第二章 2.1 双曲线及其标准方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂课时作业（北师大版2019）

　　　　　　　　　　§２　双曲线 　　　　２．１　双曲线及其标准方程 [基础达标练] １．(多选)已知F１(－３,０),F２(３,０),满足条件 |PF１|－|PF２|＝２m－１的动点P的轨迹 是双曲线的一支,则m 可以是下列数据 中的 (　　) A．２　　　　　　　　　B．－１ C．４ D．－３ ２．方程 x ２ ２＋m－ y２ ２－m ＝１ 表示双曲线,则 m 的取值范围为 (　　) A．－２＜m＜２ B．m＞０ C．m≥０ D．|m|≥２ ３．已知F 是双曲线C:x２－y ２ ３＝１ 的右焦 点,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直, 点A 的坐标是(１,３),则△APF 的面 积为 (　　) A．１３　　B． １ ２　　C． ２ ３　　D． ３ ２ ４．(多选)已知 A,B 两监测点间距离为 ８００米,且A监测点听到爆炸声的时间比 B监测点迟２秒,设声速为３４０米/秒,下 列说法正确的是 (　　 ) A．爆炸点在以A,B 为焦点的椭圆上 B．爆炸点在以A,B 为焦点的双曲线的 一支上 C．若B 监测点的声强是A 监测点的４ 倍(声强与距离的平方成反比),则爆 炸点到B 监测点的距离为６８０３ 米 D．若B 监测点的声强是A 监测点的４ 倍(声强与距离的平方成反比),则爆 炸点到B 监测点的距离为６８０米 ５．(多选)若方程 x ２ ３－t＋ y２ t－１＝１ 所表示的 曲线为C,则下面四个命题中错误的是 (　　 ) A．若C为椭圆,则１＜t＜３ B．若C为双曲线,则t＞３或t＜１ C．曲线C可能是圆 D．若C 为椭圆,且长轴在y 轴上,则 １＜t＜２ ６．若双曲线x ２ m－ y２ m－５＝１ 的一个焦点到 坐标 原 点 的 距 离 为 ３,则 m 的 值 为 　　　． ７．已知双曲线C:x ２ ９ － y２ １６＝１ 的左、右焦 点分别为F１,F２,P 为双曲线C 的右支 上一点,且|PF２|＝|F１F２|,则|PF１| ＝　 　 　 　,△PF１F２ 的 面 积 等 于 　　　　． ８．已 知 双 曲 线 两 个 焦 点 分 别 是 F１ － ２,０( ),F２ ２,０( ),点P(２,１)在 双曲线上． (１)求双曲线的标准方程; (２)过双曲线的右焦点F２ 且倾斜角为 ６０°的直线与双曲线交于A,B 两点,求 △F１AB 的周长． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５０３􀅰 第二章　圆锥曲线 [能力提升练] ９．若F１,F２ 是双曲线８x２－y２＝８的两焦 点,点P 在该双曲线上,且△PF１F２ 是 等腰三角形,则△PF１F２ 的周长为 (　　) A．１７ B．１６ C．２０ D．１６或２０ １０．已知双曲线x ２ ４－ y２ ３＝１ 的左、右焦点分 别为F１、F２,过F１ 的直线与双曲线的 左支交于A、B 两点,若∠AF２B＝６０°, 则△AF２B 的内切圆半径为 (　　 ) A．４ ３３ 　　B． ２ ３ ３ 　　C． ２ ３　　D．２ １１．在平面直角坐标系xOy中,若点 M 不 与点O 重合,则称射线OM 与圆x２＋ y２＝１４ 的 交 点 N 为 M 的“中 心 投 影点”． (１)点 M(３,１)的“中心投影点”的坐 标为　　　　; (２)曲线x ２ ３－y ２＝１上所有点的“中心投 影点”构成的曲线长度是　　　　　　． １２．如图,某野生保护区 监测中心设置在点 O 处,正西、正东、正 北处有三个监测点 A、B、C,且|OA|＝|OB|＝|OC|＝ ３０km,一名野生动物观察员在保护区 遇险,发出求救信号,三个监测点均收 到求救信号,A 点接收到信号的时间 比B 点接收到信号的时间早４０v０ 秒(注: 信号每秒传播v０ 千米)． (１)以O为原点,直线AB 为x 轴建立 平面直角坐标系(如题图),根据题设 条件求观察员所有可能出现的位置的 轨迹方程; (２)若已知C 点与A 点接收到信号的 时间相同,求观察员遇险地点坐标以 及与检测中心O的距离; (３)若C点监测点信号失灵,现立即以 监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫 描,为保证有救援希望,扫描半径r至 少是多少公里? [素养培优练] １３．(多选)已知点P 在双曲线C:x ２ １６－ y２ ９ ＝１上,F１、F２ 是双曲线C 的左、右焦 点,若△PF１F２ 的面积为２０,则下列说 法正确的有 (　　 ) A．点P 到x 轴的距离为２０３ B．|PF１|＋|PF２|＝ ５０ ３ C．△PF１F２ 为钝角三角形 D．∠F１PF２＝ π ３． １４．(２０２３􀅰高考上海卷)已知P,Q 是曲 线Γ 上两点,若存在 M 点,使得曲线Γ 上任意一点P 都存在Q 使得|MP|􀅰 |MQ|＝１,则称曲线Γ 是“自相关曲 线”．现有如下两个命题:①任意椭圆 都是“自相关曲线”;②存在双曲线是 “自相关曲线”,则 (　　) A．①成立,②成立 B．①成立,②不成立 C．①不成立,②成立 D．①不成立,②不成立 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６０３􀅰 选择性必修第一册 １０．AD　[设该椭圆的半长轴长为a,半焦距长为c．依题意 可得月球半径约为１ ２×３４７６＝１７３８ , a－c＝１００＋１７３８＝１８３８,a＋c＝４００＋１７３８＝２１３８, ２a＝１８３８＋２１３８＝３９７６,a＝１９８８,c＝２１３８－１９８８ ＝１５０,椭圆的离心率约为e＝ca ＝ １５０ １９８８＝ ７５ ９９４ ,可得结 论 A、D 项正确,B项错误;因为没有给坐标系,焦点坐 标不确定,所以 C项错误．综上可知,正确的为 AD．] １１．解析:由椭圆方程可知a＝５,c＝３,根据椭圆的定义,有 PF２ ＝２a－ PF１ ＝１０－ PF１ ,故 PF１ 􀅰 PF２ ＝ PF１ 􀅰(１０－ PF１ ),由于 PF１ ∈[a－ c,a＋c]＝[２,８],注意到二次函数y＝x(１０－x)的对称 轴为x＝５,故当x＝２,x＝８时,都使函数取得最小值, 其最小值为２×８＝１６． 答案:１６ １２．解析:直线l的斜率为－３４ ,过C 的左焦点和下顶点的 直线与l平行,所以bc ＝ ３ ４ ,又b２＋c２＝a２⇒ ３４c( ) ２ ＋ c２＝a２⇒２５１６c ２＝a２,所以e＝ca ＝ ４ ５． 答案:４ ５ １３．BC　[由椭圆的定义知,点P 的轨迹是以M,N 为焦点 的椭圆,其方程为x ２ ４＋ y２ ３＝１． 对于 A,把x－２y＋６＝０ 代入x ２ ４ ＋ y２ ３ ＝１ ,整 理 得 ２y２ －９y＋１２＝０,由 Δ＝ (－９)２－４×２×１２＝－１５＜０,知x－２y＋６＝０不是“椭 型直线”;对于B,把y＝x代入x ２ ４＋ y２ ３＝１ ,整理得x２＝ １２ ７ ,所以x－y＝０是“椭型直线”;对于 C,把２x－y＋１ ＝０代入x ２ ４＋ y２ ３＝１ ,整理得１９x２＋１６x－８＝０,由Δ＝ １６２－４×１９×(－８)＞０,知２x－y＋１＝０是“椭 型 直 线”;对于 D,把x＋y－３＝０代入x ２ ４ ＋ y２ ３ ＝１ ,整理得 ７x２－２４x＋２４＝０,由Δ＝(－２４)２－４×７×２４＜０,知x ＋y－３＝０不是“椭型直线”,故BC是“椭型直线”] １４．解析:依题意,若原椭圆,短轴＞焦距,则压缩数为n时, 半长轴为a,半短轴为c,半焦距为c,所以压缩数为n－ １时,半长轴为 a２＋c２,半短轴为a,半焦距为c; 压缩 数 为 n－２ 时,半 长 轴 为 ２a２＋c２,半 短 轴 为 a２＋c２,半焦距为a, ∵压缩数为n时,a２＝c２＋c２＝２c２, ∴Cn－２的离心率为 a ２a２＋c２ ＝ １０５ ; 同理,若原椭圆,短轴＜焦距,则压缩数为n时,半长轴 为a,半短轴为c,半焦距为c 所以压缩数为n－１时,半长轴为 a２＋c２,半短轴为c, 半焦距为a; 压缩数为n－２时,半长轴为 a２＋２c２,半短轴为c,半 焦距为 a２＋c２, ∵压缩数为n时,a２＝c２＋c２＝２c２, ∴Cn－２的离心率＝ a２＋c２ a２＋２c２ ＝ ３２． 答案:①② §２　双曲线 ２．１　双曲线及其标准方程 １．AB　[设双曲线的方程为x ２ a２ －y ２ b２ ＝１,则c＝３．∵２a＜２c ＝６,∴|２m－１|＜６,且|２m－１|≠０,∴－ ５２ ＜m＜ ７ ２ , 且m≠１２ ,∴A,B满足条件．] ２．A　[∵已知方程表示双曲线,∴(２＋m)(２－m)＞０． ∴－２＜m＜２．] ３．D　[由c２＝a２＋b２＝４得c＝２,所以F(２,０),将x＝２代 入x２－y ２ ３＝１ ,得y＝±３,所以|PF|＝３,又点A 的坐标 是(１,３),故 △APF 的 面 积 为 １２ ×３× (２－１)＝ ３２ , 选 D．] ４．BD　[依题意,A,B 两监测点间距离为８００米,且 A 监 测点听到爆炸声的时间比B 监测点迟２秒,设爆炸点为 C,则|CA|－|CB|＝３４０×２＝６８０＜８００,所以爆炸点在 以A,B 为焦点的双曲线的一支上．所以 A 选项错误,B 选项正确．若B 监测点的声强是A 监测点的４倍(声强 与距离的平方成反比),所以|CA| ２ |CB|２ ＝４,即|CA|＝２|CB|,结 合|CA|－|CB|＝６８０可得|CB|＝６８０．所以 C 选项错 误,D选项正确．] ５．AD　[若t＞３,则方程可变形为 y ２ t－１－ x２ t－３＝１ ,它表示 焦点在y轴上的双曲线; 若t＜１,则方程可变形为 x ２ ３－t－ y２ １－t＝１ ,它表示焦点在 x轴上的双曲线; 若２＜t＜３,则０＜３－t＜t－１,故方程 x ２ ３－t＋ y２ t－１＝１ 表 示焦点在y轴上的椭圆; 若１＜t＜２,则０＜t－１＜３－t,故方程 x ２ ３－t＋ y２ t－１＝１ 表 示焦点在x轴上的椭圆; 若t＝２,方程 x ２ ３－t＋ y２ t－１＝１ 即为x２＋y２＝１,它表示圆, 综上,选 AD．] ６．解析:依题意可知c＝３,当双曲线的焦点在x 轴上时,m ＞５,c２＝m＋m－５＝９, 所以m＝７;当双曲线的焦点在y轴上时,m＜０,c２＝－m ＋５－m＝９,所以m＝－２综上,m＝７或m＝－２． 答案:７或－２ ７．解析:在x ２ ９－ y２ １６＝１ 中,a＝３,b＝４, c２＝a２＋b２＝２５,∴c＝５． ∴|PF２|＝|F１F２|＝２c＝１０． 又P 为双曲线C 的右支上一点, ∴|PF１|－|PF２|＝２a＝６, ∴|PF１|＝１６． 过点F２ 作F２T⊥PF１ 于点T,则T 为PF１ 的中点． ∴|PT|＝８,∴|F２T|＝６,∴S△PF１F２＝ １ ２×１６×６＝４８． 答案:１６　４８ ８．解:(１)∵F２(２,０),P(２,１)∴PF２⊥x轴, ∴|PF２|＝ b２ a＝１ 且c＝ ２ 又c２＝a２＋b２,即a２＋a－２＝０,解得:a＝１, ∴b２＝１,∴双曲线的标准方程为:x２－y２＝１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３９３􀅰 参考答案 (２)由(１)知,双曲线渐近线为y＝x,倾斜角为４５° ∵直线AB 过F２ 且倾斜角为６０° ∴A,B 均在双曲线的右支上 ∴|BF１|－|BF２|＝２,|AF１|－|AF２|＝２ ∴|AF１|＋|BF１|＝４＋|AF２|＋|BF２|＝４＋|AB| 设直线AB 方程为:y＝ ３(x－ ２) 代入双曲线方程得:２x２－６ ２x＋７＝０ ∴|AB|＝ １＋３􀅰 (３－ ２)２－４＝４ ∴△F１AB 的周 长 为:|AF１|＋|BF１|＋|AB|＝４＋ ２|AB|＝１２ ９．D　[双曲线８x２－y２＝８可化为标准方程x２－y ２ ８＝１ ,所 以a＝１,c＝３,|F１F２|＝２c＝６．因为点P 在该双曲线上, 且△PF１F２ 是等腰三角形,所以|PF１|＝|F１F２|＝６,或 |PF２|＝|F１F２|＝６,当|PF１|＝６时,根据双曲线的定 义有|PF２|＝|PF１|－２a＝６－２＝４,所以△PF１F２ 的周 长为６＋６＋４＝１６;同理当|PF２|＝６时,△PF１F２ 的周 长为６＋６＋８＝２０．] １０．A　[设内切圆的圆心为M(x, y),设圆 M 与三角形的边分别 切于T,Q,S, 如图所示:连接 MS,MT,MQ, 由内切圆的性质可得:|F２T| ＝|F２S|,|AT|＝|AQ|,|BS| ＝|BQ|, 所以|AF２|－|AQ|＝|AF２| －|AT|＝|F２T|,|BF２|－|BQ|＝|BF２|－|BS| ＝|F２S|, 所以|AF２|－|AQ|＝|BF２|－|BQ|, 由双曲线的定义可知:|AF２|－|AF１|＝|BF２|－|BF１| ＝２a, 所以可得Q,F１ 重合,所以|TF２|＝２a＝４, 所以r＝|MT|＝|TF２|tan ∠AF２B ２ ＝ ４ ３ ３ ． ] １１．解析:(１)设点 M(３,１)的中心投影点的坐标为 N(x, y),|OM → |＝ (３)２＋１２＝２,|ON → |＝１２ ,因此ON → ＝ １ ４OM → ＝１４ (３,１)＝ ３ ４ ,１ ４ æ è ç ö ø ÷,所以 N ３ ４ ,１ ４ æ è ç ö ø ÷; (２)双曲线x ２ ３－y ２＝１的渐近线方程为:y＝± １ ３ x⇒y ＝± ３３x ,因此其中一条渐近线的倾斜角为 π ６ ,由中心 投影点的定义可知:中心投影点构成的曲线是圆x２＋ y２＝１４ 夹在两渐近线之间的两段圆弧,所以曲线长度 为２×２×π６× １ ２＝ π ３． 答案: ３ ４ ,１ ４ æ è ç ö ø ÷　π３ １２．解:(１)设观察员可能出现的位置的所在点为P(x,y), 因为A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间 早４０ v０ 秒, 故|PB|－|PA|＝４０v０ ×v０＝４０＜|AB|＝６０． 故点P 的坐标满足双曲线的定义,设双曲线方程为x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０,x＜０) 由题可知２a＝４０,２c＝６０,解得b２＝c２－a２＝５００, 故点P 的轨迹方程为x ２ ４００－ y２ ５００＝１ (x＜０)． (２)因为A(－３０,０),C(０,３０),设AC 的垂直平分线方 程为y＝kx,由k× ３０－００－(－３０)＝－１ ,得k＝－１,则AC 的垂直平分线方程为y＝－x． 联立 x ２ ４００－ y２ ５００＝１ (x＜０),可 得x２＝ ２０００,故x＝ －２０ ５,y＝２０ ５． 故观察员遇险地点坐标为 －２０ ５,２０ ５( ) 与检测中心 O 的距离为 (－２０ ５)２＋(２０ ５)２＝２０ １０km． (３)设轨迹上一点为P(x,y), 则|PC|＝ x２＋(y－３０)２＝ x２＋y２－６０y＋９００ 又因为x ２ ４００－ y２ ５００＝１ ,可得x２＝４５y ２＋４００, 代入可得:|PC|＝ ９５y ２－６０y＋１３００＝ ９ ５ y－ ５０ ３( ) ２ ＋８００≥ ８００＝２０ ２, 当且仅当y＝５０３ 时,取得最小值２０ ２．故扫描半径r至 少是２０ ２km． １３．BC　[因为双曲线C:x ２ １６－ y２ ９ ＝１ ,所以c＝ １６＋９＝ ５．又因为S△PF１F２＝ １ ２ 􀅰２c|yP|＝ １ ２×１０×|yP|＝２０ , 所以|yP|＝４,所以选项 A 错误;将|yP|＝４代入C: x２ １６ －y ２ ９＝１ 得x ２ １６－ ４２ ９ ＝１ ,即|xP|＝ ２０ ３． 由对称性,不妨 取P 的坐标为 ２０３ ,４( ) ,可知|PF２|＝ ２０３－５( ) ２ ＋４２ ＝１３３． 由双曲线定义可知|PF１|＝|PF２|＋２a＝ １３ ３＋８ ＝３７３ , 所以|PF１|＋|PF２|＝ １３ ３＋ ３７ ３＝ ５０ ３ ,所以选项B正确; 在△PF１F２ 中,|PF１|＝ ３７ ３ ＞２c＝１０＞|PF２|＝ １３ ３． 且 cos∠PF２F１ ＝ |PF２|２＋|F１F２|２－|PF１|２ ２|PF２|􀅰|F１F２| ＝ － ５１３＜ ０,则∠PF２F１ 为钝角,所以△PF１F２ 为钝角三角形,选 项 C 正 确; 由 余 弦 定 理 得 cos∠F１PF２ ＝ |PF１|２＋|PF２|２－|F１F２|２ ２|PF１|􀅰|PF２| ＝３１９４８１≠ １ ２ ,∠F１PF２ ≠ π ３ ,所以选项 D错误．] １４．B　[∵椭圆是封闭的,总可以找到满足题意的 M 点,使 得|MP|􀅰|MQ|＝１ 成 立,故 ① 正 确,在 双 曲 线 中, |PM|max→＋∞,而|QM|min是个固定值,则无法对任意 的P∈C,都存在Q∈C,使得|PM||QM|＝１,故②错误．] ２．２　双曲线的简单几何性质 １．C　[由题意 m４ ＝ １ ４ ,得m＝１,所以虚轴长为２．] ２．D　[双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的离心率为 ５, 可得c＝ ５a,所以b＝２a, 所以双曲线的渐近线方程为:y＝±２x, 一条渐近线与圆(x－２)２＋(y－３)２＝１交于A,B 两点, 圆的圆心(２,３),半径为１, 圆的圆心到直线y＝２x的距离为:|４－３| １＋４ ＝１ ５ , 所以|AB|＝２ １－１５＝ ４ ５ ５ ． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４９３􀅰 选择性必修第一册