第二章 3.1 抛物线及其标准方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　　　　　　　　　§３　抛物线 　　　　　３．１　抛物线及其标准方程 [基础达标练] １．在平面直角坐标系中,到点(１,１)和直 线x＋２y＝３的距离相等的点的轨迹是 (　　 ) A．直线 B．抛物线 C．圆 D．双曲线 ２．焦点是F(０,５)的抛物线的标准方程是 (　　) A．y２＝２０x B．x２＝２０y C．y２＝１２０x D．x ２＝１２０y ３．已知抛物线y２＝２px(p＞０)的准线与 圆(x－３)２＋y２＝１６相切,则p的值为 (　　 ) A．１２ B．１ C．２ D．４ ４．已知点P 在抛物线y２＝４x 上,那么点 P 到点Q(２,－１)的距离与点P 到抛物 线焦点的距离之和取得最小值时,点P 的坐标为 (　　) A．１４ ,－１ æ è ç ö ø ÷ B．１４ ,１ æ è ç ö ø ÷ C．(１,２) D．(１,－２) ５．(多选)如图,正方体 ABCDＧA１B１C１D１ 的 棱长为１,点 M 在棱 AB上,且AM＝１３ ,点 P是平面ABCD 上的 动点,且动点P到直线A１D１ 的距离与点 P到点M 的距离的平方差为１,则动点P 的轨迹是 (　　 ) A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线 ６．已知抛物线C:４x＋ay２＝０恰好经过圆 M:(x－１)２＋(y－２)２＝１的圆心,则抛 物线C的焦点坐标为　　　　． ７．抛物线y＝－１４x ２ 上的动点 M 到两定 点F(０,－１),E(１,－３)的距离之和的 最小值为　　　　． ８．根据下列条件求出抛物线的标准方程: (１)准线方程是y＝３; (２)过点P(－２ ２,４); (３)焦点到准线的距离为 ２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９０３􀅰 第二章　圆锥曲线 [能力提升练] ９．已知直线l１:４x－３y＋６＝０和直线l２:x ＝－１,抛物线y２＝４x上一动点P 到直 线l１ 和直线l２ 的距离之和的最小值是 (　　) A．２ B．３ C．１１５ D． ３７ １６ １０．(多选)设抛物线C:y２＝２px(p＞０)的 焦点为F,点 M 在C 上,|MF|＝５．若 以 MF 为直径的圆过点A(０,２),则C 的方程为 (　　) A．y２＝４x B．y２＝８x C．y２＝２x D．y２＝１６x １１．抛物线x２＝２py(p＞０)的焦点为F,其 准线与双曲线x ２ ３ － y２ ３ ＝１ 相交于A, B 两 点,若 △ABF 为 等 边 三 角 形, 则p＝　　　　　． １２．设P 是抛物线y２＝４x上的一个动点, F为抛物线的焦点． (１)求点P 到点A(－１,１)的距离与点 P 到直线x＝－１的距离之和的最 小值; (２)若点B 的坐标为(３,２),求|PB|＋ |PF|的最小值． [素养培优练] １３．(多选)已知F是抛物线C:y２＝１６x的 焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交 y 轴于点N．若 M 为FN 的中点,则 (　　) A．C的准线方程为x＝－４ B．F点的坐标为(０,４) C．|FN|＝１２ D．三角形ONF的面积为１６２(O为坐 标原点) １４．如图,一个酒杯的内壁的轴截面是抛 物线的一部分,杯口宽４ ２cm,杯深 ８cm,称为抛物线酒杯．(１)在杯口放 一个表面积为３６πcm２ 的玻璃球,则 球 面 上 的 点 到 杯 底 的 最 小 距 离 为 　　　cm;(２)在杯内放入一个小的玻 璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的 半径的取值范围为　　　(单位:cm)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１３􀅰 选择性必修第一册 则|PO|＝ x２＋y２ ＝ x２＋１－x ２ ４ ＝ ３ ４x ２＋１,当x ＝０时,|PO|min＝１,所以 C正确; 令g(x)＝０,可得２f(x)＋x＝０,即f(x)＝－１２x , 则函数g(x)＝２f(x)＋x的零点,即为函数y＝f(x)与 y＝－１２x 的交点, 又由直线y＝－１２x 为双曲线x ２ ４－y ２＝１和－x ２ ４ ＋y ２ ＝１渐近线, 所以直线y＝－１２x 与函数y＝f(x)没有交点,即函数 g(x)＝２f(x)＋x不存在零点, 所以 D是正确的．] １４．解:(１)∵双曲线的右焦点坐标为(２,０),且双曲线方程 为x ２ ３－ y２ b２ ＝１, ∴c２＝a２＋b２＝３＋b２＝４,∴b２＝１, ∴双曲线的方程为x ２ ３－y ２＝１． (２)∵a＝ ３,b＝１, ∴双曲线的渐近线方程为y＝± ３３x , 令x＝－２,则y＝±２ ３３ ． 设直线x＝－２与双曲线的渐近线的交点为A,B, 则|AB|＝４３ ３ ,记双曲线的渐近线与直线x＝－２围 成的三角形的面积为S, 则S＝１２× ４ ３ ３×２＝ ４ ３ ３． §３　抛物线 ３．１　抛物线及其标准方程 １．A　[因为点(１,１)在直线x＋２y＝３上,故所求点的轨迹 是过点(１,１)且与直线x＋２y＝３垂直的直线．] ２．B　[由５＝p２ 得p＝１０．又焦点在y轴正半轴上,即方程 形式为x２＝２py,所以x２＝２０y．] ３．C　[由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－p２． 因为准线与圆相切,圆的方程为(x－３)２＋y２＝１６,所以 ３＋p２＝４ ,所以p＝２．] ４．A　[点Q(２,－１)在抛物线内部, 如图所示． 由抛物线 的 定 义 知,抛 物 线 上 的 点P 到点F 的距离等于点P 到 准线x＝－１的距离,过点Q 作x ＝－１的 垂 线,与 抛 物 线 交 于 点 K,则点K 为所求,当y＝－１时, x＝１４ ,∴P 为 １４ ,－１( )．] ５．B　[如图所示,在正方体ABCD －A１B１C１D１ 中,作PQ⊥AD,垂 足为Q, 则PQ⊥ 平 面 ADD１A１,过 Q 作 QR ⊥ A１D１,则 A１D１ ⊥ 平 面 PQR,则 PR 为 点 P 到 直 线 A１D１ 的距离,由题意得|PR|２－ |PQ|２＝|RQ|２ ＝１,由 已 知 得 |PR|２－|PM|２＝１,所以|PQ|＝ |PM|,即P 到点M 的距离等于P 到AD 的距离,所以根 据抛物线的定义可得,点P 的轨迹是抛物线．] ６．解析:圆M 的圆心为(１,２),代入４x＋ay２＝０得a＝－１,将 抛物线C的方程化为标准方程得y２＝４x,故其焦点坐标 为(１,０)． 答案:(１,０) ７．解析:抛物线标准方程为x２＝－４y,其焦点坐标为(０,－１), 准线方程为y＝１,则MF的长度等于点 M 到准线y＝１的 距离,从而点 M 到两定点F,E 的距离之和的最小值为 点E(１,－３)到直线y＝１的距离．即最小值为４． 答案:４ ８．解:(１)由准线方程为y＝３知,抛物线的焦点在y 轴负 半轴上,且p ２＝３ ,则p＝６,故所求抛物线的标准方程为 x２＝－１２y． (２)∵点P(－２ ２,４)在第二象限,∴设所求抛物线的标 准方程为y２＝－２px(p＞０)或x２＝２py(p＞０)．若抛物 线的标准方程为y２＝－２px(p＞０),则由４２＝－２p× (－２ ２),解得p＝２ ２;若 抛 物 线 的 标 准 方 程 为x２＝ ２py(p＞０),则由(－２ ２)２＝２p×４,解得p＝１． ∴所求抛物线的标准方程为y２＝－４ ２x或x２＝２y． (３)由焦点到准线的距离为 ２,得p＝ ２,故所求抛物线 的标准方程为y２＝２ ２x 或y２＝－２ ２x 或x２＝２ ２y 或x２＝－２ ２y． ９．A　[如图所示,动点P 到l２:x＝ －１的距离可转化为|PF|,由图 可知, 距离和 的 最 小 值 即 F 到 直 线l１ 的距离d＝ |４＋６| ４２＋(－３)２ ＝２．] １０．AD　[由已知得抛 物 线 的 焦 点 F p２ ,０( ) ,设 点 M(x０,y０),则AF → ＝ p２ ,－２( ) ,AM → ＝ y ２ ０ ２p ,y０－２( )． 由已知得AF → 􀅰AM → ＝０,即y２０－８y０＋１６＝０, 因 而 y０ ＝ ４,M ８ p ,４( )．由 | MF | ＝ ５,得 ８ p－ p ２( ) ２ ＋１６＝５． 又p＞０,解得p＝２或p＝８．故C 的方程为y２＝４x 或 y２＝１６x．] １１．解析:由x２＝２py(p＞０)得焦点F ０,p２( ) ,准线l为y ＝－p２ , 所以可求得抛物线的准线与双曲线x ２ ３－ y２ ３＝１ 的交点 A － １２＋p ２ ２ ,－p２ æ è ç ö ø ÷,B １２＋p ２ ２ ,－p２ æ è ç ö ø ÷,所 以 |AB|＝ １２＋p２,则|AF|＝|AB|＝ １２＋p２, 所以 p |AF|＝sin π ３ ,即 p １２＋p２ ＝ ３２ ,解得p＝６． 答案:６ １２．解:(１)如图, 易知抛物线的焦点为 F(１,０), 准线方程是x＝－１．由抛物 线 的定义知,点P 到直线x＝－１ 的距离等于点P 到焦点F 的距 离．于是问题转化为在抛物线上 求一点P,使点P 到点A(－１, １)的距离与点P 到F(１,０)的距 离之和最小．显然,连接AF,AF 与抛物线的交点即为点P,故最小值为 ２２＋１２＝ ５, 即点P 到点A(－１,１)的距离与点P 到直线x＝－１的 距离之和的最小值为 ５． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６９３􀅰 选择性必修第一册 (２)如图,把点B的横坐标代入y２＝４x,得y＝±２ ３． 因为２ ３＞２,所以点B 在抛物线内部．过点B 作BQ 垂直于准线,垂足为点Q,交抛物线于点P１,连接P１F． 此时,由抛物线定义知,|P１Q|＝|P１F|． 所以|PB|＋|PF|≥|P１B|＋|P１Q|＝|BQ|＝３＋１＝ ４,当且仅当B,P,Q 三点共线时,等号成立．即|PB|＋ |PF|的最小值为４． １３．ACD　[如 图,不 妨 设 点 M 位于第一象限,设抛物线的 准线l与x 轴交于点F′,作 MB⊥l于点B,NA⊥l于点 A．由抛 物 线 的 解 析 式 可 得 准线方程为x＝－４,F 点的 坐标为(４,０),则|AN|＝４, |FF′|＝８,在直角梯形ANＧ FF′中,中 位 线 |BM|＝ |AN|＋|FF′| ２ ＝６ ,由抛物线 的定义有|MF|＝|MB|＝６,结 合 题 意,有|MN|＝ |MF|＝６,故|FN|＝|FM|＋|NM|＝６＋６＝１２,|ON| ＝ １２２－４２＝８ ２,S△ONF＝ １ ２×８ ２×４＝１６ ２． ] １４．解析:(１)因为杯口放一个表面积为３６πcm２ 的玻璃球, 所以球的半径为３cm, 又因为杯口宽４ ２cm, 所以如 图 １ 所 示,有 AB＝４ ２,C１A＝C１B＝３,C１D ⊥AB, 所以|AD|＝|BD|＝２ ２, 所以|C１D|＝ |C１B|２－|DB|２＝ ９－８＝１, 所以|DE|＝２, 又因为杯深８cm,即|OD|＝８, 故最小距离为|OD|－|DE|＝６, (２)如图１所示,建立直角坐标系,易知B(２ ２,８),设 抛物线的方程为y＝mx２, 所以将 B(２ ２,８)代 入 得 m＝１,故 抛 物 线 方 程 为y ＝x２, 当杯内放入一个小的玻璃球,要使球触及酒杯底部,如 图２, 设玻璃球轴截面所在圆的方程为x２＋(y－r)２＝r２, 依题意,需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于 半径恒成立,即 x２＋(x２－r)２≥r, 则有x２(x２＋１－２r)≥０恒成立,解得１－２r≥０,可得０ ＜r≤１２． 所以玻璃球的半径的取值范围为 ０,１２( ]． 答案:６　 ０,１２( ] ３．２　抛物线的简单几何性质 １．C　[设抛物线方程为y２＝２px或y２＝－２px(p＞０), 依题意得x＝p２ 或x＝－p２ ,代入y２＝２px或y２＝－２px 得|y|＝p,∴２|y|＝２p＝８,p＝４． ∴抛物线方程为y２＝８x或y２＝－８x．] ２．B　[由抛物线关于x轴对称易知,点(m,－n)一定在该 抛物线上．] ３．D　[由a＞b＞０,方程y ２ a２ ＋x ２ b２ ＝１表示焦点在y轴上的 椭圆,ax＋by２＝０得y２＝－abx ,－ab ＜０ 表示焦点在x 轴上开口向左的抛物线．] ４．D　[由题意可得点F的坐标(１,０),准线方程为x＝－１,因 为P 为抛物线上一点,|PF|＝５,所以点P 的横坐标为 ４,当x＝４时,y２＝４×４＝１６,所以|y|＝４,所以△OPF 的面积为１ ２×１×４＝２． ] ５．B　[如图,以反射镜顶点为原点,以 顶点和焦点所在直线为x轴,建立直 角坐标系,设抛物线方程是y２＝２px(p ＞０)．∵A(４０,３０)在抛物线上,∴３０２＝ ２p×４０,∴p＝４５４ ,∴光源到反射镜顶 点的距离为p ２＝ ４５ ４ ２＝ ４５ ８＝５．６２５ (cm)．] ６．解析:由抛物线的图象和性质可知,由于任意一个多边 形所围区域沿着抛物线顶点出发向抛物线对称轴所在 直线平移,总能把有限的区域放入抛物线内部,所以(１) 正确;由于过抛物线内部一点的直线(不平行于轴)与抛 物线都有两个交点,故抛物线无法覆盖一条直线,也不 能覆盖与轴不平行、不共线的射线,所以(２)正确;由于 锐角是由两条不平行的射线组成,故抛物线不能覆盖任 何一个锐角,所以(３)错误;取一条 直线,使它不平行于任一抛物线的 对称轴,根据抛物线的图象和性质 可知直线上的点不能被完全覆盖, 如图,因为一条直线若被抛物线覆 盖,它必须是抛物线的对称轴,所 以任意有限多条抛物线都不能覆 盖整个平面,所以(４)正确． 答案:(１)(２)(４) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７９３􀅰 参考答案