1.4.2 充要条件-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版2019）

１．已知x∈R,则“x２＝x＋６”是“x＝ x＋６”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 ２．(多选题)下列四个条件中能成为x２＞y２ 的充 分条件的是 (　　) A．x＞y＞０　　　　　　　B．xt＞yt C．x＞y D．x＜y＜０ ３．用充分条件、必要条件填空: (１)“a＋b＜０”是“a＜０且b＜０”的　　　　; (２)“x＝２”是“x２－７x＋１０＝０”的　　　　． ４．“a＝２”是“方程x２－４x＋a＝０有实根”的　　 　　条件．(用“充分”“必要”填空) ５．已知p:－２≤x≤１０,q:１－m≤x≤１＋m,且p 是q的充分条件,但不是必要条件,求实数m 的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．４．２　充要条件 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的 意义,理解数学定义与充要条件的关系 针对充要条件问题,通过几个数学定义的研究比 较,学生经历梳理知识,提炼定义,感悟思想的学习 过程,提升逻辑推理素养与数学抽象素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　姚明大家都认识,他说过很多 很经典的话,其中有一句给我留下 了很深刻的印象,他说:“努力不一定 成功,但放弃一定失败”． [问题]　话语中有两组关键词:“努力”和“成功”; “放弃”和“失败”．每组中的两个词之间有什么样 的逻辑关系? [知识梳理] [知识点]　充要条件 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔ q．此时,我们说,p是q的　　　　条件,简称 　　　条件． 概括地说,如果p⇔q,那么p与q　　　　 条件． ２．若p⇒q,但q⇒/p,则称p是q的充分不必要 条件． ３．若q⇒p,但p⇒/q,则称p是q的必要不充分 条件． ４．若p⇒/q,且q⇒/p,则称p是q的既不充分也不 必要条件． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１􀅰 第一章　集合与常用逻辑用语 ５．本质:当原命题、逆命题都是真命题时,命题的 条件和结论互为充要条件,是等价的． ６．应用:充要条件是数学中非常重要的概念,应 用充要条件可以从不同的角度来理解、刻画很 多数学内容． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．若p是q的充要条件,则p和q是两 个相互等价的命题,这种说法对吗? ２．“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的 区别在哪里? [预习自测] １．以下选项中p是q的充要条件的是 (　　) A．p:３x＋２＞５,q:－２x－３＞－５ B．p:a＞２,b＜２,q:a＞b C．p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四 边形是正方形 D．p:a≠０,q:关于x的方程ax＝１有唯一解 ２．已知条件甲:０＜x＜５,条件乙:－３＜x－２＜３, 那么甲是乙的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ３．“m＜１４ ”是“一元二次方程x２＋x＋m＝０有实 数解”的　　　　条件(填“充要”“充分不必要” “必要不充分”或“既不充分也不必要”)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　充要条件的判断 [例１]判断下列各题中p是q的什么条件． (１)在△ABC中,p:A＞B,q:a＞b; (２)p:x＞１,q:x２＞１; (３)p:(a－２)(a－３)＝０,q:a＝３; (４)p:a＜b,q:ab＜１． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　按充要条件的定义判断． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法: １．定义法(适用于较简单的命题) 若p⇒q,但q⇒/p,则p是q的充分而不必 要条件; 若q⇒p,但p⇒/q,则p是q的必要而不充 分条件; 若p⇒q且q⇒p,则p是q的充要条件; 若p⇒/q且q⇒/p,则p是q的既不充分也 不必要条件． ２．集合法(适用于需对命题的条件或结论化 简的命题)首先建立与p,q相应的集合,即 p:A＝{x|p(x)};q:B＝{x|q(x)}． 若A⊆B,则p是q的充分条件; 若B⊆A,则p是q的必要条件; 若A⫋B,则p是q的充分而不必要条件; 若B⫋A,则p是q的必要而不充分条件; 若A＝B,则p是q的充要条件; 若A⊈B,B⊈A,则A是B的既不充分也不必 要条件． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２􀅰 数学􀅰必修第一册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋３．传递性法(适用于多个条件之间的关系 推断) 由于逻辑联结符号“⇒”“⇐”“⇔”具有传 递性,因此可根据几个条件的关系,经过 若干次的传递,判断所给的两个条件之 间的相互关系． 􀳀[变式训练] １．下列各题中,哪些p是q的充要条件? (１)p:x≠０,q:x＋|x|＞０． (２)p:a,b∈R,|a－b|＝|a|＋|b|,q:a,b∈R,ab ＜０． (３)p:x１,x２ 是方程x２＋５x－６＝０的两个 实数根,q:x１＋x２＝－５． (４)p:A⊆B,q:A∩B＝A． 　　　　充要条件的证明 [例２]求证:方程mx２－２x＋３＝０有两个同 号不相等实根的充要条件是０＜m＜１３． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　从充分性和必要性两个方面 证明． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 充要条件的证明策略 (１)准确理解题意明确证明方向． ①条件已知证明结论成立是充分性,结论 已知推出条件成立是必要性． ②“p是q的充分(必要)条件”常写为“q的 充分(必要)条件是p”. (２)关注证明的两个环节． 一是充分性;二是必要性．证明时,不要认 为它是推理过程的“双向书写”,而应该进 行由条件到结论,由结论到条件的两次证 明． 􀳀[变式训练] ２．已知a＋b≠０,证明:a２＋b２－a－b＋２ab＝０ 成立的充要条件是a＋b＝１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２􀅰 第一章　集合与常用逻辑用语 　　　充要条件的应用 [例３]已知p:x∈{x|－２≤x≤１０},q:x∈{x|１ －m≤x≤１＋m},若p是q的必要不充分条 件,求实数m的取值范围． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　由已知,{x|１－m≤x≤１＋m} ⫋{x|－２≤x≤１０},注意端点值的取舍． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求 参数值(范围)的一般步骤 (１)根据已知将充分不必要条件、必要不充分 条件或充要条件转化为集合间的关系． (２)根据集合间的关系构建关于参数的方程 或不等式求解． 􀳀[变式训练] ３．已知集合 M＝{x|x＜－３,或x＞５},P＝ {x|a≤x≤８}． (１)求实数a的取值范围,使它成为 M∩P＝ {x|５＜x≤８}的充要条件; (２)求实数a的一个值,使它成为 M∩P＝ {x|５＜x≤８}的一个充分不必要条件; (３)求实数a的取值范围,使它成为 M∩P＝ {x|５＜x≤８}的一个必要不充分条件． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．设x∈R,则“１＜x＜２”是“１＜x＜３”的 (　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ２．“两个三角形面积相等”是“两个三角形全 等”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ３．“x≠－１”是“x２－１≠０”的　　　　条件． ４．条件p:１－x＜０,条件q:x＞a,若p是q 的 充分不必要条件,则a 的取值范围是　　 　　． ５．已知p:－１＜x＜３,若－a＜x－１＜a是p 的一个必要条件,求使a＞b恒成立的实数b 的取值范围． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２２􀅰 数学􀅰必修第一册 １．４　充分条件与必要条件 １．４．１　充分条件与必要条件 课前预习学案 情境引入 　提示　(１)一定亮． (２)不一定,还可能是C开关闭合． 知识梳理 知识点一、１．⇒　⇒/　充分　必要　充分　必要 知识点二、(１)判定　(２)性质　 [思考] １．提示:相同,都是p⇒q． ２．提示:这五种表述形式是等价的． 预习自测 １．A　２．B ３．(１)⇒/ 　(２)⇒ 课堂互动学案 [例１]　解:(１)由于 Q⫋R,所以p⇒q,所以p 是q 的充分 条件． (２)由于a＜b,当b＜０时,ab ＞１ ;当b＞０时,ab ＜１ ,因 为p⇒/q,所以p不是q的充分条件． (３)由x＞１可以推出x２＞１．因此p⇒q,所以p是q的充 分条件． (４)设A＝{a|(a－２)(a－３)＝０},B＝{３},则B⫋A．因 此p⇒/q,所以p不是q的充分条件． (５)由三角形中大角对大边可知,若∠A＞∠B,则BC＞ AC．因此,p⇒q,所以p是q的充分条件． [例２]　解析:(１)等腰梯形的两条对角线相等．因此,p⇒ q,所以q是p 的必要条件． (２)直角三角形不一定是等腰三角形． 因此p⇒/q,所以q不是p 的必要条件． (３)若１x＝ １ y ,则x＝y是真命题． 因此p⇒q,所以q是p 的必要条件． (４)命题“若关于x的方程ax＋b＝０(a,b∈R)有唯一解, 则a＞０”为 假 命 题,因 此p⇒/q,所 以q不 是p 的 必 要 条件． [例３]　[解]　p:３a＜x＜a, 即集合A＝{x|３a＜x＜a,a＜０}． q:－２≤x≤３,即集合B＝{x|－２≤x≤３}． 因为p⇒q,所以A⊆B, 所以 ３a≥－２, a≤３, a＜０ { ⇒－２３≤a＜０． 所以a的取值范围是 a|－２３≤a＜０{ }． 变式训练 １．(１)A (２)解析:由题意得,M∪N＝N,所以“a∈M”⇒“a∈N”, 所以“a∈M”是“a∈N”的充分条件． 答案:充分 ２．解析:(１)该 命 题 是 真 命 题,p⇒q,所 以q 是p 的 必 要 条件． (２)因为∠α＝６０°３２′,所以∠α的余角为９０°－６０°３２′＝ ２９°２８′． p⇒q,所以q是p 的必要条件． (３)因为３＋４＜９,所以长分别为３cm、４cm 和９cm 的 三条线段不能组成三角形,所以p⇒/q,所以q不是p 的 必要条件． (４)两个偶数的乘仍是偶数． 所以p⇒q,所以q是p 的必要条件． ３．解析:(１)若２x＋m＜０是x＜－１或x＞３的充分条件． 则只要{x|x＜－m２ }⊆{x|x＜－１,或x＞３},即只需－ m ２≤－１ ,所以m≥２． 故存在实数m≥２,使２x＋m＜０是x＜－１或x＞３的充 分条件． (２)若２x＋m＜０是x＜－１或x＞３的必要条件,则只要 {x|x＜－１,或x＞３}⊆{x|x＜－m２ },这是不可能的． 故不存在实数m,使２x＋m＜０是x＜－１或x＞３的必 要条件． 随堂步步夯实 １．B　２．AD ３．(１)必要条件　(２)充分条件　４．充分 ５．解析:因为p是q 的充分条件,但不是必要条件,所以p ⇒q但q⇒/p,即{x|－２≤x≤１０}是{x|１－m≤x≤１＋m} 的真子集, 所以 １－m＜－２, １＋m≥１０{ ,或 １－m≤－２, １＋m＞１０,{ 解得m≥９． 所以实数m 的取值范围为{m|m≥９}． １．４．２　充要条件 课前预习学案 情境引入 　提示　一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作:p ⇔q． 知识梳理 知识点一、１．充分必要　充要　互为充要 [思考] １．提示:正确．若p 是q 的 充 要 条 件,则p⇔q,即p 等 价 于q． ２．提示:①p是q的充要条件说明p 是条件,q是结论． ②p的充要条件是q说明q是条件,p是结论． 预习自测 １．D　２．A　３．充分不必要 课堂互动学案 [例１]　[解析]　(１)由三角形中大角对大边可知,若A＞ B,则a＞b,即p⇒q,反之,若a＞b,则A＞B 即q⇒p． 因此,p是q的充要条件． (２)由x＞１可以推出x２＞１即p⇒q;由x２＞１,得x＜ －１或x＞１,不一定有x＞１即q⇒/p． 因此,p是q的充分不必要条件． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０７３􀅰 数学􀅰必修第一册 (３)由(a－２)(a－３)＝０可以推出a＝２或a＝３,不一定 有a＝３即p⇒/q; 由a＝３可以得出(a－２)(a－３)＝０即q⇒p． 因此p是q的必要不充分条件． (４)由于a＜b,当b＜０时,ab ＞１ ;当b＞０时,ab ＜１ ,故 若a＜b,不一定有ab ＜１ ;当a＞０,b＞０,ab ＜１ 时,可以 推出a＜b; 当a＜０,b＜０,ab ＜１ 时,可以推出a＞b． 因此p是q的既不充分也不必要条件． [例２]　[解]　设p:０＜m＜ １３ ,q:方程 mx２－２x＋３＝０ 有两个同号不相等实根． (１)充分性(p⇒q): 因为０＜m＜１３ ,所以Δ＝４－１２m＞０, 所以一元二次方程mx２－２x＋３＝０有两个不等的实根． 设方程的两根为x１,x２, 当０＜m＜１３ 时, x１＋x２＝ ２ m＞０ 且x１x２＝ ３ m＞０ , 故方程mx２－２x＋３＝０有两个同号且不相等的实根． (２)必要性(q⇒p): 若方程mx２－２x＋３＝０有两个同号且不相等的实根． 则有 Δ＝４－１２m＞０, x１x２＞０,{ 所以０＜m＜ １ ３． 即方程mx２－２x＋３＝０有两个同号且不相等的实根⇒０ ＜m＜１３． 综上可知,方程mx２－２x＋３＝０有两个同号且不相等的 实根的充要条件是０＜m＜１３． [例３]　[解]　p:x∈{x|－２≤x≤１０},q:x∈{x|１－m≤x≤１＋ m}． 因为p是q的必要不充分条件, 所以q是p 的充分不必要条件, 即{x|１－m≤x≤１＋m}⫋{x|－２≤x≤１０}, 故有 １－m≥－２, １＋m＜１０,{ 或 １－m＞－２, １＋m≤１０,{ 解得m≤３．又１－m＜１＋m,所以m＞０, 所以实数m 的取值范围为０＜m≤３． 变式训练 １．解析:(１)因为由x≠０推不出x＋|x|＞０, 如x＝－１时,x＋|x|＝０,所以p⇒/q, 所以p不是q的充要条件． (２)由|a－b|＝|a|＋|b|,两边平方得a２－２ab＋b２＝a２ ＋２|ab|＋b２,即|ab|＝－ab, 得ab≤０,即“|a－b|＝|a|＋|b|”等价于“ab≤０”． 所以p⇒/q,所以p不是q的充要条件． (３)当x１＝－１,x２＝－４时,x１＋x２＝－５, 而－１,－４不是方程x２＋５x－６＝０的两根．所以q⇒/p, 所以p不是q的充要条件． (４)由A⊆B,得A∩B＝A;反过来,由A∩B＝A,且(A∩ B)⊆B,得A⊆B,因此“A⊆B”是“A∩B＝A”成立的充要 条件,即p是q的充要条件． ２．证明:充分性: 若a＋b＝１, 则a２＋b２－a－b＋２ab＝(a＋b)２－(a＋b)＝１－１＝０, 即充分性成立, 必要性: 若a２＋b２－a＋b＋２ab＝０, 则(a＋b)２－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－１)＝０． ∵a＋b≠０,∴a＋b－１＝０, 即a＋b＝１,必要性成立, 综上,a２＋b２－a－b＋２ab＝０成立的充要条件是a＋b ＝１． ３．解:(１)M∩P＝{x|５＜x≤８}的充要条件是－３≤a≤５, 所以实数a的取值范围是{a|－３≤a≤５}． (２)显然,满足－３≤a≤５的数中任取一个a的值都是M ∩P＝{x|５＜x≤８}的一个充分不必要条件,则取a＝５． (答案不唯一) (３)由(１)知 M∩P＝{x|５＜x≤８}的充要条件是{a|－３ ≤a≤５},要求实数a的取值范围,使它成为 M∩P＝{x| ５＜x≤８}的一个必要不充分条件,即求一个集合,满足 {a|－３≤a≤５}是该集合的真子集,那么{a|a≤５}是所 求的一个必要不充分条件．(答案不唯一) 随堂步步夯实 １．B　２．B　 ３．必要不充分 ４．{a|a＜１} ５．解:因为－a＜x－１＜a是p:－１＜x＜３的一个必要条 件,且－a＜x－１＜a⇔１－a＜x＜１＋a, 所以{x|－１＜x＜３)⊆{x|１－a＜x＜１＋a}, 所以 １－a≤－１, １＋a≥３, １＋a＞１－a． { ,解得a≥２, 则使a＞b恒成立的实数b的取值范围是b＜２． １．５　全称量词与存在量词 １．５．１　全称量词与存在量词 课前预习学案 情境引入 　(１)提示:任意一个,全部,每个． (２)提示:表示某个范围的整体或全部． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１７３􀅰 参考答案