第五章 三角函数 综合测试-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 一、单项选择题 1.[2025宁波效实中学高一期末]函数f(x)=tan 2x的定义域为(　　) A.{x|x≠+,k∈Z} B.{x|x≠+kπ,k∈Z} C.{x|x≠+,k∈Z} D.{x|x≠+kπ,k∈Z} 2.[2024北京十一学校高一期末]已知点P(cos ,-1)是角α终边上一点,则sin α=(　　) A. B. C.- D.- 3.[2025衡水二中、石家庄二中等校高一期末]小明同学在公园散步时,对公园的扇形石雕(如图1)产生了浓厚的兴趣,并画出该扇形石雕的形状(如图2),在扇形AOB中,∠AOB=,OA=10 cm,则扇形AOB的面积为(　　) A. cm2 B. cm2 C. cm2 D.125π cm2 4.[2025北京市大兴区高一期末]设α,β均为锐角,则“2α<β”是“sin α<sin(β-α)”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.[2024南师附中高一月考]已知=,则sin 2θ=(　　) A. B. C. D. 6.[2025山西大学附中、太原五中等校高一期末]若函数f(x)=asin 2x+cos 2x在x=处取得最大值,将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若g(x)是奇函数,则φ的最小值为(　　) A. B. C. D. 7.[2025兰州一中高一期末]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=(　　) A. B.0 C.+2 D.-2 8.[2025芜湖一中高一期末]在△ABC中,内角A,B,C满足sin C-3sin(B-A)=0,且tan B<4,则+的最小值为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 二、多项选择题 9.[2025启东中学高一期末]下列四个函数中,周期为π,且在区间(,π)上单调递增的有(　　) A.y=|sin x| B.y=cos 2x C.y=tan x D.y=cos 10.【情境创新】[2024雅礼中学月考]如图1是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道,建立平面直角坐标系如图2,h(单位:m)表示在时间t(单位:s)时,过山车(看作质点)离地平面的高度,轨道最高点P距离地平面50 m,最低点Q距离地平面10 m,入口处M距离地平面20 m.当t=4 s时,过山车到达最高点P,t=10 s时,过山车到达最低点Q.设h(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<),下列结论正确的是(　　) A.函数h(t)的最小正周期为12 B.φ= C.t=14 s时,过山车距离地平面40 m D.一个周期内过山车距离地平面低于20 m的时间是4 s 11.[2024重庆八中高一阶段测试]已知函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)的图象在区间[0,π]上有且仅有3个对称中心,则下列结论正确的是(　　) A.ω的值可能是3 B.f(x)在区间[0,]上单调递减 C.f(x)图象的对称轴可能是x= D.若将函数f(x)的图象沿x轴平移个单位长度,则不可能得到奇函数的图象 三、填空题 12.[2025昆明一中高一期末]函数f(x)=sin2x+4cos x(x∈[-,]),则f(x)的最小值为　　　　.  13.[2024新课标Ⅱ卷]已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　.  14.[2025福建师大附中高一期末]函数f(x)=当a=1时,f(x)的零点个数为　　　　;若f(x)恰有4个零点,则a的取值范围是　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  四、解答题 15.(13分)[2025昆明三中高一期末改编]已知sin α=-cos α. (1)求-tan(3π+α)的值; (2)求的值. 16.(15分)[2025吕梁市高级中学高一期末]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)只满足以下四个条件中的三个:①f(x)的最小正周期为2π;②函数f(x)图象的两条对称轴之间的最小距离为;③f()=0;④f()=f()=. (1)请找出这三个条件并说明理由,求出函数f(x)的解析式; (2)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间. 17.(15分)[2025杭州二中高一期末]如图,在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,角α的终边OA与单位圆的交点为A,射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ弧度后交单位圆于点B,记点B的纵坐标y关于θ的函数为y=f(θ). (1)若A(m,-),m<0,求α; (2)对于(1)中的α,若f(θ)=,θ∈(π,),求tan θ; (3)若<α<<θ<,A的纵坐标为,B的横坐标为-,求θ-α. 18.(17分)[2025华中师大一附中期中]已知函数f(x)=(asin x+cos x)cos x(a>0),且f(x)≤f()恒成立. (1)求a的值; (2)设g(x)=b(sin x+cos x)-sin xcos x,若∀x1∈[0,],∃x2∈[-,0],使得g(x1)≤f(x2),求实数b的取值范围. 19.(17分)【探索新定义】[2025广东省大湾区期末]人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活,所谓人脸识别,就是利用计算机分析人脸视频或者图像,并从中提取出有效的识别信息,最终判别对象的身份,在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试,常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),则曼哈顿距离为:d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|,余弦相似度为:cos(A,B)=×+×,余弦距离为1-cos(A,B). (1)若A(-1,2),B(,),求A,B之间的曼哈顿距离d(A,B)和余弦距离; (2)已知M(sin α,cos α),N(sin β,cos β),Q(sin β,-cos β),若cos(M,N)=,cos(M,Q)=,求tan αtan β的值; (3)已知0<α<β<,M(5cos α,5sin α),N(13cos β,13sin β),P(5cos(α+β),5sin(α+β)),若cos(M,P)=,cos(M,N)=,求M,P之间的曼哈顿距离. 参考答案 一、单项选择题 1.A　 2.D　 3.A　 4.C　 5.B　 6.D　 7.A　 8.C 二、多项选择题 9.BC　10.ACD　11.AB 三、填空题 12.　13.-　14.1　(] 四、解答题 15. (1)因为sin α=-cos α,所以tan α=-,(1分) 所以-tan(3π+α) =-tan α(3分) =-tan α =-(-) =.(6分) (2) =(8分) = =(对于齐次式,考虑弦化切)(11分) = =.(13分) 16. (1)由②,得函数f(x)的最小正周期为π,所以①②相互矛盾.(1分) 若选①③④,则ω=1,由f()=0,得sin(+φ)=0,又|φ|<,解得φ=-, 此时f()=Asin,f()=Asin,f()≠f(),故选②③④.(3分) 由②,得ω=2,由f()=0,得sin(+φ)=0,又|φ|<,解得φ=-.(5分) 此时f()=Asin,f()=Asin,满足f()=f(). 由f()=,得A=2, 所以f(x)=2sin(2x-).(8分) (2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.(11分) 又x∈[0,π],所以0≤x≤或≤x≤π. 所以f(x)在[0,π]上的单调递增区间为[0,],[,π].(15分) 17. (1)因为A(m,-),所以sin α=-,又m<0,所以点A在第三象限, 所以α=+2kπ(k∈Z).(3分) (2)由f(θ)=,得sin(+θ)=-sin(θ+)=,(4分) 即sin(θ+)=-,又θ∈(π,), 所以θ+∈(,),所以cos(θ+)<0, 得cos(θ+)=-=, 所以tan(θ+)==2+,(7分) 所以tan θ=tan[(θ+)-]===1.(9分) (3)易知sin α=,cos(α+θ)=-, 由<α<<θ<可知,cos α=,<α+θ<2π,0<θ-α<, 所以sin 2α=2sin αcos α=,cos 2α=2cos2α-1=-.(11分) 由cos(α+θ)=->-, 可知<α+θ<,所以sin(α+θ)=-.(13分) 所以cos(θ-α)=cos[(θ+α)-2α]=cos(θ+α)cos 2α+sin(θ+α)sin 2α=-×(-)+(-)×=-, 故θ-α=.(15分) 18. (1)f(x)=(asin x+cos x)cos x=asin xcos x+cos2x=asin 2x+=sin(2x+φ)+,其中tan φ=.(2分) 由于a>0,f(x)≤f()恒成立,故sin(+φ)=1, 所以+φ=+2kπ,k∈Z,故φ=+2kπ,k∈Z.(5分) =tan(+2kπ)=,k∈Z,解得a=.(7分) (2)由(1)不妨取φ=,故f(x)=sin(2x+)+, ∀x1∈[0,],∃x2∈[-,0],使得g(x1)≤f(x2), 则只需g(x1)max≤f(x2)max(将不等式问题转化为函数最值问题).(9分) 当x∈[-,0]时,2x+∈[-,],故f(x)=sin(2x+)+∈[0,1], 则f(x)max=1,即f(x2)max=1.(10分) 令sin x+cos x=t,则sin xcos x=(同角三角函数基本关系的常用变形:(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2;(sin α+cos α)2-(sin α-cos α)2=4sin αcos α), 则g(x)=b(sin x+cos x)-sin xcos x,可转化为h(t)=bt-=-(t-b)2+(换元,将有关三角函数最值问题转化为二次函数最值问题), 其中t=sin x+cos x=sin(x+),因为x∈[0,],所以x+∈[,],t=sin(x+)∈[1,].(12分) 若b≤1,此时h(t)=-(t-b)2+在[1,]上单调递减, 故h(t)max=h(1)=b,故b≤1.(13分) 若1<b<,此时h(t)max=h(b)=,令≤1, 故b2≤1,解得-1≤b≤1,又1<b<,故没有符合题意的b.(14分) 若b≥,此时h(t)=-(t-b)2+在[1,]上单调递增,故h(t)max=h()=b-, 令b-≤1,解得b≤,又b≥,故没有符合题意的b.(16分) 综上,实数b的取值范围为(-∞,1].(17分) 19. (1)d(A,B)=|-1-|+|2-|=.(1分) cos(A,B)=×+×=,故余弦距离等于1-cos(A,B)=1-.(3分) (2)cos(M,N)=·+·=sin αsin β+cos αcos β=,(5分) cos(M,Q)=·+·=sin αsin β-cos αcos β=,(7分) 故sin αsin β=,cos αcos β=-, 则tan αtan β==-3.(9分) (3)第一步:利用同角三角函数基本关系,两角和与差的正弦、余弦公式和余弦相似度求出点M,P的坐标 因为=5, =5, 所以cos(M,P)=×+×=cos β=. 因为0<β<,所以sin β==.(11分) 因为=13, 所以cos(M,N)=×+×=cos(α-β)=.(13分) 因为0<α<β<,所以-<α-β<0, 所以sin(α-β)=-=-.(14分) 因为cos α=cos(α-β+β)=cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=×-(-)×=, sin α==,所以M(3,4).(15分) 因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-, sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=, 所以P(-,).(16分) 第二步:结合题中新定义求出点M,P之间的曼哈顿距离 因为|3-(-)|+|4-|=+=, 所以M,P之间的曼哈顿距离是.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$