第二章 2.1 双曲线及其标准方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步复习（北师大版2019）

(２)设点 M 的坐标是(x０,y０),则 x２０ a２ ＋ y２０ b２ ＝１ , x２０＋y２０＝c２． { 消去y０,得x２０＝ a２(c２－b２) c２ ．因为０≤x２０≤a２ 所以 a２(c２－b２) c２ ≥０ ,　　　　① a２(c２－b２) c２ ≤a ２．　　　　② ì î í ïï ï 由①,得c２≥b２,即c２≥a２＋c２,所以a２≤２c２,所以e２＝c ２ a２ ≥ １ ２． 又因为０＜e＜１,所以e∈ ２ ２ ,１[ öø÷, 由②,得c２－b２≤c２,此式恒成立． 综上所述,所求椭圆的离心率的取值范围是 ２ ２ ,１[ öø÷． ３．解:法一:若椭圆的焦点在x 轴上,则设椭圆的标准方程为 x２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)．由 题 意 得 ２a＝３􀅰２b, ９ a２ ＋ ０ b２ ＝１ ,{ 解 得 a＝３, b＝１．{ 所以椭圆的标准方程为 x２ ９＋y ２＝１． 若椭圆的焦点在y轴上,则设椭圆的标准方程为y ２ a２ ＋x ２ b２ ＝１ (a＞b＞０)．由题意得 ２a＝３􀅰２b, ０ a２ ＋ ９ b２ ＝１ ,{ 解得 a＝９,b＝３．{ 所以椭圆的标准方程为y ２ ８１＋ x２ ９＝１． 综上所述,椭圆的标准方程为x ２ ９＋y ２＝１或y ２ ８１＋ x２ ９＝１． 法二:设椭圆方程为x ２ m＋ y２ n＝１ (m＞０,n＞０,m≠n), 则 由 题 意 得 ９ m＝１ , ２ m＝３􀅰２ n{ 或 ９ m＝１ , ２ n＝３􀅰２ m,{ 解 得 m＝９ n＝１{ 或 m＝９ n＝８１．{ 所以椭圆的标准方程为x ２ ９＋y ２＝１或y ２ ８１＋ x２ ９＝１． 当堂达标 １．C　[依题意知,所求椭圆的焦点位于x轴上, 且c＝１,e＝ca ＝ １ ２ ,即a＝２,b２＝a２－c２＝３,因此椭圆的方 程是x ２ ４＋ y２ ３＝１． ] ２．BD　[①a２ ＝９,b２ ＝４＋k,则c＝ ５－k,则 ca ＝ ４ ５ ,即 ５－k ３ ＝ ４ ５ ,解 得k＝－１９２９ ,②a２ ＝４＋k,b２ ＝９,则c＝ k－５,则ca ＝ ４ ５ ,即 k－５ ４＋k ＝４５ ,解得k＝２１．] ３．解析:由题意,m２＋１２＞m２＋４,故椭圆的焦点在x轴上 ∴a２＝m２＋１２,b２＝m２＋４,c２＝m２＋１２－(m２＋４)＝８ 故焦距２c＝２×２ ２＝４ ２． 答案:４ ２ ４．解:由题意知 c a ＝ ３ ２ , a－c＝２－ ３, { 解得 a＝２,c＝ ３,{ 所以b２＝a２－c２＝１,所以所求椭圆的方程为y ２ ４＋x ２＝１． §２　双曲线 ２．１　双曲线及其标准方程 课前预习学案 知识梳理 知识点一　距离之差的绝对值　定点　距离 ||MF１|－|MF２||＝２a [思考] １．[提示]　当距离之差的绝对值等于|F１F２|时,动点的轨迹 是两条射线,端点分别是F１,F２,当距离之差的绝对值大于 |F１F２|时,动点的轨迹不存在． ２．[提示]　点 M 在双曲线的右支上． 知识点二　x ２ a２ －y ２ b２ ＝１　y ２ a２ －x ２ b２ ＝１　(－c,０)　(c,０) (０,－c)　(０,c)　a２＋b２ 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)×　(４)× ２．D　[F１,F２ 是定点,且|F１F２|＝１０,所以满足条件|PF１|－ |PF２|＝１０的点P 的轨迹应为一条射线．] ３．B　[由题意知||PF２|－３|＝６,即|PF２|－３＝±６,解 得 |PF２|＝９或|PF２|＝－３(舍去)．] ４．解析:设双曲线的方程为mx２＋ny２＝１(m＜０,n＞０), 则 ９m＋２８n＝１,７２m＋４９n＝１,{ 解得 m＝－１７５ , n＝１２５ ,{ 故双曲线的标准方程为 y２ ２５－ x２ ７５＝１． 答案:y ２ ２５－ x２ ７５ ＝１ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)当焦点在x 轴上时,设所求标准方程为x ２ １６ －y ２ b２ ＝１(b＞０),把 点 A 的 坐 标 代 入 方 程,得b２＝－１６１５× １６０ ９ ＜０ ,不符合题意;当焦点在y 轴上时,设所求标准方程 为y ２ １６－ x２ b２ ＝１(b＞０),把A 点的坐标代入方程,得b２＝９．故 所求双曲线的标准方程为y ２ １６－ x２ ９＝１． (２)法一:∵焦点相同, ∴设所求双曲线的标准方程为x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０), ∴c２＝１６＋４＝２０,即a２＋b２＝２０．① ∵双曲线经过点(３ ２,２),∴１８ a２ －４ b２ ＝１．② 由①②得a２＝１２,b２＝８,∴双曲线的标准方程为x ２ １２－ y２ ８＝１． 法二:设所求双曲线的方程为 x ２ １６－λ－ y２ ４＋λ＝１ (－４＜λ＜１６)． ∵双曲线过点(３ ２,２),∴ １８１６－λ－ ４ ４＋λ＝１ , 解得λ＝４或λ＝－１４(舍去)．∴双曲线的标准方程为x ２ １２－ y２ ８＝１． (３)设双曲线的方程为Ax２＋By２＝１,AB＜０． ∵点P,Q 在双曲线上,∴ ９A＋２２５１６B＝１ , ２５６ ９A＋２５B＝１ ,{ 解得 A＝－１１６ , B＝１９． { ∴双曲线的标准方程为y ２ ９－ x２ １６＝１． [例２]　[解]　双曲线的标准方程为x ２ ９－ y２ １６＝１ ,故a＝３,b＝ ４,c＝ a２＋b２＝５． (１)由双曲线的定义得|MF１|－|MF２|＝２a＝６,又双曲线上 一点 M 到它的一个焦点的距离等于１６,假设点 M 到另一个 焦点的距离等于x,则|１６－x|＝６,解得x＝１０或x＝２２． 故点 M 到另一个焦点的距离为１０或２２． (２)将|PF２|－|PF１|＝２a＝６两边平方得|PF１|２＋|PF２|２ －２|PF１|􀅰|PF２|＝３６, 则|PF１|２＋|PF２|２＝３６＋２|PF１|􀅰|PF２|＝３６＋２×３２ ＝１００． 在△F１PF２ 中,由余弦定理得 cos∠F１PF２＝ |PF１|２＋|PF２|２－|F１F２|２ ２|PF１|􀅰|PF２| ＝ １００－１００ ２×３２ ＝０ ,且∠F１PF２∈(０°,１８０°), 所以∠F１PF２＝９０°, 故S△F１PF２＝ １ ２|PF１| 􀅰|PF２|＝ １ ２×３２＝１６． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０３２􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 [例３]　[解析]　(１)根据题意,若方程 x ２ k＋４＋ y２ k－１＝１ 表示 双曲线,则有(k＋４)(k－１)＜０,解得－４＜k＜１． (２)３＜m＜５ 时,m－５＜０,m２ －m－６＞０,方 程 x ２ m－５＋ y２ m２－m－６ ＝１表示焦点在y轴上的双曲线; 若方程 x ２ m－５＋ y２ m２－m－６ ＝１表示双曲线,则(m－５)(m２－ m－６)＜０,所以３＜m＜５或m＜－２, 所以３＜m＜５是方程 x ２ m－５＋ y２ m２－m－６ ＝１表示双曲线的 充分不必要条件． [答案]　(１)C　(２)A [例４]　[解]　以AB 边所在的直线为 x轴,AB 的垂直平分线为y 轴,建立 平面直角坐标系,如图所示,则A(－ ２ ２,０),B(２ ２,０)．由正弦定理,得 sinA＝|BC|２R ,sinB＝|AC|２R ,sinC＝ |AB| ２R (R 为△ABC的外接圆半径)． ∵２sinA＋sinC＝２sinB,∴２|BC|＋|AB|＝２|AC|,即 |AC|－|BC|＝|AB|２ ＝２ ２＜|AB|． 由双曲线的定义知,点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． 由题意,设所求轨迹方程为x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(x＞a), ∵a＝ ２,c＝２ ２,∴b２＝c２－a２＝６．即所求轨迹方程为x ２ ２－ y２ ６＝１ (x＞ ２)． 变式训练 １．解:(１)依 题 意,得 双 曲 线 的 焦 点 在x 轴 上,且a＝ ３,c＝ ２ ２,所以b２＝c２－a２＝５． 所以双曲线的标准方程为x ２ ３－ y２ ５＝１． (２)因为焦点在x轴上,且c＝ ６,所以设双曲线的标准方程 为x ２ a２ － y ２ ６－a２ ＝１,０＜a２＜６． 又因为过点(－５,２),所以２５ a２ － ４ ６－a２ ＝１,解得a２＝５或a２ ＝３０(舍去)． 所以双曲线的标准方程为x ２ ５－y ２＝１． ２．解析:不妨设点P 在双曲线的右支上, 因为PF１⊥PF２,所以|F１F２|２＝|PF１|２＋|PF２|２＝(２ ２)２, 又|PF１|－|PF２|＝２,所以(|PF１|－|PF２|)２＝４, 可得２|PF１|􀅰|PF２|＝４,则(|PF１|＋|PF２|)２＝|PF１|２＋ |PF２|２＋２|PF１|􀅰|PF２|＝１２, 所以|PF１|＋|PF２|＝２ ３． 答案:２ ３ ３．C　[原方程化为 y ２ k２－１ － x ２ k＋１＝１．∵k＞１ ,∴k２－１＞０,k＋ １＞０． ∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线．] ４．解:圆F１:(x＋５)２＋y２＝１,圆心F１(－５,０),半径r１＝１．圆 F２:(x－５)２＋y２＝４２,圆心F２(５,０),半径r２＝４． 设动圆 M 的半径为R,则有|MF１|＝R＋１,|MF２|＝R＋４, ∴|MF２|－|MF１|＝３＜１０＝|F１F２|． ∴点 M 的轨迹是以F１,F２ 为焦点的双曲线的左支,且a＝ ３ ２ ,c＝５,于是b２＝c２－a２＝９１４．∴ 动圆圆心 M 的轨迹方程 为x ２ ９ ４ －y ２ ９１ ４ ＝１ x≤－３２( )． 当堂达标 １．D　[由已知|PM|－|PN|＝２＝|MN|,所以点P 的轨迹是 一条以N 为端点的射线．] ２．AD　[因为a２＝２５,所以a＝５．由双曲线的定义可得||PF１| －|PF２||＝１０．由题意知|PF１|＝１２,所以|PF１|－|PF２| ＝±１０,所以|PF２|＝２２或２．] ３．A　[将８kx２－ky２＝８化为标准方程,得x ２ １ k －y ２ ８ k ＝１．∵焦点在 y轴上,∴８k＜０ ,即k＜０,∴c２＝－ ９k( )＝９,∴k＝－１．] ４．解:∵ ||PF１|－|PF２||＝８, |PF１|２＋|PF２|２－２|PF１|􀅰|PF２|􀅰cos π ３＝１００ ,{ ∴|PF１|􀅰|PF２|＝３６,∴S△PF１F２＝ １ ２|PF１| 􀅰|PF２|􀅰sin π ３ ＝９ ３．] ２．２　双曲线的简单几何性质 课前预习学案 知识梳理 知识点一　x≤－a或x≥a　y≤－a或y≥a　x轴、y轴　 (０,０)　(－a,０)　(a,０)　(０,－a)　(０,a)　２a　２b　 [思考] １．[提示]　渐近线相同的双曲线有无数条,但它们实轴的长与 虚轴的长的比值相同． ２．[提示]　e２＝c ２ a２ ＝１＋b ２ a２ ,b a 是渐近线的斜率或其倒数． 预习自测 １．(１)√　(２)×　 (３)√　 (４)×　(５)× ２．A　[由题意知y ２ ２－ x２ ２＝１ ,则渐近线方程为y＝±x．] ３．解析:由题意知a２＝１６,即a＝４．又e＝２,所以c＝２a＝８,则 m＝c２－a２＝４８． 答案:４８ ４．解析:双曲线方程可变形为x ２ ４－ y２ －k＝１ , 则a２＝４,b２＝－k,c２＝４－k,e＝ca ＝ ４－k ２ ． 又因为e∈(１,２),即１＜ ４－k２ ＜２ ,解得－１２＜k＜０． 答案:(－１２,０) 课堂互动学案 [例１]　[解]　双曲线的方程化为标准形式是x ２ ９－ y２ ４＝１ , ∴a２＝９,b２＝４,∴a＝３,b＝２,c＝ １３．又双曲线的焦点在x 轴上,∴顶点坐标为(－３,０),(３,０), 焦点坐标为(－ １３,０),( １３,０),实轴长２a＝６,虚轴长２b ＝４,离心率e＝ca ＝ １３ ３ ,渐近线方程为y＝±２３x． [例２]　[解析]　(１)不妨设点A 在第一象限,由题意可知c＝ ２,点A 的坐标为(１,３),所以ba ＝ ３ ,又c２＝a２＋b２,所以 a２＝１,b２＝３,故所求双曲线的方程为x２－y ２ ３＝１． (２)法一:因为双曲线的渐近线方程为y＝±１２x , 若焦点在x轴上,设所求双曲线的标准方程为:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１ (a＞０,b＞０),则ba ＝ １ ２．① 因为点 A(２,－３)在双曲线上, 所以４ a２ －９ b２ ＝１．②联立①②,无解． 若焦点在y轴上,设所求双曲线的标准方程为 y２ a２ －x ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０),则ab ＝ １ ２．③ 因为点A(２,－３)在双曲线上,所以９ a２ －４ b２ ＝１．④ 联立③④,解得a２＝８,b２＝３２． 故所求双曲线的标准方程为y ２ ８－ x２ ３２＝１． 法二:由双曲线的渐近线方程为y＝±１２x ,可设双曲线的方程 为x ２ ２２ －y２＝λ(λ≠０)．因为点A(２,－３)在双曲线上,所以２ ２ ２２ － (－３)２＝λ,即λ＝－８．故所求双曲线的标准方程为y ２ ８－ x２ ３２＝１． [答案]　(１)D　(２)y ２ ８－ x２ ３２＝１ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１３２􀅰 参考答案 §２　双曲线 ２．１　双曲线及其标准方程 　 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程 的推导过程 ２．掌握双曲线的标准方程及其求法 ３．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单 的问题 １．通过双曲线概念的学习,培养学生的数学抽 象的核心素养 ２．通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关 的轨迹问题的学习,提升学生的数学运算、逻 辑推理及数学抽象等核心素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　双曲线也是具有广泛 应用的一种圆锥曲线,如发 电厂冷却塔的外形、通过声 音时差测定定位等都要用 到双曲线的性质．本节我们 将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题． [知识梳理] [知识点一]　双曲线的定义 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 定义 平面内到两个定点F１,F２ 的　　　　　 　　等于常数(大于零且小于|F１F２|) 的点的集合(或轨迹)叫作双曲线 焦点 两个　　F１,F２ 叫作双曲线的焦点 焦距 两个焦点间的　　叫作双曲线的焦距 集合 语言 P＝{M|　　　　,０＜２a＜|F１F２|} 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．双曲线定义中,将“小于|F１F２|”改 为“等于|F１F２|”或“大于|F１F２|”的常数, 其他条件不变,点的轨迹是什么? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２．双曲线的定义中,F１、F２ 分别为双曲线的 左、右焦点,若|MF１|－|MF２|＝２a(常数),且 ２a＜|F１F２|,则点 M 的轨迹是什么? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点二]　双曲线的标准方程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 　　　　(a＞０, b＞０) 　　　　(a＞０, b＞０) 焦点 F１ 　　　　, F２ 　　　　 F１ 　　　　, F２ 　　　　 a,b,c的 关系 c ２＝　　　　 [预习自测] １．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (１)平面内到两定点的距离的差等于常数(小 于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线． (　　 ) (２)平面内到点F１(０,４),F２(０,－４)的距离之 差等于６的点的轨迹是双曲线． (　　 ) (３)平面内到点F１(０,４),F２(０,－４)的距离之 差的绝对值等于８的点的轨迹是双曲线． (　　 ) (４)在双曲线标准方程中,a,b,c之间的关系与 椭圆中a,b,c之间的关系相同． (　　 ) ２．已知F１(－８,３),F２(２,３),动点P 满足|PF１| －|PF２|＝１０,则P点的轨迹是 (　　 ) A．双曲线　　　　　B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线 ３．若双曲线E:x ２ ９ － y２ １６＝１ 的左、右焦点分别 为F１,F２,点P 在双曲线E 上,且|PF１|＝ ３,则|PF２|等于 (　　) A．１１　　　B．９　　　C．５　　　D．３ ４．经过点P(－３,２ ７)和Q(－６ ２,－７),且 焦点 在 y 轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 是 　　　　　　　　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２５􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 　　　求双曲线的标准方程 [例１]　 根 据 下 列 条 件,求 双 曲 线 的 标 准 方程: (１)a＝４,经过点A １,－４ １０３ æ è ç ö ø ÷; (２)与双曲线x ２ １６－ y２ ４＝１ 有相同的焦点,且 经过点(３ ２,２); (３)过点P ３,１５４ æ è ç ö ø ÷,Q －１６３ ,５ æ è ç ö ø ÷ 且焦点在坐 标轴上． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)结合a的值设出标准方 程的两种形式,将点A 的坐标代入求解． (２)因为焦点相同,所以所求双曲线的焦点 也在x轴上,且c２＝１６＋４＝２０,利用待定 系数法求解,或设出统一方程求解． (３)双曲线焦点的位置不确定,可设出一般方 程求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)求双曲线标准方程的步骤 ①确 定 双 曲 线 的 类 型,并 设 出 标 准 方程; ②求出a２,b２ 的值． (２)当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时, 需分焦点在x轴上和y 轴上两种情况 讨论,特别地,当已知双曲线经过两个 点时,可设双曲线方程为Ax２＋By２＝１ (AB＜０)来求解． [变式训练] １．根据下列条件,求双曲线的标准方程． (１)以椭圆x ２ ８＋ y２ ５＝１ 的焦点为顶点,顶点 为焦点; (２)焦距为２ ６,经过点(－５,２),且焦点在 x轴上; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３５􀅰 第二章　圆锥曲线 　　　双曲线的定义及应用 [例２]　若F１,F２ 是双曲线 x２ ９－ y２ １６＝１ 的两 个焦点． (１)若双曲线上一点 M 到它的一个焦点的 距离等于１６,求点M 到另一个焦点的距离; (２)如图,若P 是双曲线左支 上的点,且|PF１|􀅰|PF２|＝ ３２,试求△F１PF２ 的面积． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)直接利用定义求解． (２)在△F１PF２ 中利用余弦定理求∠F１PF２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)根据双曲线的定义求出|PF１|－|PF２| ＝２a; (２)利用余弦定理表示出|PF１|,|PF２|, |F１F２|之间满足的关系式; (３)通 过 配 方,利 用 整 体 的 思 想 求 出∠F１PF２; (４)利用公式S△PF１F２＝ １ ２×|PF１| 􀅰|PF２| sin∠F１PF２求得面积． (５)利用公式S△PF１F２＝ １ ２×|F１F２|×|yP| (yP 为P 点的纵坐标)求得面积． [变式训练] ２．已知双曲线x２－y２＝１,点F１,F２ 为其两个 焦点,点P 为双曲线上一点,若PF１⊥PF２, 则|PF１|＋|PF２|的值为　　　　． 　　　双曲线标椎方程的辨识 [例３]　(１)若方程 x ２ k＋４＋ y２ k－１＝１ 表示双曲 线,则k的取值范围是 (　　) A．[－４,１) B．(－∞,－４)∪(１,＋∞) C．(－４,１) D．(－∞,－４]∪[１,＋∞) (２)３＜m＜５是方程 x ２ m－５＋ y２ m２－m－６ ＝１ 表示双曲线的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 将双曲线的方程化为标准方程的形式,假 如双曲线的方程为x ２ m＋ y２ n＝１ ,则当mn＜０ 时,方程表示双曲线．若 m＞０, n＜０,{ 则方程表示 焦点在x轴上的双曲线;若 m＜０, n＞０,{ 则方程表 示焦点在y轴上的双曲线． 􀳀[变式训练] ３．若k＞１,则关于x,y的方程(１－k)x２＋y２ ＝k２－１所表示的曲线是 (　　) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在x轴上的双曲线 　　　与双曲线有关的轨迹问题 [例４]　如图所示,在△ABC 中,已知|AB|＝４ ２,且三 个内角A,B,C满足２sinA ＋sinC＝２sinB,建立适当的坐标系,求顶 点C的轨迹方程． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４５􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第一册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 [思路点拨]　 建立平面直 角坐标系 → 由已知条 件得到边 长的关系 → 判断轨迹 的形状 → 写出轨迹方程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法 (１)列出等量关系,化简得到方程． (２)寻找几何关系,由双曲线的定义,得出对 应的方程． 提醒:①双曲线的焦点所在的坐标轴是 x轴还是y 轴． ②检验所求的轨迹对应的是双曲线的 一支还是两支． [变式训练] ４．如图所示,已知定圆 F１: x２＋y２＋１０x＋２４＝０,定 圆F２:x２＋y２－１０x＋９＝ ０,动圆 M 与定圆F１,F２ 都外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程． [当堂达标] １．动点P 到点M(１,０)的距离与点N(３,０)的 距离之差为２,则点P 的轨迹是 (　　 ) A．双曲线　　　　　　　B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 ２．(多选)双曲线x ２ ２５－ y２ ９＝１ 上的点到一个焦 点的距离为１２,则到另一个焦点的距离为 (　　 ) A．２　　　B．７　　　C．１７　　D．２２ ３．若双曲线８kx２－ky２＝８的一个焦点坐标是 (０,３),则实数k的值为 (　　) A．－１ B．０ C．１ D．－１或１ ４．双曲线x ２ １６ － y２ ９ ＝１ 上有一点P,F１,F２ 是 双 曲 线 的 焦 点,且 ∠F１PF２ ＝ π ３ ,求 △PF１F２ 的面积． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５５􀅰 第二章　圆锥曲线