第十五章 行程问题-2025年小升初数学必刷奥数题500题

第十五章行程问题 第十五章 行程问题 知识概述 行程问题是小学数学应用题中的基本问题，它包含了简单的相遇与追及问题、 多人相遇追及问题、多次相遇追及问题、流水行船问题、环形跑道问题、钟面行程问 题、火车过桥问题等，但无论怎么变化，最后的基本关系式都是路程=速度×时间， 这是解决行程问题的基础。 解决此类问题，首先要弄清楚物体的具体运动情况，画出所有运动物傣的运动 ● 轨迹，理清对应时间他们的运动关系，运用不同类型的解题技巧，理解和同美型的 运动过程。有的题目可能会有多种情况，注意分类讨论。 同 典例精讲 -…☆☆☆ 例1 450÷9=50(千米/时) 甲、乙两车分别从相距450千米的A、B两地 450÷(75+50) 同时相对开出，甲车行完全程要6小时，乙车 =450+125 行完全程要9小时，两车相遇时距B地多少千 =3.6(小时)》 米？ 50×3.6=180(千米) 【精析】“要求两车相遇时距B地多少千米”， 答：两车相遇时距B地180千米。 实际就是求相遇时乙车行了多少千米。我们 【同步精练】 可以先求出两车的相遇时间，也就是乙车从出 1.甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车 发到相遇所行的时间。也可根据路程、速度和 每小时行92千米，乙车每小时行108千米， 时间三者之间的关系得知，当两车行的时间相 两车在离中点48千米的地方相遇。A、B两 同时，甲的速度是乙的多少倍，甲行的路程也 地之间相距多少千米？ 是乙的多少倍来解决。 【答案】450÷6=-75（千米/时） 85 小升初数学必刷奥数题500题 例2 快，猎狗跑3步的时间，兔子能跑4步，猎狗 兄妹两人在同一所学校读书，某一天两人同时 至少跑多远才能追上野兔？ 离家去上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟 走60米，哥哥走到学校门口发现忘记带课本， 立即沿着原路回家去取，行到离学校180米处 与妹妹相遇，他们家离学校有多远？ 例3 【精析】此题看起来是相遇问题，但也要用到 一艘船往返于一段长240千米的两个港口之 追及问题的数量关系。他们的运动过程如下 间，逆水而行15小时，顺水而行12小时，求船 图所示： 在静水中航行的速度与水速各是多少？ 学校 【精析】用路程除以逆水而行的时间，可以求 180米 出逆水速度：用路程除以顺水而行的时间，求 从图中可以看出，兄妹出发到相遇，哥哥比妹 出顺水速度。船速=（顺水速度+逆水速度）》 妹多走了180×2=360米，这就是路程差。根 ÷2,水速=顺水速度-船速。 据路程差和速度差可以算出兄妹的相遇时间， 【答案】解：逆水速度：240÷15=16（千米/时） 再根据速度和相遇时间，可以求出哥哥或妹妹 顺水速度：240÷12=20（千米/时）》 所走的路程。用哥哥所走的路程减去180米， 船速：(16+20)÷2=18（千米/时） 或用妹妹所走的路程加上180米，就可算出全 水速：20-18=2（千米/时） 程了。 答：船在静水中航行的速度为18千米/时，水 【答案】180×2÷(90-60)】 速是2千米/时。 =180×2÷30 【同步精练】 =12(分钟) 3.甲、乙两港间的水路长416千米，一只船从 60×12+180 甲港开往乙港，顺水16小时到达，逆水返回 =720+180 时26小时到达，求船在静水中的速度和水 =900(米) 流速度。 答：他们家离学校有900米。 【同步精练】 2.猎狗追赶前方15米的野兔，猎狗步子大，它 跑5步的路程兔子要跑8步，但是兔子动作 86 第十五章行程问题 例4 =4(圈) 小明和爸爸绕一个周长为400米的跑道晨练， 200×10÷400 爸爸每分钟跑200米，小明每分钟跑160米。 =2000÷400 两人同时同地同向出发，至少要经过几分钟两 =5(圈) 人才能相遇？相遇时各跑了几圈？ 答：至少要经过10分钟两人才能相遇，相遇时 【精析】父子两人要想在环形跑道上相遇，爸 爸爸跑了5圈，小明跑了4圈。 爸必须比小明多跑一圈，因此此题属于追及问 【同步精练】 题的另外一种形式，即环形追及，每相遇一次 4.上海路小学有一个300米的环形跑道，扬扬 快的比慢的都要多跑一圈。 和宁宁同时从起跑线起跑，扬扬每秒跑6 【答案】400÷(200-160) 米，宁宁每秒跑4米。问：扬扬第一次追上 =400÷40 宁宁时两人各跑了多少米？ =10(分钟) 160×10÷400 =1600÷400 好题精练 ,☆☆☆ A组一夯基础 1.A、B两地间有条公路，甲从A地出发步行前往B地，乙骑摩托车从B地同时出发，不停顿地 往返于A、B两地之间。80分钟后他们第一次相遇，又过了20分钟乙第一次超越甲。求甲、 乙速度之比。 2.甲、乙和丙三人同时分别由东、西两城出发，甲、乙两人由东城到西城，丙由西城到东城。甲 步行每小时行5千米，乙骑自行车每小时行15千米，丙骑自行车每小时行20千米。已知 丙在途中遇到乙后，又经过1小时后才遇到甲。问东、西两城相距多少千米？ 87 小升初数学必刷奥数题500题 3.甲、乙两人分别从学校出发去少年宫，甲步行先出发，每小时走4千米，1小时后乙骑车出 发，每小时行12千米，结果两人同时到达少年宫。问：少年宫距离学校多少千米？ 4.A城和B城相距240千米，一辆汽车原计划需要6小时从A城到B城，汽车行一半路程后， 因故途中停留30分钟。如果按原计划的时间到达B城，后半段路程车速应提高多少？ 5.甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小强和小明同时分别从甲 丙两站出发相向而行，小强经过乙站100米时与小明相遇，然后两人又继续前进，小强走到 丙站立即返回，经过乙站300米时又追上小明，问：甲、乙两站的距离是多少米？ 6.小明和小平两人到游泳池去游泳，两人分别从游泳池的左岸和右岸同时出发，相向而游。两 人第一次相遇是距游泳池左岸40米，第二次相遇时距游泳池右岸20米，求这个游泳池左右 两岸相距多少米？ 7.已知一艘轮船顺水行48千米需4小时，逆水行48千米需6小时，现在轮船从上游A港到下 游B港。已知两港间的水路长为72千米，开船时一旅客从窗口扔到水里一块木板，问船到 B港时，木块离B港还有多远？ 88 第十五章行程问题】 8.已知A、B两地相距480千米，一辆慢车从A地出发，每小时行驶60千米，一辆快车从B地开 出，每小时行驶65千米，问： (1)若两车同时开出，同向而行，快车在慢车后面经过多少小时，快车追上慢车？ (2)若两车同时开出，背向而行，经过多长时间两车相距730千米？ 9.从A到B是1千米下坡路，从B到C是3千米平路，从C到D是2.5千米上坡路。小张和 小王步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/ 小时。小张和小王分别从A,D同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇？ 10.A、B两地相距460千米，甲列车从A地开出2小时后，乙列车从B地出发，经4小时与甲列 车相遇，已知甲列车比乙列车每小时多行10千米，问甲车平均每小时行多少千米？ 11.A、B两地相距360千米，甲、乙两车同时从两地相对开出3小时后在途中相遇，如果两车分 别从A、B两城向同一方向开出，那么经过15小时后，甲车就可以追上乙车，求甲、乙两车每 小时各行多少千米？ B组一提能力 12.当甲在60米赛跑中冲过终点线时，比乙领先10米、比丙领先20米，如果乙和丙按原来的 速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时将比丙领先多少米？ 89 小升初数学必刷奥数题500题 13.甲、乙两人同时从A、B两点出发相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，出发一段 时间后，两人在距中点的C处相遇：如果甲出发后在途中某地停留了7分钟，两人将在距中 点的D处相遇，且中点距C、D距离相等，问A、B两点相距多少米？ 14.甲、乙练习跑步，若乙先抢跑10米，则甲5秒可追上乙，若乙比甲先跑10秒，则甲跑15秒 可追上乙，求：甲每秒跑多少米？乙每秒跑多少米？ 15.小明沿着与铁路平行的小路散步，一列长520米火车从背后驶来，42秒从他身边开过，小 明自己行走68米，问：这列火车速度是多少？该火车迎面遇到一列时速为57.6千米/时的 火车，35秒两车相错。问：迎面遇到的这列火车长多少米？ 16.甲、乙二人从相距1836米的两地相向同时出发，9分钟后，二人在途中相遇，如果甲、乙二 人每分钟都多行6米，那么相遇的地点距离原相遇点9米，问：甲、乙二人每分钟各行多 少米？ 90小升初数学必刷奥数题500题 第十五章 行程问题 【同步精练】 1.(92+108)×[(48×2)÷(108一92)] =200×[96÷16] =200×6 =1200(千米) 答：A、B两地之间相距1200千米。 2.8×3=24(步)，5×4=20（步），24÷20=1.2，这 明猎狗的速度是兔子的1.2倍，15×[1.2÷(1 -1)]=90(米)。 答：猎狗至少要跑90米才能追上野兔。 3.416÷16=26(千米/时) 416÷26=16(千米/时) (26+16)÷2=21(千米/时) (26-16)÷2=5(千米/时) 答：船在静水中速度是21千米/时，水流速度 5千米/时 4.300÷(6-4)=300÷2=150(秒)》 6×150=900(米)4×150=600（米） 答：扬扬第一次追上宁宁时扬扬跑了900米，宁 跑了600米。 【好题精练】 1.甲行80+20+80=180（分） 甲、乙的速度之比为20：180=1：9 答：甲、乙速度之比为1：9。 2.设经过x小时乙与丙相遇， 根据题意得15x+20x=5(x+1)+20(x+1), 解得x=2.5, 所以15×2.5+20×2.5=87.5（千米） 答：东、西两城相距87.5千米。 3.4×1=4(千米)4÷(12-4)=0.5（时） 12×0.5=6(千米) 答：少年宫距学校6千米。 4.设后半段路程提高x千米/时，则 120÷(240 6 +x)=3-0.5 解出：x=8 答：后半段路程车速度应提高8千米/小时。 5.100+300=400(米)》 400÷2+100=300(米) 答：甲、乙之间的距离的是300米。 6.40×3-20 22 =120-20 =100(千米) 答：这个游泳池左右两岸相距100米。 7.顺水行驶速度为：48÷4=12（千米）， 逆水行驶速度为：48÷6=8（千米）， 水的速度为：(12-8)÷2=2（千米）， 从A到B所用时间为：72÷12=6（小时）， 兑 6小时木板的路程为：6×2=12（千米）， 2 与船所到达的B地距离还差：72-12=60（千米）。 答：船到B港时，木块离B港还有60米。 8.(1)设经过x小时快车追上慢车， 由题意得：60x+480=65x,x=96 答：快车经过96小时追上慢车。 (2)设经过y小时两车相距730千米， 由题意得：60y+65y+480=730. 即125y=730-480 所以y=2。 答：经过2小时两车相距730千米。 9.小王和小张开始走的都是下坡路，小张走下坡路 用了1+6=右小时，小王走下坡路用了2.546= 高水时。 高小时时小张在平路上走了4×（合名）=1千 米，平路还有2千米，它们需要用时2÷(4+4)= 子小时相遇，所以他们的相遇时间是音+子一号 小时。 答：子小时后他们相遇。 10.设甲车每小时行x千米，则乙车每小时行(x 10)千米，可得方程： 2x+(x-10+x)×4=460 解得，x=50: 答：甲车平均每小时行50千米。 11.甲乙速度和：360÷3=120（千米） 甲乙速度差：360÷15=24（千米） 甲速：(120+24)÷2=72（千米/时） 乙速：(120-24)÷2=48（千米/时）， 答：甲车每小时行72千米/时，乙车每小时行48 千米/时。 :12.60-60÷[(60-10)÷(60-20)]=12(米) 答：当乙到达终点时将比丙领先12米。 13.甲乙速度比80：60=4：3 第一次相遇，甲行全程的4十3=7 44 第二次相遇，甲行全程的3-（号-）=号 3 甲行的时间，乙行了号4×38 甲休息的7分钟，乙行了1-号-器=号 即甲休息的7分钟乙行了全程的好 乙7分钟行驶的路程为：7×60=420（米）】 总路程为：420×4=1680（米） 答：A,B两点相距1680米。 14.根据分析可得，10÷5=2（米/秒） 乙：2×15÷10=3（米/秒），甲：3+2=5（米/秒） 答：甲每秒跑5米，乙每秒跑2米。 15.火车行驶42秒，行驶距离为68米及车长，所以火 车速度为(520+68)÷42=14米/秒， 57.6千米/时=16米/秒， 35秒两车相错，即35秒内两车共同行走的行程 为两车车长， 设另一火车车长为x米，则(x+520)÷(14+16) =35, 解出x=530米. 答：这列火车长为530米。 16.设甲乙速度分别为V,V乙 Vm+Vz=1836÷9=204(米/分)】 甲乙都增速6米/分后，二人中途相遇所需时间： 1836÷(V甲+6+V2+6)=1836÷(204+12) =1836÷216=8.5(分) 则V▣×9=(V甲+6)×8.5+9 解得Vm=(8.5×6+9)÷(9-8.5)=60÷0.5= 120(米/分) Vz=204-120=84(米/分)》 答：甲每分钟行120米，乙每分钟行84米。 第十六章“牛吃草”问题 【同步精练】 1.假设1头牛吃草量为1份。 每周长出新草：(23×9-27×6)÷(9-6)=15， 原有草：27×6-15×6=72， 假设有15头牛专吃新长出的草。 参考答案 原有的草被吃完周数为： 72÷(21-15)=72÷6=12(周)： 答：可供21头牛吃12周。 2.设1头牛1天的吃草量为“1”，60只羊的吃草量 等于15头牛的吃草量，88只羊的吃草量等于22 头牛的吃草量，所以草的生长速度为(15×24-20 ×12)÷(24-12)=10,原有草量为(20-10)× 12=120,12头牛与88只羊一起吃可以吃120÷ (12+22-10)=5(天)。 将牛换成羊，每天长(60×24-80×12)÷(24 12)=40份，原有草80÷12-40×12=480份，12 ×4+88=136只羊，可以吃480-(136-40)= 5天。 答：一起可以吃5天。 3.青草每天减少：(25×4-16×6)÷(6-4)=2 (份) 牛吃草前牧场有草：25×4+2×4=108（份） 12天吃完需要牛的数量为： (108-12×2)÷12=7(头) 答：可供7头牛吃12天。 4.设一只猴子一周吃的野果为“1”，则野果的生长速 度是 (21×12-23×9)÷(12-9)=15, 原有的野果为(23-15)×9=72， 如果要4周吃光野果，则需有72÷4+15=33只猴 子一起吃。 【好题精练】 1.设每头牛每周吃“1”份草，则 23×9-27×6=45(份) 45÷(9-6)=15 23×9-15×9=72(份) 72÷(21×1-15)=12(周) 答：这片草地可供21头牛吃12周。 2.设每头牛每天的吃草量为1，则每公顷10天的总 草量为：11×10÷5=22： 每公顷14天的总草量为：12×14÷6=28： 那么每公顷每天的新生长草量为(28-22)÷(14 -10)=1.5; 每公顷原有草量为：22-1.5×10=7： 那么8公顷原有草量为：7×8=56； 8公顷每天要长草量：1.5×8=12； 8公顷的草地可供19头牛吃的天数： 23