 所以，又正方体外接球半径， 所以截面所得圆的最小半径，其面积为，故D正确. 故选：ACD. 5．在棱长为的正方体中，点在底面内运动（含边界），点是棱的中点，则（   ） A．若是棱的中点，则平面 B．若平面，则是上靠近的四等分点 C．点到平面的距离为 D．若在棱上运动，则点到直线的距离最小值为 【答案】ABD 【分析】利用面面平行证明线面平行，判断A.；建立空间直角坐标系，利用向量法判断线面垂直判断B，利用等体积法求得点到直线的距离C，利用向量法求得点到直线的距离判断D. 【详解】对于A，如图，取的中点，连接、， 因为点、是、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，且，所以， 因为平面，平面，所以平面， 且，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，A对； 对于B，若是上靠近的四等分点， 以为坐标原点，、、所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， ，， 所以，，且，、平面， 所以平面，且过点只有条直线和平面垂直， 则点是唯一的，点是上靠近的四等分点，故B正确； 对于C，因为是棱的中点，所以点到平面的距离为点到平面的距离的， 由题意可得是等边三角形，且，设点到平面的距离为， 由，所以， 所以，解得， 所以点到平面的距离为，C错； 对于D，若点在棱上运动，设，， ，， 则点到的距离， 当时，的最小值为，D对. 故选：ABD 解答题 6．如图，在正四棱柱中，分别为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用正方形的性质得，再利用线面垂直的性质定理得，进而利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后利用向量法求出平面的夹角即可. 【详解】（1）连接，因为分别为棱的中点，所以且. 则四边形是正方形，则， 由正四棱柱的性质可知平面， 因为平面，所以， 因为平面平面，且， 所以平面. （2）由正四棱柱的性质可知两两垂直， 则以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 则， 故， 设平面的法向量为， 则令，得， 则， 由（1）可知平面， 则是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 因为，所以， 即平面与平面的夹角为. 7．如图，在四边形中， ，点在上，，将沿翻折至，使，点分别是与的中点. (1)证明： 平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由中位线定理以及平行四边形性质，可得线线平行，根据线面平行判定，可得答案； （2）由线面垂直与面面垂直的判定可得四棱锥的高，根据四棱锥的体积计算，可得答案； （3）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案. 【详解】（1）取中点，连接， 点分别是与的中点，，， ，，，， 为的中点，，即，， 故四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面. （2）由条件可知四边形为边长为1的正方形，则， 又 ，又，平面， 平面；又平面， 在中，，则. 在中，由余弦定理得， 则， 由平面，又平面，得平面平面， 过作于，平面平面，平面， 则平面，在中，，则， 到平面的距离为， 所以四棱锥的体积为； （3）过作的平行线，如图， 分别以为轴建立空间直角坐标系， ， 设平面的法向量为， ， ，则，得， 令，则，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， . ，则，得， 令，则. 记平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 8．在三棱锥中，已知平面，点在内（包括边界），． (1)已知． （i）求； （ii）求直线与所成角的大小． (2)若点分别满足，为直线上一点，且平面，求二面角余弦的最小值． 【答案】(1)（i）（ii）； (2) 【分析】（1）（i）由题意可建立适当空间直角坐标系，设出点坐标，由及长度，借助向量计算可得点坐标，即可得；（ii）求出、后借助空间向量夹角公式计算即可得； （2）由题意求出、平面法向量，则可得与平面法向量垂直，从而可计算出点位置，再借助空间向量夹角公式表示出平面与平面的夹角余弦值，最后计算即可得解. 【详解】（1）由平面，、平面，故，， 又，故、、两两垂直， 故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、， 设，且，则、， 由，则，即； （i）由，则，又，故， 即，则，故； （ii），， 则， 即，则直线与所成角的大小为； （2），， 设，， 则， ，， 设平面的法向量为， 则有， 令，则，， 即可为， 由平面，故， 即， 化简得，由，则， 故， 由平面，故为平面的法向量， 则 令，则， ， 由，则，故， 故， 由图可知二面角为锐角，设为， 故，即二面角余弦的最小值为. 9．如图所示的四棱锥中，平面，． (1)证明：平面平面； (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析； （ii）. 【分析】（1）通过证明，，得出平面，即可证明面面垂直； （2）（i）法一：建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设在同一球面上，在平面中，得出点坐标，进而得出点在空间中的坐标，计算出，即可证明结论； 法二：作出的边和的垂直平分线，找到三角形的外心，求出，求出出外心到，，，的距离相等，得出外心即为，，，所在球的球心，即可证明结论； （ii）法一：写出直线和的方向向量，即可求出余弦值. 法二：求出的长，过点作的平行线，交的延长线为，连接，，利用勾股定理求出的长，进而得出的长，在中由余弦定理求出，即可求出直线与直线所成角的余弦值. 【详解】（1）由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）（i）由题意及（1）证明如下， 法一： 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. 法二： ∵，，，在同一个球面上， ∴球心到四个点的距离相等 在中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心， 作出和的垂直平分线，如下图所示， 由几何知识得， ，， ， ∴， ∴点是的外心， 在Rt中，，， 由勾股定理得， ∴， ∴点即为点，，，所在球的球心， 此时点在线段上，平面， ∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 10．如图，在长方体中，点E，F分别是棱，上的动点，且，， (1)求证：平面； (2)若，． ①求平面与平面夹角的余弦值的最大值； ②若平面截长方体的截面为五边形，求平面与平面夹角的余弦值的范围． 【答案】(1)证明见详解 (2)①，② 【分析】（1）在长方体中,平面，可得，结合，可证平面，得到，同理可证，进而证得平面； （2）①以为原点建立空间直角坐标系，设，分别得出两个平面的法向量，即可得到夹角的余弦值，再根据函数性质可求最值； ②根据截面可确定在棱（不包含端点），然后可得的范围即可得到余弦值的范围. 【详解】（1）在长方体中,平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以，同理可证， 又平面， 所以平面. （2）①以为原点建立空间直角坐标系，设， 则， ， 设平面的一个法向量， 则，不妨取，， 由（1）知为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则 ， 又，当，即时取等， 又点E，F分别是棱，上的动点，且，， 所以，则， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值的最大值为. ②在平面中，过作， 同（1）的证明理由可得，即平面， 所以当在棱时，截面为四边形， 当在棱（不包含端点）时，且不在棱端点时，截面为五边形， ，， 又，， 又在棱（不包含端点），所以，解得， 又不在棱端点，所以， 由①知，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值的范围为. 11．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，，，，点满足，点是线段的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为时，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理求得，根据勾股定理证得，再根据面面垂直的性质即可证明平面 （2）方法：建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法结合已知条件求得二面角平面角的表达式，得到关于的方程，解出即可确定四棱锥的高进而求得四棱锥体积；方法：建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法结合已知条件求得二面角平面角的表达式，得到关于的方程，解出即可确定四棱锥的高进而求得四棱锥体积；方法：根据已知条件，利用空间中线线、线面的平行垂直关系，求得四棱锥的高，从而求得四棱锥体积. 【详解】（1） 连结，在中，，，， 由余弦定理，即， 此时，， 又平面平面，平面平面， 平面， 平面． （2）解法1：如图建系， 以为原点，，方向为轴，垂直于平面向上方向为轴， 设，则， ，由得，即， 由，得，， 设是平面的法向量， ， 取，得， 平面的法向量为，二面角的大小为， 则，解得， ， ． 解法2：过点作，交的延长线于，连接， 平面平面，平面平面， 平面， 平面， ，，， 平面，平面，又， 平面，平面，， 如图所示，以方向为轴，垂直于平面方向为轴建系， 设， 则，， ，，得，， 由，得， 设是平面的法向量， ， 取，得， 平面的法向量为，二面角的大小为， 则，解得， ， ． 解法3：过点作，交的延长线于，连接， ，，， 平面，平面，又， 平面，平面，， 由平面平面，平面平面，平面， 平面， 因为，所以为线段上靠近点的三等分点， 设线段上靠近点的三等分点为，连，， 则，平面，平面，所以， 在中，，，， 四边形是矩形，， 在中，，，， 因为，即， 解得：，所以，所以， 平面，平面，， 平面，平面，， 是二面角的平面角的补角，即， 为等腰直角三角形 ，，从而， ， ． 12．如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． (1)求点到平面的距离； (2)在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点是中点 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得点到平面的距离； （2）利用坐标法设点，根据线面平行列方程，解方程即可. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且平面，故平面．    以为原点，所在直线为轴，过点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得平面的一个法向量为，           所以点到平面的距离为； （2）由（1）知，平面的一个法向量为， “线段上存在点，使得平面”等价于“”．          因为，设，， 则，， 所以，解得， 所以线段上存在点，即中点，使得平面. 13．如图，几何体是圆柱的四分之一部分，其中底面是半径为的扇形，母线长为，是的中点，为的中点，是上的动点（不与、重合），是圆柱的母线． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积的最大值； (3)求二面角余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）设点，其中，利用空间向量法求出点到平面的距离，再利用锥体的体积公式以及三角函数的有界性可求得三棱锥的体积的最大值； （3）利用空间向量法可求得二面角余弦值的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，，平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，所以， 易知平面的一个法向量为，则，即， 又因为平面，所以平面. （2）不妨设点，其中， 则、、， ，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 所以点到平面的距离为， 因为为是圆柱的一条母线，故平面， 因为平面，故，则， 所以 ， 因为，则，故，所以， 则， 即三棱锥的体积的最大值为. （3）设平面的一个法向量为， ，，则， 取，则， 所以 ， 因为，则，故. 结合图形可知，二面角的平面角为锐角， 因此，二面角余弦值的取值范围为. 14．如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由，且为的中点，得到，再由平面，证得，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由为的中点，得到，再由（2）平面的法向量为，结合向量的距离公式，即可求解. 【详解】（1）证明：在中，因为，且为的中点，所以， 在矩形中，因为和分别为和的中点，可得， 因为平面，且平面，可得，所以， 又因为，且平面，所以平面. （2）解：以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，可得， 设平面的法向量为，则 取，可得，所以； 因为平面，且平面，可得， 又因为，且，平面， 所以平面，即平面， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值. （3）解：因为为的中点，可得，所以， 由（2）知，平面的法向量为， 设点到平面的距离为，则.    15．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证： 平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在点， 【分析】（1）取线段的中点，连接，证明为平行四边形，即可证明结论； （2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，点点坐标用表示出来，根据点到直线距离向量公式解出参数，即可求出结果． 【详解】（1）取线段的中点，连接，在中，分别为的中点． ，且 又底面是菱形，且为的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形， 又平面平面 平面. （2）在平面内过点作， 又由平面底面,且平面平面,可得平面， 又菱形中，且，所以可得在中有， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由且，所以是正三角形，所以， 设 ， ， ，， 即 化简得，故（舍负）. 综上，存在点，. 16．如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，，点C是圆O上不同于的任意一点，E为的中点． (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值； (3)若点为圆O（含圆周）内任意一点，它到点的距离与到直线的距离相等，求三棱锥体积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用线面垂直的性质得，再根据直径的特点得，最后利用线面垂直的判定即可证明； （2）取中点为，连结，利用余弦定理得，再次在中利用余弦定理即可得到答案； （3）过点作，垂足为，利用线面垂直的判定定理即可得到平面，再求出，最后根据锥体的体积公式即可得到范围. 【详解】（1）因为平面，且平面，所以， 因为点在以为直径的圆上，所以， 又因为平面平面， 所以平面． （2）因为平面，平面，所以， 因为，所以， 因为平面，则为直线与平面所成的角，即， 所以，因为为中点，所以， 所以三角形为等边三角形，取中点为，连结，则， 过作交于点，则为的平面角． 在直角三角形中，， 在三角形中，由余弦定理得， 所以，所以． 在三角形中，由余弦定理得. （3）过点作，垂足为， 因为平面，且平面，所以， 因为平面平面， 所以平面，过点作，垂足为，连结， 因为平面平面，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面，所以，即为点到直线的距离． 因为，所以， 所以点在的角平分线上，所以，所以， 所以点在直线上， 所以，因为， 所以，即三棱锥体积的取值范围为． 17．如图，在正方体中.    (1)求证：平面； (2)若平面，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，只要证出即可； （2）根据题意可证得由线面垂直的判定定理得平面，再结合面面垂直判定定理即得证． 【详解】（1）由正方体的结构特征可知， ，且，所以四边形为平行四边形， 即有，而平面，平面，故平面． （2）因为平面，平面，所以， 由四边形为正方形可知，， 而平面，所以平面， 又平面∴． 因为平面，平面，所以， 由四边形为正方形可知，， 而平面，所以平面， 又平面∴， 而平面，故平面． 又因为平面，所以平面平面. 18．如图1，在矩形中，，是的中点，连接，将沿直线翻折，使得平面平面（如图2），连接，，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证； （2）取取中点，连接，只需证明平面平面，再结合面面平行的性质定理即可得证； （3）建立适当的空间直角坐标系，求出直线的法向量与平面的法向量，由向量夹角的余弦公式即可求解. 【详解】（1）因为在矩形中，，是的中点， 所以，即，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面； （2）如图所示，取中点，连接， 因为在矩形中，，是的中点， 所以，即四边形为平行四边形， 从而，又因为平面，平面， 所以平面， 又因为分别是的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面； （3）取中点，因为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，所以， 所以两两互相垂直， 以点为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意， 设， 因为四边形为平行四边形，所以， 即，所以， 故， 又因为， 解得， 又因为是中点， 所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，解得， 所以平面的法向量为， 故所求为. 19．如图，在四棱锥 中， 平面 是棱 的中点， . (1)证明: 平面 . (2)求点 到平面 的距离. (3)若点 在棱 上，求平面与平面所夹锐角的余弦值的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）应用线面垂直得出结合已知应用线面垂直判定定理得出平面，再应用线面垂直证明即可； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再根据点到平面距离公式计算求解； （3）应用空间向量法求出平面与平面的法向量，再应用面面角余弦公式计算再结合二次函数值域计算求解. 【详解】（1）因为 平面，且 平面，所以， 因为，且，所以， 且，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，是棱的中点，所以， 因为，平面，且，所以平面． （2）以为坐标原点，分别以的方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以，,2,，,1,，,0,， 则， 因为点在棱中点上，所以的坐标为， 设平面的法向量为， 则，令，得， （3）以为坐标原点，分别以的方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以， 则， 因为点在棱上，所以， 则,,，故， 设平面的法向量为， 则， 令，得， 由（2）知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 因为，所以， 所以， 即， 故平面与平面夹角的余弦值的最小值为． 20．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，底面，，，，，M，N分别是棱PA，PC上的点（含端点）． (1)证明：； (2)若N为棱的中点，且二面角的正切值为，求； (3)设点Q是边上的点（含端点），求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 (3) 【分析】（1）由余弦定理求得，由勾股定理逆定理得出，进而得出，再根据线面垂直的性质与判定即可证明； （2）在平面中，过点作，垂足为，连接，由线面垂直的判定与性质得出为二面角的平面角，得出，再由已知得出为等边三角形，进而得出，在中，得出，再由余弦定理即可求解； （3）将在同一平面展开，将沿对称得，点沿对称得，根据三角形三边关系即可求解． 【详解】（1）连接， 在中，由余弦定理得，， 所以，所以， 又因为四边形为平行四边形，所以，即， 因为平面，平面， 所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以． （2）在平面中，过点作，垂足为，连接， 由（1）知，平面，平面， 所以， 又平面， 所以， 又平面，平面，平面平面， 所以为二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 则在中，， 因为底面，平面，所以， 在中，， 又N为棱的中点，所以， 所以，则，所以， 在中，， 所以，设， 在中，由余弦定理得，， 所以． （3）将在同一平面展开，将沿对称得，点沿对称得， 则，当且仅当在同一直线上时，取得最小值， 所以， 当在同一直线上，且过点时，取得最小值，如图所示， 则， 故的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 空间中的角度和距离 目录 典例详解 1 类型一、已知两线垂直 1 类型二、已知线面垂直 4 类型三、已知面面垂直 6 类型四、根据点的位置直接设坐标 9 类型五、根据共线或共面定理设点 11 压轴专练 14 类型一、异面直线成角 求异面直线所成角的一般步骤： （1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线． （2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． （3）结论——设（2）所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求． 注意：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角. 与的夹角为β l1与l2所成的角为θ 范围 求法 例1．如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E为SC中点，，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．在空间直角坐标系中，已知点，，为正半轴上的点，且直线与直线所成角的余弦值为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式1-2．在体积为的正四棱锥中，为底面内的任意两点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 类型二、线面成角 几何解法: （1）确定斜线与平面的交点（斜足）； （2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； （3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形． 向量解法： 设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线l与平面所成的角为，两向量与的夹角为，则有. 例2．如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 变式2-1．如图，在棱长为2的正方体中，M、E分别是、的中点，点F在线段上，平面. (1)证明：F是的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 变式2-2．已知三棱锥，是边长为2的正三角形，，． (1)证明：； (2)动点满足，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 变式2-3．如图，在四棱锥中，，，，，.    (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 变式2-4 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，，，E是BC的中点，点Q在侧棱PC上.    (1)求证：； (2)是否存在点Q，使DC与平面DEQ所成角的正弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 类型三、两平面成角和二面角 几何法： （1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 向量法 如图①，AB，CD是二面角­l­两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小为＝〈，〉； 如图②③，，分别是二面角­l­的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足. 例3．如图1，已知三棱锥，图2是其平面展开图，四边形为正方形，和均为正三角形，分别为的中点，. (1)证明： 平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值. 变式3-1．如图，在四棱锥中，四边形是边长为4的菱形,,为等边三角形，，E，F分别是棱，的中点. (1)求四棱锥的体积. (2)在棱上是否存在点G，使得平面平面?若点G存在，求出的值；若不存在，请说明理由. (3)若H是棱的中点，求二面角的正弦值. 变式3-2．如图，在三棱锥中，，，，. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 变式3-3．如图所示，两个正方形框架ABCD，ADEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.点M，N分别在正方形对角线BD和AE上移动，且AN和BM的长度保持相等，记. (1)为何值时，MN的长最小？ (2)当MN的长最小时，求平面MNA与平面MND夹角的余弦值. 类型四、空间中的距离 求点线、点面、线面距离的方法 （1）若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离（如图所示）． （2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离． （3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解． ②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解． ③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解． 向量法： 1、 点到线的距离 若为直线外的一点， 在直线上，为直线的方向向量，，则点到直线距离为. 2、点到面的距离 已知平面的法向量为，A是平面内的定点，P是平面外一点，过点P作平面的垂线l,交平面于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此 . 3、线到面的距离 线到面的距离问题一般情况下需要转化为点到面的距离问题进行求解. 例4．已知正方体的棱长为1，是的中点，过的平面与分别交于，且． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求到平面的距离． 变式4-1．如图，点为四边形所在平面外的一点，平面，，，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 变式4-2．在地平面上有一竖直的旗杆（在地平面上），为了测得它的高度，在地平面上取一基线，测得其长为20m.在处测得点的仰角为30°，在处测得点的仰角为45°，又测得. (1)求旗杆的高度； (2)求点到平面的距离. 变式4-3．如图，是圆柱的母线，是底面圆的直径，点B，D在底面圆周上（异于A，C），平面⊥平面． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 多选题 1．如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上（含端点）运动，下列选项中正确的有（    ） A．线段长度的最大值是 B．点P到平面的距离是定值 C．直线与BD所成角的最小值是 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 2．在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（    ）    A．若，则 面 B．若，则 C．若，则到平面的距离为 D．若时，直线与平面所成角为，则 3．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别为，BC的中点，若点P在棱上运动，则下列说法中正确的有（   ） A． B．点P到直线BC的距离的最大值为 C．与平面所成最小角的正切值为 D．点N到平面AMP距离的最大值为 4．已知棱长为1的正方体的所有顶点都在以为球心的球面上，点是棱的中点，点是棱上的动点.则下列说法正确的有（    ） A．若是棱的中点，则平面 B．点到直线的距离的最小值为 C．棱上存在点，使得 D．若是棱的三等分点，则过的平面截球所得的截面面积最小为 5．在棱长为的正方体中，点在底面内运动（含边界），点是棱的中点，则（   ） A．若是棱的中点，则平面 B．若平面，则是上靠近的四等分点 C．点到平面的距离为 D．若在棱上运动，则点到直线的距离最小值为 解答题 6．如图，在正四棱柱中，分别为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角. 7．如图，在四边形中， ，点在上，，将沿翻折至，使，点分别是与的中点. (1)证明： 平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 8．在三棱锥中，已知平面，点在内（包括边界），． (1)已知． （i）求； （ii）求直线与所成角的大小． (2)若点分别满足，为直线上一点，且平面，求二面角余弦的最小值． 9．如图所示的四棱锥中，平面，． (1)证明：平面平面； (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值． 10．如图，在长方体中，点E，F分别是棱，上的动点，且，， (1)求证：平面； (2)若，． ①求平面与平面夹角的余弦值的最大值； ②若平面截长方体的截面为五边形，求平面与平面夹角的余弦值的范围． 11．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，，，，点满足，点是线段的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为时，求四棱锥的体积． 12．如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． (1)求点到平面的距离； (2)在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 13．如图，几何体是圆柱的四分之一部分，其中底面是半径为的扇形，母线长为，是的中点，为的中点，是上的动点（不与、重合），是圆柱的母线． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积的最大值； (3)求二面角余弦值的取值范围． 14．如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 15．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证： 平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 16．如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，，点C是圆O上不同于的任意一点，E为的中点． (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值； (3)若点为圆O（含圆周）内任意一点，它到点的距离与到直线的距离相等，求三棱锥体积的取值范围． 17．如图，在正方体中.    (1)求证：平面； (2)若平面，求证：平面平面. 18．如图1，在矩形中，，是的中点，连接，将沿直线翻折，使得平面平面（如图2），连接，，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值． 19．如图，在四棱锥 中， 平面 是棱 的中点， . (1)证明: 平面 . (2)求点 到平面 的距离. (3)若点 在棱 上，求平面与平面所夹锐角的余弦值的最小值. 20．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，底面，，，，，M，N分别是棱PA，PC上的点（含端点）． (1)证明：； (2)若N为棱的中点，且二面角的正切值为，求； (3)设点Q是边上的点（含端点），求的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$