第四章 2.1 重温“结题”&2.2 整理数学建模研究成果-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

第五章　计数原理 §１　基本计数原理 １．１　分类加法计数原理１􀆰２分步乘法计数原理 课前预习学案 知识梳理 知识点一　m１＋m２＋􀆺＋mn　 [思考] １．[提示]　能,每一类中的每一种方法都能独立完成这件事． ２．[提示]　各种方案之间相互独立,并且任何一类方案中任何 一种方法也相互独立． ３．[提示]　 不能,每一步中的每一种方法不能独立完成这 件事． ４．[提示]　完成一件事指的是将完成这件事划分成几个步骤, 各步骤之间有一定的连续性,只有当所有步骤都完成了,整 个事件才算完成． ５．[提示]　从计数上看,各步的方法数的积就是完成这一件事 的方法总数． 预习自测 １．(１)√　(２)√　(３)√ ２．C　[分两类:第１类,从高一年级８个班中选一个班共有８ 种安排方法;第２类,从高二年级中选一个班共有６种安排 方法．故共有８＋６＝１４种安排方法．所以选 C．] ３．B　[分三类:第一类,乘汽车,从 ３ 次中选１次有３种走法; 第二类,乘火车,从４次中选 １ 次有４种走法;第三类,乘轮 船,从２次中选 １ 次有 ２ 种走法．所以,共有３＋４＋２＝９ (种)不同的走法．] ４．D　[这件事可分为两步完成:第一步,在集合 ２,３,７{ } 中任 取一个值x 有３种方法;第二步,在集合 －１,－２,４{ } 中任 取一个值y有３种方法．根据分步乘法计数原理知,有３×３ ＝９个不同的点．] ５．解析:分三类:第一类为一位整数,有３个;第二类为两位整 数,有１２,２１,１３,３１,２３,３２,共６个;第三类为三位整数,有 １２３,１３２,３２１,３１２,２３１,２１３,共６个．∴共写出没有重复数字 的整数３＋６＋６＝１５个． 答案:１５ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)分三类: 第一类选法,从 高 三 􀅰 一 班 中 任 选 一 名,有 ５０ 种 不 同 的 方法; 第二类选法,从 高 三 􀅰 二 班 中 任 选 一 名,有 ６０ 种 不 同 的 方法; 第三类选法,从 高 三 􀅰 三 班 中 任 选 一 名,有 ５５ 种 不 同 的 方法． 根据分类加法计数原理,得５０＋６０＋５５＝１６５(种) 因此共有１６５种不同的选法． (２)分三类: 第一类选法,从高三􀅰一班男生中任选一名,有３０种不同的 方法; 第二类选法,从高三􀅰二班男生中任选一名,有３０种不同的 方法; 第三类选法,从高三􀅰三班女生中任选一名,有２０种不同的 方法． 根据分类加法计数原理,得３０＋３０＋２０＝８０(种)． 故共有８０种不同的选法． [例２]　[解]　完成从这三种型号的电视机中各选１台检验 可分三步完成: 第一步:从甲种型号中选１台,有１０种不同的方法; 第二步:从乙种型号中选１台,有８种不同的方法; 第三步:从丙种型号中选１台,有１２种不同的方法． 根据分步乘法计数原理,得１０×８×１２＝９６０(种)． 因此共有９６０种不同的方法． [例３]　[解]　(１)分为三类:从国画中选,有５种不同的选 法;从油画中选,有２种不同的选法;从水彩画中选,有７种 不同的选 法．根 据 分 类 加 法 计 数 原 理,共 有 ５＋２＋７＝１４ (种)不同的选法． (２)分为三步:国画、油画、水彩画各有５种,２种, ７种不同的选法,根据分步乘法计数原理,共有５×２×７＝７０ (种)不同的选法． (３)分为三类:第一类是一幅选自国画,一幅选自油画,由分 步乘法计数原理知,有５×２＝１０(种)不同的选法; 第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有５×７＝３５(种) 不同的选法; 第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有２×７＝１４(种) 不同的选法． 所以共有１０＋３５＋１４＝５９(种)不同的选法． 变式训练 １．(１)C　[分３类:买１本书,买２本书和买３本书．各类的购 买方式依次有３种、３种和１种,故购买方式共有３＋３＋１＝ ７种．] (２)解析:按照开关断开的个数分类讨论．若断开１个,则有 (１),(４)２种情况;若断开２个,则有(１,４),(２,３),(１,２), (１,３),(４,２),(４,３)６种情况;若断开３个,则有(１,２,３), (１,２,４),(２,３,４),(１,３,４)４种情况;若断开４个,则有(１, ２,３,４)１种情况．综上,共有２＋６＋４＋１＝１３种情况． 答案:１３ ２．C　[若甲、乙都去,剩下的５人每个 人 都 可 以 选 择 去 或 不 去,有２５ 种去法; 若甲、乙都不去,剩下的５人每个人都可以选择去或不去,有 ２５ 种去法． 故一共有２５＋２５＝６４种去法．] ３．解:(１)从高一选１人作为总负责人有５０种选法;从高二选 １人作为总负责人有４２种选法;从高三选１人作为总负责 人有３０种选法．由分类加法计数原理,可知共有５０＋４２＋ ３０＝１２２(种)选法． (２)从高一选１名负责人有５０种选法;从高二选１名负责 人有４２种选法;从高三选１名负责人有３０种选法．由分步 乘法计数原理,可知共有５０×４２×３０＝６３０００(种)选法． (３)①高一和高二各选１人作为中心发言人,有５０×４２＝ ２１００(种)选法;②高二和高三各选１人作为中心发言人,有 ４２×３０＝１２６０(种)选法;③高一和高三各选１人作为中心 发言人,有５０×３０＝１５００(种)选法．故共有２１００＋１２６０＋ １５００＝４８６０(种)选法． 当堂达标 １．C　[根据分类加法计数原理,从甲地去乙地共有３＋４＝ ７种不同的交通方式．] ２．C　[若甲先传给乙,则有甲→乙→甲→乙→甲,甲→乙→甲 →丙→甲,甲→乙→丙→乙→甲３种不同的传递方式;同理, 甲先传给丙也有３种不同的传递方式．故共有６种不同的传 递方式．] ３．解析:根据分类加法计数原理知,从中任选１人参加学科竞 赛,不同的选派方法共有４＋５＝９(种);由分步乘法计数原 理知,从中任选１名女同学 和 １ 名 男 同 学 参 加 学 科 竞 赛, 不 同 的 选 派 方 法 共 有４×５＝２０(种)． 答案:９　２０ ４．解:(１)根据分类加法计数原理,从中任取一个球的取法共有 ８＋７＝１５种． (２)根据分步乘法计数原理,从中任取两个不同颜色的球的 取法共有８×７＝５６种． １．３　基本计数原理的简单应用 课前预习学案 知识梳理 [思考] [提示]　分类加法计数原理每一类中的方案可以完成一件 事情,而分步乘法计数原理每一步中的方法不能独立完成 一件事情． 预习自测 １．(１)×　(２)　×　(３)√ ２．C　[这名学生会主席可能是一班学生,可能是二班学生,也 可能是三班学生．依分类加法计数原理,共有５０＋５０＋５２＝ １５２(种)不同选法．] ３．B　[完成一种搭配有两个步骤,第一步,选上衣有４种不同 的选法;第二步,选长裤有３种不同的选法．所以根据分步乘 法计数原理共有４×３＝１２种不同的搭配法．] ４．解析:一个二次函数对应着a,b,c(a≠０)的一组取值,a的取 法有３种,b的取法有３种,c的取法有２种,由分步乘法计 数原理知共有３×３×２＝１８个二次函数．若二次函数为偶函 数,则b＝０,同上可知共有３×２＝６个偶函数． 答案:１８　６ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)分步解决． 第一步:选取左边第一个位置上的数字,有６种选取方法; 第二步:选取左边第二个位置上的数字,有５种选取方法; 第三步;选取左边第三个位置上的数字,有４种选取方法; 第四步:选取左边第四个位置上的数字,有３种选取方法． 由分步乘法计数原理知,可组成不同的四位密码共有６×５ ×４×３＝３６０(个)． (２)分步解决． 第一步:首位数字有５种选取方法; 第二步:百位数字有５种选取方法; 第三步:十位数字有４种选取方法; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２５２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 §２　数学建模结题交流 ２．１　重温“结题” “结题”是研究小组向老师和同学们报告研 究成果、进行答辩的过程,一般来讲,结题会 是结题的基本形式． 参加结题会要注意以下事项: (１)报告人(或报告团队)预先整理好显示成果 的数据、软件、模型、文字报告、照片、视频 或实物等,准备好报告提纲、报告用幻灯片 (PPT)．报告都是限时的,要突出重点、特 点、亮点和创新点． (２)报告人(或报告团队)以积极、认真的态度 投入答辩,以平和的心态接受大家的质询 和评价． (３)参加结题会的每一个人都要仔细聆听报告 人的演讲,欣赏他人的建模成果,审视研究 过程,评判研究结论;捕捉要点,理出质疑 点,深入参加讨论． 结题会上的各方发言要紧紧围绕数学建模 的几个环节展开． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．２　整理数学建模研究成果 一、撰写数学建模研究报告 论文(也可以是表格式文档)是研究成果的 核心内容,需要研究者(个人或小组)按照数 学建模的各个环节呈现数学建模的过程和 结论． 在论文完成后,制作数学建模报告,形成报 告提纲和PPT． 二、回顾、梳理数学建模经历 历经半年乃至一年的数学建模实践,这段经 历在数学学习中是非常独特的,也许这是你 第一次解决你选择的实际问题,也许这是你 第一次带着研究问题去接触社会,也许这是 你第一次在团队中凸显了你的特长．请把你 的研究体验梳理成提纲或小文章． 优秀数学建模活动案例报告 [实际情景] 我国是茶的故乡,是世界上最早发现茶树、 利用茶叶和栽培茶叶的国家,也是茶文化的 发源地．中国茶道的主要内容讲究五境之 美,即茶叶、茶水、火候、茶具、环境,其中茶 叶可分为绿茶、红茶、乌龙茶、白茶、黄茶和 黑茶． 茶文化的内涵其实就是中国文化的一种具 体表现．中国素有礼仪之邦之称谓,茶文化 的精神内涵即是通过沏茶、赏茶、闻茶、饮 茶、品茶等习惯与中国的文化内涵和礼仪相 结合形成的一种具有鲜明中国文化特征的 一种文化现象,也可以说是一种礼节现象． [提出问题] 茶已成为全世界最大众化、最受欢迎、最有 益于身心健康的绿色饮料．那你知道如何才 能泡制一杯口感最佳的茶水吗? [情景分析] [问题１]　影响茶水口感的因素有哪些? 师生活动:学生思考发言,相关因素可能包含 有茶叶类型、水温、茶具、泡茶用水、冲泡方 法、茶叶用量、冲泡次数等．教师归纳并给出 情景:经验表明,我们探究使用的某种绿茶 用８５℃的水泡制,再等到茶水温度降至６０ ℃时饮用,可以产生最佳口感． [问题２]　如何处理这些影响因素呢? 师生活动:教师引导学生结合探究的侧重分析 相关因素的重要程度,突出主要因素,弱化 次要因素的影响;学生在教师的引导下,进 一步思考确定主要因素,通过控制变量的方 法弱化次要因素对探究过程的影响． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 教师总结:在此次探究过程中,我们将水温作 为主要因素,可以在探究开始前,先提出一 些假设,通过控制变量的方法减少他们对结 果的影响:如在实验过程中 １．选择同一种且等量的茶叶冲泡; ２．使用同一个茶具,比如同一个玻璃杯; ３．固定初始泡茶的水温８５℃; ４．在同一环境温度２５℃下,使用相同纯净水, 并用相同的泡茶方法． [问题３]　如何刻画茶水降温的过程? 师生活动:学生交流讨论． 教师总结:茶水降温的过程中也伴随着时间的 变化,因此我们可以建立茶水温度随时间变 化的函数模型,将该茶水温度的实测过程转 变为时间估计的问题,使得不用时刻测试水 温,进而根据函数模型,通过简单计算就可 以知道大约需要放置多长时间才能达到最 佳饮用口感． 转化问题 在２５℃室温下,用８５℃的水泡制的茶大约 需要放置多长时间,温度能够降到６０℃达 到最佳饮用口感? 设计意图:创设真实的生活问题,有较强的代 入感,培养学生在现实生活中发现问题并提 出或转化为数学问题的意识,提高学习数学 的兴趣,通过分析让探究的问题变得可测 量,为后续的研究奠定基础． 收集数据 活动１:请同学们小组合作,为获取数据设计 实验流程． 师生活动:学生小组合作,设计实验流程,并在 全班 分 享 交 流,互 相 完 善 最 终 形 成 实 验 流程． 预想:用８５ ℃的纯净水泡好一杯茶,每隔１ 分钟测量一次茶水温度,并进行记录． [问题４]　该实验过程需要用到哪些测量 工具? 师生活动:学生总结,需要秒表和温度计． 追问:怎 样 保 证 测 量 数 据 的 准 确 性 以 减 少 误差? 师生活动:引导学生提出在实验过程中,可多 次重复实验,取平均值从而减小误差． 任务１:请同学们课后按照实验流程进行实 验,获取并记录一组数据． 设计意图:让学生参与到数据收集的设计和实 施过程,培养学生严谨的思维． 实验数据 某研究人员得到一组数据,以下探究过程应 用该组数据: 时间/min ０ １ ２ ３ ４ ５ 温度/℃ ８５．００７９．１９７４．７５７１．１９６８．１９６５􀆰１０ 建立模型 观察实验数据会发现,随着时间的变化,茶 水的温度也在发生变化,这两个变量可以存 在着某种函数关系,但并没有现成的函数模 型,所以我们可以借助数据的趋势进行分 析．散点图如下: [问题５]　观察散点图,两个变量有怎样的变 化趋势? 师生活动:学生观察并总结,散点图的分布状 况成递减状态,也就是说茶水的温度随时间 成递减关系． 追问:当时间不断延长,最终茶水能降到什么 温度? 师生活动:学生思考并回答,茶水最终将趋于 室温２５． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２１􀅰 第四章　数学建模活动(三) [问题６]　请同学们在前期学习的函数中找 到符合趋势的函数模型? 师生活动:学生思考并交流,可能会提出各种 递减函数作为备选模型,教师引导学生关注 茶水降到室温就不能再降的事实,再结合几 类基本初等函数的变化特征,指导学生做出 选择． 教师总结:自变量是少于等于０,函数值大于 等于２５,随着自变量的变化函数值呈递减 趋势且逐渐趋于２５,结合以上特征我们初 步可以选定y＝kax＋２５(k∈R,０＜a＜１,x ≥０)来近似刻画茶水温度随时间变化的 规律． 求解模型 [问题７]　如何利用以上实验数据求解函数 模型中的参数k和a． 师生活动:学生思考,教师给予适当引导． 根据实际情况可知,当x＝０时,y＝８５,可得 k＝６０． 得到函数模型:y＝６０ax＋２５(０＜a＜１,x≥０) y－２５＝６０ax(０＜a＜１,x≥０) 为求衰减比例a,从第２min的温度数据开 始,计算每一分钟(y－２５)的值与上一分钟 (y－２５)值的比值． x ０ １ ２ ３ ４ ５ y－２５ ６０􀆰００ ５４􀆰１９ ４８􀆰７５ ４６􀆰１９ ４３􀆰１９ ４０􀆰１０ 比值 ０􀆰９０３２０􀆰９１８１０􀆰９２８４０􀆰９３５１０􀆰９２８５ 检验模型 [问题８]　请同学们结合这五个函数图象与 实际数据的吻合情况, 思考应该如何选取a的值? 比值为０􀆰９０３２ 比值为０􀆰９１８１ 比值为０􀆰９２８４ 比值为０􀆰９３５１ 比值为０􀆰９２８５ 师生活动:学生比较五个函数的吻合程度,与 实际数据更加吻合的是当比值为０􀆰９１８１ 时,因此可以选择函数y＝６０×０．９１８１x＋ ２５作为本题的模型．教师进一步引导学生 计算比值的平均值作为衰减比例,从而得到 函数模型y＝６０×０．９２２７x＋２５． y＝６０×０．９２２７x＋２５ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２２１􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 y＝６０×０．９１８１x＋２５ 通过比较,采用平均值作为衰减比例与实际 数据更加的吻合,因此选取的函数模型为y ＝６０×０．９２２７x＋２５． 教师总结:这种采用平均值的方法在解决实际 问题中也是很常见的．因为实验所得的数据 并不一定具有很强的规律性,所以我们在实 验过程中应尽量重复大量实验,以保证数据 的代表性,而在函数模型的选择上也是多样 的,所选择的函数模型一般也只能大致反应 茶水温度变化的局部规律,因此,建立模型 后需要对模型进行检验． 求解问题 [问题９]　在２５ ℃室温下,刚泡好的茶水大 约需要放置多长时间才能达到最佳饮用 口感? 师生活动:学生完成计算思路,教师给予信 息技术支持求解最后答案． 将y＝６０代入y＝６０×０．９２２７x＋２５,得６０ ×０．９２２７x＋２５＝６０ 解得x＝log０．９２２７ ７ １２ 由信息技术得x≈６． ６９９７ 教师总结:至此,我们完成整个实际问题的探 究,并得到在２５℃室温下,用８５℃水泡制 的茶大约需要放置７min,温度能够降到６０ ℃达到最佳饮用口感． [问题１０]　你体会到研究这个问题具有哪些 实际价值? 师生活动:学生思考并发言． 教师总结:很多实际问题的背后,可能都隐藏 着某种规律,这种规律可以用实验的方法进 行探究,并用数学的方法加以刻画． 设计意图:通过学生对具体问题建模过程的参 与,让学生进一步体会函数模型在现实生活 中的应用;同时了解数学建模的概念,知道 数学 建 模 的 过 程,初 步 培 养 数 学 建 模 的 意识． 活动２:请同学们小组合作,结合以上探究过 程归纳数学建模的步骤． 教师总结:数学建模需要我们用数学的眼光观 察实际情境,从而发现和提出问题,用数学 的方式收集数据,其中包括必要的假设和实 验获取数据,利用数学思维选择函数模型, 用数学知识求解函数模型,最后检验结果, 若符合实际则将数学结果转化为实际问题 的解,若不符合实际则要重新选择模型．这 就是数学建模的过程． 作业布置:请同学们仿照上述过程开展一次 建立模型解决实际问题的活动,可以继续研 究不同室温下泡制一杯最佳口感茶水所需 的时间,也可以从下列选题中选择一个: １．应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出 来解冻? ２．根据某一同学的身高和体重,判断该同学是 否超重． ３．用微波炉或电磁炉烧一壶开水,找到最省电 的功率设定方法． ４．估计阅读一本书所需要的时间． 也可以根据自己的兴趣,与老师协商后确定 一个课题进行研究． 要求:在班级中组成３~５人的研究小组,每 位同学参加其中一个小组．在小组内,要确 定一个课题负责人,使每位成员都有明确的 分工．拟定研究课题、确定研究方案、规划研 究步骤、编制研究手册,然后在班里进行一 次开题报告． 通过这篇‹数学建模活动案例报告›的学习, 写一写自己对于数学建模和撰写论文的 感悟． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３２１􀅰 第四章　数学建模活动(三)