第十七章 容斥原理的应用-2025年小升初数学必刷奥数题500题

[8×3+(4.5-3)×2]÷4.5=6(根) 答：应该同时打开6根排水管。 14.设1个检票口1分钟放进的旅客人数为1份，则 (4×15×1-8×7×1)÷(15-7)=0.5 4×15-0.5×15=52.5 52.5+0.5×5=55 55÷5=11(个)》 答：需设立11个检票口。 第十七章容斥原理的应用 【同步精练】 1.(1)至少完成了一科作业的有48-6=42人，两科 作业都完成的学生有30+20-42=8人； (2)只写完语文作业的有30-8=22人。 2.10×8+5×5-3×4÷2=99(平方厘米)。 答：这两个图形盖住的桌面的面积是99平方厘米。 3.由已知，不会游泳的有48-27=21（人） 不会骑车的有48-33=15（人） 不会打乒乓球的有48-40=8（人） 所以至少有一项运动不会的最多有： 21+15+8=44(人) 那么全班三项运动都会的至少有：48-44=4（人） 答：这个班至少有一项不会的最多有44人，三项都 会的至少有4人。 【好题精练】 1.50毫米=5厘米，5+5=10（厘米） 50+50+50-10=140(厘米) 2.36-(23+25-15)=36-33=3(人) 答：3个同学两题都没有答对。 3.从1到100中，是5的倍数的数有100÷5=20（个）， 是6的倍数的数有100÷6=16（个）…4，既是5 又是6的倍数的数有100÷(5×6)=3（个）…10， 因此是5或者是6的倍数的数有20+16-3=33 (个)，既不是5的倍数又不是6的倍数的数有100 -33=67(个)。 答：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不 是6的倍数的数有67个。 4.(24+22-10)÷2=36÷2=18(幅) 答：其他年级共展出是18幅。 5.(18+20-22)÷2=8(幅) 答：其他年级共展出8幅。 6.三种语言都学过的有： 99-(39+49+41-14-13-9)=6人 答：三种语言都学过的有6人。 参考答案 7.56-54=2(岁)】 妈妈：(82-2)÷2=80÷2=40（岁）】 小华：54-40=14（岁） 答：小华的年龄是14岁。 8.28×2-(8×2+17×2)=6(人) 6÷2=3(人) 答：只参加跑和投掷两项的有3人。 9.画图表示。可知，至少有一项达到 粒地 游泳 优秀的学生人数=短跑优秀人数+ 17 118 游泳优秀人数+篮球优秀人数一短 篮球15 跑和游泳均优秀人数-游泳和篮球 均优秀人数一篮球和短跑均优秀人数+三项均优 秀人数。 至少一项优秀的学生数： 17+18+15-6-6-5+2=35(人) 全班人数：35+4=39（人） 10.(33+39+34)÷2=53(本) 53-33=20(本)53-39=14（本） 53-34=19(本) 答：小红有20本，小兰有14本，小明有19本。 11.52-13-23=39-23=16(人) 16÷4×3=4×3=12(人) 23-12=11(人) 答：只会游泳的有11人。 12.能被2整除的数共有：200÷2=100（个） 能被3整除的数共有：200÷3=66（个） 能被5整除的数共有：200÷5=40（个） 能被6整除的数共有：200÷6=33（个） 能被15整除的数共有：200÷15=13（个） 能被10整除的数共有：200÷10=20（个） 能被30整除的数共有：200÷30=6（个） 能被2或3或5整除的数共有：100+66+40-33 -13-20+6=146 答：能被2或3或5整除的数共有146个。 13.三个人一共看过的书的本数是： 甲+乙+丙-（甲乙+甲丙+乙丙）+甲乙丙 =33+44+55-(29+25+36)+甲乙丙=42+ 甲乙丙，当甲乙丙最大时，三人看过的书最多，因 为甲、丙共同看过的书只有25本，比甲乙和乙丙 共同看过的都少，所以甲乙丙最多共同看过25 本。三人总共看过最多有42+25=67（本） 都没看过的书最少有：100-67=33（本） 答：这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的 25 【小升初数学必刷奥数题500题 任何一人借阅过。 14.只要冰棍的人数6-3-1=2（人） 只要汽水的人数6-3-1-1=1（人） 只要雪碧的人数是4-1-1=2（人） 总人数2+1+2+3+0+1+1=10（人） 答：共有10个小朋友去了冷饮店。 15.该村的孩子共有21人 21÷3=7(人)7×2=14（人） 21÷7=3(人)21-7-14+3=3（人）》 第十八章平均数问题 【同步精练】 1.(13×3+12×15+11×11+10×21)÷(3+15+ 11+21)=550÷50=11(岁) 答：这个班的平均年龄是11岁。 2.(12×2)÷(12÷2+12÷6)=24÷8=3(千米/小 时)》 答：这人在上、下山全过程中平均速度是每小时3 千米 3.(10×3.9-8×4.1)÷2=(39-32.8)÷2=6.2÷ 2=3.1(米) 答：最后2次平均跳了3.1米。 【好题精练】 1.9个数的和：72×9=648， 余下的8个数的和：78×8=624， 去掉的数是：648-624=24 答：去掉的数是24。 2.[89×(40-2)+99×2]÷40 =3580÷40 =89.5(分)】 答：这个班级中考平均分是89.5分。 3.127×3+148×3-138×5 =381+444-690 =135 答：第三个数是135。 4.(60×2+70×3)÷(2+3)=66(千米/时) 5.100-90=10(分) 10÷(90-88)=5(次)5+1=6（次） 答：这是他第6次测验。 6.(70×6-96)÷(6-1)=64.8(分) 答：小明以外的另5位同学的平均分为64.8分。 7.40×18÷60 =720÷60 =12(分) 26 40×18×2÷(18+12) =1440÷30 =48(米/分钟) 答：小刚往返的平均速度是每分钟48米 8.男生：(70×100-63×100)÷(70-60)=70（人） 女生：100-70=30（人） 男生比女生多：70-30=40（人） 9.(13+5)÷(90-87) =18÷3 =6(人) 答：这些同学共有6人。 10.男生平均每人捐书数量：(7+3)÷2=5（本） 女生平均每人捐书数量：(6+4)÷2=5（本） 总共捐书数量：5×200=1000（本） 答：全校共捐书1000本。 11.60÷10+60÷15=6+4=10(小时) 60×2÷10=120÷10=12(千米/时) 答：小刚往返的平均速度是12千米/时。 12.假设有48人，由题意可得： [48x6x13+48x子x12+48×1-6-子 ×11]÷48 =11.875 ≈12（岁） 答：这个班学生的平均年龄是12岁。 13 B+C+D=23 A+C+D=26 3 3 A+B+D=30A+B+C=33 3 3 四个式子相加得3A+B+C+D)=112 A+B+C+D=112 112÷4=28 答：A、B、C、D四个数的平均数为28。 14.这35个数的和： (39+41+40+45+42+39+41)×5=1435 最后一行的平均数是： (1435-42×7-39×7-44×7-41×7)÷7=39 15.10-4=6(人)，[(6×3)+(20+4)×1]÷(10- 6)=10.5(分) 答：原来一等奖平均分比二等奖平均分多10.5分。 16.假设最高分为100分，考试x次， 100+83(x-1)=85x x=8.5第十七章容斥原理的应用 第十七章 士容斥原理的应用 知识概述 容斥原理是解决计数问题的重要方法，在计数时要求注意无一重复无一遗漏， 为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思 想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然 后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种 计数的方法称为容斥原理。常见的容斥问题有两者容斥、三者容斥两种。 对于容斥原理的题目，一般有两种解答方法：一是利用公式直接求解：是图 示法结合设未知数列方程求解。在解题过程中先不考虑重叠的情况心，把包 内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排屈出去， 使得计算的结果既无遗漏又无重复。可画文氏（韦恩）图来解题。 典例精讲 …☆☆☆ 例1 完成的有：79-48=31人。 ,个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语 【答案】37+42-48=31（人） 文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做 答：有31人语文、数学作业都完成了。 完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问： 【同步精练】 “谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。1.四（二）班有48名学生，在一节自习课上， 求这个班语文、数学作业都完成的人数。 写完语文作业的有30人，写完数学作业的 【精析】完成语文作业的有37人，完成数学作 有20人，语文数学都没写完的有6人。 业的有42人，一共有37+42=79人，多于全 (1)语文数学都写完的有 人。 班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人 (2)只写完语文作业的有 人 数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在 例2 统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样 有一张长10厘米、宽5厘米的长方形纸片和 就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都一张面积是40平方厘米的圆形纸片，两张纸 97 小升初数学必刷奥数题500题 片覆盖在桌面上的面积是60平方厘米。求两【精析】根据题意画图 张纸片重合部分的面积是多少平方厘米？ 跑3 投8 跳8 【精析】长方形的面积是1×5=50（平方厘 米)，两张纸片的总面积是50+40=90（平方 我们可以先算出19+20+21=60（人），但是 厘米)，但两张纸片覆盖在桌面上的面积只有 这里有被重复算的和漏算的，我们要注意减去 60平方厘米，多出的部分就是两张纸片重合 重复的部分，加上漏算的部分。由图可知，6 部分的面积，即90-60=30（平方厘米）。 9、10人都是两两重叠的部分，被多算了一次 【答案】长方形纸片的面积： 要减去：60-6-9-10=35（人），但要注意， 10×5=50(平方厘米)》 图中的3人，在计算19、20、21的和的时候被 重合部分的面积： 加了三次，在“-6-9-10”的时候又被减了 50+40-60=30(平方厘米) 三次，那么相当于漏算了这3人，所以我们应 答：两张纸片重合部分的面积是30平方厘米。 该将漏算的3人加上，35+3=38（人），这38 【同步精练】 人是至少有一项达到优秀的人数，算全班总人 2.有长10厘米，宽8厘米的长方形与边长5 数，还需要加上三项都未达到优秀的4人，所 厘米的正方形如图放在桌面上（阴影部分 以共有38+4=42（人）. 是两个图形的重叠部分)。这两个图形盖 【答案119+21+20-9-10-6+3=38（人） 住的桌面的面积是多少平方厘米？ 38+4=42(人) 答：全班有42人。 【同步精练】 3.某班共有学生48人，其中27人会游泳，33 例3 人会骑自行车，40人会打乒乓球，这个班至 某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人 少有一项不会的最多有多少人？三项都会 三项都未达到优秀，其他人至少有一项是优 的至少有多少人？ 秀，下表是得优秀的情况，请你算出全班人数。 短跑、短跑 跳远 短跑 投掷跳远 三项 跳远 投掷 投掷 19 21 20 9 10 6 3 98 第十七章容斥原理的应用 好题精练 -…☆☆☆ A组一夯基础 1.有三块木板各长50厘米，把三块木板钉成一块长木板，中间两处钉在一起的重叠部分都是 50毫米，钉成的木板长多少厘米？ 2.某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对 的有15人。问有多少同学两题都没有答对？ 3.在1到100的自然数中，既不是5的倍数，也不是6的倍数的数有多少个？ 4.光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅 不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品一共有10幅，其他年级参 展的书法作品共有多少幅？ 5.五一小学举行小学生画展，其中18幅不是六年级的，20幅不是五年级的。现在知道五、六 年级共展出22幅画，其他年级共展出多少幅画？ 99 小升初数学必刷奥数题500题 6.100个学生只有一人没学过外语，学过英语的有39人，学过法语的有49人，学过俄语的有 41人，学过英语也学过法语的有14人，学过英语也学过俄语的有13人，学过法语也学过俄 语的有9人。问：三种语言都学过的有多少人？ 7.爸爸和小华年龄共56岁，妈妈和小华年龄共54岁，爸爸、妈妈年龄共82岁，小华年龄是多 少岁？ 8.有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知有8人没参加跑的项目，参加投掷 项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。问：只参加跑和投掷两项的有多少人？ 9.某班全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目中都没达 到优秀，其余学生每人至少有一项达到优秀，这部分学生达到优秀的项目及人数如表所示， 求这个班的学生数。 短跑 游泳 篮球 短跑和游泳 17 18 15 6 游泳和篮球 篮球和短跑 短跑、游泳和篮球 6 5 2 10.小明、小兰和小红每人都有几本书。小明和小兰共有33本，小明和小红共有39本，小兰和 小红共有34本。他们三人各有几本书？ 100 第十七章容斥原理的应用 B)组一提能力 11.某班有学生52人，在调查谁会游泳和滑冰两项运动时发现，有23人会游泳，两项都不会的 有13。只会滑冰和两项运动都会的人数之比是4：3。问：只会游泳的有多少人？ 12.在1~200这200个自然数中，能被2或3或5整除的数共有多少个？ 13.图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名。已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分 别有33,44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25 本，同时有乙、丙签名的图书为36本。问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任 何一人借阅过？ 14.在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6 人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水 和雪碧的有1人，三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？ 15.在一个村子里，3的孩子能游泳，子的孩子能骑车，并且)的孩子既能游泳，也能骑车（当然 不必同时做两件事)。已知该村的孩子不到40人，那么既不会游泳也不会骑车的孩子有多 少人？ 101