15.3.2 等边三角形导学案2025-2026学年人教版八年级数学上册

15.3.2 等边三角形导学案 本导学案聚焦等边三角形知识，将助力学生全面理解等边三角形的性质与判定，提升运用相关知识解决几何问题的能力。 一、学习目标（简写版） 1. 掌握等边三角形的定义、性质和判定方法，理解其与等腰三角形的关系。 1. 能熟练运用等边三角形的性质和判定进行角度计算、线段证明等几何问题求解。 1. 培养逻辑推理能力和几何直观能力，提升综合运用知识解决问题的素养。 二、学习重难点 重点： 1. 等边三角形的性质（三边相等、三角相殊）和判定定理（三边相等、三角相等、腰三角形）。 1. 灵活运用等边三角形的性质和判定解决各类几何问题。 难点： 1. 在复杂图形中识别和运用等边三角形的性质与判定，尤其是判定定理中 “有一个角是角形” 的应用。 1. 区分等边三角形与等腰三角形性质和判定的异同，避免混淆使用。 三、知识点自主预习填空 1. 等边三角形的定义：________都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的________三角形。 1. 等边三角形的性质： 3. 等边三角形的三条边________。 3. 等边三角形的三个内角________，并且每一个内角都等于________。 3. 等边三角形是________图形，它有________条对称轴，分别是________。 3. 等边三角形具有等腰三角形的一切性质，且 “三线合一” 在等边三角形中体现得更特殊，任意一条________、________或________所在的直线都是它的对称轴。 1. 等边三角形的判定： 3. 三条边________的三角形是等边三角形。 3. 三个角________的三角形是等边三角形。 3. 有一个角是________的________三角形是等边三角形。 四、知识点详细讲解与要点讲解 知识点 1：等边三角形的定义 详细内容： 三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形 。从定义可知，等边三角形满足等腰三角形 “两边相等” 的条件，且三边都相等，所以它是等腰三角形中更为特殊的一种 。例如，当一个三角形的三条边长度都为5cm时，它就是等边三角形，同时也是等腰三角形。理解等边三角形与等腰三角形的从属关系，是后续学习其性质和判定的基础。 常考易错点： 1. 误认为等边三角形与等腰三角形毫无关联，忽略等边三角形是特殊等腰三角形这一关键关系。 1. 对 “三边相等” 的条件理解不深刻，在判断三角形是否为等边三角形时，未准确确认三边长度关系。 经典例题 1：下列说法正确的是（ ） A. 等边三角形不是等腰三角形 B. 等腰三角形一定是等边三角形 C. 有两边相等的三角形是等边三角形 D. 等边三角形的三边长度都相等 答案：D 解析：等边三角形满足等腰三角形的定义，是特殊的等腰三角形，A 选项错误；等腰三角形只有三边都相等时才是等边三角形，一般等腰三角形不是等边三角形，B 选项错误；有两边相等的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，C 选项错误；根据等边三角形的定义，其三边长度都相等，D 选项正确。 知识点 2：等边三角形的性质 详细内容： 1. 等边三角形的三条边相等，这是由其定义直接得出的基本性质。 1. 等边三角形的三个内角相等，并且每一个内角都等于。 1. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三条高（或三条角平分线或三条中线）所在的直线 。由于等边三角形的特殊性，其任意一条高、角平分线或中线所在的直线都能使三角形沿此直线对折后完全重合，这体现了 “三线合一” 在等边三角形中的特殊情况 。 1. 等边三角形具有等腰三角形的一切性质，并且 “三线合一” 更为特殊，在解决角度计算、线段相等证明等问题时，这些性质经常会用到。 常考易错点： 1. 在计算角度时，忘记等边三角形内用 “三线合一” 性质时，忽略等边三角形的特殊性，导致错误。 1. 混淆对称轴的表述，误认为对称轴是高、角平分线或中线本身，而不是它们所在的直线。 经典例题 2：已知点，AD是角平分线，若AB = 6，则BD的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 答案：B 解析：因是等边三角形，AD是角平分线，根据等边三角形 “三线合一” 的性质，AD也是BC边上的中线，所以。又因为等边三角形三边相等，AB = BC = 6，所以BD = ，故选 B。 知识点 3：等边三角形的判定 详细内容： 1. 三条边都相等的三角形是等边三角形，这是根据等边三角形的定义得出的判定方法，是最直接的判定方式。 1. 三个角都相等的三角形是等边三角形。因为三角形内角和为若三个角相等，则每个角为再结合 “等角对等边”，可推出三边相等，所以是等边三角形。 1. 有一个角是腰三角形是等边三角形。当等腰三角形的一个角，分两种情况讨论：若这个角是顶角，则两底角这个角是底角，则另一个底角也是，所以三个边三角形。 常考易错点： 1. 在使用 “有一个角是三角形是等边三角形” 这一判定定理时，容易忽略 “等腰三角形” 这一前提条件。 1. 对 “三个角相等” 和 “有一个角三角形” 这两种判定方法的适用情况混淆，导致错误使用。 经典例题 3：，则BC的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 答案：B 解析：因据三角形内角，所以等边三角形。又因为等边三角形三边相等，AB = 3，所以BC = AB = 3，故选 B。 五、效果检测（判断题） 1. 等边三角形是等腰三角形的一种特殊情况。（ ） 1. 等边三角形的三个内角都等。（ ） 1. 有两个角角形是等边三角形。（ ） 1. 等边三角形只有一条对称轴。（ ） 1. 三边长度分别为3cm、4cm、5cm的三角形是等边三角形。（ ） 1. 等腰三角形有一个角这个三角形就是等边三角形。（ ） 1. 等边三角形的 “三线合一” 性质与等腰三角形的 “三线合一” 性质完全相同。（ ） 1. 三个角都相等的三角形是等边三角形。（ ） 1. 若一个三角形的三条高所在直线都是它的对称轴，那么这个三角形是等边三角形。（ ） 1. 等边三角形的任意两边之和大于第三边。（ ） 六、课后作业 1．如图，在中，，，边上的高，E是边上的一个动点，F是边的中点，则的最小值是（   ） A．3.5 B．5 C．7 D．10 2．已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，是等边三角形，是中线，延长至，使 ，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 6．下列命题中，真命题是（　　） A．两个等边三角形全等 B．腰长对应相等的两个等腰三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等 二、填空题 7．如图，一束平行光线照射在等边上，如果，那么 °． 8．如图，已知在等边中，，点D在边BC上，连接AD，线段AD的垂直平分线分别交边、于点E、F，如果的周长比的周长小，那么 ． 9．在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是 ．（只需写出一个） 10．如图，点C、D在线段的同侧，是的中点，，则长的最大值是 ． 三、解答题 11．如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 12．如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 七、答案与解析 （一）知识点自主预习填空答案 1. 三边；等腰 16. 相等 16. 相等 16. 轴对称；三；三条高（或三条角平分线或三条中线）所在的直线 16. 高；角平分线；中线 16. 都相等 16. 都相等 16. ；等腰 （二）效果检测答案与解析 1. 答案：√ 解析：等边三角形满足等腰三角形两边相等的条件，是特殊的等腰三角形，该说法正确。 1. 答案：× 解析：等边三角形的三个内角都等说法错误。 1. 答案：√ 解析：三角形内角和三个角都相等的三角形是等边三角形，该说法正确。 1. 答案：× 解析：等边三角形有三条对称轴，分别是三条高（或三条角平分线或三条中线）所在的直线，不是一条，该说法错误。 1. 答案：× 解析：三边长度分别为3cm、4cm、5cm，三边不相等，不是等边三角形，该说法错误。 1. 答案：√ 解析：等腰三角形有一个角定理，这个三角形是等边三角形，该说法正确。 1. 答案：× 解析：等边三角形的 “三线合一” 更为特殊，任意一条高、角平分线或中线所在的直线都是对称轴，与等腰三角形的 “三线合一” 有区别，该说法错误。 1. 答案：√ 解析：符合等边三角形的判定定理，三个角都相等的三角形是等边三角形，该说法正确。 1. 答案：√ 解析：若一个三角形的三条高所在直线都是它的对称轴，说明三边相等，这个三角形是等边三角形，该说法正确。 1. 答案：√ 解析：等边三角形三边相等，任意两边之和大于第三边，满足三角形三边关系，该说法正确。 （三）课后作业答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B B D D D 1．C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，熟练掌握和运用等边三角形的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论． 先连接，，再根据，将转化为，最后根据两点之间线段最短，求得的长，即为的最小值． 【详解】解：连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∵是边上的高， 是边上的中线，即垂直平分， ， ∴， ∴当、、三点共线时，值最小 ，最小值为， 等边中，是边的中点， ， 的最小值为7， 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，找出全等三角形是解题关键．根据等边三角形的性质证明，得到，再结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 3．B 【分析】通过证明，得到可判断A正确，通过证明，得到，可判断B错误；证明，得到，故判定结论C正确；利用可判断D正确． 【详解】解：由于和是等边三角形， 可知，，， ∴，， ∴， ∴，， 可判断A正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，可判断B错误； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故结论C正确； ∵可判断D正确． 故选： B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的定义和性质，平角的定义等知识点．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 4．D 【分析】在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接，推出的最小值是的长，再证明出是等边三角形，即可求出的长，从而解决问题． 【详解】解：在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接， 此时是的垂直平分线， ，， 此时取最小值，最小值为， 等边中，， ， ，， 等边中，，， 又， ， 是等边三角形， ， 即的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是轴对称性质、将军饮马模型、垂直平分线性质、等边三角形的判定与性质，解题关键是能将两线段的和的最小值用一条线段长表示． 5．D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，根据等边三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据外角的性质可判断A，根据等边三角形中线得到，，即可判断B，根据等边三角形中线得到，即可判断C，由，，可判断D，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、是等边三角形， ， ， ， ， ， ，故选项不符合题意； B、∵是等边三角形的中线， ∴，， ∵， ，故选项不符合题意； C、∵是等边三角形的中线， ∴ ∴， ，故选项不符合题意； D、，， ，故选项符合题意 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定及等腰三角形、等边三角形相关概念，解题的关键是准确理解全等三角形的判定条件和性质． 根据全等三角形的判定条件，逐一分析各选项是否成立． 【详解】A．两个等边三角形全等：错误．等边三角形对应边相等且每个角均为，但若边长不同（如边长为2和3的等边三角形），则不全等； B．腰长对应相等的两个等腰三角形全等：错误．等腰三角形仅腰长相等，但底边长度或顶角可能不同（如腰长均为5，底边分别为6和8的三角形），无法保证全等； C．面积相等的两个三角形全等：错误．面积相等仅说明面积数值相同，但形状和边长可以不同（如底4高3与底6高2的三角形面积均为6），不全等； D．成轴对称的两个三角形全等：正确．轴对称是几何变换中的全等变换，变换前后图形形状、大小完全一致，符合全等定义． 故选：D． 7．85 【分析】本题考查的是平行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质，先求解，再结合等边三角形与三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵为等边三角形， ∴， ∴； ∵平行光线， ∴， ∴， 故答案为：． 8． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据的周长比的周长小得出，再结合可求出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴． ∴ ． 则， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（答案不唯一） 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，等边三角形的判定．根据题意要证明垂直平分，推出，再根据等边三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，添加时，为等边三角形， ∵在中，平分，， ∴是中边上的中线， ∴是中边上的高（三线合一）， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 10． 【分析】本题主要考查了了翻折变换，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识点，解题的关键是利用两点之间线段最短解决问题．作点A关于的对称点，点B关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题. 【详解】解：作点A关于的对称点，点B关于的对称点，连接，，，，， ∴，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ， ∴的最大值为19． 故答案是19． 11．(1) (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 12．；在三角形中，大边对大角；对顶角相等；；；在三角形中，大角对大边 【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可． 【详解】证明：在中， （在三角形中，大边对大角） （对顶角相等） （在三角形中，大角对大边） 学科网（北京）股份有限公司 $$