1.3.1 空间直角坐标系（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 人教A版2019选择性必修第一册·高二 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1 空间直角坐标系 章节导读 空间向量的概念及其运算 空间向量基本定理与空间向量的坐标表示 用空间向量解决立体几何问题 空间向量的定义及其表示 空间向量的线性运算和数量积运算 空间向量运算的定义及其几何意义 空间向量运算的运算律 空间向量基本定理 空间直角坐标系 空间向量运算的坐标表示 用空间向量表示点、直线、平面等元素 用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系、距离和夹角问题 把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论 学 习 目 标 1 2 3 了解空间直角坐标系,能在空间直角坐标系中用坐标表示空间中的点,提升直观想象的核心素养 会求已知点关于坐标轴、坐标平面及坐标原点对称的点的坐标,提升数学运算的核心素养 能在空间直角坐标系中用坐标表示空间中的向量,提升直观想象的核心素养. 新知导入 空间向量的运算 基向量的运算 几何问题 代数问题 学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算．所以，基底概念的引入为几何问题代数化奠定了基础. 能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？ x y 新知探究 问题1 我们是如何建立平面向量的坐标表示的?你能类比平面直角坐标系与平面向量单位正交基的关系，你能利用空间向量单位正交基底概念构建空间直角坐标系吗? O 在平面内选取一点O和一个单位正交基底{, }, 以O为原点，分别以, 的方向为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系O-xy. A(x,y) 对平面内任一向量，存在唯一实数对(x,y)，使 =x+y 则终点A的坐标(x,y)叫做向量的坐标. x y z 新知探究 在空间选定一点O和一个单位正交基底{,,}, 空间直角坐标系 以点O为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长度建立三条数轴：x轴，y轴，z轴,它们都叫做坐标轴. 这时我们建立了一个空间直角坐标系Oxyz 点O叫做原点，向量,, 都叫做坐标向量. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面， 分别称为Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面. Oxy平面 Oyz平面 Oxz平面 8 它们把空间分成 个部分. 新知探究 问题2 如何画出空间直角坐标系？ 斜二测画法 ①画轴： 画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy= 135° (或45°)，∠yOz = 90°. ②建系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 本书建立的坐标系都是右手直角坐标系. 新知探究 问题3 平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数对(坐标)表示。对于空间直角坐标系中每一个点和向量是否有类似的表示？ 空间点的坐标 A 在空间直角坐标系Oxyz中, 为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量 ，且点A的位置由向量 唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 O x y z 在单位正交基底 下与向量 对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中 x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 新知探究 O x y z A 也就是说,以O为起点的有向线段 (向量)的坐标可以和终点的坐标建立起一一对应的关系,从而互相转化. 在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一向量 , 作 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z),使 有序实数组(x, y, z), 叫做 在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作 . 向量终点的坐标 A(x,y,z) 向量的坐标 OA=(x,y,z) 一一对应 在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示. 空间向量的坐标 新知探究 问题4 在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任意一点A，或任意一个向量 ，你能借助几何直观确定它们的坐标(x, y, z)吗? A B C D O x y z A' 过点A分别作垂直于x轴，y轴，z轴的平面，分别交x轴,y轴,z轴于点B，C，D，可以证明在x轴，y轴，z轴上的投影向量分别为,,，且 设点B，C和D在x轴，y轴，z轴上的坐标分别为则A的坐标为(). 符号(x, y, z)具有双重意义，既可以表示向量，也可以表示点，在表述时注意区分. 典例分析 例1 如图示, 在长方体OABC-D'A'B'C'中, OA=3, OC=4, OD'=2, 以 为单位正交基底, 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. (1) 写出D', C, A', B'四点的坐标; (2) 写出向量 的坐标. A C O B C′ D′ B′ A′ 解： 课后练习 课本练习 画出长方体，在长方体上标出点. 1. 在空间直角坐标系中标出下列各点: A(0,2,4), B(1,0,5), C(0,2,0), D(1,3,4). O A(0,2,4) • B(1,0,5) • C(0,2,0) • D(1,3,4) • 新知探究 点的位置 xOy平面 xOz平面 yOz平面 点的坐标 (x, y, 0) (x, 0, z) (0, y, z) 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 点的坐标 (x, 0, 0) (0, y, 0) (0, 0, z) 问题5 坐标面上和坐标轴上的点的特征是什么？ 新知探究 问题6 关于坐标平面的对称的点又有怎样的情况？ 点P关于x轴的对称点是_________ 点P关于y轴的对称点是_________ 点P关于z轴的对称点是_________ 点P关于原点的对称点是__ _______ 点P关于平面xOy的对称点是_________ 点P关于平面xOz的对称点是_________ 点P关于平面yOz的对称点是_________ P1(x,-y,-z) 在空间直角坐标系中，点P(x,y,z)，则有 空间直角坐标系中对称点的坐标 P2(-x,y,-z) P3(-x,-y,z) P P4 P4(-x,-y,-z) P1 P2 P3 P5 P5(x,y,-z) P6 P6(x,-y,z) P7 P7(-x,y,z) 规律：关于谁对称，谁就不变！其余互为相反数。 课后练习 课本练习 2.在空间直角坐标系Oxyz中, (1)坐标平面____与x轴垂直，坐标平面_____与y轴垂直，坐标平面____与z轴垂直； (2)写出点P(2,3,4)在三个坐标平面内的射影的坐标； 在Oyz平面内的射影坐标为____________ 在Oxz平面内的射影坐标为____________ 在Oxy平面内的射影坐标为____________ (3)点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标是___________. (4)点P(1,3,5)在x轴上的射影坐标为_________. Oyz Oxz Oxy (0,3,4) (2,0,4) (2,3,0) (-1,-3,-5) 点在平面内的射影：过点作平面的垂线所得的垂足. 点在坐标轴的射影：过点作坐标轴的垂线所得的垂足. (1,0,0) 规律：在坐标平面或坐标轴的射影坐标——缺谁谁就为0. 课后练习 课本练习 3.在长方体OABC-D'A'B'C'中，OA=3, OC=4, OD'=3，A'C'与B'D'相交于点P，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. (1) 写出点C, B', P的坐标； (2) 写出向量 的坐标. A C O B C′ D′ B′ A′ P 课后练习 课本练习 4. 已知点B是点A(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影，求 O A(3,4,5) • B 空间直角坐标系及点的坐标 题型一 题型探究 【例1】如图,在正三棱柱 中,底面边长为2,高为4,试建立 适当的空间直角坐标系,并解答下列问题. （1）写出三棱柱各顶点的坐标; （2）设的中点为的中点为,写出 的坐标; （3）写出的重心 的坐标. [解析] 解法一:以的中点为坐标原点,所在的直线为轴, 所在的直线为轴, 过点且平行于的直线为 轴,建立空间直角坐标系,如图1所示. （1）由题意得 ,从而可知各顶点的坐标分别为 （2）由（1）知 分别为的中点, 点的坐标为, 点的坐标为 （3）由（1）知 点是 的重心, . 空间直角坐标系及点的坐标 题型一 题型探究 【例1】如图,在正三棱柱 中,底面边长为2,高为4,试建立 适当的空间直角坐标系,并解答下列问题. （1）写出三棱柱各顶点的坐标; （2）设的中点为的中点为,写出 的坐标; （3）写出的重心 的坐标. 解法二:以为坐标原点,平面内过点且垂直于的直线为轴, 所在 的直线为轴,所在的直线为 轴,建立空间直角坐标系,如图2所示. （1）由为正三角形,可知边上的中线长为 ,从而可知各顶点的坐 标分别为 （2）由（1）知 分别为的中点, 点的坐标为 ,N点的坐标为 . （3）由（1）知 点是 的重心, . 空间直角坐标系及点的坐标 题型一 题型探究 解题感悟 1.求点的坐标的方法:先找到点在平面上的射影,过点向 轴作 垂线,确定垂足,其中分别为点 的横坐标、纵坐标、 竖坐标的绝对值,再确定相应坐标的正负,与坐标轴同向为正,反向为负, 即可得到点 的坐标. 2.已知,则线段 的中点坐标为 . 3.已知的顶点为,则 的重心的坐标为 . 空间直角坐标系及点的坐标 题型一 题型探究 【例2】在空间直角坐标系中,已知点 （1）求点关于 轴对称的点的坐标; （2）求点关于 平面对称的点的坐标; （3）求点关于点 对称的点的坐标. [解析] (1)因为点关于 轴对称后,它的横坐标不变,纵坐标和竖坐标变为 原来的相反数,所以点关于轴对称的点的坐标为 (2)因为点关于 平面对称后,它的横坐标和纵坐标不变,竖坐标 变为原来的相反数,所以点关于平面对称的点的坐标为 (3)设点关于点对称的点为,则点为线段 的中点, 由中点坐标公式可得 , 所以点的坐标为 空间向量的坐标 题型二 题型探究 【例3】 已知正方体的棱长为分别为棱 的中点,建立 空间直角坐标系,如图所示.写出向量, 的坐标. [解析] 设轴,轴,轴正方向上的单位向量分别为 , 因为正方体 的棱长为2,所以 因为分别为棱 的中点, 所以 空间向量的坐标 题型二 题型探究 解题感悟 求空间向量的坐标的一般步骤 （1）建系:根据图形特征建立空间直角坐标系; （2）运算:利用向量的加法、减法及数乘运算表示向量; （3）定结果:将所求向量用已知的基底表示出来,确定坐标. 课堂小结 感谢聆听! $$