第二章 3.1 抛物线及其标准方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

§３　抛物线 ３．１　抛物线及其标准方程 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念 ２．掌握抛物线的标准方程及其推导过程 ３．明确p的几何意义,并能解决简单的求抛 物线标准方程问题 １．通过抛物线定义的学习,培养数学抽象核心 素养 ２．通过抛物线定义及标准方程的应用,培养学 生的直观想象、数学建模等核心素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　生活中存在着各种形式的抛物线 [设问]　初中老师告诉同学们一元二次函数 y＝ax２(a≠０)的图象是抛物线,但一元二次函 数y＝ax２(a≠０)的图象为什么是抛物线而不 是双曲线的一支呢? 那满足什么条件的点的 轨迹是抛物线? [知识梳理] [知识点一]　抛物线的定义 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l不经过点F)的距离　　　　的点 的集合(或轨迹)叫作抛物线 焦点 　　　　叫作抛物线的焦点 准线 　　　　叫作抛物线的准线 集合 表示 P＝{M|　　　　,d为点M 到准线l 的距离} 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．抛物线的定义中,若点F 在直线l 上,那么点的轨迹是什么? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点二]　抛物线的标准方程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 F －p２ ,０æ è ç ö ø ÷ 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．(１)抛物线方程中p(p＞０)的几何意 义是什么? (２)根据抛物线方程如何确定焦点的位置? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)抛物线的方程都是二次函数． (　　 ) (２)抛物线的焦点到准线的距离是p．(　　 ) (３)抛物线的开口方向由一次项确定．(　　 ) (４)平面内到一定点距离与到一定直线距离相 等的点的轨迹一定是抛物线． (　　 ) (５)y＝４x２ 的焦点坐标为(１,０)． (　　 ) (６)以(０,１)为焦点的抛物线的标准方程为x２ ＝４y． (　　 ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０６􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 ２．对抛物线x２＝－４y,下列描述正确的是 (　　) A．开口向下,焦点为(０,－１) B．开口向下,焦点为 ０,１１６ æ è ç ö ø ÷ C．开口向右,焦点为(－１,０) D．开口向右,焦点为 １１６ ,０ æ è ç ö ø ÷ ３．抛物线x＝４y２ 的准线方程是 (　　 ) A．y＝１２　　　　　B．y＝－１ C．x＝－１１６ D．x＝ １ ８ ４．已知抛物线的焦点坐标是F(０,２),则它的 标准方程为　　　　　　　　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　求抛物线的标准方程 [例１]　分别求适合下列条件的抛物线的标 准方程: (１)准线方程为y＝２３ ; (２)过点(－３,２); (３)焦点在直线x－２y－４＝０上; (４)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为５． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　根据已知条件求出抛物线的 标准方程中的p 即可,注意标准方程的 形式． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)用待定系数法求抛物线标准方程的 步骤 (２)求抛物线的标准方程时需注意的三个 问题 ①把握开口方向与方程间的对应关系． ②当抛物线的类型没有确定时,可设方程 为y２＝mx(m≠０)或x２＝ny(n≠０),这 样可以减少讨论情况的个数． ③注意p与p２ 的几何意义． 􀳀[变式训练] １．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程: (１)经过点(－３,－１); (２)焦点为直线３x－４y－１２＝０与坐标轴的 交点． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６􀅰 第二章　圆锥曲线 　　　抛物线的定义的应用 [例２]　(１)已知抛物线的顶点在原点,焦点 在y轴上,抛物线上一点 M(m,－３)到焦点 的距离为５,求m 的值、抛物线方程和准线 方程; (２)已知动圆 M 与直线y＝２相切,且与定 圆C:x２＋(y＋３)２＝１外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)利用抛物线定义先求抛 物线的方程,再求m 和准线方程． (２)利用|MC|的长度比点 M 到直线y＝２ 的距离大１求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 抛物线定义的应用 实现距离转化．根据抛物线的定义,抛物线 上任意一点到焦点的距离等于它到准线的 距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距 与点线距的相互转化,从而简化某些问题． 􀳀[变式训练] ２．已知点P(x,y)到定点M ０,１２ æ è ç ö ø ÷的距离比它 到x轴的距离大１２ ,则PM＝　　　,点P 的轨迹点C 的方程为　　　　　　　　　． 　　　抛物线中的最值问题 [例３]　已知抛物线y２＝４x的焦点是F,点P 是抛物线上的动点,对于定点 A(４,２),求 |PA|＋|PF|的最小值,并求出取最小值时 点P 的坐标． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　利用抛物线的定义,把|PF| 转化为到准线的距离． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用抛物线的定义求最值的策略 对于条件中有关于抛物线上的点P 到焦 点F 的距离问题,一定要考虑抛物线的定 义,注意点P 到F 的距离与点P 到准线距 离的转化． 􀳀[变式训练] ３．上世纪９０年代,南京江宁区和陕西洛南县 就建立了深厚的友谊,１９９３年江宁区出资 帮助洛南修建了宁洛桥,增强了两地之间的 友谊．如今人行道两侧各加宽６米,建成了 “彩虹桥”(图１),非常美丽．桥上一抛物线 形的拱桥(图２)跨度AB＝３０m,拱高OP＝ ５m,在建造时每隔相等长度用一个柱子支 撑,则支柱A１B１ 的长度为　　　m．(精确 到０．０１m) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２６􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 [当堂达标] １．若动点P 到定点F(－４,０)的距离与到直线 x＝４的距离相等,则P 点的轨迹是 (　　 ) A．抛物线　B．线段　C．直线　D．射线 ２．(多选)对抛物线y＝４x２,下列描述正确 的是 (　　 ) A．焦点坐标为(０,１) B．焦点坐标为 ０,１１６ æ è ç ö ø ÷ C．准线方程为y＝－１１６ D．准线方程为y＝－１ ３．若点P 在抛物线y２＝４x 上,点A(５,３),F 为抛物线的焦点,则|PA|＋|PF|的最小值 为　　　． ４．已知动圆 M 经过点A(３,０),且与直线l:x ＝－３相切,求动圆圆心 M 的轨迹方程． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３．２　抛物线的简单几何性质 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．了解抛物线的简单几何性质 ２．能利用性质解决与抛物线有关的问题 ３．能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题 通过抛物线的简单几何性质的运用,进一 步培养直观想象、数学抽象、逻辑推理和数 学运算的核心素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的 过程与方法探究方程为y２＝２px(p＞０)的抛 物线, 你认为应研究抛物线的哪些几何性质,如何研 究这些性质? [知识梳理] [知识点]　抛物线的几何性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 图象 标准方程 y ２＝２px (p＞０) y２＝－２px (p＞０) x２＝２py (p＞０) x２＝－２py (p＞０) 性 质 焦点 坐标 p ２ ,０( ) －p２ ,０( ) ０, p ２( ) ０,－ p ２( ) 准线 方程 x＝－p２ x＝ p ２ y＝－ p ２ y＝ p ２ 范围 x≥０,y∈R x≤０,y∈R y≥０,x∈R y≤０,x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 　(０,０)　 离心率 e＝１ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．焦点到准线的距离是多少? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．过抛物线y２＝２px(p＞０)的焦点且垂直 于对称轴的弦长是多少? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)抛物线关于顶点对称． (　　 ) (２)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称 中心． (　　 ) (３)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其 离心率都相同． (　　 ) (４)抛物线y＝－１８x ２ 的准线方程为x＝１３２． (　　 ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３６􀅰 第二章　圆锥曲线 [例３]　[解析]　设双曲线方程为 x２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０),不妨设 点 M 在 双 曲 线 的 右 支 上,如 图, AB＝BM＝２a,∠MBA＝１２０°,作 MH⊥x轴于H,则∠MBH＝６０°, |BH|＝a,|MH|＝ ３a,所 以 M (２a,３a)．将点 M 的坐标代入双 曲线方程x ２ a２ －y ２ b２ ＝１,得a＝b,所以e＝ ２． [答案]　D [例４]　[解析]　(１)C　[设双曲线的方程为y ２ a２ －x ２ b２ ＝１(a＞ ０,b＞０),∵e＝ ca ＝ ５ ,c＝ a２＋b２,∴ a ２＋b２ a２ ＝ １＋ ba( ) ２ ＝ ５,∴ba ＝２ ,∴双曲线的渐近线方程为y＝ ±abx＝± １ ２x． ] (２)∵a＞ ２,∴ ２a＜１ , ∴y＝ ２ax 的倾斜角小于 π ４ , ∴ ２a＝tan π ６＝ ３ ３ , ∴a＝ ６,c＝ a２＋b２＝２ ２,∴e＝ca ＝ ２ ２ ６ ＝２ ３３ ． [答案]　(１)y＝± ３x　(２)２ ３３ 变式训练 １．解:把方程９y２－１６x２＝１４４化为标准方程为y ２ ４２ －x ２ ３２ ＝１．由 此可知,实半轴长a＝４,虚半轴长b＝３; c＝ a２＋b２＝ ４２＋３２＝５,焦点坐标是(０,－５),(０,５);离心 率e＝ca ＝ ５ ４ ;渐近线方程为y＝±４３x． ２．解:(１)由题意可设所求双曲线方程为４x２－９y２＝λ(λ≠０), 将点(１,２)的坐标代入方程解得λ＝－３２． 因此所求双曲线的标准方程为y ２ ３２ ９ －x ２ ８＝１． (２)设所求双曲线方程为y ２ ４－ x２ ３＝λ (λ≠０)． 由点 M(３,－２)在双曲线上得４４－ ９ ３＝λ ,得λ＝－２． 故所求双曲线的标准方程为x ２ ６－ y２ ８＝１． (３)当所求双曲线的焦点在x轴上时,可设其方程为x ２ ６４－ y２ １６ ＝λ(λ＞０),将点(２,０)的坐标代入方程得λ＝ １１６ ,故所求双 曲线的标准方程为x ２ ４－y ２＝１; 当所求双曲线的焦点在y轴上时,可设其方程为y ２ ６４－ x２ １６＝λ (λ＞０),将点(２,０)的坐标代入方程得λ＝－１４＜０ (舍去)． 综上可知,所求双曲线的标准方程为x ２ ４－y ２＝１． ３．解析:由F２A → ＝－２３F２B →,得 |F２A → | |F２B → | ＝２３ , 设|F２A → |＝２x,|F２B → |＝３x, 由对称性可得|F１B → |＝３x,由定义可 得,|AF１ → |＝２x＋２a, |AB → |＝５x,设∠F１AF２＝θ,则sinθ ＝３x５x＝ ３ ５ ⇒cosθ＝ ４ ５＝ ２x＋２a ５x ,解 得x＝a,所以|AF１ → |＝４a,|AF２ → |＝２a, 在△AF１F２ 中,由余弦定理可得cosθ＝ １６a２＋４a２－４c２ １６a２ ＝ ４ ５ ,即５c２＝９a２,可得e＝３ ５５ ． 答案:３ ５ ５ ４．A　[由题意,得|PF１|＝３|PF２|,|PF１|－|PF２|＝２a得|PF２| ＝a,|PF１|＝３a,在△F１PF２ 中,有|F１F２|２＝|PF１|２＋|PF２|２ －２|PF１|􀅰|PF２|cos∠F１PF２,得(２c)２＝(３a)２＋a２－２×３a×a ×cos６０°,即e＝ca ＝ ７ ２． ] ５．解析:(１)∵e２＝c ２ a２ ＝a ２＋b２ a２ ＝１＋b ２ a２ ＝２,∴b ２ a２ ＝１,∴ba ＝ １,∴渐近线方程为x±y＝０,则点(４,０)到渐近线的距离d ＝|４±０| ２ ＝２ ２． (２)当焦点在x 轴上时,ba ＝ ２ ３ ,即c ２－a２ a２ ＝４９ ,∴e２＝１３９ , 解得e＝ １３３ ;当焦点在y轴上时,ba ＝ ３ ２ ,即c ２－a２ a２ ＝９４ , ∴e２＝１３４ ,解得e＝ １３２ ． 故双曲线的离心率为 １３ ２ 或 １３ ３ ． 答案:(１)D　(２) １３２ 或 １３ ３ 当堂达标 １．A　[在 A项中,双曲线方程为x２－y ２ ４＝１ ,即a＝１,b＝２, ∴渐近线方程为y＝±２x．] ２．C　[由已知得e＝ca ＝２ ,所以a＝ １２c ,故b＝ c２－a２ ＝ ３ ２c ,从而双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝± ３x． 由焦 点到渐近线的距离为 ３,得 ３２c＝ ３ ,解得c＝２,故２c＝４．] ３．解析:∵双曲线x ２ ９－ y２ １６＝－１ ,即y ２ １６－ x２ ９＝１ ,∴a＝４,b＝３,c＝ ９＋１６＝５, ∴①实轴长为２a＝８,故①错误;②双曲线的离心率是e＝ca ＝５４ ,故②正确; ③焦点坐标为F(０,±５),故③错误;④渐近线方程是y＝± ４ ３x ,故④正确; ⑤焦点到渐近线的距离为d＝|０＋１５| ９＋１６ ＝３,故⑤正确． 答案:②④⑤ ４．解:渐近线方程为y＝± ３３x ,设双曲线方程为x２－３y２＝λ． 将(３,－２)代入求得λ＝－３,所以双曲线方程为y２－x ２ ３＝１． §３　抛物线 ３．１　抛物线及其标准方程 课前预习学案 知识梳理 知识点一　相等　定点F　定直线l　|MF|＝d [思考] １．[提示]　点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． 知识点二　y２＝２px　(p＞０)　F p２ ,０( ) 　x＝－p２ 　y ２＝ －２px　(p＞０)　x＝p２ 　x ２＝２py　(p＞０)　F(０,p２ )　y ＝－p２　x ２＝－２py　(p＞０)　F(０,－p２ )　y＝p２ [思考] ２．[提示]　(１)p的几何意义是焦点到准线的距离． (２)根据抛物线方程中一次式±２px,±２py 来确定焦点位 置,“x,y”表示焦点在x轴或y 轴上,系数“±２p”的正负确 定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２３２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)√　(４)×　(５)×　(６)√ ２．A　[抛物线x２＝－４y开口向下,焦点为(０,－１)．] ３．C　[由x＝４y２ 得y２＝１４x ,故准线方程为x＝－１１６． ] ４．解析:由条 件 可 知,抛 物 线 的 焦 点 在y 轴 正 半 轴 上,且 p２ ＝２, 即p＝４,所以它的标准方程为x２＝８y． 答案:x２＝８y 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)∵抛物线的准线交y轴于正半轴,且p２＝ ２ ３ ,即p＝４３ ,∴所求抛物线的标准方程为x２＝－８３y． (２)根据点(－３,２)在第二象限,设抛物线方程为y２＝－２px 或x２＝２py(p＞０), 将点(－３,２)代入方程得２p＝４３ 或２p＝９２ , 故抛物线方程为y２＝－４３x 或x２＝９２y． (３)①令x＝０,由方程x－２y－４＝０,得y＝－２, ∴抛物线的焦点坐标为(０,－２)． 设抛物线方程为x２＝－２py(p＞０),则由p２＝２ ,得２p＝８, ∴所求抛物线的标准方程为x２＝－８y． ②令y＝０,由x－２y－４＝０,得x＝４, ∴抛物线的焦点坐标为(４,０)． 设抛物线方程为y２＝２px(p＞０),则由p２＝４ ,得２p＝１６, ∴所求抛物线的标准方程为y２＝１６x． 故所求抛物线的标准方程为y２＝１６x或x２＝－８y． (４)已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x２＝２my(m≠ ０),由焦点到准线的距离为５,知|m|＝５,即m＝±５,∴满足 条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x２＝１０y 和 x２＝－１０y． [例２]　[解]　(１)设所求抛物线方程为x２＝－２py(p＞０),由p２ ＋３＝５得p＝４,因此抛物线方程为x２＝－８y,其准线方程为y ＝２,由m２＝２４得m＝±２ ６． (２)设动圆圆心为 M(x,y),半径为r,则由题意可得 M 到圆 心C(０,－３)的距离与直线y＝３的距离相等． 由抛物线的定义可知:动圆圆心 M 的轨迹是以C(０,－３)为 焦点,以y＝３为准线的一条抛物线,其方程为x２＝－１２y． [例３]　[解]　如图,作PN⊥l于点N (l为准线),作AB⊥l于点B, 则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN| ≥|AB|, 当且仅当P 为AB 与抛物线的交点 时,等号成立． ∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB|＝４＋１ ＝５． 此时yP＝２,代入抛物线方程,得xP＝１,∴P(１,２)． 变式训练 １．解:(１)因为点(－３,－１)在第三象限,所以设所求抛物线的 标准方程为y２＝－２px(p＞０)或x２＝－２py(p＞０)． 若抛物线的标准方程为y２＝－２px(p＞０),则由(－１)２＝ －２p×(－３),解得p＝１６ ; 若抛物线的标准方程为x２＝－２py(p＞０),则由(－３)２＝ －２p×(－１),解得p＝９２． 故所求抛物线的标准方程为y２＝－１３x 或x２＝－９y． (２)对于直线方程３x－４y－１２＝０,令x＝０,得y＝－３;令y ＝０,得x＝４, ∴抛物线的焦点为(０,－３)或(４,０)． 当焦点为(０,－３)时,p２＝３ ,∴p＝６,此时抛物线的标准方 程为x２＝－１２y; 当焦点为(４,０)时,p２＝４ ,∴p＝８,此时抛物线的标准方程 为y２＝１６x． ∴所求抛物线的标准方程为x２＝－１２y或y２＝１６x． ２．解析:依题意,得|PM|＝|y|＋１２ ,即 x２＋ y－１２( ) ２ ＝|y|＋１２① ,则 x２＋ y－１２( ) ２ － １２＝|y| ,两边平方得 x２ ＋ y－１２( ) ２ － x２＋ y－１２( ) ２ ＋ １４ ＝y ２,则 x２ － y－１２( ) ＝ x ２＋ y－１２( ) ２ ②,两 边 平 方 得 x４ － ２ y－１２( )x ２＋ y－１２( ) ２ ＝x２＋ y－１２( ) ２ ,整理得x４－２y 􀅰x２＝０,即x２(x２－２y)＝０,可得y＝x ２ ２ 或x＝０．当x＝０ 时,②转化为 y－１２ ＝－ y－ １ ２( ) ,所以y－ １ ２ ≤０ ,此时 ①转化为 y－１２ ＝ １ ２－y＝|y|＋ １ ２ ,|y|＝－y,所以y≤０, 所以点P 的轨迹C 的方程为y＝x ２ ２ 或x＝０(y≤０)． 答案:|y|＋１２　y＝ x２ ２ 或x＝０(y≤０) ３．解析:以O 为原点,OB,OP 方向分别为x,y轴正向,建立如 图所示的直角坐标系: 由题意AB＝３０m,OP＝５m,所以B(１５,０),P(０,５), 又抛物线开口向下,所以设y＝－ax２＋５,将点B(１５,０)的 坐标代入０＝－２２５a＋５, 解得a＝１４５ ,所以抛物线方程为y＝－１４５x ２＋５, 又由题意在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑,由图可知 AB 有１４个空格, 因此每一个空格的长度为３０ １４＝ １５ ７ m ,所以OA１＝ ３０ ７ m ,所 以设点B１ ３０ ７ ,b( ) , 又因为点B１ 在抛物线上,所以将其坐标代入抛物线方程得 b＝－１４５× ３０ ７( ) ２ ＋５＝２２５４９≈４．５９． 答案:４．５９ 当堂达标 １．A　[动点P 的条件满足抛物线的定义．] ２．BC　[由y＝４x２,得x２＝１４y ,所以该抛物线开口向上,焦点 坐标为 ０,１１６( ) ,准线方程为y＝－ １ １６． ] ３．解析:如图,抛物线y２＝４x的准 线l的方程为x＝－１,焦点F(１, ０),过点A 作AA′⊥l,A′为垂足, AA′与 抛 物 线 的 交 点 P,|PF| ＝|PA′|, ∴|PF|＋|PA|的 最 小 值 为| AA′|＝６． 答案:６ ４．解:设动点 M(x,y),☉M 与直 线l:x＝－３的切点为 N,则|MA|＝|MN|, 即动点 M 到定点A 和定直线l:x＝－３的距离相等, ∴点 M 的轨迹是抛物线,且以A(３,０)为焦点,以直线l:x＝ －３为准线, ∴p２＝３ ,∴p＝６,故动圆圆心 M 的轨迹方程是y２＝１２x． ３．２　抛物线的简单几何性质 课前预习学案 知识梳理 [思考] １．提示:焦点到准线的距离均为p． ２．提示:过抛物线y２ ＝２px 的焦点且垂直于对称轴的弦长 是２p． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３３２􀅰 参考答案