1.4.2 充要条件-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂课时作业（人教A版2019）

７．解析:a＝２⇒(a－１)(a－２)＝０;(a－１)(a－２)＝０⇒a＝ １或a＝２,从而可知“a＝２”是“(a－１)(a－２)＝０”的充分 不必要条件． 答案:充分不必要 ８．解析:∵－２＜x＜１⇒/x＞１或x＜－１,并且x＞１或x＜ －１⇒/ －２＜x＜１,∴“－２＜x＜１”是“x＞１或x＜－１” 的既不充分条件,也不必要条件． 答案:既不充分也不必要 ９．解析:①ab＝０⇔a＝０或b＝０,即a,b至少有一个为０; ②a＋b＝０⇔a,b互为相反数,则a,b可能均为０,也可能 为一正一负; ③a(a２＋b２)＝０⇔a＝０或 a＝０, b＝０;{ ④ab＞０⇔ a＞０, b＞０{ 或 a＜０, b＜０,{ 则a,b都不为０． 答案:(１)①②③　(２)④ １０．解:(１)因为命题“若x＝１,则x２－４x＋３＝０”是真命 题,而命题“若x２－４x＋３＝０,则x＝１”是假命题,所以 p是q的充分条件,但不是必要条件,即p 是q 的充分 不必要条件． (２)∵p ⇒/q,而q⇒p,∴p是q的必要不充分条件． (３)∵p⇒q,而q⇒/p,∴p是q的充分不必要条件． (４)∵p⇒q,而q⇒/p,∴p是q的充分不必要条件． (５)∵p ⇒/q,而q ⇒/p,∴p 是q 的 既 不 充 分 也 不 必 要 条件． １１．解:令M＝{x|２x２－３x－２≥０}＝{x|(２x＋１)(x－２)≥０} ＝{x|x≤－１２ 或x≥２}; N＝{x|x２－２(a－１)x＋a(a－２)≥０}＝{x|(x－a)[x －(a－２)]≥０}＝{x|x≤a－２或x≥a}, 由已知p⇒q,且q⇒/p,得 M⫋N． 所以 a－２≥－１２ , a＜２{ 或 a－２＞－１２ a≤２{ ⇔ ３ ２ ≤a＜２ 或 ３ ２ ＜a≤２⇔３２≤a≤２． 即所求a的取值范围是 ３２ ,２[ ]． １２．解:y＝x２－３２x＋１＝ x－ ３ ４( ) ２ ＋７１６ , 因为x∈ ３４ ,２[ ] ,所以７１６≤y≤２, 所以A＝ y ７１６≤y≤２{ }． 由x＋m２≥１,得x≥１－m２,所以B＝{x|x≥１－m２}． 因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A⊆B, 所以１－m２≤７１６ ,解得m≥３４ 或m≤－３４ , 故实数m 的取值范围是 －∞,－３４( ] ∪ ３ ４ ,＋∞[ )． １３．解:由x２－x－２＞０,解得x＞２,或x＜－１, 令A＝{x|x＞２,或x＜－１}, 由４x＋p＜０,得B＝{x|x＜－p４ }, 当B⊆A 时,即－p４≤－１ ,即p≥４, 此时x＜－p４≤－１⇒x ２－x－２＞０, ∴当p≥４时,４x＋p＜０是x２－x－２＞０的充分条件． １．４．２　充要条件 １．C　２．C　３．A　４．B ５．AB　[由已知得p⇒r,q⇒r,r⇒s,s⇒q,由此得r⇒q且q ⇒r,A正确,C不正确;p⇒q,B正确;r⇒s且s⇒r,D 不 正确．] ６．BC　[关于x的方程x２－|x|＋a－１＝０有四个不等实 数根, ①若x＞０,则方程x２－x＋a－１＝０有两正根,分别设为 x１,x２, 则有 Δ＝１－４(a－１)＞０, x１＋x２＞０, x１x２＞０ { 即 Δ＝１－４(a－１)＞０, x１＋x２＝１, x１x２＝a－１＞０, { 解得１＜a＜５４; ②若x＜０,则方程x２＋x＋a－１＝０有两负根,分别设为 x３,x４,则有 Δ＝１－４(a－１)＞０, x３＋x４＝－１＜０, x３x４＝a－１＞０, { 解得１＜a＜ ５４,综上, 实数a的取值范围是 a|１＜a＜５４{ }．] ７．解析:由x２＜１,得－１＜x＜１,而{x|０＜x＜１}⫋{x|－１ ＜x＜１},{x|－１＜x＜０}⫋{x|－１＜x＜１},所以０＜x ＜１和－１＜x＜０都可作为x２＜１的一个充分不必要条 件．因为{x|－１＜x＜１}⫋{x|x＜１},{x|－１＜x＜１}⫋ {x|x＞－１},所以x＜１和x＞－１均可作为x２＜１的一 个必要不充分条件． 答案:②③　①⑤ ８．解析:由 题 意 知|２x－３|＞a 恒 成 立,∵|２x－３|≥ ０,∴a＜０． 答案:a＜０ ９．解析:A∩B＝⌀⇔ a＋２≤４, a－２≥－２,{ ⇔０≤a≤２． 答案:０≤a≤２ １０．解:设方程x２－mx＋２m－３＝０的两根分别为x１,x２, 由题意知 Δ≥０ x１＞１ x２＞１ { ⇔ Δ≥０ (x１－１)＋(x２－１)＞０ (x１－１)(x２－１)＞０ { ⇔ Δ≥０ x１＋x２＞２ x１x２－(x１＋x２)＋１＞０ { ⇔ m２－４(２m－３)≥０ m＞２ ２m－３－m＋１＞０ { ⇔m≥６． 即使方程有两个大于１的实根的充要条件为m≥６． １１．证明:充分性:如果xy≥０,则有xy＝０和xy＞０两种情 况,当xy＝０时,不妨设x＝０,得|x＋y|＝|y|,|x|＋ |y|＝|y|,∴等式成立． 当xy＞０,即x＞０,y＞０或x＜０,y＜０时． 又当x＞０,y＞０时, |x＋y|＝x＋y,|x|＋|y|＝x＋y,∴等式成立． 当x＜０,y＜０时,|x＋y|＝－(x＋y), |x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y),∴等式成立． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７４４􀅰 参考答案 总之,当xy≥０时,|x＋y|＝|x|＋|y|成立． 必要性:若|x＋y|＝|x|＋|y|且x,y∈R, 得|x＋y|２＝(|x|＋|y|)２, 即x２＋２xy＋y２＝x２＋y２＋２|x|􀅰|y|, ∴|xy|＝xy,∴xy≥０． 综上可知,xy≥０是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要 条件． １２．A　[要求P∈A∩(∁UB)的充要条件,应从充分性、必 要性两方面入手． (１)∁UB＝{(x,y)|x＋y－n＞０}, A∩(∁UB)＝{(x,y)|x＋y－n＞０,且２x－y＋m＞０}, 由P∈A∩(∁UB)知, ５－n＞０, １＋m＞０,{ 即m＞－１,n＜５． 所以m＞－１,n＜５是P(２,３)∈A∩(∁UB)的必要条件． (２)当m＞－１,n＜５时, x＋y≥５ ２x－y≥１{ 解得 x≥２, y≥３．{ 即P(２,３)∈A∩(∁UB),所以m＞－１,n＜５是P(２,３) ∈A∩(∁UB)的充分条件,选 A．] １３．证明:必要性:设方程x２＋２ax＋b２＝０与x２＋２xc－b２ ＝０ 有公共根x０,则x２０＋２ax０＋b２＝０,x２０＋２cx０－b２＝０且 a≠c 两式相减,得x０＝ b２ c－a ,将此式代入x２０＋２ax０＋b２＝０ 可得b２＋c２＝a２,故∠A＝９０° 充分性:∠A＝９０°,∴b２＋c２＝a２,b２＝a２－c２ ① 将①代入方程x２＋２ax＋b２＝０可得x２＋２ax＋a２－c２＝０ 而(x＋a－c)(x＋a＋c)＝０ 将①代入方程x２＋２cx－b２＝０,可得 x２＋２cx＋c２－a２＝０即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝０ 故两方程有公共根x＝－(a＋c) １．５　全称量词与存在量词 １．５．１　全称量词与存在量词 １．C　２．B　３．B　４．A ５．ABD　 [C 选 项 是 全 称 量 词 命 题,A,B,D 选 项 符 合 题意．] ６．ABD　[A中,x＝－１时,满足x２－２x－３＝０,所以 A 是 真命题;B中,６能同时被２和３整除,所以 B是真命题; D中,２既是自然数又是偶数,所以 D是真命题;C中,因 为所 有 实 数 的 绝 对 值 非 负,所 以 C 是 假 命 题．故 选 ABD．] ７．解析:①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”,是 全称量词命题;②是全称量词命题,即“凡是有两个角相 等的三角形都是等腰三角形”;③可表述为“所有正数的 平方根都不 等 于 ０”,是 全 称 量 词 命 题;④ 是 存 在 量 词 命题． 答案:①②③　④ ８．解析:∵x≥３∴２x－１≥５,∴m≤５． 答案:(－∞,５] ９．解析:当a≤０时命题为真;当a＞０时命题为真,必使Δ ＝４－４a２＞０,即－１＜a＜１,∴a＜１． 答案:a＜１ １０．解析:(１)∀x∈{x|x是凸n 边形},x的外角和是２π, (２)∃x０∈Q,x２０＝３, (３)∀α∈R,sin２α＋cos２α＝１． １１．解:(１)存在量词命题,用符号表示为“∃x,y为正实数, 使x２＋y２＝０”,是假命题． (２)全称量词命题,用符号表示为“∀a,b∈R,方程ax＋ b＝０都有唯一解”,是假命题． (３)存在量词命题,用符号表示为“∃x∈R, １ x２－x＋１ ＝ ２”,是假命题． １２．解:不等式２x＞m(x２＋１)恒成立,即:不等式 mx２－２x ＋m＜０恒成立． (１)当m＝０时,不等式可化为－２x＜０,显然不恒成立, 不合题意． (２)当m≠０时,要使不等式 mx２－２x＋m＜０恒成立, 则 m＜０, ４－４m２＜０,{ 解得m＜－１． 综上可知,所求实数m 的取值范围是(－∞,－１)． １３．解:(１)当m＝０时,f(x)＝x－a与x 轴恒相交,所以a ∈R; (２)当m≠０时,二次函数f(x)＝mx２＋x－m－a的图 象和x 轴恒有公共点的充要条件是Δ′＝１＋４m(m＋a) ≥０恒成立,即４m２＋４am＋１≥０恒成立． 又４m２＋４am＋１≥０是一个关于 m 的二次不等式,恒 成立的充要条件是Δ＝(４a)２－１６≤０,解得－１≤a≤１． 由(１)(２)同时成立,故a∈[－１,１]． １．５．２　全称量词命题和存在量词命题的否定 １．D　２．B　３．D　４．C ５．AC　[命题的否定是全称量词命题,即原命题为存在量 词命题,故排除B．再根据命题的否定为真命题,即原命 题为假命题．又 D为真命题,故选 A、C．] ６．ABD　[A．该命题等价于所有无理数都是实数,为真命 题;B．显然为真命题;C．显然不成立,为假命题;D．取x＝１, 能使x２－x＋１＝１是整数,为真命题．] ７．解析:对任意x＞３,x＞a恒成立,即大于３的数恒大于 a,所以a的取值范围是{a|a≤３}． 答案:{a|a≤３} ８．解析:因为∃x∈B,x∈A 为假命题,所以∀x∈B,x∉A 为真命题,所以A∩B＝⌀且B≠⌀． 所以 ２m＜m＋１, m＋１≤－１{ 或 ２m＜m＋１, ２m≥４,{ 解得 m≤－２．即实数 m 的取值范围为{m|m≤－２}． 答案:{m|m≤－２} ９．解析:因为p(１)是假命题,所以１＋２－m≤０,解得 m≥ ３．又因为p(２)是真命题,所以４＋４－m＞０,解得m＜８, 故实数m 的取值范围是[３,８);若p(１)是真命题,p(２) 是假命题,则 １＋２－m≥０ , ４＋４－m＜０{ 解得 m≤３, m＞８,{ ∴无解． 答案:[３,８),⌀ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８４４􀅰 数学􀅰必修第一册 　　　　　　　　　１．４．２　充要条件　　　 １．若a∈R,则“a２＝１”是“|a|＝１”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ２．两个三角形全等的一个充要条件是 (　　) A．两个三角形的面积相等． B．两个三角形的对应角相等 C．两个三角形的对应边相等． D．两个三角形的对应外角相等． ３．设a∈R,则“a＞１”是“a２＞a”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ４．设x,y是两个实数,命题:“x,y中至少 有一个数大于１”成立的充分不必要条 件是 (　　) A．x＋y＝２　　　　B．x＋y＞２ C．x２＋y２＞２ D．xy＞１ ５．(多选)已知p是r的充分不必要条件, q是r的充分条件,s是r的必要条件,q 是s的必要条件,下列结论正确的是 (　　) A．r是q的充要条件 B．p是q的充分条件 C．r是q的必要不充分条件 D．r是s的充分不必要条件 ６．(多选)下列选项中,能够成为“关于x 的方程x２－|x|＋a－１＝０有四个不等 实数根”的必要不充分条件的是 (　　) A．a１＜a＜５４{ } B．a１≤a＜ ５ ４{ } C．{a|１＜a＜２} D．a１＜a＜９８{ } ７．(一题两空)下列不等式: ①x＜１;②０＜x＜１;③－１＜x＜０;④－１ ＜x＜１;⑤x＞－１．其中,可以作为x２＜ １的一个充分不必要条件的所有序号为 　　　　;可以作为x２＜１的一个必要 不充分条件的所有序号为　　　　． ８．关于x的不等式|２x－３|＞a的解集为 R的充要条件是　　　　． ９．已知集合A＝{x|a－２＜x＜a＋２},B＝ {x|x≤－２或x≥４},则A∩B＝⌀的充 要条件是　　　　　　　　　　． １０．已知关于x的方程x２－mx＋２m－３＝ ０,求使方程有两个大于１的实根的充 要条件． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７５２􀅰 第一章　集合与常用逻辑用语 １１．设x,y∈R,求证|x＋y|＝|x|＋|y|成 立的充要条件是xy≥０． １２．设集合U＝{(x,y)|x∈R,y∈R},A＝ {(x,y)|２x－y＋m＞０},B＝{(x,y)| x＋y－n≤０},那么点P(２,３)∈A∩ (∁UB)的充要条件是 (　　) A．m＞－１,n＜５　　B．m＜－１,n＜５ C．m＞－１,n＞５ D．m＜－１,n＞５ １３．设a,b,c为△ABC 三边长,求证:方程 x２＋２ax＋b２＝０与x２＋２cx－b２＝０, 有公共根的充要条件是∠A＝９０°． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８５２􀅰 必修第一册