重难强化四 圆周运动的临界问题（复习讲义）（浙江专用）2026年高考物理一轮复习讲练测

重难强化四 圆周运动的临界问题 目录 01考情解码·命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 考点一 水平面内圆周运动的临界问题 3 知识点 水平面内圆周运动的临界问题 3 考向1 发生相对滑动时的临界问题 4 考向2 恰好分离的临界问题 5 考向3 绳的弹力恰好有无的临界问题 6 考点二 竖直面内的圆周运动临界问题 8 知识点 竖直面内圆周运动的临界问题 8 考向1 轻绳模型 9 考向2 轻杆模型 11 考点三 斜面上圆周运动的临界问题 13 知识点 斜面上圆周运动的临界问题 13 考向1 斜面上圆周运动的临界问题 13 04真题溯源·考向感知 15 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 圆周运动临界问题 选择题 非选择题 浙江卷1月卷T16，2分 浙江卷1月卷T18，2分 浙江卷1月卷T18，3分 考情分析： 1．选考中考查形式：临界问题在选择题和计算题中均有出现。出现频率：虽然不是每次考试都单独命题，但在综合题中出现的频率相对较高，是浙江选考物理的重要考点之一。 2．从命题思路上看，试题情景为 圆周运动临界问题往往是试卷中的难题，需要学生对物理概念和规律有深入的理解，能够灵活运用公式进行推导和计算。 复习目标： 目标一：牢记绳模型、杆模型、圆盘滑动等核心临界条件，明确不同模型的适用场景，能准确判断临界状态出现的瞬间特征。 目标二：攻克圆周运动与电磁学、功能关系结合的复杂临界问题，如带电粒子在磁场中圆周运动的边界临界，能结合几何知识确定临界半径，通过联立方程求解多变量问题 考点一 水平面内圆周运动的临界问题 知识点1 水平面内圆周运动的临界问题 1.与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。 2.与弹力有关的临界极值问题 （1）两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。 （2）绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。 考向1 发生相对滑动时的临界问题 例1 如图所示，MN为半径为r的圆弧路线，NP为长度19r的直线路线，为半径为4r的圆弧路线，为长度16r的直线路线。赛车从M点以最大安全速度通过圆弧路段后立即以最大加速度沿直线加速至最大速度vm并保持vm匀速行驶。已知赛车匀速转弯时径向最大静摩擦力和加速时的最大合外力均为车重的k倍，最大速度，g为重力加速度，赛车从M点按照MNP路线运动到P点与按照路线运动到点的时间差为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1·变载体】某同学用以下方法测量物块与木板之间的动摩擦因数，在车厢的底部固定一个木板，一质量为的木块放置在木板上，右端连接一条轻弹簧，已知弹簧的劲度系数为，弹簧处于伸长状态，伸长量为，车静止时，从车尾观察，车内物块位置如图所示。现使该车在水平路面上沿半径为的圆弧弯道上做匀速圆周运动（远大于车辆大小），转弯过程中，测试车辆不发生侧滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，下列说法正确的是（　　）    A．若车辆向右转弯，物块一定受到向右的摩擦力 B．若车辆以速度向右转弯，物块刚好不滑动，则物块与木板之间的动摩擦因数为 C．若车辆以速度向左转弯，物块刚好不滑动，则物块与木板之间的动摩擦因数为 D．若车辆向左转弯，物块仍相对木板静止，车速越大，则物块所受摩擦力越大 【变式训练2】（2024·全国·模拟预测）如图，一圆台可以绕中心轴旋转，圆台下底面半径为1.25m，上底面半径为0.45m，高为0.6m。圆台上底面粗糙，侧面光滑，质量为的物块A放置于上底面的圆心处，物块A与圆台上底面之间的动摩擦因数为，质量为的物块B置于侧面与下底面交界处，A与B通过绕过上底面边缘的光滑定滑轮的轻绳相连，且均可以视为质点，重力加速度取。则系统维持该稳定状态的角速度的最大值为（　　） A． B． C． D． 考向2 恰好分离的临界问题 例2 如图所示，圆锥的底角，顶点处有固定挡板，通过轻绳使质量为的小物块静止在圆锥侧面上，轻绳长，小物块与圆锥面间的动摩擦因数。现让小物块和圆锥一起（无相对滑动）绕圆锥轴做匀速圆周运动，角速度为，小物块与圆锥面恰好无挤压。已知：，，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．小物块做圆周运动的角速度为 B．小物块做圆周运动的角速度为 C．若小物块速度突然变为零，则其与圆锥侧面无摩擦力作用 D．若小物块速度突然变为零，则其与圆锥侧面的摩擦力为0.6N 【变式训练1】骑行是一项深受人们热爱的运动，如图是场地自行车比赛的圆形赛道．路面与水平面的夹角为，圆周的半径为，某运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动，已知，，则下列说法正确的是（    ） A．该运动员在骑行过程中，所受合外力为零 B．该运动员在骑行过程中，所受合外力沿路面向下 C．若该运动员以的速度骑行，则其不受路面给的侧向摩擦力 D．若该运动员以的速度骑行，则其不受路面给的侧向摩擦力 【变式训练2·】如图1所示一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线竖直，母线与轴线之间夹角为，一条长度为l的轻绳，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小球（可看作质点），小球以角速度绕圆锥体的轴线做匀速圆周运动，细线拉力F随变化关系如图2所示。重力加速度g取，由图2可知（　　） A．小球的角速度为时，小球刚离开锥面 B．母线与轴线之间夹角 C．小球质量为 D．绳长为 考向3 绳的弹力恰好有无的临界问题 例2 如图所示，装置BO′O可绕竖直轴O′O转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ=37°。已知小球的质量m=1kg，细线AC长L=1m，B点距C点的水平和竖直距离相等（重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8），则（      ） A．若装置匀速转动的角速度为rad/s时，细线AB上的张力为零而细线AC与竖直方向夹角仍为37° B．若装置可以以不同的角速度匀速转动，且角速度rad/s时，细线AC张力T=N C．若装置可以以不同的角速度匀速转动，且角速度rad/s时，细线AC上张力T与角速度的平方成线性关系 D．若装置可以以不同的角速度匀速转动，且角速度rad/s时，细线AB上张力不变 思维建模 物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力（如拉力、支持力、摩擦力）发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态，分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各物理量的变化，找出临界状态。 【变式训练1】（2025·浙江绍兴·二模）如图所示，两根长均为L的轻绳a和b固定在质量为m的小球上，轻绳a的另一端固定在天花板上的A点，AB为竖直线，轻绳b的另一端系有轻质小环c，小环c套在竖直光滑杆CD上。情境一：竖直杆CD缓慢右移，使轻绳a与竖直方向夹角为37°；情境二：竖直杆CD绕竖直线AB做匀速圆周运动，使轻绳a与竖直方向夹角为37°。已知小球可看作质点，sin37°=0.6。下列说法正确的是（　　） A．在情境一中，轻绳a对小球的拉力大小为mg B．在情境一中，轻绳b对小球的拉力大小为 C．在情境二中，转动转速越大，轻绳a对小球的拉力越大 D．在情境二中，转动角速度为，轻绳b对小球的拉力为0 【变式训练2】（2025·河北·一模）如图所示，水平圆盘可绕竖直轴转动，圆盘上放有小物体A、B、C，质量分别为，A放在B上，C、B离圆心的距离分别为。C、B之间用细线相连，圆盘静止时细线刚好伸直且无张力。已知C、B与圆盘间的动摩擦因数以及A、B间的动摩擦因数均为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，现让圆盘从静止缓慢加速，若A、B之间能发生相对滑动则认为A立即飞走，B以后不再受A物体的影响，且细线不会被拉断，则下列说法正确的是（　　） A．当时，A即将滑离B B．当时，细线张力为 C．无论多大，B、C都不会和圆盘发生相对滑动 D．当时，剪断细线，C将做离心运动 考点二 竖直面内的圆周运动临界问题 知识点1 竖直面内圆周运动的临界问题 1.竖直面内圆周运动的两类模型 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 小球最高点 没有支撑 小球最高点有支撑 最高点受 力特征 除受重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零 除受重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上 最高点受 力示意图 动力学 方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 临界特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ （1）恰好过最高点，v＝0，F弹＝mg （2）恰好无弹力，F弹＝0，v＝ 过最高点 的条件 在最高点的速度v≥ v≥0 得分速记 （1）物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程； （2）物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两位置间的速度关系； （3）注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力。 考向1 轻绳模型 例1 （2024·重庆·模拟预测）如图甲、乙所示为自行车气嘴灯，气嘴灯由接触式开关控制，其结构如图丙所示，弹簧一端固定在顶部，另一端与小物块P连接，当车轮转动的角速度达到一定值时，P拉伸弹簧后使触点A、B接触，从而接通电路使气嘴灯发光。触点B与车轮圆心距离为R，车轮静止且气嘴灯在最低点时触点A、B距离为d，d≤R，已知P与触点A的总质量为m，弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g，不计接触式开关中的一切摩擦，小物块P和触点A、B均视为质点，则（　　） A．气嘴灯在最低点能发光，其他位置一定能发光 B．气嘴灯在最高点能发光，其他位置一定能发光 C．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为 D．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为 【变式训练1】（2024·北京西城·一模）如图1所示，长为R且不可伸长的轻绳一端固定在O点，另一端系一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小不同。测量小球经过最高点时速度的大小v、绳子拉力的大小F，作出F与的关系图线如图2所示。下列说法中正确的是（    ） A．根据图线可以得出小球的质量 B．根据图线可以得出重力加速度 C．绳长不变，用质量更小的球做实验，得到的图线斜率更大 D．用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置不变 【变式训练2】如图所示，有一半径为，高为的圆柱形屋顶，现在在屋顶天花板中心的O点用长为L的细线悬挂一质量为的小球，现将小球拉开一个角度，从静止释放，小球便能如图1所示，在竖直面内做圆周运动．已知小球的质量，绳长，取重力加速度，求： （1）若小球运动到最低点时速度为，绳对小球的拉力大小： （2）若给小球一水平速度，如图2所示，使小球在水平面内做匀速圆周运动，当角速度时，求此时绳与竖直方向的夹角； （3）若图2中绳的最大张力为，当小球的速度逐渐增大到绳子断裂后，小球以的速度落在墙边，求此圆柱形屋顶的高度和半径R。 考向2 轻杆模型 例2图1是某体操运动员在比赛中完成“单臂大回环”的高难度动作时的场景：用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动，运动员运动到最高点时，运动员与单杠间弹力大小为F，运动员在最高点的速度大小为v。其F-v2图像如图2所示，g取10m/s2。则下列说法中正确的是（　　） A．此运动员的质量为50kg B．此运动员的重心到单杠的距离为0.9m C．在最高点速度为4m/s时，运动员受单杆的弹力大小跟重力大小相等 D．在最高点速度为4m/s时，运动员受单杆的弹力大小为428N，方向向下 解题技巧 分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路 【变式训练1】如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。现使小球在竖直平面内他圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度vx随时间t的变化关系如图乙所示。不计空气阻力。下列说法中正确的是（   ） A．t1时刻小球通过最高点，图乙中S1和S2的面积相等 B．t2时刻小球通过最高点，图乙中S1和S2的面积不相等 C．t1时刻，杆中弹力一定最小 D．在小球做一次完整圆周动的过程中，杆中弹力不可能两次为零 【变式训练2】抛石机是古代战场的破城重器（如图甲），可筒化为图乙所示。将石块放在长臂A端的半球形凹槽，在短臂B端挂上重物，将A端拉至地面然后突然释放，石块过最高点P时就被水平抛出。已知转轴O到地面的距离h=5m，OA=L=15m，质量m=60kg可视为质点的石块从P点抛出后的水平射程为80m，不计空气阻力和所有摩擦，取g=10m/s2，求： （1）石块落地时速度的大小； （2）石块到达P时对凹槽压力的大小及方向。 考点三 斜面上圆周运动的临界问题 知识点 斜面上圆周运动的临界问题 在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制（图甲）、轻绳控制（图乙）、轻杆控制（图丙），物体的受力情况和临界条件也不相同。 在斜面内做圆周运动的物体的速率不断变化，运动情况与竖直面内的圆周运动类似，所以通常分析物体在最高点和最低点的受力情况。 考向1 斜面上圆周运动的临界问题 例1 （2025·四川遂宁·二模）如图甲所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，细线一端与可看成质点的质量为的小球相连，另一端穿入小孔与力传感器（位于斜面体内部）连接，传感器可实时记录细线拉力大小及扫过的角度。初始时，细线水平，小球位于小孔的右侧，现敲击小球，使小球获得一平行于斜面向上的初速度，此后传感器记录细线拉力的大小随细线扫过角度的变化图像如图乙所示，图中已知，小球到点距离为，重力加速度为，则下列说法不正确的是（　　） A．小球位于初始位置时的加速度为 B．小球通过最高点时速度为 C．小球通过最高点时速度为 D．小球通过最低点时速度为 解题技巧 与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。 【变式训练1】（2025·山西吕梁·一模）如图所示，倾角为、半径为的倾斜圆盘，绕过圆心垂直于盘面的转轴匀速转动。一个质量为的小物块放在圆盘的边缘，恰好随圆盘一起匀速转动。图中分别为小物块转动过程中所经过的最高点和最低点，与的夹角为。小物块与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，小物块与圆盘间的动摩擦因数。下列说法正确的是（　　） A．小物块受到的摩擦力始终指向圆心 B．小物块在点时受到的摩擦力大小为 C．小物块从运动到的过程，摩擦力减小 D．小物块从运动到的过程中，摩擦力做功 【变式训练2】如图是一弹珠游戏机的简化示意图。矩形游戏面板与水平面所成夹角，面板右侧边缘的直管道与四分之一圆弧轨道相切于P点，面板左侧边缘有垂直板面的挡板，已知圆弧轨道半径，圆弧轨道最高点Q（切线水平）到水平面的高度。控制手柄K可使弹珠（可视为质点）以不同的速度沿直管道发射，弹珠与挡板撞击时间极短且不损失机械能，撞击前后水平速率不变。不计摩擦和空气阻力。，。 （1）求小球通过Q点的最小速度大小； （2）若小球以最小速度通过最高点Q，与挡板发生一次撞击，刚好经过面板下边缘M点，M、A两点相距，求面板边的长度L。    1. （2025·江苏连云港·一模）如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。已知座舱的质量为，运动半径为，角速度大小为，重力加速度为，则座舱（　　） A．运动的周期为 B．线速度大小为 C．运动至圆心等高处时，所受摩天轮的作用力大于 D．运动至最低点时，所受摩天轮的作用力大小与最高点的相等 2. （2024·广东佛山·一模）2022年3月“天宫课堂”第二课开讲，王亚平老师做这样一个实验，在“L”型支架上用细线拴小钢球，用手指沿切线方向轻推小钢球，小钢球就会绕着支架的轴心在竖直面内做匀速圆周运动，在地面上的老师用相同的方法也做这个实验。下列说法正确的是（    ） A．在太空中进行实验时，小钢球在运动过程中细线的拉力保持不变 B．在太空中进行实验时，如果细线突然断开，小钢球相对于空间实验室将做匀速直线运动 C．在地面上进行实验时，小钢球过最高点时，速度可以为零 D．在地面上进行实验时，小钢球也能在竖直面内做匀速圆周运动 3. （2024·辽宁·一模）如图所示，质量为、半径为、内壁光滑的圆形轨道竖直放置在水平地面上，轨道圆心为是轨道上与圆心等高的两点。一质量为的小球沿轨道做圆周运动且刚好能通过轨道最高点，运动过程中轨道始终保持静止状态。已知重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．小球经过轨道最高点时，轨道对地面的压力最小 B．小球经过轨道最低点时，轨道对地面的压力最大 C．小球经过点时，轨道对地面的压力为 D．小球经过点时，轨道对地面的摩擦力沿水平面向左 4. 中国空间站的问天实验舱中配置了变重力科学实验柜，它为科学实验提供了0.01G~2G范围内的高精度模拟重力环境。变重力实验柜的主要装置是两套离心机(如图甲所示)，离心机示意图如图乙所示，离心机旋转的过程中，实验载荷会对容器壁产生压力，这个压力的大小可以体现“模拟重力”的大小。根据上面资料结合所学知识，判断下列说法正确的是（    ） A．实验样品的质量越大“模拟重力加速度”越大 B．离心机的转速变为原来的2倍，同一位置的“模拟重力加速度”也变为原来的2倍 C．实验样品所受“模拟重力”的方向指向离心机转轴中心 D．为防止两台离心机转速增加时对空间站的影响，两台离心机应按相反方向转动 5. 如图甲、乙所示为自行车气嘴灯，气嘴灯由接触式开关控制，其结构如图丙所示，弹簧一端固定在顶部，另一端与小物块P连接，当车轮转动的角速度达到一定值时，P拉伸弹簧后使触点A、B接触，从而接通电路使气嘴灯发光。触点B与车轮圆心距离为R，车轮静止且气嘴灯在最低点时触点A、B距离为d，已知P与触点A的总质量为m，弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g，不计接触式开关中的一切摩擦，小物块P和触点A、B均视为质点。当该自行车在平直的道路上行驶时，下列说法中正确的是（　　） A．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为 B．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为 C．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为 D．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为 6. 在水平面上放置一个半径为的圆盘，圆盘上放置两个可视为质点的物体和（如图甲），其中在圆盘中心，和之间用长为的轻绳连结。物体的质量为，物体的质量为，且它们和圆盘的动摩擦因数相同。现圆盘绕通过圆心的轴从静止缓慢加速转动，当角速度的大小为时，和恰好与圆盘发生相对滑动。如果把物体和沿直径放置在圆盘上（如图乙），此时物体到圆心的距离为，然后再次让圆盘绕通过圆心的轴从静止缓慢加速转动，当角速度的大小为时，和也恰好与圆盘发生相对滑动。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则的大小为（　　） A． B． C． D．1 7. （2024·广东·一模）如图所示，水平转台绕竖直轴匀速转动，穿在水平光滑直杆上的小球和由轻质弹簧相连并相对直杆静止．已知、小球的质量分别为和，它们之间的距离为，弹簧的劲度系数为、自然长度为，下列分析正确的是（　　） A．小球、受到的向心力之比为： B．小球、做圆周运动的半径之比为： C．小球匀速转动的角速度为 D．小球匀速转动的周期为 8. 如图所示，倾角为的斜面体固定在水平地面上，在斜面上固定一个半圆管轨道AEB，圆管的内壁光滑、半径为r，其最低点A、最高点B的切线水平，AB是半圆管轨道的直径，现让质量为m的小球（视为质点）从A点以一定的水平速度滑进圆管，圆管的内径略大于小球的直径、重力加速度为g，、，下列说法正确的是（　　） A．当小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球在B点的速度为 B．小球离开B点做平抛运动的时间为 C．若小球在B点的加速度大小为2g，则A点对小球沿斜面方向的弹力大小为 D．若小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球的落地点与P点间的距离为 9. 如图为游乐场海盗船器械，海盗船摆动过程中最高可摆至图示位置（一侧的拉杆处于水平），下列说法正确的是（　　） A．船体摆动过程中，游客一直处于失重状态 B．船体摆至最高点时，游客所受合外力为0 C．船体摆动过程中，游客对座椅的压力始终小于乘客重力 D．船体摆至最高点时，游客对座椅的压力小于游客所受重力 10. 如图所示，轻杆一端固定有质量为的小球，另一端安装在水平转轴上，转轴到小球的距离为1m，转轴固定在带电动机（电动机没画出来）的三角形支架上（支架放在水平地面上且始终保持静止），在电动机作用下，小球在竖直面内做匀速圆周运动。若小球的转速为n且运动到最高点时，杆受到小球的压力为2N（重力加速度g取），则（    ） A．小球运动时需要的向心力大小为22N B．小球运动的线速度大小为2m/s C．小球运动到图示水平位置时，地面对支架的摩擦力大小为18N D．把杆换成轻绳，同样转速的情况下，小球仍能通过图示的最高点 11. 如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其F—v2图像如图乙所示，则（　　） A．小球的质量为 B．当地的重力加速度大小为 C．v2=c时，小球对杆的弹力方向向下 D．v2=2b时，小球受到的弹力与重力大小相等 12. 如图所示，轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一个小球，小球随轻杆一起在竖直平面内在转轴的带动下绕O点以角速度做匀速圆周运动。已知杆长为L，小球的质量为m，重力加速度为g，A、B两点与O点在同一水平直线上，C、D分别为圆周的最高点和最低点，下列说法正确的是（　　） A．小球在运动过程中向心加速度不变 B．小球运动到最高点C时，杆对小球的作用力为支持力 C．小球运动到A点时，杆对小球作用力为 D．小球在D点与C点相比，杆对小球的作用力的大小差值一定为 13. （2024·辽宁沈阳·一模）如图甲，水平面内有一条双线等宽光滑轨道，它由直轨道和两端半圆形轨道组成。在直轨道上放置一质量的小圆柱体，如图乙。小圆柱体两侧与轨道相切处和小圆柱体截面的圆心O连线的夹角，如图丙，初始时小圆柱体位于轨道上A点。现使之获得沿直轨道AB方向的初速度，小圆柱体运动过程中所受阻力忽略不计，小圆柱体尺寸和轨道间距相对轨道长度也忽略不计，两端半圆形轨道半径，g取。 （1）当时，小圆柱体可以安全通过半圆形轨道，求小圆柱体在直轨道和半圆形轨道上运动时，内侧轨道对小圆柱体的支持力、的大小； （2）为确保小圆柱体沿半圆形轨道运动不脱轨，初速度不能超过多少?（结果可以保留根式）    14. （2024·河南·模拟预测）游客在动物园里常看到猴子荡秋千，其运动可以简化为如图所示的模型，猴子需要借助悬挂在高处的秋千绳飞跃到对面的滑板上。现有一质量的猴子在竖直平面内绕圆心O做圆周运动，当猴子运动到O点的正下方时松手，做平抛运动，恰好飞到水平距离。的对面的滑板上，O点离平台高度也为H，平台与滑板等高，猴子与O点之间的绳长，重力加速度，不考虑空气阻力，猴子可视为质点，求： （1）猴子落到滑板上时的速度大小； （2）猴子运动到O点正下方时秋千绳对猴子拉力的大小。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难强化四 圆周运动的临界问题 目录 01考情解码·命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 考点一 水平面内圆周运动的临界问题 3 知识点 水平面内圆周运动的临界问题 3 考向1 发生相对滑动时的临界问题 4 考向2 恰好分离的临界问题 7 考向3 绳的弹力恰好有无的临界问题 10 考点二 竖直面内的圆周运动临界问题 14 知识点 竖直面内圆周运动的临界问题 14 考向1 轻绳模型 15 考向2 轻杆模型 19 考点三 斜面上圆周运动的临界问题 22 知识点 斜面上圆周运动的临界问题 22 考向1 斜面上圆周运动的临界问题 23 04真题溯源·考向感知 26 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 圆周运动临界问题 选择题 非选择题 浙江卷1月卷T16，2分 浙江卷1月卷T18，2分 浙江卷1月卷T18，3分 考情分析： 1．选考中考查形式：临界问题在选择题和计算题中均有出现。出现频率：虽然不是每次考试都单独命题，但在综合题中出现的频率相对较高，是浙江选考物理的重要考点之一。 2．从命题思路上看，试题情景为 圆周运动临界问题往往是试卷中的难题，需要学生对物理概念和规律有深入的理解，能够灵活运用公式进行推导和计算。 复习目标： 目标一：牢记绳模型、杆模型、圆盘滑动等核心临界条件，明确不同模型的适用场景，能准确判断临界状态出现的瞬间特征。 目标二：攻克圆周运动与电磁学、功能关系结合的复杂临界问题，如带电粒子在磁场中圆周运动的边界临界，能结合几何知识确定临界半径，通过联立方程求解多变量问题 考点一 水平面内圆周运动的临界问题 知识点1 水平面内圆周运动的临界问题 1.与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。 2.与弹力有关的临界极值问题 （1）两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。 （2）绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。 考向1 发生相对滑动时的临界问题 例1 如图所示，MN为半径为r的圆弧路线，NP为长度19r的直线路线，为半径为4r的圆弧路线，为长度16r的直线路线。赛车从M点以最大安全速度通过圆弧路段后立即以最大加速度沿直线加速至最大速度vm并保持vm匀速行驶。已知赛车匀速转弯时径向最大静摩擦力和加速时的最大合外力均为车重的k倍，最大速度，g为重力加速度，赛车从M点按照MNP路线运动到P点与按照路线运动到点的时间差为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】赛车从M点按照MNP路线运动到P点过程，在圆周运动过程有 ， 在NP直线路线匀加速过程有 ， 解得 ， 在NP直线路线匀加速至最大速度过程的位移为 则匀速过程的时间 赛车从M点按照路线运动到点过程，在圆周运动过程有 ， 在直线路线匀加速过程有 ， 解得 ， 在直线路线匀加速至最大速度过程的位移为 即匀加速至最大速度时，恰好到达，则赛车从M点按照MNP路线运动到P点与按照路线运动到点的时间差为 解得 故选C。 【变式训练1·变载体】某同学用以下方法测量物块与木板之间的动摩擦因数，在车厢的底部固定一个木板，一质量为的木块放置在木板上，右端连接一条轻弹簧，已知弹簧的劲度系数为，弹簧处于伸长状态，伸长量为，车静止时，从车尾观察，车内物块位置如图所示。现使该车在水平路面上沿半径为的圆弧弯道上做匀速圆周运动（远大于车辆大小），转弯过程中，测试车辆不发生侧滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，下列说法正确的是（　　）    A．若车辆向右转弯，物块一定受到向右的摩擦力 B．若车辆以速度向右转弯，物块刚好不滑动，则物块与木板之间的动摩擦因数为 C．若车辆以速度向左转弯，物块刚好不滑动，则物块与木板之间的动摩擦因数为 D．若车辆向左转弯，物块仍相对木板静止，车速越大，则物块所受摩擦力越大 【答案】BD 【详解】A．车辆向右转弯，拉力与摩擦力的合力一定向右，由于不知道速度的大小，摩擦力的方向可以向右，也可以向左，也可以为0，故A错误； B．车辆以速度向右转弯，物块刚好不滑动，对物块有 则 故B正确； C．若车辆速度向左转弯，物块刚好不滑动，对物块有 则 故C错误； D．若车辆向左转弯，对物块有 速度越大，越大，故D正确。 故选BD。 【变式训练2】（2024·全国·模拟预测）如图，一圆台可以绕中心轴旋转，圆台下底面半径为1.25m，上底面半径为0.45m，高为0.6m。圆台上底面粗糙，侧面光滑，质量为的物块A放置于上底面的圆心处，物块A与圆台上底面之间的动摩擦因数为，质量为的物块B置于侧面与下底面交界处，A与B通过绕过上底面边缘的光滑定滑轮的轻绳相连，且均可以视为质点，重力加速度取。则系统维持该稳定状态的角速度的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若圆台的角速度达到某一值时，物块B与侧面分离。设此时绳子与竖直方向的夹角为，根据几何关系 可得 此时绳的拉力 而此时物块A的最大静摩擦力为 即物块A已经出现相对滑动。因此，当该稳定状态出现临界值时，绳的拉力为 对B受力分析可知 解得 故选C。 考向2 恰好分离的临界问题 例2 如图所示，圆锥的底角，顶点处有固定挡板，通过轻绳使质量为的小物块静止在圆锥侧面上，轻绳长，小物块与圆锥面间的动摩擦因数。现让小物块和圆锥一起（无相对滑动）绕圆锥轴做匀速圆周运动，角速度为，小物块与圆锥面恰好无挤压。已知：，，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．小物块做圆周运动的角速度为 B．小物块做圆周运动的角速度为 C．若小物块速度突然变为零，则其与圆锥侧面无摩擦力作用 D．若小物块速度突然变为零，则其与圆锥侧面的摩擦力为0.6N 【答案】D 【详解】AB．根据题意可知，小物块与圆锥面恰好无挤压，设设轻绳对小物块的拉力为，对小物块，竖直方向上有 水平方向上，由牛顿第二定律有 解得 故AB错误； CD．若小物块速度突然变为零，则小物块与圆锥间发生相对滑动，由平衡条件可得 则摩擦力 故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练1】骑行是一项深受人们热爱的运动，如图是场地自行车比赛的圆形赛道．路面与水平面的夹角为，圆周的半径为，某运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动，已知，，则下列说法正确的是（    ） A．该运动员在骑行过程中，所受合外力为零 B．该运动员在骑行过程中，所受合外力沿路面向下 C．若该运动员以的速度骑行，则其不受路面给的侧向摩擦力 D．若该运动员以的速度骑行，则其不受路面给的侧向摩擦力 【答案】C 【详解】AB.该运动员在骑行过程中在该赛道上做匀速圆周运动，所受的合外力提供向心力，指向圆心，故AB错误； CD.当其不受路面给的侧向摩擦力，重力和路面的支持力提供向心力，有 得 故C正确，D错误。 故选C。 【变式训练2·】如图1所示一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线竖直，母线与轴线之间夹角为，一条长度为l的轻绳，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小球（可看作质点），小球以角速度绕圆锥体的轴线做匀速圆周运动，细线拉力F随变化关系如图2所示。重力加速度g取，由图2可知（　　） A．小球的角速度为时，小球刚离开锥面 B．母线与轴线之间夹角 C．小球质量为 D．绳长为 【答案】AD 【详解】A．根据图乙可知，当小球的角速度满足 小球恰好要离开锥面，此时角速度为 可知小球的角速度为时，小球刚离开锥面，故A正确； BCD．当小球将要离开锥面时，绳子拉力与小球重力的合力提供向心力，有 即 当小球离开锥面后，设绳子与竖直方向的夹角为，绳子拉力与小球重力的合力提供向心力，有 即 则根据图乙，结合所得绳子拉力与的函数关系可知，当小球离开锥面后 当小球未离开锥面时，分析小球受力情况，水平方向，根据牛顿第二定律有 竖直方向根据平衡条件有 联立可得 根据图乙，结合所得函数关系可得 ， 联立解得 ，， 故D正确，BC错误。 故选AD。 考向3 绳的弹力恰好有无的临界问题 例2 如图所示，装置BO′O可绕竖直轴O′O转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ=37°。已知小球的质量m=1kg，细线AC长L=1m，B点距C点的水平和竖直距离相等（重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8），则（      ） A．若装置匀速转动的角速度为rad/s时，细线AB上的张力为零而细线AC与竖直方向夹角仍为37° B．若装置可以以不同的角速度匀速转动，且角速度rad/s时，细线AC张力T=N C．若装置可以以不同的角速度匀速转动，且角速度rad/s时，细线AC上张力T与角速度的平方成线性关系 D．若装置可以以不同的角速度匀速转动，且角速度rad/s时，细线AB上张力不变 【答案】ABC 【详解】A．若细线AB上张力恰为零且细线AC与竖直方向夹角仍为37°时，根据牛顿第二定律得 解得 rad/s 故A正确； B．若装置可以以不同的角速度匀速转动，且角速度rad/s时，此时对小球，在竖直方向有 TACcos37°=mg 解得 TAC=N 故B正确； CD．当角速度rad/s且逐渐增大时，对于小球，在水平方向上有 即 即细线AC上的张力T与角速度ω的平方成线性关系；当角速度rad/srad/s时，根据牛顿第二定律可得 解得 此时细线AB恰好竖直，且张力为零；当rad/s时，细线AB上有张力，对小球做分析，水平方向上有 竖直方向上有 则 即细线AC上的张力T与角速度ω的平方成线性关系；TAB随角速度ω的增加也增大。故C正确，D错误。 故选ABC。 思维建模 物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力（如拉力、支持力、摩擦力）发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态，分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各物理量的变化，找出临界状态。 【变式训练1】（2025·浙江绍兴·二模）如图所示，两根长均为L的轻绳a和b固定在质量为m的小球上，轻绳a的另一端固定在天花板上的A点，AB为竖直线，轻绳b的另一端系有轻质小环c，小环c套在竖直光滑杆CD上。情境一：竖直杆CD缓慢右移，使轻绳a与竖直方向夹角为37°；情境二：竖直杆CD绕竖直线AB做匀速圆周运动，使轻绳a与竖直方向夹角为37°。已知小球可看作质点，sin37°=0.6。下列说法正确的是（　　） A．在情境一中，轻绳a对小球的拉力大小为mg B．在情境一中，轻绳b对小球的拉力大小为 C．在情境二中，转动转速越大，轻绳a对小球的拉力越大 D．在情境二中，转动角速度为，轻绳b对小球的拉力为0 【答案】D 【详解】AB．对小球受力分析，根据平衡条件可得， 解得， AB错误； CD．在情境二中，当绳b中无拉力，小球受到绳a的拉力及小球的重力，二者的合力为其圆周运动提供向心力，竖直方向上受力平衡，结合上述分析可知， 解得 即当角速度时，绳子a的拉力不变；当绳子b 有拉力时，根据牛顿第二定律则有 随着转动的角速度增大，绳子a的拉力随之增大，综上所述，当时，绳a的拉力随角速度的增大而保持不变，当时，绳a的拉力随角速度的增大而增大，C错误，D正确。 故选D。 【变式训练2】（2025·河北·一模）如图所示，水平圆盘可绕竖直轴转动，圆盘上放有小物体A、B、C，质量分别为，A放在B上，C、B离圆心的距离分别为。C、B之间用细线相连，圆盘静止时细线刚好伸直且无张力。已知C、B与圆盘间的动摩擦因数以及A、B间的动摩擦因数均为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，现让圆盘从静止缓慢加速，若A、B之间能发生相对滑动则认为A立即飞走，B以后不再受A物体的影响，且细线不会被拉断，则下列说法正确的是（　　） A．当时，A即将滑离B B．当时，细线张力为 C．无论多大，B、C都不会和圆盘发生相对滑动 D．当时，剪断细线，C将做离心运动 【答案】AC 【详解】A．当A开始滑动时有 解得 所以当时，A即将滑离B，故A正确； B．当时A已经滑离B B所需向心力 B与转盘之间的最大静摩擦力为 细线张力为 故B错误； C．C与圆盘之间的最大静摩擦力为 当圆盘以角速度转动时，B所需向心力 C所需向心力 则 所以无论多大，B、C都不会和圆盘发生相对滑动，故C正确； D．当时，C所需向心力 所以剪断细线，C将与圆盘一起转动，故D正确。 故选AC。 考点二 竖直面内的圆周运动临界问题 知识点1 竖直面内圆周运动的临界问题 1.竖直面内圆周运动的两类模型 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 小球最高点 没有支撑 小球最高点有支撑 最高点受 力特征 除受重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零 除受重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上 最高点受 力示意图 动力学 方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 临界特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ （1）恰好过最高点，v＝0，F弹＝mg （2）恰好无弹力，F弹＝0，v＝ 过最高点 的条件 在最高点的速度v≥ v≥0 得分速记 （1）物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程； （2）物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两位置间的速度关系； （3）注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力。 考向1 轻绳模型 例1 （2024·重庆·模拟预测）如图甲、乙所示为自行车气嘴灯，气嘴灯由接触式开关控制，其结构如图丙所示，弹簧一端固定在顶部，另一端与小物块P连接，当车轮转动的角速度达到一定值时，P拉伸弹簧后使触点A、B接触，从而接通电路使气嘴灯发光。触点B与车轮圆心距离为R，车轮静止且气嘴灯在最低点时触点A、B距离为d，d≤R，已知P与触点A的总质量为m，弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g，不计接触式开关中的一切摩擦，小物块P和触点A、B均视为质点，则（　　） A．气嘴灯在最低点能发光，其他位置一定能发光 B．气嘴灯在最高点能发光，其他位置一定能发光 C．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为 D．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为 【答案】BCD 【详解】AB．气嘴灯在最低点能发光，对P与触点A作为整体进行分析可知，最小需要提供的向心力为 气嘴灯在最高点能发光，对P与触点A作为整体进行分析可知，最小需要提供的向心力为 明显 得气嘴灯在最高点能发光，其他位置一定能发光，故A错误，B正确； C．当气嘴灯运动到最低点时发光，此时对应车轮做匀速圆周运动的角速度最小，根据受力分析，向心力由弹簧的弹力与重力的合力提供，又因为初始时弹簧弹力等于重力，所以在最低点是增大的弹力提供向心力即 kd=mω2R 得 故C正确； D．当气嘴灯运动到最高点时能发光，则 得 故D正确。 故选BCD。 【变式训练1】（2024·北京西城·一模）如图1所示，长为R且不可伸长的轻绳一端固定在O点，另一端系一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小不同。测量小球经过最高点时速度的大小v、绳子拉力的大小F，作出F与的关系图线如图2所示。下列说法中正确的是（    ） A．根据图线可以得出小球的质量 B．根据图线可以得出重力加速度 C．绳长不变，用质量更小的球做实验，得到的图线斜率更大 D．用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置不变 【答案】A 【详解】AB. 根据牛顿第二定律可知 解得 由图像可知 可得小球的质量 由 可得重力加速度 选项A正确，B错误； C. 图像的斜率为 则绳长不变，用质量更小的球做实验，得到的图线斜率更小，选项C错误； D. 图线与横轴交点的位置 可得 则用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置距离原点的距离变大，选项D错误。 故选A。 【变式训练2】如图所示，有一半径为，高为的圆柱形屋顶，现在在屋顶天花板中心的O点用长为L的细线悬挂一质量为的小球，现将小球拉开一个角度，从静止释放，小球便能如图1所示，在竖直面内做圆周运动．已知小球的质量，绳长，取重力加速度，求： （1）若小球运动到最低点时速度为，绳对小球的拉力大小： （2）若给小球一水平速度，如图2所示，使小球在水平面内做匀速圆周运动，当角速度时，求此时绳与竖直方向的夹角； （3）若图2中绳的最大张力为，当小球的速度逐渐增大到绳子断裂后，小球以的速度落在墙边，求此圆柱形屋顶的高度和半径R。 【答案】（1）；（2）；（3）， 【详解】（1）图1中小球摆到最低点时，由牛顿第二定律可得 可得绳对小球的拉力大小为 （2）图2中设小球与竖直方向的夹角为，根据牛顿第二定律可得 可得 可得 （3）设小球刚好断裂时与竖直方向的夹角为，由 可得 则小球圆周运动半径为 悬点O至小球圆周运动圆心距离为 此时对小球根据牛顿第二定律可得 解得 小球水平飞出后，落在墙角的Q点，由平抛运动速度公式可知 又 联立解得 则小球竖直方向下落的距离为 小球水平方向飞行的距离为 故圆柱形屋顶的高为 圆柱形屋顶的半径为 考向2 轻杆模型 例2图1是某体操运动员在比赛中完成“单臂大回环”的高难度动作时的场景：用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动，运动员运动到最高点时，运动员与单杠间弹力大小为F，运动员在最高点的速度大小为v。其F-v2图像如图2所示，g取10m/s2。则下列说法中正确的是（　　） A．此运动员的质量为50kg B．此运动员的重心到单杠的距离为0.9m C．在最高点速度为4m/s时，运动员受单杆的弹力大小跟重力大小相等 D．在最高点速度为4m/s时，运动员受单杆的弹力大小为428N，方向向下 【答案】BD 【详解】A．对运动员在最高点进行受力分析，由图2可知 对运动员受力分析可得 解得 故A错误； B．由图2可知，当 此时 重力通过向心力，根据牛顿第二定律可得 解得 故B正确； CD．在最高点速度为4m/s时，运动员受到单杠的弹力的方向向下，根据牛顿第二定律可得 解得 方向竖直向下，故C错误，D正确。 故选BD。 解题技巧 分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路 【变式训练1】如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。现使小球在竖直平面内他圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度vx随时间t的变化关系如图乙所示。不计空气阻力。下列说法中正确的是（   ） A．t1时刻小球通过最高点，图乙中S1和S2的面积相等 B．t2时刻小球通过最高点，图乙中S1和S2的面积不相等 C．t1时刻，杆中弹力一定最小 D．在小球做一次完整圆周动的过程中，杆中弹力不可能两次为零 【答案】A 【详解】AB．过最高点后，水平分速度要增大，经过四分之一圆周后，水平分速度为零，可知从最高点开始经过四分之一圆周，水平分速度先增大后减小，故通过题图可知，图像的t1是最高点，面积S1表示的是从最低点运动到水平直径最左端位置的过程中通过的水平位移，其大小等于轨道半径；S2表示的是从水平直径最左端位置运动到最高点的过程中通过的水平位移，其大小也等于轨道半径，A正确、B错误； CD．若存在某点高于圆心，低于最高点，巧好重力的分力提供匀速圆周运动的向心力，则杆中的弹力为零，并存在关于过圆心竖直方向对称位置弹力也为零，故t1时刻，杆中弹力不一定最小；在小球做一次完整圆周动的过程中，杆中弹力可能两次为零，CD错误。 故选A。 【变式训练2】抛石机是古代战场的破城重器（如图甲），可筒化为图乙所示。将石块放在长臂A端的半球形凹槽，在短臂B端挂上重物，将A端拉至地面然后突然释放，石块过最高点P时就被水平抛出。已知转轴O到地面的距离h=5m，OA=L=15m，质量m=60kg可视为质点的石块从P点抛出后的水平射程为80m，不计空气阻力和所有摩擦，取g=10m/s2，求： （1）石块落地时速度的大小； （2）石块到达P时对凹槽压力的大小及方向。 【答案】（1）；（2）5800N，方向竖直向上 【详解】（1）依题意，石块从P点抛出后做平抛运动，则有 求得石块从P点抛出到到达地面所用时间为 从P点抛出时的速度大小为 则落地时的速度大小为 （2）石块到达P时，根据牛顿第二定律有 代入数据求得，凹槽对石块的弹力为 说明凹槽对石块的弹力方向与重力方向相同，即竖直向下，根据牛顿第三定律可知，石块对凹槽压力的大小为5800N，方向竖直向上。 考点三 斜面上圆周运动的临界问题 知识点 斜面上圆周运动的临界问题 在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制（图甲）、轻绳控制（图乙）、轻杆控制（图丙），物体的受力情况和临界条件也不相同。 在斜面内做圆周运动的物体的速率不断变化，运动情况与竖直面内的圆周运动类似，所以通常分析物体在最高点和最低点的受力情况。 考向1 斜面上圆周运动的临界问题 例1 （2025·四川遂宁·二模）如图甲所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，细线一端与可看成质点的质量为的小球相连，另一端穿入小孔与力传感器（位于斜面体内部）连接，传感器可实时记录细线拉力大小及扫过的角度。初始时，细线水平，小球位于小孔的右侧，现敲击小球，使小球获得一平行于斜面向上的初速度，此后传感器记录细线拉力的大小随细线扫过角度的变化图像如图乙所示，图中已知，小球到点距离为，重力加速度为，则下列说法不正确的是（　　） A．小球位于初始位置时的加速度为 B．小球通过最高点时速度为 C．小球通过最高点时速度为 D．小球通过最低点时速度为 【答案】A 【详解】A．位于初始位置时的向心加速度大小为 沿斜面向下的加速度大小为 根据平行四边形定则知，则小球位于初始位置时的加速度大于，故A错误，满足题意要求； B．由图乙可知，小球通过最高点时细线的拉力最小，为零，则有 解得小球通过最高点时的速度 故B正确，不满足题意要求； C．小球在初始位置时，有 则小球通过最高点时的速度 故C正确，不满足题意要求； D．小球通过最低点时，细线的拉力最大，根据牛顿第二定律有 联立解得小球通过最低点的速度为 故D正确，不满足题意要求。 故选A。 解题技巧 与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。 【变式训练1】（2025·山西吕梁·一模）如图所示，倾角为、半径为的倾斜圆盘，绕过圆心垂直于盘面的转轴匀速转动。一个质量为的小物块放在圆盘的边缘，恰好随圆盘一起匀速转动。图中分别为小物块转动过程中所经过的最高点和最低点，与的夹角为。小物块与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，小物块与圆盘间的动摩擦因数。下列说法正确的是（　　） A．小物块受到的摩擦力始终指向圆心 B．小物块在点时受到的摩擦力大小为 C．小物块从运动到的过程，摩擦力减小 D．小物块从运动到的过程中，摩擦力做功 【答案】BCD 【详解】A．小物块随圆盘做匀速圆周运动，其合外力始终指向圆心。小物块受重力、支持力和摩擦力，重力沿圆盘平面有分力，根据平行四边形定则可知摩擦力并不始终指向圆心，故A错误； B．在最低点恰好相对圆盘静止，则说明摩擦力达到最大静摩擦力，依题意有 又因为，解得 在C点时，摩擦力指向圆心的分力提供向心力，大小为 摩擦力的另一个分力平衡重力沿斜面方向的分力，大小为 两个分力的夹角为，所以C点所受摩擦力大小为 故B正确； C．设小物块位置与圆心连线和OA夹角为，结合B选项分析可知小物块从运动到的过程，摩擦力大小 由于大小不变，从B到A，从减小到，则增大，故摩擦力减小，故C正确； D．小物块从运动到的过程中，由动能定理有 可知摩擦力做功 故D正确。 故选 BCD。 【变式训练2】如图是一弹珠游戏机的简化示意图。矩形游戏面板与水平面所成夹角，面板右侧边缘的直管道与四分之一圆弧轨道相切于P点，面板左侧边缘有垂直板面的挡板，已知圆弧轨道半径，圆弧轨道最高点Q（切线水平）到水平面的高度。控制手柄K可使弹珠（可视为质点）以不同的速度沿直管道发射，弹珠与挡板撞击时间极短且不损失机械能，撞击前后水平速率不变。不计摩擦和空气阻力。，。 （1）求小球通过Q点的最小速度大小； （2）若小球以最小速度通过最高点Q，与挡板发生一次撞击，刚好经过面板下边缘M点，M、A两点相距，求面板边的长度L。    【答案】（1）；（2）2.75m 【详解】（1）小球恰好过Q点，有 解得 （2），沿斜面向下，小球做匀加速直线运动，有 解得 水平方向，速度大小不变，碰前与碰后水平位移大小相等，故有 M到挡板距离 则边长度 1. （2025·江苏连云港·一模）如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。已知座舱的质量为，运动半径为，角速度大小为，重力加速度为，则座舱（　　） A．运动的周期为 B．线速度大小为 C．运动至圆心等高处时，所受摩天轮的作用力大于 D．运动至最低点时，所受摩天轮的作用力大小与最高点的相等 【答案】C 【详解】A．运动的周期为。故A错误； B．线速度大小为。故B错误； C．运动至圆心等高处时，由平行四边形定则得座舱所受摩天轮的作用力 大于，故C正确； D．在最低点 在最高点 显然，则运动至最低点时，所受摩天轮的作用力大小与最高点的不相等。故D错误。 故选C。 2. （2024·广东佛山·一模）2022年3月“天宫课堂”第二课开讲，王亚平老师做这样一个实验，在“L”型支架上用细线拴小钢球，用手指沿切线方向轻推小钢球，小钢球就会绕着支架的轴心在竖直面内做匀速圆周运动，在地面上的老师用相同的方法也做这个实验。下列说法正确的是（    ） A．在太空中进行实验时，小钢球在运动过程中细线的拉力保持不变 B．在太空中进行实验时，如果细线突然断开，小钢球相对于空间实验室将做匀速直线运动 C．在地面上进行实验时，小钢球过最高点时，速度可以为零 D．在地面上进行实验时，小钢球也能在竖直面内做匀速圆周运动 【答案】B 【详解】A．在太空中进行实验时，小钢球做匀速圆周运动，绳子拉力提供向心力，方向不断改变，故A错误； B．在太空中进行实验时，如果细线突然断开，小钢球相对于空间实验室将做匀速直线运动，故B正确； CD．在地面上进行实验时，小钢球受拉力、重力作用，不会在竖直面内做匀速圆周运动，过最高点时，最小速度满足 即 故CD错误； 故选B。 3. （2024·辽宁·一模）如图所示，质量为、半径为、内壁光滑的圆形轨道竖直放置在水平地面上，轨道圆心为是轨道上与圆心等高的两点。一质量为的小球沿轨道做圆周运动且刚好能通过轨道最高点，运动过程中轨道始终保持静止状态。已知重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．小球经过轨道最高点时，轨道对地面的压力最小 B．小球经过轨道最低点时，轨道对地面的压力最大 C．小球经过点时，轨道对地面的压力为 D．小球经过点时，轨道对地面的摩擦力沿水平面向左 【答案】B 【详解】A．小球经过轨道最高点时，重力提供向心力，小球处于完全失重状态，轨道对地面的压力等于轨道的重力，小球在下半轨道运动时，小球对轨道的压力有向下的分力，则轨道对地面的压力大于轨道的重力，小球在上半轨道运动（除最高点外）时，小球对轨道的压力有向上的分力，则轨道对地面的压力小于轨道的重力，故小球经过轨道最高点时，轨道对地面的压力不是最小，故A错误； B．由A分析可知，轨道对地面的压力最大位置在下半轨道，设小球、轨道圆心连线与竖直方向的夹角为，根据牛顿第二定律 小球经过轨道最低点时，速度最大，，则在轨道最低点，小球受到轨道的支持力最大，根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力最大，轨道对地面的压力最大，故B正确； C．小球经过点时，轨道的支持力提供向心力，小球处于完全失重状态，轨道对地面的压力等于轨道的重力，为 故C错误； D．小球经过点时，轨道向左的支持力提供向心力，根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力向右，轨道静止，根据平衡条件可知地面对轨道的摩擦力沿水平面向左，根据牛顿第三定律，轨道对地面的摩擦力沿水平面向右，故D错误。 故选B。 4. 中国空间站的问天实验舱中配置了变重力科学实验柜，它为科学实验提供了0.01G~2G范围内的高精度模拟重力环境。变重力实验柜的主要装置是两套离心机(如图甲所示)，离心机示意图如图乙所示，离心机旋转的过程中，实验载荷会对容器壁产生压力，这个压力的大小可以体现“模拟重力”的大小。根据上面资料结合所学知识，判断下列说法正确的是（    ） A．实验样品的质量越大“模拟重力加速度”越大 B．离心机的转速变为原来的2倍，同一位置的“模拟重力加速度”也变为原来的2倍 C．实验样品所受“模拟重力”的方向指向离心机转轴中心 D．为防止两台离心机转速增加时对空间站的影响，两台离心机应按相反方向转动 【答案】D 【详解】AB．根据题意可得 角速度与转速的关系为 则模拟重力加速度为 模拟重力加速度与样品的质量无关，离心机的转速变为原来的2倍，同一位置的“模拟重力加速度”变为原来的4倍，故AB错误； C．离心机旋转的过程中，实验载荷有向外飞出的趋势，对容器壁产生的压力向外，故模拟重力的方向背离离心机转轴中心，故C错误； D．根据牛顿第三定律可知，一台离心机转速增加时，会给空间站施加相反方向的力，使空间站发生转动，故为防止两台离心机转动时对空间站的影响，两台离心机应按相反方向转动，故D正确。 故选D。 5. 如图甲、乙所示为自行车气嘴灯，气嘴灯由接触式开关控制，其结构如图丙所示，弹簧一端固定在顶部，另一端与小物块P连接，当车轮转动的角速度达到一定值时，P拉伸弹簧后使触点A、B接触，从而接通电路使气嘴灯发光。触点B与车轮圆心距离为R，车轮静止且气嘴灯在最低点时触点A、B距离为d，已知P与触点A的总质量为m，弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g，不计接触式开关中的一切摩擦，小物块P和触点A、B均视为质点。当该自行车在平直的道路上行驶时，下列说法中正确的是（　　） A．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为 B．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为 C．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为 D．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为 【答案】C 【详解】AB. 当气嘴灯运动到最低点时发光，此时车轮匀速转动的角速度最小，则有 得 故AB错误； CD. 当气嘴灯运动到最高点时能发光，则 得 即要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为，故C正确，D错误。 故选C。 6. 在水平面上放置一个半径为的圆盘，圆盘上放置两个可视为质点的物体和（如图甲），其中在圆盘中心，和之间用长为的轻绳连结。物体的质量为，物体的质量为，且它们和圆盘的动摩擦因数相同。现圆盘绕通过圆心的轴从静止缓慢加速转动，当角速度的大小为时，和恰好与圆盘发生相对滑动。如果把物体和沿直径放置在圆盘上（如图乙），此时物体到圆心的距离为，然后再次让圆盘绕通过圆心的轴从静止缓慢加速转动，当角速度的大小为时，和也恰好与圆盘发生相对滑动。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则的大小为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】图甲中，当和恰好相对圆盘发生滑动时有 解得 图乙中，当和恰好相对圆盘发生滑动时，对有 对有 解得 所以，A正确。 故选A。 7. （2024·广东·一模）如图所示，水平转台绕竖直轴匀速转动，穿在水平光滑直杆上的小球和由轻质弹簧相连并相对直杆静止．已知、小球的质量分别为和，它们之间的距离为，弹簧的劲度系数为、自然长度为，下列分析正确的是（　　） A．小球、受到的向心力之比为： B．小球、做圆周运动的半径之比为： C．小球匀速转动的角速度为 D．小球匀速转动的周期为 【答案】AD 【详解】A．两球靠弹簧的弹力提供向心力，则知两球向心力大小相等，故A正确； B．两球共轴转动，角速度相同。、的向心力大小相等，由 可求得两球的运动半径之比为 ：： 故B错误； C．对于球，轨道半径 由 可求得 故C错误； D．小球匀速转动的周期为 故D正确。 故选AD。 8. 如图所示，倾角为的斜面体固定在水平地面上，在斜面上固定一个半圆管轨道AEB，圆管的内壁光滑、半径为r，其最低点A、最高点B的切线水平，AB是半圆管轨道的直径，现让质量为m的小球（视为质点）从A点以一定的水平速度滑进圆管，圆管的内径略大于小球的直径、重力加速度为g，、，下列说法正确的是（　　） A．当小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球在B点的速度为 B．小球离开B点做平抛运动的时间为 C．若小球在B点的加速度大小为2g，则A点对小球沿斜面方向的弹力大小为 D．若小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球的落地点与P点间的距离为 【答案】BCD 【详解】A．小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则由重力沿斜面的分力提供向心力，则有 解得 A错误； B．小球离开B点做平抛运动，竖直方向上有 解得 B正确； D．若小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，根据上述有 ， 小球的落地点与P点间的距离为 解得 D正确； C．小球在B点的加速度大小为2g，则在B点有 小球由A运动到B过程有 小球在A点有 解得 C正确。 故选BCD。 9. 如图为游乐场海盗船器械，海盗船摆动过程中最高可摆至图示位置（一侧的拉杆处于水平），下列说法正确的是（　　） A．船体摆动过程中，游客一直处于失重状态 B．船体摆至最高点时，游客所受合外力为0 C．船体摆动过程中，游客对座椅的压力始终小于乘客重力 D．船体摆至最高点时，游客对座椅的压力小于游客所受重力 【答案】D 【详解】A．在海盗船摆动至最高点过程中，竖直方向上的始末分速度均为0，表明竖直方向上先加速后减速，即竖直方向上的分加速度方向先向上后向下，即游客在摆动过程中先处于超重状态，后处于失重状态，A错误； B．根据上述，船体摆至最高点时，游客处于失重状态，因此所受合外力不为0，B错误； C．根据上述，在海盗船摆动至最高点过程中，游客在摆动过程中先处于超重状态，后处于失重状态，可知船体摆动过程中，座椅对游客的支持力先大于乘客重力，后小于游客的重力，根据牛顿第三定律可知，游客对座椅的压力先大于乘客重力，后小于游客的重力，C错误； D．根据上述可知，船体摆至最高点时，游客处于失重状态，座椅对游客的支持力小于乘客重力，根据牛顿第三定律，船体摆至最高点时，游客对座椅的压力小于游客所受重力，D正确。 故选D。 10. 如图所示，轻杆一端固定有质量为的小球，另一端安装在水平转轴上，转轴到小球的距离为1m，转轴固定在带电动机（电动机没画出来）的三角形支架上（支架放在水平地面上且始终保持静止），在电动机作用下，小球在竖直面内做匀速圆周运动。若小球的转速为n且运动到最高点时，杆受到小球的压力为2N（重力加速度g取），则（    ） A．小球运动时需要的向心力大小为22N B．小球运动的线速度大小为2m/s C．小球运动到图示水平位置时，地面对支架的摩擦力大小为18N D．把杆换成轻绳，同样转速的情况下，小球仍能通过图示的最高点 【答案】C 【详解】A．小球做匀速圆周运动，向心力大小不变，在最高点，杆对小球的支持力为2N，根据题意可得 故A错误； B．根据 解得 故B错误； C．小球运动到图示水平位置时，杆对小球水平方向的分力大小为18N，对支架水平方向由平衡条件可知地面对支架的摩擦力大小为18N，故正确； D．把杆换成轻绳，轻绳无法给小球支持力，同样转速的情况下，小球不能通过图示的最高点，故D错误。 故选C。 11. 如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其F—v2图像如图乙所示，则（　　） A．小球的质量为 B．当地的重力加速度大小为 C．v2=c时，小球对杆的弹力方向向下 D．v2=2b时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】D 【详解】B．由题图乙可知，当v2=b时，杆对球的弹力恰好为零，此时只受重力，重力提供向心力 mg=m=m 即重力加速度 g= 故B错误； A．当v2=0时，向心力为零，杆对球的弹力恰好与球的重力等大反向 F=mg=a 即小球的质量 故A错误； C．根据圆周运动的规律，当v2=b时杆对球的弹力为零，当v2<b时 mg-F=m 杆对球的弹力方向向上，当v2>b时 mg+F=m 杆对球的弹力方向向下，v2=c时，杆对小球的弹力方向向下，根据牛顿第三定律，小球对杆的弹力方向向上，故C错误； D．当v2=2b时 mg+F=m=m 则 F=m-mg=mg 故D正确。 故选D。 12. 如图所示，轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一个小球，小球随轻杆一起在竖直平面内在转轴的带动下绕O点以角速度做匀速圆周运动。已知杆长为L，小球的质量为m，重力加速度为g，A、B两点与O点在同一水平直线上，C、D分别为圆周的最高点和最低点，下列说法正确的是（　　） A．小球在运动过程中向心加速度不变 B．小球运动到最高点C时，杆对小球的作用力为支持力 C．小球运动到A点时，杆对小球作用力为 D．小球在D点与C点相比，杆对小球的作用力的大小差值一定为 【答案】C 【详解】A．小球做匀速圆周运动，向心加速度大小不变，方向改变，选项A错误； B．当小球在最高点，由牛顿第二定律 可知，当小球通过最高点时线速度大于时，FN为正值，杆对小球的作用力为向下的拉力；当小球通过最高点时线速度小于时，FN为负值，杆对小球的作用力为向上的支持力；当小球通过最高点时线速度等于时，FN为0。因为不知道小球在最高点时线速度与的大小关系，所以不能判断杆对小球是支持力还是拉力，选项B错误； C．当小球在A点时，杆对小球作用力竖直方向分量应等于重力，水平方向分量提供向心力，故杆对小球的作用力 选项C正确； D．若小球在最高点，杆对小球的作用力为支持力，则在C点 在D点 可得 若小球在最高点，杆对小球的作用力为拉力，则在C点 在D点 可得 选项D错误。 故选C。 13. （2024·辽宁沈阳·一模）如图甲，水平面内有一条双线等宽光滑轨道，它由直轨道和两端半圆形轨道组成。在直轨道上放置一质量的小圆柱体，如图乙。小圆柱体两侧与轨道相切处和小圆柱体截面的圆心O连线的夹角，如图丙，初始时小圆柱体位于轨道上A点。现使之获得沿直轨道AB方向的初速度，小圆柱体运动过程中所受阻力忽略不计，小圆柱体尺寸和轨道间距相对轨道长度也忽略不计，两端半圆形轨道半径，g取。 （1）当时，小圆柱体可以安全通过半圆形轨道，求小圆柱体在直轨道和半圆形轨道上运动时，内侧轨道对小圆柱体的支持力、的大小； （2）为确保小圆柱体沿半圆形轨道运动不脱轨，初速度不能超过多少?（结果可以保留根式）    【答案】（1），；（2） 【详解】（1）小圆柱体在直轨道上做匀速直线运动，所受合力为零，则根据平衡条件可得 解得 当小圆柱体在半圆形轨道上运动时，其受力分析如所示    竖直方向根据平衡条件有 水平方向由牛顿第二定律有 联立解得 （2）设小圆柱体沿半圆形轨道运动不脱轨的最大速度为，分析可知，小圆柱体恰好不脱轨时小圆柱体的重力与外侧导轨对小圆柱体的支持力恰好提供小圆柱体做圆周运动的向心力，对小圆柱体受力分析如图所示    则有 解得 即为确保小圆柱体沿半圆形轨道运动不脱轨，初速度不能超过。 14. （2024·河南·模拟预测）游客在动物园里常看到猴子荡秋千，其运动可以简化为如图所示的模型，猴子需要借助悬挂在高处的秋千绳飞跃到对面的滑板上。现有一质量的猴子在竖直平面内绕圆心O做圆周运动，当猴子运动到O点的正下方时松手，做平抛运动，恰好飞到水平距离。的对面的滑板上，O点离平台高度也为H，平台与滑板等高，猴子与O点之间的绳长，重力加速度，不考虑空气阻力，猴子可视为质点，求： （1）猴子落到滑板上时的速度大小； （2）猴子运动到O点正下方时秋千绳对猴子拉力的大小。 【答案】（1）10m/s；（2）770N 【详解】（1）设猴子松手后飞行的时间为，由平抛运动规律，在竖直方向上有 在水平方向上有 解得 在竖直方向上有 解得 而 解得猴子落到滑板上时的速度大小 （2）设猴子运动到点正下方时秋千绳对猴子的拉力大小为，猴子做圆周运动的半径 猴子运动到点正下方时，由牛顿第二定律得 解得 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$