第十三章 统筹优化问题-2025年小升初数学必刷奥数题500题

第十三章统筹优化问题 第十三章 统筹优化问题 知识概述 在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理 安排才能做到用的时间最少，效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们 还会遇到“费用最省”“面积最大”“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端 情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。以上的问题实际 上都是“最优化问题”。 那么应该如何解决这些问题呢？这就需要统筹兼顾效率、科学安排。 握一些统筹安排的方法，了解最优化的思想，能节省人力、时间、物力，提高我们的 解题速度 典例精讲 -……☆☆☆ 例1 按从少到多顺序排列起来等候接水。 6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注 【答案】3×6+4×5+5×4+6×3+7×2+10 满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分 ×1=100(分) 钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟，现在只有 答：按用时由短到长的顺序安排这6人的打 这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水 水，可使他们总的等候时间最短，这个最短时 次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短 间是100分钟。 时间是多少？ 【同步精练】 【精析】第一人接水时，包括他本人在内共有61.五(1)班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到 人等候，第二人接水时，有5人等候，…，第6 达学校卫生室，等候校医治病。赵明打针需 人接水时，只有他1人等候。可见，等候的人 要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点 越多（一开始时），接水时间应当越短，这样总 眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医， 的等候时间就会最少，因此，应该把接水时间 校医如何安排三位同学的治病次序，才能使 73 小升初数学必刷奥数题500题 三位同学留在卫生室的时间总和最短？ 【同步精练】 2.甲、乙两村相距5千米，要在两村之间建一 所小学。甲村有60人上学，乙村有40人上 学，那么小学应该建在什么地方，才能使这 例2 100个学生每天上学的总行程最短？ 如图，有甲、乙两个工厂各自需要15吨钢材， 而丙、丁两个仓库正好分别有12吨、18吨这 种钢材，问如何调运可使甲、乙两个工厂都正 好得到各自所需要的钢材而又能使运输费用 例3 最省。（假设每吨钢材每千米的运费相同） 小芳为家里做饭，她择菜需要8分钟，洗菜5 分钟，放水3分钟，淘米3分钟，煮饭10分钟， 800 切菜4分钟，炒菜6分钟。若小芳家使用的单 丙 火眼煤气灶，她怎样安排做饭顺序最省时合 500 30(0 理？若小芳家使用的是双火眼煤气灶，又将怎 【精析】因为运费的多少决定于每吨钢材所运 样安排才合理？最省时间分别是多少？ 的路程，所以只需计算所有钢材被运的路程， 【精析】若小芳家使用单火眼灶具，则炒菜和 并使路程尽可能的少。设所有钢材被运路程 煮饭不能同时进行，可这样安排：淘米3分钟， 为S。设从丙仓库运往甲工厂钢材mt,则所煮饭10分钟（同时择莱、洗莱），补洗菜3分 剩(12-m)t钢材将运往乙工厂，且丁仓库将 钟，放水3分钟，切菜4分钟，炒菜6分钟。若 运往甲工厂(15-m)t。剩余的(18-15+m)t小芳家使用双火眼灶具，则炒菜和煮饭可同时 应运往乙工厂。所以S=800m+500×(12- 进行，这样安排：择菜8分钟，洗菜5分钟，放 m)+400×(15-m)+300×(18-15+m)= 水3分钟（同时淘米），煮饭10分钟（同时切 200m+12900。 菜、炒菜)。 由上式可看出要使运费最省而又要两个工厂 【答案】使用单火眼做饭合理安排时间是： 都得到所需钢材。只需S最小即可，而S的大 ①先淘米3分钟，煮饭10分钟。 小取决于m。故m最小时S最小，所以m应 ②择菜用8分钟，接着洗菜用5分钟，放水3 为0。 分钟。 【答案】方案：由丁仓库运15吨钢材到甲工 ③饭煮好后切菜4分钟，炒菜6分钟。 厂，运3吨钢材到乙工厂，丙仓库运12吨钢材 经过统筹，节省择菜的8分钟和洗菜5分钟中 到乙工厂。 的2分钟，共省10分钟。实际用时3+10+3 74 第十三章统筹优化问题 +3+4+6=29(分钟)。 切鱼、切姜片葱花、洗锅煎烧，各道工序共花 使用双火眼煤气灶煮饭： 了17分钟（如下图），请你设计一个顺序， ①先择菜用8分钟，接着洗菜用5分钟，放水 使花费的时间最少。 3分钟。 2分钟2分钟1分钟 2分钟 ②在控水的同时淘米3分钟，煮饭10分钟。 洗鱼一切鱼→切姜葱洗锅 ③此时菜的水已控干，在煮饭的同时切菜4分 2分钟 3分钟 5分钟 钟，炒菜6分钟。饭煮好的同时菜也炒好。 将锅烧热 一将油烧热煎烧 经过统筹，节省控水的3分钟，切菜的4分钟， 炒菜的6分钟。共省13分钟，实际用时8+5 +3+3+10=26分钟 【同步精练】 3.妈妈杀好鱼后，让小明帮忙烧鱼。他洗鱼、 好题精练 ☆☆☆ A组一夯基础 1.用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，煎一个饼需要2分钟（规定正反面各需要1分钟）。 问煎3个饼至少需要多少分钟？ 2.在早晨起床后的1小时内，小欣要完成以下事情：叠被3分钟，洗脸刷牙8分钟，读外语30 分钟，吃早餐10分钟，收碗擦桌5分钟，收听广播30分钟。最少要多少分钟？ 75 小升初数学必刷奥数题500题 3.某商铺汽水做促销活动，规定每5个空瓶能换1瓶汽水。小强家买了80瓶汽水，喝完后再 按规定用空瓶去换汽水，那么他们家前后最多能喝到多少瓶汽水？ 4.烤面包时，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。小丽用来 烤面包的架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分钟？ 5.某产品的产地A1、42、A,和销售地B,、B2、B3、B,都在铁路线上，位置如下图所示。已知A,、 A2、A3的产量分别为5t、3t、2t:B1、B2、B3、B,的销售量分别是1t、2t、3t、4t。试求出使总 运输吨·公里数最小的调运方案。 点B太成 6.一家商场开展优惠酬宾活动。凡购物满100元回赠35元现金（购物不足100元的不参加优 惠活动)。现在王菊和朋友一起逛商场，王菊有460元，朋友有足够的钱。她经过计算，买回 了最多的物品，那么她最多买了多少元的商品？ 7.妈妈怎样才能让全家人最快吃上饭？ 洗锅 2分钟 洗米 2分钟 煮饭 35分钟 洗、切菜 15分钟 炒菜 15分钟 76 ● 第十三章统筹优化问题 8.钢筋原材料每件长7.3米，每套钢筋架子用长2.9米、2.1米和1.5米的钢筋各1段。现在 需要绑好钢筋架子100套，至少要用去原材料几件？截料方法怎样最省？ 9.小芳星期天帮妈妈炒蛋，要做七项工作，敲蛋1分钟，搅蛋3分钟，切葱2分钟，洗锅2分钟， 烧热锅2分钟，烧热油4分钟，炒蛋4分钟，完成这些工作最少需要多少分钟？ 10.理发店里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10分钟、 12分钟、15分钟、20分钟和24分钟，怎样安排他们理发的顺序，才能使这五人理发和等候 所用时间的总和最少？最少要花多少时间？ B组一 提能力。 11.李叔叔、刘叔叔、王叔叔、吴叔叔四人各有一块麦地，他们只有一台收割机。李叔叔的麦地 需要收割4小时，刘叔叔的麦地需要收割1小时，王叔叔的麦地需要收割2小时，吴叔叔的 麦地需要收割3小时。 (1)怎么安排四人的收割顺序才能使他们花的时间总和最短？请连线。 李叔叔 刘叔叔 王叔叔 吴叔叔 ① ② ③ ④ (2)最短的时间是 小时。 77 小升初数学必刷奥数题500题 12.有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥。此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥 会倒塌。过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空。只有一个手电筒。4个人的行走 速度不同：小强用1分钟就可以过桥，中强要2分钟，大强要5分钟，最慢的太强需要10分 钟。17分钟后桥就要倒塌了。请问：4个人要用什么方法才能全部安全过桥？ 13.A、B两个粮店分别有70吨和60吨大米，甲、乙、丙三个居民点分别需要30吨、40吨和50 吨大米。从A,B两粮店每运1吨大米到三个居民点的运费如图所示，如何调运才能使运费 最少？ 到站 运费（元） 甲 乙 丙 发站 A 2 7 3 B 3 10 5 14.国庆节期间，华夏旅行社推出以下两种优惠方案。 A方案：团体10人以上（含10人）每位100元。 B方案：成人每位130元，儿童每位70元。 (1)如果4个家长带6个孩子去旅游，那么选哪种方案合算？ (2)如果8个家长带2个孩子去旅游，那么选哪种方案合算？优惠多少钱？ 15.有一个93人的旅游团，其中男47人，女46人，住到一个旅馆里。旅馆里有住11人、7人、4 人的三种房间，经过服务员的安排，这个旅游团的男女分住在不同的房间里，而且每个房间 都按原定人数住满了旅游团的人，服务员最少安排了多少个房间？ 78小升初数学必刷奥数题500题 名同学，这些同学再1~2报数，报2的是第4：8； 12这三名同学，最后这三名同学再1~2报数，就 只剩下第8个同学是报2，所以最先玩的同学是 这一排中的第8个。 12.跑道一侧的总人数是：100÷2+1=51（人） 跑道一侧的女生有：51÷3×2=34（人） 女生共有：34×2=68（人） 答：这些同学中共有68个女生。 13.王师傅这个星期六、星期日休息，则他星期一为 第一天上班。 周日：他上班的第7天、第14天、第21天、第28 天、第35天、第42天、第49天… 休息日：第9~10天，第19~20天，第29~30天， 第39~40天，第49~50天… 王师傅工作第49天，既为星期日，又为休息日。 49÷7=7(周)。王师傅至少再工作7周，才能又 在星期日休息。 14.木棍涂黑情况如图所示： 从图中可见：3厘米黑、3厘米白，循环周期为6厘 米，4厘米黑、4厘米白，循环周期是8厘米：6厘 米，8厘米的最小公倍数是24厘米，即：两种涂法 的循环周期是24厘米。 在120厘米内，循环的周期数是：120÷24=5：在 24厘米的一个周期内，未涂黑（见上图）有：1+3 +2=6(厘米) 在120厘米的5个周期内，未涂黑的有：5×6=30 (厘米) 答：木棍上没有涂黑的部分有30厘米。 15.利用对称的思想，可以画出小鸟每一次跳跃的路线 图如下：由此可以得出，从0点开始，经过6次跳跃 后，又重新回到起点，即：6次为一个跳跃周期 1→2→3→4→50 2004÷6=334,这好是第334周期结束，那么小鸟 的位置与第一周期的最后位置相同，即：此时小 鸟的位置在0处，所以2004号位和0位重合，距 离为0米。 18 16.从今晚23：00到明日9：23，共有10小时23分，10 小时23分=10×60+23=623（分），623÷8=77 (次)…7（分）（共跳77次，余7分钟），77×7= 539(格)（跳77次，能跳539格）.539÷24=22 (圈)…11（格）（跳22圈及11格），从今晚23： 00到明早9：23，共跳22圈及11格，所以相当于 从“10”顺时针向前走11格，到“21”的位置。 第十三章统筹优化问题 【同步精练】 1.治病次序：李佳、孙勇、赵明。李准1分钟，孙勇1+ 3=4分钟，赵明1+3+5=9分钟。时间总和是 1+4+9=14分钟。 2.因为甲村人数多，所以学校应建在甲村。 3.先洗锅2分钟→将锅烧热2分钟→将油烧热3分 钟（同时洗鱼、切鱼、切姜葱）→煎烧5分钟，共用 2+2+3+5=12(分)。 【好题精练】 1,先将两个饼同时放入锅中一起煎，一分钟后两个 饼都熟了一面，这时取出一个，另一个翻过去，再 放第三个饼，又煎一分钟，取出两面都熟的饼，再 放入取出的饼，同时第三张饼翻过来，再煎一分钟 即可，则需要时间1+1+1=3（分钟）。 2.起床开始听广播，听广播的同时可以叠被子、刷牙 洗脸和吃早餐、收碗擦桌，叠被子、刷牙洗脸、吃早 饭和收碗擦桌共需要：3+8+10+5=26分钟<30 分钟，听完广播后开始读外语，需要30分钟，总共 需要30+30=60（分钟）。 3.按照实际换汽水过程分析： (1)喝掉80瓶汽水，用80个空瓶换回16瓶汽水； (2)喝掉16瓶汽水，用16个空瓶换回3瓶汽水余 1个空瓶： (3)喝掉3瓶汽水，与上次余下的1个空瓶还剩4 个空瓶。 此时，再借1个空瓶，与剩下的4个空瓶一起又可 换回1瓶汽水，喝完后将空瓶还了。 所以，他们家前后共喝到汽水80+16+3+1=100 (瓶) 4.3片面包分别是1、2、3： 先烤1和2的第一面，需要2分钟： 然后把1翻面，2拿出换上3,1分钟后1完成 拿出： 放人2的翻面，1分钟后2完成： 3翻面，还需要1分钟： 共需要2+1+1+1=5（分） 5.A,运往B,1吨：运往B,2吨：运往B,2吨。A2运往 B,1吨：运往B,2吨。A,运往B,2吨。 6.因为购物满100元回赠35元现金，所以王菊先向 朋友借40元，现在共有460+40=500（元）。 先买500元的商品，回赠现金：35×5=175（元）》 再买100元的商品，回赠现金35元，此时现金为 175-100+35=110(元) 再买100元的商品，回赠现金35元，此时现金为 110-100+35=45(元)， 还40元给朋友，还剩5元，最后再买5元商品。 500+100+100+5=705(元) 答：王菊最多买了705元的商品。 7.先洗锅，然后洗米，再煮饭。煮饭的同时洗、切菜 和炒菜，共用时2+2+35=39（分钟）。 8.(2.9+2.1+1.5)×100÷7.3>89. 省料截法： A(2-0-1)-2.9×2+1.5=7.3 B(1-2-0)-2.9+2.1×2=7.1 C(0-2-2)—(2.1+1.5)×2=7.2 AC(2-2-3)、AB(3-2-1)-D(5-4- 4)一一用料四件 2D(10-8-8)、C(0-2-2)—E(10-10- 10)一一用料9件成10套 9 100×10=90(件)。 所以，至少用去原材料90件，截料方法为： 40件截取2.9米两段、1.5米一段， 30件截取2.1米、1.5米各两段， 20件截取2.9米一段、2.1米两段。 9.2+2+4+4 =8+4 =12(分钟) 答：完成这些工作最少需要12分钟。 10.甲理发师：按理发所需时间10分钟，12分钟，20 分钟次序理发，理发时间为10+12+20=42（分 钟)，等候时间10+10+12=32（分钟），共用时 42+32=74(分钟)。乙理发师：按理发所需时间 15分钟，24分钟次序理发，理发时间为15+24= 39(分钟)，等候时间15分钟，共用时间39+15= 54(分钟)。五人理发和等候所用时间总和最少 参考答案 为74+54=128（分钟）。 11.(1)李叔叔刘叔叔 王叔叔其叔叔 ① (2)20 12.第一次：小强和中强一起过去，小强拿手电筒回 来，需要：2+1=3（分钟） 第二次：大强和太强一起过去，中强拿手电筒回 来，需要：10+2=12（分）》 第三次：小强和中强一起过去，需要2分钟。3+ 12+2=17(分钟) 所以4个人都全部安全过桥。 13.A、B粮店共有大米70+60=130（吨），甲、乙、丙 三个居民点需要大米30+40+50=120（吨），供 应量与需求量不相等，但是可以通过差价的大小 来决定最佳方案。观察运费表各列两数之差，最 大的是第二列10-7=3，因此，A粮店的大米应 尽可能多地供应乙，即A供应乙40吨。在剩下 的两列中，第三列的差大于第一列的差，所以A 粮店剩下的30吨应全部供应丙。因为A粮店的 大米已分配完，其余的由B粮店供应，即B供应 甲30吨，供应丙20吨，调运方案如下表。 到站 运费（元） 甲 乙 丙 发站 A 0 40 30 B 30 0 20 相应的运费为：30×3+40×7+30×3+20×5= 560(元)。 14.(1)(4+6)×100 4×130+6×70 =10×100 =520+420 =1000(元》 =940(元)》 1000>940选B种方案合算 (2)(8+2)×100 8×130+2×70 =10×100 =1040+140 =1000(元)】 =1180(元) 1180>1000选A种方案合算 1180-1000=180(元) 答：如果4个家长带6个孩子去旅游，那么选B 种方案合算。如果8个家长带2个孩子去旅游， 那么选A种方案合算，优惠180元。 19 小升初数学必刷奥数题500题 15.47=11×3+7×2:即47名男人用3个11人房 间.2个7人房间，共3+2=5（个）： 46=11×1+7×5:即46名女人用1个11人房 间，5间7人房间，共1+5=6（个）： 5+6=11(个) 答：服务员最少动用了11个房间。 第十四章工程问题 【同步精练】 1解：1-（安+3×3品 品*0=4好天) 答：还要44天完成 2.1-7×3)÷6=g,1-x6)g=4(天) 答：余下的工作乙要做4天。 3.设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工(x+ 3)个零件， 根据题意得：5(x+3)+4[(x+3)+x]=300。 解得：x=21, 所以x+3=21+3=24。 答：甲每小时加工24个零件，乙每小时加工21个 零件 41(g0x3)=13号 1÷(0动=40（天） 答：甲独立完成需要40天，乙队独立完成该工程需 B天。 【好题精练】 11(兮++ 7 二1÷6 =1号（天） 答：如果三人合作，需1号天完成。 204克1-0×4)*站=21（天） 答：乙需再绣21天才能完成。 36效品 20 1-品×4-6x6 答：还利下这批机器的%设维修。 、÷2=24 5 4×2=i2 1351 2412=8 1÷g=8(天) 答：如果乙单独修完全路需要8天。 5.小明每天装订：子9=位 1 小丽每天装订：名÷20=4 1 小明和小丽两个人合作装订完成需要： 1÷(位+分)=8（天） 6.1(兮2-)=15（天） 答：如果全部由徒弟加工需15天完成。 7.夜班工效： (品x4-1）÷(4x4-10)=0 白班工效： (-0x4)*2=品 1÷0=30(人)，1÷7=12（人） 答：夜班一天完成需30人，白班一天完成需12人。 8.甲车间的工作效率是：1÷15=5 乙车间的工作效率是：号÷12=0 1*(结+易 7 =1÷60 -”() 答：两个车间合作9天能完成任务。 9.甲工作效率4÷5=20