精品解析：新疆乌鲁木齐市第六十八中学2024-2025学年高一下学期6月底分班测试数学试卷

乌鲁木齐市第68中学2025年高一年级6月底分班测试 数学(问卷) (考试时间：120分钟 试卷满分：150分) 一、单选题：本题共 8小题，每小题5分，共40分． 1. 从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82，85，88，90，92，92，92，96，96，98（单位：分），则这10名同学数学成绩的众数、第25百分位数分别为（ ） A. 92，85 B. 92，88 C. 95，88 D. 96，85 2. 设，为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 12 4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图， ，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 5 5. 某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别p，，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则p的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知的面积为，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，下列两事件是互斥事件的是（ ） A. “恰有1名男生”与“恰有2名男生”； B. “至少有1名男生”与“全是男生”； C. “至少有1名男生”与“全是女生”； D. “至少有1名男生”与“至少有1名女生”． 10. 在中，分别是角的对边，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则三角形有一解 B. C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则面积的最大值为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，均为单位向量．若，则在上的投影向量为 B. 是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的重心； C. 已知为的外心，边长为定值，则为定值； D. 若点满足，则点是的垂心. 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分． 12. 设是复数且，则的最小值为___________. 13. 若4个数据的平均值为6，方差为5，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为______． 14. 《哪吒2》的玉崖宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感束源于汉代．内饰充满了中国文化符号、某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，点P在线段 CH上，且 则的值为_____；若点Q为线段 CD上的动点，则 的最小值为________． 四、解答题：本题共 5小题，共77分． 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若，的面积为，求b． 16. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 17. 如图所示的四棱锥中，已知平面，，，E为PD的中点． （1）求证： 平面平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 18. 为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图： （1）根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数； （2）用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率； （3）学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由． 19. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，M为棱的中点， ． （1）求证∶平面； （2）求证∶； （3）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时 的值，如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第68中学2025年高一年级6月底分班测试 数学(问卷) (考试时间：120分钟 试卷满分：150分) 一、单选题：本题共 8小题，每小题5分，共40分． 1. 从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82，85，88，90，92，92，92，96，96，98（单位：分），则这10名同学数学成绩的众数、第25百分位数分别为（ ） A. 92，85 B. 92，88 C. 95，88 D. 96，85 【答案】B 【解析】 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，计算，取第三个数即可得解． 【详解】本题中数据92出现了3次，出现的次数最多，所以本题的众数是92； 将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，得： ， 计算，取第三个数，第25百分位数是88． 故选：B． 2. 设，为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法，结合纯虚数的定义求解. 【详解】依题意，，而， 则，解得. 故选：A 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示列式求解. 【详解】向量，，则，由， 得，所以. 故选：B 4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图， ，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据直观图特征，作出其平面图形直角梯形，求出相关边长再求长即可． 【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形，如图， 由斜二测画法可知， 所以， 故选：C． 5. 某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别p，，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则p的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合独立事件概率的乘法公式求恰好投中两次的概率，列方程求解即可得结果. 【详解】在甲、乙、丙处投中分别记为事件A，B，C，则， 可知恰好投中两次为事件， 故恰好投中两次的概率，解得． 故选：A. 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知的面积为，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理即可求解. 【详解】因为的面积为，所以， 又∵，∴，则， 故选:D. 7. 根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出一共摆出的两位数的个数，再求出个位和十位上的算筹不一样多的两位数的个数，利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式， 共可以摆出个两位数，其中个位和十位上的算筹都为1有种， 个位和十位上的算筹都为2有种，个位和十位上的算筹都为3有种， 个位和十位上的算筹都为4有种，个位和十位上的算筹都为5有种， 共有种，所以个位和十位上的算筹不一样多的有种， 所以个位和十位上的算筹不一样多的概率为. 故选：B 8. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，下列两事件是互斥事件的是（ ） A. “恰有1名男生”与“恰有2名男生”； B. “至少有1名男生”与“全是男生”； C. “至少有1名男生”与“全是女生”； D. “至少有1名男生”与“至少有1名女生”． 【答案】AC 【解析】 【分析】根据互斥事件的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，在所选2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”， 它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件，A正确； 对于B，“至少有1名男生” 包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果， 这与“全是男生”可能同时发生，所以不是互斥事件，B错误； 对于C，“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果， 它与“全是女生”不可能同时发生，所以是互斥事件，C正确； 对于D，“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果， 而“至少有1名女生” 包括“1名男生和1名女生”和“2名都是女生”两种结果， 它们可能同时发生，所以不是互斥事件，D错误. 故选：AC 10. 在中，分别是角的对边，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则三角形有一解 B. C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则面积的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正弦定理，求得，结合，得到有两解，可判定A错误；根据三角形的射影定理，可判断B正确；利用正弦定理和三角恒等变换的公式，得到，可判定C正确；利用余弦定理和基本不等式，可判定D正确. 【详解】对于A中，由正弦定理，可得， 因为，且，所以有两解，所以A错误； 对于B中，如图所示，过点作， 则，所以B正确； 对于C中，因为，由正弦定理得， 又因为，可得， 所以， 即， 可得，所以为等腰三角形，所以C正确； 对于D中，因为，由余弦定理， 可得， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以面积的最大值为，所以D正确. 故选：BCD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，均为单位向量．若，则在上的投影向量为 B. 是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的重心； C. 已知为的外心，边长为定值，则为定值； D. 若点满足，则点是的垂心. 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，根据数量积的运算律得到，然后求投影向量即可；BCD选项，根据平面向量四心的结论判断即可. 【详解】A选项，，因为为单位向量，所以， 所以在上的投影向量为，故A正确； B选项，设中点为，则， 又，所以点三点共线，且点为射线上的动点，通过三角形的重心，故B正确； C选项，， 因为、为定值，所以为定值，故C正确； D选项，表示在、上的投影相等，即点到、的距离相等，所以点在角的角平分线上， 同理可得点在角的角平分线上，即点为内心，故D错. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分． 12. 设是复数且，则的最小值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解. 【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离， 由图可知，. 故答案为：. 13. 若4个数据的平均值为6，方差为5，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设原来4个数据依次为，，，，根据平均数和方差得到方程，并求出加入数据8和10后的平均数和方差. 【详解】设原来4个数据依次为，，，，则， 因为方差为5，所以， 即， 所以， 则． 现加入数据8和10，则其平均数为， 则这6个数据的方差为 ． 故答案为： 14. 《哪吒2》的玉崖宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感束源于汉代．内饰充满了中国文化符号、某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，点P在线段 CH上，且 则的值为_____；若点Q为线段 CD上的动点，则 的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 0 【解析】 【分析】在正八边形中，各边夹角都是已知的，各边长也是已知的，把目标向量用边长向量表示出来，再根据向量乘法运算律求出结果. 【详解】 因为， 则， 与夹角为,与夹角为, . 设,可知, , , , , ,当或时, 有最小值,最小值为0. 故答案为: ； 0. 四、解答题：本题共 5小题，共77分． 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若，的面积为，求b． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理即可求出结果； （2）利用面积公式和余弦定理即可求出结果. 【小问1详解】 由题干条件可知，， 由正弦定理得， ∵，∴， ∴． ∵， ∴或． 【小问2详解】 ∵， ∴， 解得， ∴． 当时， 由余弦定理得， ∴． 又， ∴，则，与题干矛盾，舍去． 当时，由余弦定理得， ∴． 综上，． 16. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】（1）， （2） ， 又，故， 故三点共线. 【解析】 【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得； （2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 略 17. 如图所示的四棱锥中，已知平面，，，E为PD的中点． （1）求证： 平面平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明：因为平面，平面， 所以. 由平面知识易知，即有， 所以. 因为平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再利用面面垂直的判定定理求解即可； （2）取的中点F，证明为直线与平面所成的角，再解三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点F，连接，则， 由（1）知，平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 因为，， 所以，即直线与平面所成角的正切值为. 【点睛】 18. 为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图： （1）根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数； （2）用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率； （3）学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由． 【答案】（1）分 （2） （3） 甲最终获胜的可能性大. 理由如下：由题意，甲至少得1分的概率是， 可得，其中，解得， 则甲的2分或3分的概率为：， 所以乙得分为2分或3分的概率为， 因为，所以甲最终获胜的可能性更大. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解； （2）根据分层抽样的分法，得到从抽取人，即为，从中抽取人，即为，利用列举法求得基本事件的总数和所有事件中包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （3）根据题意求得，分别求得甲乙得到2分和3分的概率，即可得到答案. 【小问1详解】 解：由频率分布直方图，根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数： 分. 【小问2详解】 解：由频率分布直方图，可得的频率为，的频率为， 所以用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生， 可得从抽取人，即为，从中抽取人，即为， 从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，有 ，共有12个基本事件； 其中第二个交流分享的学生成绩在区间的有：，共有3个， 所以概率为. 【小问3详解】 略 19. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，M为棱的中点， ． （1）求证∶平面； （2）求证∶； （3）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时 的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） 连结交于O，连结， 在中，因为M，O分别为AC，中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． （2） 因为侧棱底面ABC，平面ABC，所以， 又M为棱AC中点，，所以， 因为，，平面， 所以平面，平面，所以， 因为M为棱AC中点，，所以，又， 所以在和中，， 所以，即，所以， 因为，BM，平面，所以平面． （3）存在， 【解析】 【分析】（1）连结交于O，连结，易得，再由线面平行的判定证明结论； （2）应用线面垂直的性质及判断证明，再由已知得，最后由线面垂直的判定证明结论； （3）当点N为中点时，即，设中点为D，连结DM，，先证，再结合（2）平面及面面垂直的判定证明结论，即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当点N为中点时，即，平面平面， 设中点为D，连结DM，， 因为D，M分别为，AC中点，所以，且， 又因为N为中点，所以，且， 所以四边形DMBN是平行四边形，所以， 结合（2）平面，则平面， 又平面，所以平面平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $