第1章 二次函数（单元测试·提升卷）数学浙教版九年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第一章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（　　） A．y＝（x﹣2）2﹣3 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3 2．通过平移y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象，可得到y＝﹣2x2的图象，下列平移方法正确的是（　　） A．向左移动1个单位，向上移动3个单位 B．向右移动1个单位，向上移动3个单位 C．向左移动1个单位，向下移动3个单位 D．向右移动1个单位，向下移动3个单位 3．已知抛物线y＝ax2+4ax（a＜0）经过点A（m，y1），B（m+1，y2），若0＜y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A． B． C．﹣4＜m≤﹣3 D．﹣3＜m＜﹣2 4．抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是（　　） A．直线x＝1 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝﹣3 5．二次函数y＝2（x+1）2﹣7的最小值是（　　） A．﹣7 B．1 C．﹣1 D．7 6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2＜4ac；③2a+b＜0；④（a+c）2﹣b2＜0．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数y＝ax2﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．已知点（x1，y1），（x2，y2）为二次函数y＝x2图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（　　） A．若x1＞x2，则y1＞y2 B．若x1＜x2，则y1＜y2 C．若，则y1＞y2 D．若，则y1＜y2 9．已知抛物线y＝2x2经过三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2 10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①2a+b＝0；②abc＜0；③a+b≥am2+bm（m为任意实数）；④若点Q（m，n）是抛物线上第一象限上的动点，当△QBC的面积最大时，m＝2，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若y＝（m+2）（m﹣2）x+m是关于x的二次函数，则m的值为 　 　 ． 12．二次函数y＝x2﹣（12﹣k）x+12，当x＞1时，y随着x的增大而增大，当x＜1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取　 　 ． 13．已知二次函数y＝x2﹣2x+k，当﹣1≤x≤4时，y的最大值为9，则k的值为　 　 ． 14．如图，一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．已知球门OB高为2.44米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线关系式为，通过计算判断球　 　 （填能或不能）射进球门． 15．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上．若抛物线y＝ax2+2ax+4（a＜0）经过点B，C，则点D的坐标为 　 　 ． 16．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且2＜m＜3．下列结论：①bc＞0；②（3a+c）（2a+c）＞0；③一元二次不等式cx2+bx+a＜0的解集为；④当a＝﹣1时，一元二次方程ax2+bx+c＝15无实数根．其中正确的是 　 　 （填写序号）． 三．解答题（共8小题，共6+6+8+8+10+10+12+12=72分） 17．已知抛物线y＝ax2﹣2（a+3）x+10（a≠0）． （1）若抛物线经过点（1，a）时，求a的值； （2）若点，在此抛物线上，求a3﹣5a2﹣5a+9m+2025的值． 18．珠海市某海鲜市场销售一种成本为40元/千克的虾，若按50元/千克销售，一个月售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克． （1）当月销售利润达到8000元时，试计算销售单价定为多少元？ （2）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润． 19．已知二次函数y＝x2+2（a+1）x+3a2﹣2a+3，a为常数． （1）若该二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点，求a的取值范围； （2）若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值； （3）求证：该二次函数的图象不经过原点． 20．“千载竹艺，万缕竹篾”满载着手艺的传承和传统民族文化的魅力．用细竹篾编织的罩子，横截面可以近似的看成一个抛物线形状．已知其宽度OA＝60厘米，最高点M（抛物线的顶点）到OA的距离为30厘米． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式； （2）如果罩子紧贴桌面，罩内盘子放成一排，试通过计算说明罩子下面能放下2个直径为27厘米，高度为6厘米的盘子吗？ 21．学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用（3200﹣50m）元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 22．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当﹣1≤x≤2时，函数的最大值为m，最小值为n，求m﹣n． 23．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象对称轴为直线x＝﹣1，点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该二次函数图象上． （1）用含a的代数式表示b； （2）当x1＝﹣4，x2＝5时，比较y1与y2的大小，并说明理由； （3）当x1＝t+8，t≤x2≤t+2时，都有c＞y2＞y1，直接写出t的取值范围． 24．已知二次函数y＝ax2+bx﹣2（a＞0）的图象经过点A（2，﹣2）． （1）求二次函数的图象的对称轴． （2）若y＝ax2+bx﹣2的最小值为﹣3，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤5时，求新的二次函数的最大值与最小值的和． （3）设y＝ax2+bx﹣2的图象与x轴的交点分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2．若48，求a的取值范围． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第一章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（　　） A．y＝（x﹣2）2﹣3 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3 2．通过平移y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象，可得到y＝﹣2x2的图象，下列平移方法正确的是（　　） A．向左移动1个单位，向上移动3个单位 B．向右移动1个单位，向上移动3个单位 C．向左移动1个单位，向下移动3个单位 D．向右移动1个单位，向下移动3个单位 3．已知抛物线y＝ax2+4ax（a＜0）经过点A（m，y1），B（m+1，y2），若0＜y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A． B． C．﹣4＜m≤﹣3 D．﹣3＜m＜﹣2 4．抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是（　　） A．直线x＝1 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝﹣3 5．二次函数y＝2（x+1）2﹣7的最小值是（　　） A．﹣7 B．1 C．﹣1 D．7 6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2＜4ac；③2a+b＜0；④（a+c）2﹣b2＜0．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数y＝ax2﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．已知点（x1，y1），（x2，y2）为二次函数y＝x2图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（　　） A．若x1＞x2，则y1＞y2 B．若x1＜x2，则y1＜y2 C．若，则y1＞y2 D．若，则y1＜y2 9．已知抛物线y＝2x2经过三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2 10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①2a+b＝0；②abc＜0；③a+b≥am2+bm（m为任意实数）；④若点Q（m，n）是抛物线上第一象限上的动点，当△QBC的面积最大时，m＝2，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若y＝（m+2）（m﹣2）x+m是关于x的二次函数，则m的值为 　 　 ． 12．二次函数y＝x2﹣（12﹣k）x+12，当x＞1时，y随着x的增大而增大，当x＜1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取　 　 ． 13．已知二次函数y＝x2﹣2x+k，当﹣1≤x≤4时，y的最大值为9，则k的值为　 　 ． 14．如图，一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．已知球门OB高为2.44米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线关系式为，通过计算判断球　 　 （填能或不能）射进球门． 15．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上．若抛物线y＝ax2+2ax+4（a＜0）经过点B，C，则点D的坐标为 　 　 ． 16．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且2＜m＜3．下列结论：①bc＞0；②（3a+c）（2a+c）＞0；③一元二次不等式cx2+bx+a＜0的解集为；④当a＝﹣1时，一元二次方程ax2+bx+c＝15无实数根．其中正确的是 　 　 （填写序号）． 三、解答题（共8小题，6+6+8+8+10+10+12+12=共72分） 17．已知抛物线y＝ax2﹣2（a+3）x+10（a≠0）． （1）若抛物线经过点（1，a）时，求a的值； （2）若点，在此抛物线上，求a3﹣5a2﹣5a+9m+2025的值． 18．珠海市某海鲜市场销售一种成本为40元/千克的虾，若按50元/千克销售，一个月售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克． （1）当月销售利润达到8000元时，试计算销售单价定为多少元？ （2）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润． 19．已知二次函数y＝x2+2（a+1）x+3a2﹣2a+3，a为常数． （1）若该二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点，求a的取值范围； （2）若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值； （3）求证：该二次函数的图象不经过原点． 20．“千载竹艺，万缕竹篾”满载着手艺的传承和传统民族文化的魅力．用细竹篾编织的罩子，横截面可以近似的看成一个抛物线形状．已知其宽度OA＝60厘米，最高点M（抛物线的顶点）到OA的距离为30厘米． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式； （2）如果罩子紧贴桌面，罩内盘子放成一排，试通过计算说明罩子下面能放下2个直径为27厘米，高度为6厘米的盘子吗？ 21．学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用（3200﹣50m）元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 22．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当﹣1≤x≤2时，函数的最大值为m，最小值为n，求m﹣n． 23．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象对称轴为直线x＝﹣1，点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该二次函数图象上． （1）用含a的代数式表示b； （2）当x1＝﹣4，x2＝5时，比较y1与y2的大小，并说明理由； （3）当x1＝t+8，t≤x2≤t+2时，都有c＞y2＞y1，直接写出t的取值范围． 24．已知二次函数y＝ax2+bx﹣2（a＞0）的图象经过点A（2，﹣2）． （1）求二次函数的图象的对称轴． （2）若y＝ax2+bx﹣2的最小值为﹣3，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤5时，求新的二次函数的最大值与最小值的和． （3）设y＝ax2+bx﹣2的图象与x轴的交点分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2．若48，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第一章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（　　） A．y＝（x﹣2）2﹣3 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3 【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【解析】解：∵抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后的抛物线顶点坐标为（2，3）， ∴得到的抛物线解析式是y＝（x﹣2）2+3． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化求解更简便． 2．通过平移y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象，可得到y＝﹣2x2的图象，下列平移方法正确的是（　　） A．向左移动1个单位，向上移动3个单位 B．向右移动1个单位，向上移动3个单位 C．向左移动1个单位，向下移动3个单位 D．向右移动1个单位，向下移动3个单位 【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法． 【解析】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标是（0，0）． 抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3）． 则由二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位，可得到y＝﹣2x2的图象． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是根据顶点式得到新抛物线的顶点坐标． 3．已知抛物线y＝ax2+4ax（a＜0）经过点A（m，y1），B（m+1，y2），若0＜y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A． B． C．﹣4＜m≤﹣3 D．﹣3＜m＜﹣2 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】利用二次函数的性质可得抛物线y＝ax2+4ax（a＜0）开口向下，对称轴为x＝﹣2，令y＝0，求出抛物线与x轴的交点为（﹣4，0）和（0，0），再由抛物线经过点A（m，y1），B（m+1，y2），且0＜y1＜y2，结合二次函数的图象即可求解． 【解析】解：将抛物线解析式配方得y＝ax2+4ax＝a（x+2）2﹣4a（a＜0）， ∴抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2， 令ax2+4ax＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝0， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣4，0）和（0，0）， 由条件可知， 解得：． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 4．抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是（　　） A．直线x＝1 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝﹣3 【考点】二次函数的性质． 【分析】二次函数的顶点式y＝（x﹣h）2+k，对称轴为x＝h． 【解析】解：抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是直线x＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式y＝（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h． 5．二次函数y＝2（x+1）2﹣7的最小值是（　　） A．﹣7 B．1 C．﹣1 D．7 【考点】二次函数的最值． 【分析】根据抛物线解析式得出开口方向，即可求解． 【解析】解：∵a＝2＞0，开口向上， ∴当x＝﹣1时，二次函数y＝2（x+1）2﹣7有最小值为﹣7， 故答案为：A． 【点评】本题考查二次函数图象的性质，正确记忆相关知识点是解题就关键． 6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2＜4ac；③2a+b＜0；④（a+c）2﹣b2＜0．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据抛物线与x轴是否有交点确定b2﹣4ac的取值范围，根据x＝﹣1和x＝1的函数值可以判断． 【解析】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac；故②错误； ∵对称轴为直线x1，a＜0， ∴b＞﹣2a， ∴2a+b＞0，故③错误； 根据图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，当x＝1时，y＝a+b+c＞0， ∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c）2﹣b2＜0故④正确； 故选：B． 【点评】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的图象和性质，能根据图象得出正确信息是解此题的关键，用了数形结合思想． 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数y＝ax2﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象． 【分析】本题可先由一次函数yaxa，图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2﹣a的图象相比是否一致． 【解析】解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，但图象过（1，0）点，求得a＝0，矛盾，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法． 8．已知点（x1，y1），（x2，y2）为二次函数y＝x2图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（　　） A．若x1＞x2，则y1＞y2 B．若x1＜x2，则y1＜y2 C．若，则y1＞y2 D．若，则y1＜y2 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【解析】解：∵y＝x2，a＝1＞0，对称轴为y轴， ∴在y轴左侧，y随x的增大而减小，在y轴右侧，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大； A、x1＞x2，y1不一定大于y2， 例如x1＝1时，y1＝1，x2＝﹣2时，y2＝4，此时x1＞x2， 但是y1＜y2；故选项A错误，不符合题意； B、x1＜x2，y1不一定小于y2， 例如x1＝﹣2时y1＝4，x2＝1时，y2＝1，此时x1＜x2， 但是y1＞y2；故选项B错误，不符合题意； C、当x1x2＞（x2）2，即：x1x2＞x2x2＞0， ∴x1＜x2＜0或x1＞x2＞0， 当x1＜x2＜0时，y1＞y2， 当x1＞x2＞0时，y1＞y2， ..当x1x2＞（x2）2时，y1＞y2， 故选项C正确，符合题意； D、当x1x2＜（x2）2，即：y1不一定小于y2， 例如x1＝﹣2时，y1＝4，x2＝1时，y2＝1， 此时x1x2＝﹣2＜（x2）2＝1，但是y1＞y2；故选项D错误，不符合题意； 故选C． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键，本题可以利用特殊值法进行排除，进行判断． 9．已知抛物线y＝2x2经过三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据所给函数解析式，结合二次函数的图象与性质即可解决问题． 【解析】解：因为抛物线解析式为y＝2x2， 所以抛物线的对称轴为y轴，且开口向上， 则抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越大． 因为0﹣（﹣2）＝2，0﹣0＝0，，且， 所以y1＞y3＞y2． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①2a+b＝0；②abc＜0；③a+b≥am2+bm（m为任意实数）；④若点Q（m，n）是抛物线上第一象限上的动点，当△QBC的面积最大时，m＝2，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点． 【分析】根据已知点的特点可求对称轴为直线x＝1，则b＝﹣2a；由函数的图象可知，a＜0，c＞0，再由b＝﹣2a可知b＞0；当x＝1时，函数有最大值a+b+c；再由铅锤法求△BCQ的面积，从而确定当m＝2时，三角形面积有最大值． 【解析】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0）， ∴对称轴为直线x1， ∴1， ∴2a＝﹣b， ∴2a+b＝0，故①正确，符合题意； ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0，故②正确，符合题意； ∵抛物线的对称轴x＝1，开口向下， ∴x＝1时，y有最大值，最大值＝a+b+c． ∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数）， ∴a+b≥am2+bm（m为任意实数），故③正确，符合题意； ④∵C（0，c）， 设直线BC的解析式为y＝kx+t， ∴， 解得， ∴yx+c， 将点A（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax+c， ∴c＝﹣8a． ∴y＝ax2﹣2ax﹣8a． 过点Q作QN∥y轴交BC于点P， ∵Q（m，n）， ∴P（m，2am﹣8a）， ∴PQ＝n﹣2am+8a． ∴S△QBC4×（n﹣2am+8a）＝2（n﹣2am+8a）， ∵n＝am2﹣2am﹣8a， ∴S△QBC＝2（am2﹣4am）＝2a（m﹣2）2﹣8a． ∴当m＝2时，△QBC的面积最大， 故④正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的坐标特征，二次函数的性质，二次函数最值的求法以及三角形面积公式．二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若y＝（m+2）（m﹣2）x+m是关于x的二次函数，则m的值为 　2　 ． 【考点】二次函数的定义． 【分析】根据二次函数定义可得m+2≠0且m2﹣2＝2，再解即可． 【解析】解：由题意得：m+2≠0且m2﹣2＝2， 解得：m＝2， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 12．二次函数y＝x2﹣（12﹣k）x+12，当x＞1时，y随着x的增大而增大，当x＜1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取　10　 ． 【考点】二次函数的性质． 【分析】根据二次函数的增减性可知，对称轴x＝1，再根据对称轴公式求k的值． 【解析】解：依题意可知，抛物线对称轴为x＝1， 即1， 解得k＝10； 故答案为10． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象的增减性是解题的关键． 13．已知二次函数y＝x2﹣2x+k，当﹣1≤x≤4时，y的最大值为9，则k的值为　1　 ． 【考点】二次函数的性质；二次函数的最值． 【分析】依据题意，现将y＝x2﹣2x+k变形为y＝（x﹣1）2+k﹣1，然后结合﹣1≤x≤4判断当x＝4时取最大值，从而列方程计算可以得解． 【解析】解：由题意，∵y＝x2﹣2x+k＝x2﹣2x+1+k﹣1＝（x﹣1）2+k﹣1， ∴抛物线的对称轴是直线x＝1． 又∵﹣1≤x≤4，抛物线开口向上， ∴当x＝4时，y取最大值，最大值y＝9+k﹣1＝8+k． 又此时y的最大值为9， ∴8+k＝9． ∴k＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用顶点式是关键． 14．如图，一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．已知球门OB高为2.44米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线关系式为，通过计算判断球　不能　 （填能或不能）射进球门． 【考点】二次函数的应用． 【分析】依据题意，由x＝0时，求出y的值可以判断得解． 【解析】解：抛物线关系式为， 当x＝0时，， 所以，球不能射进球门． 故答案为：不能． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上．若抛物线y＝ax2+2ax+4（a＜0）经过点B，C，则点D的坐标为 　（，0）　 ． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；菱形的性质． 【分析】本题需要综合运用二次函数的性质、菱形的性质来求解点D的坐标．首先通过二次函数的对称轴公式求出对称轴，再结合抛物线经过B、C两点且BC平行于x轴，得出B、C关于对称轴对称，进而求出BC的长度，再根据抛物线与y轴交点求出B点坐标，最后利用菱形的性质求出D点坐标． 【解析】解：抛物线y＝ax2+2ax+4（a＜0）的对称轴为：， ∵抛物线经过B、C两点，令x ＝0，则y＝4，所以B点坐标为（0，4）， 令y＝4，则x＝0或x，则C的坐标为（）． ∴BC． 作CE⊥x轴交x轴于点E，则CE＝4， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD． 在Rt△CED中， 结合图象可知D在C点右侧，则D的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题综合考查二次函数性质（对称轴求解、点关于对称轴对称）与菱形性质（对边相等、边长计算 ），需结合函数与几何图形的关联，通过坐标运算、勾股定理求解点的坐标，体现代数与几何的融合．难度适中． 16．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且2＜m＜3．下列结论：①bc＞0；②（3a+c）（2a+c）＞0；③一元二次不等式cx2+bx+a＜0的解集为；④当a＝﹣1时，一元二次方程ax2+bx+c＝15无实数根．其中正确的是 　①③④　 （填写序号）． 【考点】二次函数与不等式（组）；根的判别式；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点． 【分析】根据题意得出抛物线开口向下，由经过点（﹣1，0）和（m，0），且2＜m＜3，可知抛物线对称轴在y轴右侧，则b＞0，抛物线交y轴于正半轴，则c＞0，据此即可判断①； 根据题意可知﹣1 和m是方程ax2+bx+c＝0的两个根，由根与系数的关系可得，m，再由2＜m＜3，即可判断②； 根据抛物线y＝cx2+bx+a的图象与性质即可判断③； 根据题意可得y＝ax2+bx+c的最大值大于15，即可判断④． 【解析】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点 （﹣1，0）和（m，0），且2＜m＜3， ∴抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧． ∴0， ∴b＞0， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴c＞0． ∴bc＞0， 故①正确． ∵抛物线y ＝ ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0）和（m，0）， ∴﹣1和m是方程ax2+bx+c＝0的两个根， ∴m， ∵2＜m＜3， ∴﹣3＜﹣m＜﹣2， 即﹣32， ∵a＜0， ∴﹣2a＜c＜﹣3a， ∴2a+c＞0，3a+c＜0， （3a+c）（2a+c）＜0， 故②错误； ∵m， ∴c＝﹣am， 令y＝0， ∴cx2+bx+a＝0， x， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0）和（m，0）， ∴抛物线y＝cx2+bx+a（c＞0）经过点（，0）和（﹣1，0）， ∵2＜m＜3， ∴一元二次不等式cx2+bx+a＜0的解集为， 故③正确； ∵抛物线 y＝ax2+bx+c的图象开口向下，经过点（﹣1，0）和（m，0），且a＝﹣1时， ∴1+m，m， ∴b＝m﹣1，c＝m， ∵抛物线 y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x， 当x时， y＝﹣x2+bx+c ＝﹣（）2+（m﹣1）•m ， ∵2＜m＜3， ∴抛物线 y＝ax2+bx+c的顶点的纵坐标y＜4， ∴抛物线y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝ 15无交点， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝ 15无实数根， 故④正确， 故答案为：①③④． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 三、解答题（共8小题，6+6+8+8+10+10+12+12=共72分） 17．已知抛物线y＝ax2﹣2（a+3）x+10（a≠0）． （1）若抛物线经过点（1，a）时，求a的值； （2）若点，在此抛物线上，求a3﹣5a2﹣5a+9m+2025的值． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】（1）把点（1，a）代入抛物线的解析式即可求得a的值； （2）由题意可知点，关于对称轴对称，据此求得m＝2，把代入y＝ax2﹣2（a+3）x+10即可得到a2﹣7a+9＝0，从而得出a3＝7a2﹣9a，a2﹣7a＝﹣9，代入a3﹣5a2﹣5a+9m+2025即可求解． 【解析】解：（1）∵抛物线经过点（1，a）， ∴a﹣2（a+3）+10＝a， 解得a＝2； （2）∵抛物线y＝ax2﹣2（a+3）x+10（a≠0）， ∴对称轴为直线x， ∵点，在此抛物线上， ∴点，关于对称轴对称， ∴， 解得m＝2， 把代入y＝ax2﹣2（a+3）x+10， 得a2（a+3）10＝a﹣3， ∵a≠0， 去分母得9﹣6a﹣8+10a＝a2﹣3a， 整理得a2﹣7a+9＝0， ∴a3＝7a2﹣9a，a2﹣7a＝﹣9， ∴a3﹣5a2﹣5a+9m+2025 ＝a3﹣5a2﹣5a+18+2025 ＝7a2﹣9a﹣5a2﹣5a+18+2025 ＝2a2﹣14a+18+2025 ＝2×（﹣9）+18+2025 ＝2025． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 18．珠海市某海鲜市场销售一种成本为40元/千克的虾，若按50元/千克销售，一个月售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克． （1）当月销售利润达到8000元时，试计算销售单价定为多少元？ （2）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润． 【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用． 【分析】（1）根据月利润＝每千克的利润×销售量列出一元二次方程，解方程即可； （2）根据月利润＝每千克的利润×销售量列出函数关系式，再根据函数的性质求函数最值． 【解析】解：（1）根据题意得：（x﹣40）（﹣10x+1000）＝8000， 解得：x1＝80，x2＝60， ∴当月销售利润为8000元时，售价为80元或60元； （2）设月销售利润为W， 则W＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000， ∵﹣10＜0， ∴当x＝70时，W取得最大值，此时W＝9000， 答：当售价定为70元时月销售利润，最大利润是9000元． 【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和方程的思想解答． 19．已知二次函数y＝x2+2（a+1）x+3a2﹣2a+3，a为常数． （1）若该二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点，求a的取值范围； （2）若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值； （3）求证：该二次函数的图象不经过原点． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征． 【分析】（1）由二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点，知函数的最小值小于2a2列式计算即可； （2）根据图像与x轴有交点，Δ≥0，列式计算即可； （3）根据当x＝0时，，即可证明． 【解析】（1）解：∵二次函数y＝x2+2（a+1）x+3a2﹣2a+3中，1＞0， ∴二次函数的图象开口向上， ∵二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点， ∴函数的最小值小于2a2， 则， 即2a2﹣4a+2＜2a2， 解得； （2）解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴Δ＝4（a+1）2﹣4×1×（3a2﹣2a+3）＝﹣8a2+16a﹣8＝﹣8（a﹣1）2≥0， ∴8（a﹣1）2≤0， 又∵8（a﹣1）2≥0， ∴8（a﹣1）2＝0， 解得a＝1； （3）证明：∵当x＝0时，， ∴二次函数的图象不经过原点． 【点评】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，以及二次函数图象的性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 20．“千载竹艺，万缕竹篾”满载着手艺的传承和传统民族文化的魅力．用细竹篾编织的罩子，横截面可以近似的看成一个抛物线形状．已知其宽度OA＝60厘米，最高点M（抛物线的顶点）到OA的距离为30厘米． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式； （2）如果罩子紧贴桌面，罩内盘子放成一排，试通过计算说明罩子下面能放下2个直径为27厘米，高度为6厘米的盘子吗？ 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）根据题意，可以写出点M和点A的坐标，再根据点M为抛物线的顶点，可以设抛物线的顶点式，再将点A的坐标代入解析式，即可得到抛物线的表达式； （2）将y＝6代入（1）中的函数解析式，求出相应的x的值，再求出这两个横坐标间的距离，再与54比较大小即可． 【解析】解：（1）由题意可得， 点M的坐标为（30，30），点A的坐标为（60，0）， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣30）2+30， 则0＝a（60﹣30）2+30， 解得a， ∴y（x﹣30）2+30； （2）将y＝6代入y（x﹣30）2+30， 6（x﹣30）2+30， 解得x＝30±12， （30+12）﹣（30﹣12） ＝30+1230+12 ＝2454， ∴罩子下面不能放下2个直径为27厘米，高度为6厘米的盘子． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的解析式． 21．学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用（3200﹣50m）元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【考点】二次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式的应用． 【分析】（1）设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为（x﹣15）人，根据用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即A型客车每辆载客量），再将其代入（x﹣15）中，即可求出B型客车每辆载客量； （2）设租用A型客车m辆，则租用B型客车（10﹣m）辆，根据租用的两种客车的总载客量不少于530人，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设本次研学活动学校的租车总费用为w元，利用租车总费用＝每辆A型客车的租金×租用A型客车的数量+每辆B型客车的租金×租用B型客车的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题． 【解析】解：（1）设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为（x﹣15）人， 根据题意得：， 解得：x＝60， 经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意， ∴x﹣15＝60﹣15＝45（人）． 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人； （2）设租用A型客车m辆，则租用B型客车（10﹣m）辆， 根据题意得：60m+45（10﹣m）≥530， 解得：m， 设本次研学活动学校的租车总费用为w元，则w＝（3200﹣50m）m+3000×0.8（10﹣m）＝﹣50m2+800m+24000， ∵抛物线的对称轴为直线m8， ∴m≤8时，w随着m的增大而增大， ∵m取正整数，且， ∴当m＝6时，w取得最小值，最小值为﹣50×62+800×6+24000＝27000（元）． 答：本次研学活动学校的最少租车费用是27000元． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 22．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当﹣1≤x≤2时，函数的最大值为m，最小值为n，求m﹣n． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值． 【分析】（1）把两个已知点的坐标代入y＝ax2﹣2ax+c得a、c的方程组，然后解方程组即可； （2）先利用配方法得到顶点式y＝﹣（x﹣1）2+4，则当x＝1时，y有最大值4，再计算出x＝0和x＝2时对应的函数值，从而得到当﹣1≤x≤2时函数值的取值范围，然后确定m、n的值，最后进行m﹣n的值． 【解析】解：（1）把（﹣1，0），（0，3）分别代入y＝ax2﹣2ax+c得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴当x＝1时，y有最大值4， 当x＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+3＝0， 当x＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣4+4+3＝3， ∴﹣1≤x≤2时，0≤y≤4， ∴m＝4，n＝0， ∴m﹣n＝4﹣0＝4． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． 23．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象对称轴为直线x＝﹣1，点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该二次函数图象上． （1）用含a的代数式表示b； （2）当x1＝﹣4，x2＝5时，比较y1与y2的大小，并说明理由； （3）当x1＝t+8，t≤x2≤t+2时，都有c＞y2＞y1，直接写出t的取值范围． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）对称轴为直线x＝﹣1可得1，故b＝2a； （2）根据开口向下的二次函数图象上的点，距离对称轴越远的点函数值越小，反之越大这一性质，可立即比较出大小； （3）因为x1＝t+8，t≤x2≤t+2，所以x2＜x1，可分为x1、x2居于对称轴同侧或异侧两类情况画出图形分别讨论即可． 【解析】解：（1）由对称轴为直线x＝﹣1可得1， 故b＝2a． （2）∵开口向下的二次函数图象上的点，距离对称轴越远的点函数值越小，反之越大， 且， ∴y1＞y2． （3）∵x1＝t+8，t≤x2≤t+2， ∴x2＜x1， ∵c＞y2＞y1，如图1所示时， 故只需满足t＞0即可； 当x1、x2如图2所示时，x1的对称点横坐标为﹣t﹣10， ∵c＞y2＞y1， ∴，解得﹣5＜t＜﹣4， 综上，t的取值范围为﹣5＜t＜﹣4或t＞0． 【点评】本题考查了二次函数的性质，对称轴，增减性，根据题意画出图形分类讨论是解题关键． 24．已知二次函数y＝ax2+bx﹣2（a＞0）的图象经过点A（2，﹣2）． （1）求二次函数的图象的对称轴． （2）若y＝ax2+bx﹣2的最小值为﹣3，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤5时，求新的二次函数的最大值与最小值的和． （3）设y＝ax2+bx﹣2的图象与x轴的交点分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2．若48，求a的取值范围． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）把A（2，﹣2）代入二次函数y＝ax2+bx﹣2中，得﹣2＝4a+2b﹣2，整理可得对称轴为直线x＝1； （2）由y＝ax2+bx﹣2的最小值为﹣3，可得a+b﹣2＝﹣3，结合2a+b＝0，可得a＝1，b＝﹣2，故该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣2，平移后的新二次函数表达式为y＝x2﹣6x+6，再根据0≤x≤5时，分别计算最大值和最小值即可； （3）由y＝ax2+bx﹣2＝ax2﹣2ax﹣2，且图象与x轴的交点分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2． 则由韦达定理可得x1+x2＝2，x1•x2，因为x2﹣x1，则2（x2﹣x1）＝4.再解不等式4＜48即可． 【解析】解：（1）把A（2，﹣2）代入二次函数y＝ax2+bx﹣2中， 得﹣2＝4a+2b﹣2，整理可得2a+b＝0， 变形可得，即对称轴为直线x＝1； （2）∵y＝ax2+bx﹣2的最小值为﹣3， 即当x＝1时，ymin＝a+b﹣2＝﹣3， 又∵2a+b＝0， 故a＝1，b＝﹣2， 因该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣2， ∵向右平移2个单位后的新二次函数表达式为y＝x2﹣6x+6， 可得对称轴为直线x＝3， 故当0≤x≤5时，ymin＝﹣3；ymax在x＝0处取到，即ymax＝6， ∴ymin+ymax＝﹣3+6＝3； （3）∵y＝ax2+bx﹣2＝ax2﹣2ax﹣2，且图象与x轴的交点分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2． 则由韦达定理可得x1+x2＝2，x1•x2， ∴（x1+x2）（x2﹣x1）＝2（x2﹣x1）， ∵x2﹣x1， ∴2（x2﹣x1）＝4． ∵48，即4＜48， 整理得， 解得． 【点评】本题考查了二次函数的性质，包括对称轴，区间最值，图象的平移，韦达定理，不等式，熟练掌握以上基础知识点并灵活运用是解题关键． 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第一章 二次函数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A A B A C D D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．2 12．10 13．1 14．不能 15． 16． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分） 解：（1）∵抛物线经过点（1，a）， ∴a﹣2（a+3）+10＝a， 解得a＝2；（2分） （2）∵抛物线y＝ax2﹣2（a+3）x+10（a≠0）， ∴对称轴为直线x， ∵点，在此抛物线上， ∴点，关于对称轴对称， ∴， 解得m＝2， 把代入y＝ax2﹣2（a+3）x+10， 得a2（a+3）10＝a﹣3， ∵a≠0， 去分母得9﹣6a﹣8+10a＝a2﹣3a， 整理得a2﹣7a+9＝0， ∴a3＝7a2﹣9a，a2﹣7a＝﹣9， ∴a3﹣5a2﹣5a+9m+2025 ＝a3﹣5a2﹣5a+18+2025 ＝7a2﹣9a﹣5a2﹣5a+18+2025 ＝2a2﹣14a+18+2025 ＝2×（﹣9）+18+2025 ＝2025．（4分） 18．（6分） 解：（1）根据题意得：（x﹣40）（﹣10x+1000）＝8000， 解得：x1＝80，x2＝60， ∴当月销售利润为8000元时，售价为80元或60元；（3分） （2）设月销售利润为W， 则W＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000， ∵﹣10＜0， ∴当x＝70时，W取得最大值，此时W＝9000， 答：当售价定为70元时月销售利润，最大利润是9000元．（3分） 19．（8分） （1）解：∵二次函数y＝x2+2（a+1）x+3a2﹣2a+3中，1＞0， ∴二次函数的图象开口向上， ∵二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点， ∴函数的最小值小于2a2， 则， 即2a2﹣4a+2＜2a2， 解得；（3分） （2）解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴Δ＝4（a+1）2﹣4×1×（3a2﹣2a+3）＝﹣8a2+16a﹣8＝﹣8（a﹣1）2≥0， ∴8（a﹣1）2≤0， 又∵8（a﹣1）2≥0， ∴8（a﹣1）2＝0， 解得a＝1；（3分） （3）证明：∵当x＝0时，， ∴二次函数的图象不经过原点．（2分） 20．（8分） 解：（1）由题意可得， 点M的坐标为（30，30），点A的坐标为（60，0）， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣30）2+30， 则0＝a（60﹣30）2+30， 解得a， ∴y（x﹣30）2+30；（4分） （2）将y＝6代入y（x﹣30）2+30， 6（x﹣30）2+30， 解得x＝30±12， （30+12）﹣（30﹣12） ＝30+1230+12 ＝2454， ∴罩子下面不能放下2个直径为27厘米，高度为6厘米的盘子．（4分） 21．（10分） 解：（1）设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为（x﹣15）人， 根据题意得：， 解得：x＝60， 经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意， ∴x﹣15＝60﹣15＝45（人）． 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人；（5分） （2）设租用A型客车m辆，则租用B型客车（10﹣m）辆， 根据题意得：60m+45（10﹣m）≥530， 解得：m， 设本次研学活动学校的租车总费用为w元，则w＝（3200﹣50m）m+3000×0.8（10﹣m）＝﹣50m2+800m+24000， ∵抛物线的对称轴为直线m8， ∴m≤8时，w随着m的增大而增大， ∵m取正整数，且， ∴当m＝6时，w取得最小值，最小值为﹣50×62+800×6+24000＝27000（元）． 答：本次研学活动学校的最少租车费用是27000元．（5分） 22．（10分） 解：（1）把（﹣1，0），（0，3）分别代入y＝ax2﹣2ax+c得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（4分） （2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴当x＝1时，y有最大值4， 当x＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+3＝0， 当x＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣4+4+3＝3， ∴﹣1≤x≤2时，0≤y≤4， ∴m＝4，n＝0， ∴m﹣n＝4﹣0＝4．（6分） 23．（12分） 解：（1）由对称轴为直线x＝﹣1可得1， 故b＝2a．（3分） （2）∵开口向下的二次函数图象上的点，距离对称轴越远的点函数值越小，反之越大， 且， ∴y1＞y2．（3分） （3）∵x1＝t+8，t≤x2≤t+2， ∴x2＜x1， ∵c＞y2＞y1，如图1所示时， 故只需满足t＞0即可； 当x1、x2如图2所示时，x1的对称点横坐标为﹣t﹣10， ∵c＞y2＞y1， ∴，解得﹣5＜t＜﹣4， 综上，t的取值范围为﹣5＜t＜﹣4或t＞0．（6分） 24．（12分） 解：（1）把A（2，﹣2）代入二次函数y＝ax2+bx﹣2中， 得﹣2＝4a+2b﹣2，整理可得2a+b＝0， 变形可得，即对称轴为直线x＝1；（3分） （2）∵y＝ax2+bx﹣2的最小值为﹣3， 即当x＝1时，ymin＝a+b﹣2＝﹣3， 又∵2a+b＝0， 故a＝1，b＝﹣2， 因该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣2， ∵向右平移2个单位后的新二次函数表达式为y＝x2﹣6x+6， 可得对称轴为直线x＝3， 故当0≤x≤5时，ymin＝﹣3；ymax在x＝0处取到，即ymax＝6， ∴ymin+ymax＝﹣3+6＝3；（4分） （3）∵y＝ax2+bx﹣2＝ax2﹣2ax﹣2，且图象与x轴的交点分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2． 则由韦达定理可得x1+x2＝2，x1•x2， ∴（x1+x2）（x2﹣x1）＝2（x2﹣x1）， ∵x2﹣x1， ∴2（x2﹣x1）＝4． ∵48，即4＜48， 整理得， 解得．（5分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$