【数学帮】整式的规律探索（试卷版+详解答案）

整式的规律探索 ·模块一 与数有关的规律探索 ·模块二 与式有关的规律探索 ·模块三 与图形排列有关的规律探索 ·模块四 课后作业 【例 1】古希腊数学家把数 1 ，3 ，6 ，10 ，15 ，21 ， … 叫做三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角 形数记为a1 = 1 ，第二个三角形数记为a2 = 3 ， … , 则第 100 个三角形数记为a100 =______． 【例2】填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律可得到a + b + c + d的值为 ( ) A ．355 B ．356 C ．435 D ．436 【例3】电子青蛙在数轴上的某点x0 处，第一步从x0 向右跳 1 个单位到x1 ，第二步从x1 向左跳 2 个单位到x2， 第三步从x2 向右跳 3 个单位到x3 ，第四步从x3 向左跳四个单位到x4 ，以此类推，按以上规律跳了 50 步时， 电子青蛙在数轴上点x50所表示的数恰好是 10，则电子青蛙的初始点位置x0 所表示的数字是______，点x2n+1 所表示的数是______（用含 n 的代数式表示，n 是非负整数）． 【变式 1】观察下面的三行单项式 x 、2x2 、4x3 、8x4 、16x5 、32x6 、 … … -2x 、4x2 、－8x3 、16x4 、－32x5 、64x6 、 … … 2x2 、－3x3 、5x4 、－9x5 、17x6 、－33x7 、 … … 根据你发现的规律： (1)第①行第 n 个单项式为_______________ (2)第②行第 n 个单项式为_______________ (3)第③行第 n 个单项式为_______________ 第 1页（共 8页） 【变式 2】 已知一列数 m ，n2 ，m + n2 ，m + 2n2 ，2m + 3n2 ，3m + 5n2 ， … , 按照这个规律写下去，第 9 个数是______． 【变式 3】下列方格中的四个数都是按照一定规律填写的，则 x 的值是 ( ) A ．307 B ．392 C ．406 D ．458 【例 1】观察下列各不等式，发现规律并回答问题： 第 2页（共 8页） 学科网（北京）股份有限公司 ...... （1）根据规律写出第 4 个式子： （2）利用规律求的值. 【例 2】观察下列等式：1 = 12 — 02 ，3 = 22 — 12 ，5 = 32 — 22 ， …按此规律，则第n个等式为 2n — 1 =___________________． 【例3】从 2 开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表： 加数 n 的个数 和（S） 1——— —— —— — — → 2 = 1 × 2 2——— —— —— → 2+4=6=2 × 3 3——— —— —— → 2+4+6= 12=3 × 4 4——— —— — → 2+4+6+8=20=4 × 5 5——— —— → 2 + 4+6+8+10=30=5 × 6 (1)这个规律，当n = 6 时，和为_____________； (2)从 2 开始，n 个连续偶数相加，它们的和s=_____________ ；（用含有 n 的式子表示） (3)应用上述公式计算： ①2 + 4 + 6 + … + 200； ②202 + 204 + 206 + … + 300． 【变式 1】观察下列各式：12+1 ＝1×2 ，22+2 ＝2×3 ，32+3=3×4 … ，按此规律写出第 n 个等式_____． 【变式 2】如图， (1)根据图示规律，完成填空； (2)通过计算说明“ ”成立的理由． 【变式 3】若规定运算符号“▲”满足下列各式： 1▲3 = 3 × 1 — 2 × 3 2▲—4 = 3 × 2 — 2 × —4 0▲—7 = 3 × 0 — 2 × —7 … 根据以上规律，求解下列各题： （1）a▲b = ； （2）若 2m — n = 3 ，求(2m + n ▲ —4m + 5n)的值． 第 3页（共 8页） 学科网（北京）股份有限公司 【例 1】如图，每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第 4 个图形中三角形的个 数比圆的个数多_______个．第 n 个图形中三角形的个数比圆的个数多_____________个．（由含 n 的代数 式表示） 【例2】小明同学为庆祝党的二十大，用五角星按一定规律摆出如下图案，第 1 个图案有 3 颗五角星，第 2 个图案有 7 颗五角星，第 3 个图案有 11 颗五角星，第 4 个图案有 15 颗五角星 … … 依此规律，第 2022 个图 案有____________颗五角星． 【例3】如图，我们可以用长度相同的火柴棒按一定规律搭正多边形组成图案，图案①需 8 根火柴棒，图案 ②需 15 根火柴棒， … , 按此规律，第n个图案需要__________根火柴棒，第 2022 个图案需要__________根火 柴棒． 第 4页（共 8页） 学科网（北京）股份有限公司 【变式 1】如图是一组用“●”组成的图形，第 1 个图形由 1 个“●”组成，第 2 个图形由4 个“●”组成，第 3 个图 形由 7 个“●”组成，第 4 个图形由 10 个“●”组成， … , 根据这样的规律，第 150 个图形中“●”的个数是 ____________个． 【变式 3】如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第 1 个图案有 4 个三角形， 第 2 个图案有 7 个三角形，第 3 个图案有 10 个三角形， … … 照此规律摆下去． (1)第 5 个图案有 ____________个三角形； (2)第n个图案有 ____________个三角形；(用含 n 的式子表示) (3)第 2022 个图案有几个三角形？ 第 5页（共 8页） 学科网（北京）股份有限公司 1 ．根据图中数字的排列规律，在第⑦个图中，a — b — c 的值是 ( ) A ． —190 B ． —66 C ．62 D ．6 2 ．根据图中数字的规律，则x + y的值是 ． 3 ．如图， 下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成： 第 1 个图案需 7 根火柴， 第 2 个图案 需 13 根火柴， … , 依此规律， 第 5 个图案需___________根火柴棒， 第 20 个图案需___________火柴棒． 4 ．有一组单项式依次为 ) ... ，根据它们的规律，请写出第 8 个单项式________． 2a—b 4a+b2 8a—b3 16a+b4 5 ．观察下列多项式： 3 ， 6 ， … … 按此规律，则第n个多项式是_____________． 6 ．用火柴棒按如图的方式搭图形． (1)按图示规律完成下表： 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 火柴棒根数 5 9 ______ ______ ______ …… (2)按照这种方式搭下去，搭第 n 个图形需要多少根火柴棒？ (3)搭第 15 个图形需要多少根火柴棒？ 第 6页（共 8页） 学科网（北京）股份有限公司 7 ．观察下列等式． 第 1 个等式22 — 12 = 2 × 1 + 1； 第 2 个等式32 — 22 = 2 × 2 + 1； 第 3 个等式42 — 32 = 2 × 3 + 1； 第 4 个等式52 — 42 = 2 × 4 + 1； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)第 5 个等式为________． (2)猜想第 n 个等式为________（用含 n 的式子表示）． (3)观察下列各图，“ ·”的个数用 a 表示，“ ○”的个数用 b 表示，如：当n = 1 时，a = 4 ，b = 1 ；当n = 2 时， a = 9 ，b = 4；当n = 3 时，a = 16 ，b = 9 ； … 当n = 2023 时，求a — b的值． 8 ．定义一种新运算，规律如下： 2⊗ 3 ＝2×5 -3 ＝7； 3⊗ （ -1）＝3×5+1 ＝16； （ -4）⊗ （ -3）＝（ -4） ×5+3 ＝ -17． （1）请你想一想：a⊗ b = . （2）请计算：（ -2）⊗ 8 = . （3）试说明：当 x＝y 时，x⊗ y＝y⊗ x． 第 7页（共 8页） 学科网（北京）股份有限公司 9 ．请观察下列算式，找出规律并填空 ② = × 1 — ，③ = × 1 — ，④ = × 1 — ， … 则第 10 个算式是___________=___________ ，第 n 个算式为___________=__________． (2)从以上规律中你可得到一些启示吗？根据你得到的启示，试解答下题： 若有理数 a 、b 满足 a — 1 + (b — 32 = 0 ，求的值． 10 ．观察以下等式： 1 × 2 = × (1 × 2 × 3 — 0 × 1 × 2)；2 × 3 = × (2 × 3 × 4 — 1 × 2 × 3) … … 根据以上规律，解决下列问题： (1)1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + … … + 10 × 11 = ； (2)计算 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + … … + n (n + 1) （结果用含n 的代数式表示）． 11 ．用火柴棒按图中的方式搭图形： 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒根数 5 9 13 17 a 按图示规律填空: (1)a=_______． (2)按种方式搭下去，则搭第 n 个图形需要火柴棒的根数为_______（用含 n 的代数式来表示） (3)按照这种方式搭下去，用 2021 根火柴棒能否正好搭一个这样的图形？请说明理由。 整式的规律探索（详解答案） ·模块一 与数有关的规律探索 ·模块二 与式有关的规律探索 ·模块三 与图形排列有关的规律探索 ·模块四 课后作业 【例 1】古希腊数学家把数 1 ，3 ，6 ，10 ，15 ，21 ， … 叫做三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角 形数记为a1 = 1 ，第二个三角形数记为a2 = 3 ， … , 则第 100 个三角形数记为a100 =______． 【答案】5050 【分析】根据数字的变化规律发现第 n 个三角形数为 然后将n = 100 代入求出 结果即可． 【详解】解：观察三角形数发现规律： 第一个三角形数记为a1 = 1； 第二个三角形数记为a2 = 1 + 2； 第三个三角形数记为a3 = 1 + 2 + 3； … 发现规律： 第 n 个三角形数记为 ∴把n = 100 代入得 故答案为：5050． 【 点 睛 】 本 题 考 查 了 规 律 型 - 数 字 的 变 化 类 ， 解 决 本 题 的 关 键 是 观 察 数 字 的 变 化 寻 找 规 律 得 出 【例2】填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律可得到a + b + c + d的值为 ( ) A ．355 B ．356 C ．435 D ．436 第 1页（共 19页） 【答案】D 【分析】分析前三个正方形，发现第一个数为：2(n 一 1) ，第二个数为：2n + 1 ，第三个数为第二个数加 1， 第四个数为第二个数与第三个数的乘积加 1 ，然后代入求解即可． 【详解】解：分析正方形中的四个数： 第一个数为：2(n 一 1)， ∴第⑨个正方形的第一个数a = 16； 第二个数为：2n + 1， ∴第⑨个正方形的第二个数b = 19； 第三个数为第二个数加 1 ，即c = 19 + 1 = 20， 第四个数为第二个数与第三个数的乘积加 1 即d = 19 × 20 + 1 = 381 ∴a + b + c + d = 16 + 19 + 20 + 381 = 436， 故选：D． 【点睛】本题考查了规律型中的数字的变换类，解题的关键是分析正方形中四个数找出它们之间的关系是关 键． 【例3】电子青蛙在数轴上的某点x0 处，第一步从x0 向右跳 1 个单位到x1 ，第二步从x1 向左跳 2 个单位到x2， 第三步从x2 向右跳 3 个单位到x3 ，第四步从x3 向左跳四个单位到x4 ，以此类推，按以上规律跳了 50 步时， 电子青蛙在数轴上点x50所表示的数恰好是 10，则电子青蛙的初始点位置x0 所表示的数字是______，点x2n+1 所表示的数是______（用含 n 的代数式表示，n 是非负整数）． 【答案】 35 (n + 36) 【分析】根据题意列出算式，然后对算式进行整理，进而求解即可． 【详解】解：设x0表示的数为 a， 由题意得a + 1 一 2 + 3 一 4 + … + 49 一 50 = 10 ，即a 一 25 = 10， 解得：a = 35， 即x0 所表示的数字是 35， ∴35 + 1 一 2 + 3 一 4 + … 一 2n + 2n + 1 = 35 一 n + 2n + 1 = n + 36 故答案为：35；(n + 36)． 【点睛】此题考查数轴、有理数的加减，整式的加减，根据题意列出算式，找出简便的计算方法是解题的关 键． 【变式 1】观察下面的三行单项式 x 、2x2 、4x3 、8x4 、16x5 、32x6 、 … … -2x 、4x2 、－8x3 、16x4 、－32x5 、64x6 、 … … 2x2 、－3x3 、5x4 、－9x5 、17x6 、－33x7 、 … … 根据你发现的规律： 第 2页（共 19页） 学科网（北京）股份有限公司 (1)第①行第 n 个单项式为______ (2)第②行第 n 个单项式为______ (3)第③行第 n 个单项式为______ 【答案】(1)2n－1xn ；(2)（－2）nxn ；(3)（－1）n＋1（2n－1＋1）xn＋1 【分析】（1）观察第①行式子的特点，可得第 n 个数是 2n－1xn ； n （2）观察第②行式子的特点，可得第 n 个数是（－2） xn； （3）观察第③行式子的特点，可得第 n 个数是（－1）n＋1（2n－1＋1）xn＋1 ； 【详解】（1）观察第①行的每个单项式可知： 系数依次× 2 ，次数依次+1， ∴第 n 个单项式为2n－1xn； 故答案为：2n－1xn； （2）观察第②行的单项式可知： 第奇数个是负数，第偶数个是正数，系数和次数同（1）， n ∴第 n 个单项式为（－2） xn； n 故答案为：（－2） xn； （3）观察第③行单项式可知： 在（1）、（2）的基础上符号与（2）的相反， （1）的系数+1 ，次数+1 可得（3）系数的绝对值和次数， ∴第 n 个单项式为（－1）n＋1（2n－1＋1）xn＋1． 故答案为：（－1）n＋1（2n－1＋1）xn＋1． 【点睛】本题考查了整式中单项式的变化规律，能够通过所给例子，找到数字的规律，利用整式的加减运算 法则是解题的关键． 【变式 2】 已知一列数 m ，n2 ，m + n2 ，m + 2n2 ，2m + 3n2 ，3m + 5n2 ， , 按照这个规律写下去，第 9 个数是 ． 【答案】13m + 21n2 【分析】 由题意知从第 3 个数开始都是前面两个数的和，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：从第 3 个数开始都是前面两个数的和， ∴第 7 个数是 2m + 3n2+3m + 5n2=5m + 8n2； 第 8 个数是 3m + 5n2+5m + 8n2=8m + 13n2； 第 9 个数是 5m + 8n2+8m + 13n2= 13m + 21n2； 故答案为：13m + 21n2． 第 3页（共 19页） 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题主要考查合并同类项及代数式规律问题，解题的关键是找准题干中代数式的规律． 【变式 3】下列方格中的四个数都是按照一定规律填写的，则 x 的值是 ( ) A ．307 B ．392 C ．406 D ．458 【答案】C 【分析】观察方格中的四个数的变化规律，可得：b = a + 1 ，x = 50b + a 一 1 ，只需求出 a 的值即可求出 x 的值． 【详解】解：根据题意可得， 第 1 个图形中，方格中的右上方的数为：2 = 1 + 12， 第 2 个图形中，方格中的右上方的数为：5 = 1 + 22 ， 第 3 个图形中，方格中的右上方的数为：10 = 1 + 32， 第 4 个图形中，方格中的右上方的数为：17 = 1 + 42， ……, 第 n 个图形中，方格中的右上方的数为：1 + n2， 当 1 + n2 = 50 时，n = 7， ∴a = 7 ，b = a + 1 = 8， ∴x = 50b + a 一 1 = 50 × 8 + 7 一 1 = 406． ∴x 的值是 406． 故选：C． 【点睛】本题考查了数的变化，根据数的变化找出方格中四个数的关系，并根据数的变化规律求值，是解本 题的关键，综合性较强，难度较大． 第 4页（共 19页） 学科网（北京）股份有限公司 【例 1】观察下列各不等式，发现规律并回答问题： （1）根据规律写出第 4 个式子： （2）利用规律求的值. 【答案】（1） = ( − ) ；（2） ． 【分析】（1）根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可写出第四个式子； （2）先类比（1）的规律将原式变形，再计算即可． 【详解】解：（1）第 4 个式子 ； （2） 1 + 1 + 1 + . . . . . . + 1 =2 (1) (1133 (1) )5( 3 (1) )+ 2 (1) ( 5 (1) − 2 2 (1) ( 20117 − 20119 ) =2 (1) × (1 − 3 (1) + 3 (1) − 5 (1) + 5 (1) − 7 (1) + ⋯⋯+ 20117 − 20119 ) × (1 − ) × . 【点睛】本题考查数字的变化规律，找出分数分子与分母的特点，得出拆分的规律是解题的关键． 【例 2】观察下列等式：1 = 12 − 02 ，3 = 22 − 12 ，5 = 32 − 22 ， …按此规律，则第n个等式为 2n − 1 =___________________． 【答案】n2 − (n − 1)2． 【分析】第一个底数是从 1 开始连续的自然数的平方，减去从 0 开始连续的自然数的平方，与从 1 开始连续 的奇数相同， 由此规律得出答案即可． 【详解】解： ∵1 = 12 − 02， 3 = 22 − 12， 5 = 32 − 22， … ∴第n个等式为：2n − 1 = n2 − (n − 1)2 故答案是：n2 − (n − 1)2． 【点睛】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题 第 5页（共 19页） 学科网（北京）股份有限公司 的关键． 【例3】从 2 开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表： 加数 n 的个数 和（S） 1——— —— —— — — → 2 = 1 × 2 2——— —— —— — → 2+4=6=2 × 3 3——— —— —— → 2+4+6= 12=3 × 4 4——— —— → 2+4+6+8=20=4 × 5 5——— → 2 + 4+6+8+10=30=5 × 6 (1)这个规律，当n = 6 时，和为_____________； (2)从 2 开始，n 个连续偶数相加，它们的和S =_____________ ；（用含有 n 的式子表示） ①2 + 4 + 6 + ⋯ + 200；(3)应用上述公式计算： ②202 + 204 + 206 + ⋯ + 300． 【答案】(1)42；(2)n (n + 1)；(3)①10100；②12550． 【分析】（1）根据规律当n = 6 时，表示从 2 开始，6 个连续偶数相加，进行计算即可； （（3 (2)））① (根)根据 (据前)面（2 (几)）中结论 (项的规律)，，2 4 (纳) +2200 表 (开始)，示 (n)100 时的它们的和 (续偶数相加的和为)；n 所求 (+ 1))；式子可表示为前 150 项 连续偶数的和减去前 100 项连续偶数的和，进行计算即可． 【详解】（1）解：当n = 6 时，和为：2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 6 × 7 = 42； 故答案为：42； S = 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2n = n (n + 1)；（2）解：从 2 开始，n 个连续偶数相加，它们的和为： 故（3答）解 (案)为：①：式(n子 2 (+ 1))+；4 + 6 + ⋯ + 200 ，从 2 开始，有 100 个连续偶数相加，∴ 2 + 4 + 6 + ⋯ + 200 = 100 × 101 = 10100； ②∵ 2 + 4 + 6 + ⋯ + 300 = 150 × 151 = 22650， 2 (+)02 (4)2 (6)0 (+)42 (+)0 (2)6 (0)300 (0 ×)101 = 10100 = (2 + 4 + 6 + ⋯ + 300) − (2 + 4 + 6 + ⋯ + 200) = 22650 − 10100 = 12550． 【点睛】此题考查了整式的求和规律探索，熟练掌握运用归纳法得出一般性结论，然后运用得到的结论解决 一些简单的问题，是解答此题的关键． 【变式 1】观察下列各式：12+1 ＝1×2 ，22+2 ＝2×3 ，32+3=3×4 … ，按此规律写出第 n 个等式_____． 第 6页（共 19页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】：n2+n ＝n×（n+1）． 【分析】根据算式可发现一个数的平方加上它本身，等于这个数与这个数加 1 的积． 【详解】解：观察各式可知，第几个算式就是几的平方加几，等于等于这个数与这个数加 1 的积， 所以，第 n 个等式为：n2+n ＝n×（n+1）， 故答案为：n2+n ＝n×（n+1）． 【点睛】本题考查了用代数式表示规律，解题关键是准确分析题意，找到规律． 【变式 2】如图， (1)根据图示规律，完成填空； (2)通过计算说明“ ”成立的理由． 【答案】(1)24； −6；4n + 4 ；n − 7 ；(2)见解析 【分析】（1）根据题意，观察图示，得到规律即可求解； （2）利用整式的加减法则计算，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：8 = 4 × 1 + 4, 12 = 4 × 2 + 4, 16 = 4 × 3 + 4,20 = 4 × 4 + 4 ， … … ∴①处为 24；③处为 4n + 4； ∵−6 = 1 − 7, − 5 = 2 − 7, − 4 = 3 − 7, − 3 = 4 − 7 ， … … ∴②处为−6；④处为n − 7； 故答案为：24； −6；4n + 4 ；n − 7 （2）解：理由如下： 5n − 3 − (4n + 4) = 5n − 3 − 4n − 4 = n − 7． 【点睛】本题主要考查了数字类规律题，整式的加减混合运算，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 第 7页（共 19页） 学科网（北京）股份有限公司 【变式 3】若规定运算符号“▲”满足下列各式： 1▲3 = 3 × 1 — 2 × 3 2▲—4 = 3 × 2 — 2 × —4 0▲—7 = 3 × 0 — 2 × —7 … 根据以上规律，求解下列各题： （1）a▲b = ； （2）若 2m — n = 3 ，求(2m + n ▲ —4m + 5n)的值． 【答案】（1）3a — 2b；（2）21 【分析】（1）根据已知的等式即可求解； （2）根据题意把(2m + n ▲ —4m + 5n)化简，再代入 2m — n = 3 即可求解． 【详解】（1） 由已知的等式可得：a▲b = 3a — 2b； 故答案为：3a — 2b； （2）(2m + n ▲ —4m + 5n=3 2m + n-2—4m + 5n)=6m+3n+8m-10n=14m — 7n． 当 2m — n = 3 时．原式= 14m — 7n = 7 (2m — n) = 7 × 3 = 21． 【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知整式的加减运算法则． 第 8页（共 19页） 学科网（北京）股份有限公司 【例 1】如图，每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第 4 个图形中三角形的个 数比圆的个数多_______个．第 n 个图形中三角形的个数比圆的个数多_____________个．（由含 n 的代数 式表示） 【答案】 9 (2n + 1) 【分析】每个图形可以看成是 1 个圆配 3 个正三角形，再额外加 1 个三角形，根据其规律，可求其值． 【详解】解：根据题意有， 第 1 个图形，圆的个数为：1 ；正三角形的个数为：1 × 3 + 1； 第 2 个图形，圆的个数为：2；正三角形的个数为：2 × 3 + 1； 第 3 个图形，圆的个数为：3 ；正三角形的个数为：3 × 3 + 1； 第 4 个图形，圆的个数为：4；正三角形的个数为：4 × 3 + 1； ……, 第n个图形，圆的个数为：n ；正三角形的个数为：n × 3 + 1； ∴第 4 个图形中三角形的个数比圆的个数多 2 × 4 + 1 = 9 个． n × 3 + 1 − n = 3n − n + 1 = 2n + 1， ∴第n个图形中三角形的个数比圆的个数多(2n + 1)个． 故答案为：①9 ，②(2n + 1)． 【点睛】本题考查了图形的变化，根据图形的变化找出其规律是解本题的关键，综合性较强，难度适中． 【例2】小明同学为庆祝党的二十大，用五角星 按一定规律摆出如下图案，第 1 个图案有 3 颗五 角星，第 2 个图案有 7 颗五角星，第 3 个图案有 11 颗五角星，第 4 个图案有 15 颗五角星 … … 依 此规律，第 2022 个图案有____________颗五角 星． 【答案】8087 【分析】根据题意，观察图中五角星个数，得到 规律为 3 + 4 × (n − 1) =4n − 1 ，当n = 2022 时，求出五角形个数即可得到答案． 【详解】解：根据题意，可知： 第 9页（共 19页） 学科网（北京）股份有限公司 第 1 个图形有 3 个五角星，个数为 3 + 4 × 0； 第 2 个图形有 7 个五角星，个数为 3 + 4 × 1； 第 3 个图形有 11 个五角形，个数为 3 + 4 × 2； 4 个图形有 15 个五角形，个数为 3 + 4 × 3； ∴第n个图形五角形个数为 3 + 4 × (n − 1) =4n − 1； ∴当n = 2022 时，五角形个数为 4 × 2022 − 1 = 8087， 故答案为：8087． 【点睛】本题考查图形与数字结合的规律问题，从个数中找到规律是解决问题的关键． 【例3】如图，我们可以用长度相同的火柴棒按一定规律搭正多边形组成图案，图案①需 8 根火柴棒，图案 ②需 15 根火柴棒， … , 按此规律，第n个图案需要__________根火柴棒，第 2022 个图案需要__________根火 柴棒． 【答案】 (7n + 1) 14155 【分析】根据图形和数字规律、合并同类项的性质，计算得第 n 个图案的火柴棒数量，再根据代数式的性质 计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，第 1 个图案的火柴棒有：8 × 1 + 0 = 8 根 第 2 个图案的火柴棒有：8 × 2 − 1 = 15 根 第 3 个图案的火柴棒有：8 × 3 − 2 = 22 根 … 第 n 个图案的火柴棒有：[8 × n − (n − 1)]根，即(7n + 1)根 ∴第 2022 个图案的火柴棒有：7 × 2022 + 1 = 14155 根 故答案为：①(7n + 1) ，②14155． 【点睛】本题考查了数字和图形规律、合并同类项、代数式的知识；解题的关键是找到数字和图形规律，从 而完成求解． 【变式 1】如图是一组用“●”组成的图形，第 1 个图形由 1 个“●”组成，第 2 个图形由4 个“●”组成，第 3 个图 形由 7 个“●”组成，第 4 个图形由 10 个“●”组成， … , 根据这样的规律，第 150 个图形中“●”的个数是 ____________个． 第 10页（共 19页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】448 【分析】根据第 1 个图形由 1 个“●”组成，第 2 个图形由4 个“●”组成，第 3 个图形由 7 个“●”组成，第 4 个 图形由 10 个“●”组成， … , 得出第 n 个图形由(3n − 2)个“●”组成，将n = 150 代入求出结果即可． 【详解】解： ∵第 1 个图形由 1 个“●”组成， 第 2 个图形由4 个“●”组成， 第 3 个图形由 7 个“●”组成， 第 4 个图形由 10 个“●”组成， … , ∴第 n 个图形由(3n − 2)个“●”组成， ∴第 150 个图形中“●”的个数为 3 × 150 − 2 = 448（个）． 故答案为：448． 【点睛】本题主要考查了规律探究，解题的关键是根据题意归纳出第 n 个图形由(3n − 2)个“●”组成． 【变式 2】下列图形都是由同样大小的小钢珠按一定规律排列的，按照此规律排列下去，第 20 个图形有小钢 珠 _____颗． 【答案】210 【分析】根据图形变化规律可知，第 n 个图形有 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = n (1 + n)个小球，据此规律计算即 可． 【详解】解：第 1 个图中有 1 个小球， 第 2 个图中有 3 个小球，3 = 1 + 2， 第 3 个图中有 6 个小球，6 = 1 + 2 + 3， 第 4 个图中有 10 个小球，10 = 1 + 2 + 3 + 4， …… 照此规律，第 n 个图形有 个小球， 当n = 20 时， 小球个数为 × 20 × (1 + 20) = 210 故答案为：210． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据图形变化规律得出第 n 个图形有 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = 第 11页（共 19页） 学科网（北京）股份有限公司 n (1 + n)个小球是解题的关键． 【变式 3】如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第 1 个图案有 4 个三角形， 第 2 个图案有 7 个三角形，第 3 个图案有 10 个三角形， … … 照此规律摆下去． (1)第 5 个图案有 ____________个三角形； (2)第n个图案有 ____________个三角形；(用含 n 的式子表示) (3)第 2022 个图案有几个三角形？ 【答案】(1)16；(2)(3n + 1)；(3)6067 【分析】设摆成第n (n为正整数)个图案需要an 个三角形． （1）根据前 4 个图案所需三角形的个数，可得出每个图案所需三角形的个数比前一个图形多 3 个，再结合a4 的值即可求出a5 的值； （2） 由（1）的结论“每个图案所需三角形的个数比前一个图形多 3 个”， 可得出an = (a2 − a1) + (a3 − a2) + (a4 − a3) + … + (an − an−1) + a1 = 3n + 1； （3）代入n = 2022 即可求出结论． 【详解】（1）解：设摆成第n(n为正整数)个图案需要an 个三角形． ∵a1 = 4 ，a2 = 7 ，a3 = 10 ，a4 = 13， ∴a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = 3， ∴a5 = a4 + 3 = 16． 故答案为：16； （2）解：由（1）可知： an = (a2 − a1 ) + (a3 − a2 ) + (a4 − a3) + … + (an − an −1) + a1 = 3(n − 1) + 4 = 3n + 1． 故答案为：(3n + 1)； （3）当n = 2022 时，a2022 = 3 × 2022 + 1 = 6067， ∴摆成第 2022 个图案需要 6067 个三角形． 【点睛】此题主要考查规律型：图形的变化规律，此题的关键是注意发现前后图形中的数量之间的关系． 第 12页（共 19页） 学科网（北京）股份有限公司 1 ．根据图中数字的排列规律，在第⑦个图中，a — b — c 的值是 ( ) A ． —190 B ． —66 C ．62 D ．6 【答案】C 【分析】每个图形中，左边三角形上的数字为a = —1n . 2n ，右边三角形上的数字为b = —1n . 2n + 2 ，下 面三角形上的数字为c = × —1)n . 2n ，先把n = 7 代入求出a 、b 、c的值，再进一步求出a — b — c的值． 【详解】解：通过观察可得规律： 左边三角形上的数字为a = —1n . 2n， 右边三角形上的数字为b = —1n . 2n + 2， 下面三角形上的数字为 ∵n = 7， ∴a = — 1 × 27 = — 128 ，b = — 128 + 2 = — 126 ，c = × —128) = — 64， ∴a — b — c = — 128 + 126 + 64 = 62． 故选：C． 【点睛】本题考查了图形中有关数字的变化规律，能准确观察到相关规律是解决本题的关键． 2 ．根据图中数字的规律，则x + y的值是______． 【答案】593 【分析】根据前三个图，得到规律：第二行左边的数比第一行数的平方加 1 ，第二行右边的数=第二行左边 的数×第一行的数+第一行的数；则x = 82 + 1 ，y = 8x + 8 ，即可． 【详解】根据题意，可得： ∵5 = 22 + 1 ，12 = 2 × 5 + 2； 17 = 42 + 1 ，72 = 17 × 4 + 4； 37 = 62 + 1 ，228 = 37 × 6 + 6； ∴x = 82 + 1 = 65 ，y = 65 × 8 + 8 = 528， ∴x + y = 65 + 528 = 593． 故答案为：593． 第 13页（共 19页） 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解答的关键是由图形得到规律，根据规律进行求解． 3 ．如图， 下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成： 第 1 个图案需 7 根火柴， 第 2 个图案 需 13 根火柴， … , 依此规律， 第 5 个图案需___________根火柴棒， 第 20 个图案需___________火柴棒． 【答案】 43 463 【分析】根据第 1 个图案需 7 根火柴：7 = 1 × (1 + 3) + 3，第 2 个图案需 13 根火柴： 13 = 2 × (2 + 3) + 3， 第 3 个图案需 21 根火柴：21 = 3 × (3 + 3) + 3 ，得出规律：第n个图案需n × (n + 3) + 3 根火柴，再把 5 和 20 分别代入即可求出答案． 【详解】解：第 1 个图案需 7 根火柴：7 = 1 × (1 + 3) + 3， 第 2 个图案需 13 根火柴： 13 = 2 × (2 + 3) + 3， 第 3 个图案需 21 根火柴：21 = 3 × (3 + 3) + 3， …… 则第n个图案需火柴的根数为：n × (n + 3) + 3， ∴第 5 个图案需火柴的根数为：5 × (5 + 3) + 3 = 43（根）， 第 20 个图案需火柴的根数为：20 × (20 + 3) + 3 = 463（根）． 故答案为：43；463． 【点睛】本题主要考查图形的变化类，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，再 利用规律解决问题． 2 5 8 11 4 ．有一组单项式依次为 ... ，根据它们的规律，请写出第 8 个单项式________． 【分析】不难看出，单项式的系数部分是 字母的指数部分是 3n — 1 ，据此可解答． … , :第n个单项式为 ∴第 8 个单项式为： — 故答案为： 第 14页（共 19页） 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题主要考查数字的变化类规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在的规律． 5 ．观察下列多项式： 按此规律，则第n个多项式是_____________． 【分析】 由所给的式子可得，分母为 3 的倍数，分子中 a 的系数为2n ，然后加上( — b)n ，即可求解． 【详解】根据题目中显示的规律， 第 1 项为 第 2 项为 第 3 项为 则第n项为 故答案为 【点睛】本题考查数字的变化规律，能够通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键． 6 ．用火柴棒按如图的方式搭图形． (1)按图示规律完成下表： 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 火柴棒根数 5 9 ______ ______ ______ …… (2)按照这种方式搭下去，搭第 n 个图形需要多少根火柴棒？ (3)搭第 15 个图形需要多少根火柴棒？ 【答案】(1)13 ，17 ，21；(2)4n + 1 ；(3)61 【分析】（1）根据所给的图形进行分析即可得出结果； （2） 由（1）进行总结即可； （3）根据（2）所得的式子进行解答即可． 【详解】（1）解：第 1 个图形的火柴棒根数为：5， 第 2 个图形的火柴棒根数为：9 = 5 + 4 = 5 + 4 × 1， 第 3 个图形的火柴棒根数为：13 = 5 + 4 + 4 = 5 + 4 × 2， 第 4 个图形的火柴棒根数为：17 = 5 + 4 + 4 + 4 = 5 + 4 × 3， 第 5 个图形的火柴棒根数为：21 = 5 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 + 4 × 4， …… 故答案为：13 ，17 ，21； （2）解： 由（1）得：搭第n个图形需要火柴棒根数为：5 + 4(n — 1) = 4n + 1． 答：第n个图形需要火柴棒根数为：4n + 1； 第 15页（共 19页） 学科网（北京）股份有限公司 （3）解：当n = 15 时，4n + 1 = 4 × 15 + 1 = 61， 所以搭第 15 个图形需要 61 根火柴棒． 【点睛】本题主要考查规律型：图形的变化类，解答的关键是根据所给的图形分析出其规律． 7 ．观察下列等式． 第 1 个等式22 — 12 = 2 × 1 + 1； 第 2 个等式32 — 22 = 2 × 2 + 1； 第 3 个等式42 — 32 = 2 × 3 + 1； 第 4 个等式52 — 42 = 2 × 4 + 1； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)第 5 个等式为________． (2)猜想第 n 个等式为________（用含 n 的式子表示）． (3)观察下列各图，“ ·”的个数用 a 表示，“ ○”的个数用 b 表示，如：当n = 1 时，a = 4 ，b = 1 ；当n = 2 时， a = 9 ，b = 4；当n = 3 时，a = 16 ，b = 9 ； … 当n = 2023 时，求a — b的值． 【答案】(1)62 — 52 = 2 × 5 + 1 ；(2)(n + 1)2 — n2 = 2n + 1 ；(3)4047 【分析】（1）根据规律直接写出即可； （2）根据规律直接写出即可； （3）分别求出当n = 2023 时，a 和 b 的值，再代入求解即可． 【详解】解：（1）62 — 52 = 2 × 5 + 1． （2）(n + 1)2 — n2 = 2n + 1． （3）根据图形规律可知， 当n = 2023 时，a = (2023 + 1)2 = 20242 ，b = 20232， 所以a — b = 20242 — 20232 = 2 × 2023 + 1 = 4047， 即a — b的值为 4047． 【点睛】本题为数式规律题，解题关键是能发现规律并能用字母表示其中的规律，考查了学生数形结合的能 力． 8 ．定义一种新运算，规律如下： 2⊗ 3 ＝2×5 -3 ＝7； 3⊗ （ -1）＝3×5+1 ＝16； （ -4）⊗ （ -3）＝（ -4） ×5+3 ＝ -17． 第 16页（共 19页） 学科网（北京）股份有限公司 （1）请你想一想：a⊗ b = . （2）请计算：（ -2）⊗ 8 = . （3）试说明：当 x＝y 时，x⊗ y＝y⊗ x． 【答案】（1）5a -b；（2）-18；（3）见解析 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）根据（1）得出的结论求解即可； （3）利用题中的新定义化简等式左右两边，根据 x＝y 即可得证． 【详解】解：（1） ∵2 ⊗ 3=2 × 5 — 3=7 ，3 ⊗ —1 =3 × 5 — —1 =3 × 5+1= 16， (—4) ⊗ —3 = —4 × 5 — —3 = — 20+3= — 17， ∴a ⊗ b = 5a — b 故答案为：5a — b； （2） 由（1）得 —2 ⊗ 8 = 5 × —2 — 8 = — 10 — 8 = — 18 故答案为： -18； （3） 由（1）得当 x＝y 时，x ⊗ y = 5x — y = 5x — x = 4x， y ⊗ x = 5y — x = 5x — x = 4x， ∴x ⊗ y = y ⊗ x． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，合并同类项，弄清题中的新定义是解本题的关键． 9 ．请观察下列算式，找出规律并填空 ③ = × 1 — … 则第 10 个算式是______=______ ，第 n 个算式为______=______． (2)从以上规律中你可得到一些启示吗？根据你得到的启示，试解答下题： 若有理数 a 、b 满足 a — 1 + b — 32 = 0 ，求的值． 【分析】（1）根据所给的算式，可找出规律，即可得出结果； （2）利用绝对值的非负性求得 a 、b ，再根据得到的规律进行运算求值． 【详解】（1）解：根据规律得 故答案为 （2） ∵ a — 1 + b — 3)2 = 0， ∴a = 1 ，b = 3 第 17页（共 19页） 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题主要是寻找规律及非负数得性质，再根据有理数的混合运算计算，根据题意找出相应规律是解 题关键． 10 ．观察以下等式： 根据以上规律，解决下列问题： (1)1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + … … + 10 × 11 = ； (2)计算 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + … … + n (n + 1) （结果用含n 的代数式表示）． 【答案】(1)440；(2) n n + 1)(n + 2) 【分析】（1）根据已知等式，将每一项进行改写，再求和即可得； （2）参照（1），将每一项进行改写，再求和即可得． 【详解】（1）解：1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + … … + 10 × 11 = × 1 × 2 × 3 — 0 × 1 × 2 + × 2 × 3 × 4 — 1 × 2 × 3 + … + × t10 × 11 × 12 — 9 × 10 × 11 = × 1 × 2 × 3 — 0 × 1 × 2 + 2 × 3 × 4 — 1 × 2 × 3 + … + 10 × 11 × 12 — 9 × 10 × 11) = × —0 × 1 × 2 + 10 × 11 × 12 = × 10 × 11 × 12 = 440， 故答案为：440． （2）解：1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + … … + n (n + 1) 第 18页（共 19页） 学科网（北京）股份有限公司 1 = 3 [1 × 2 × 3 — 0 × 1 × 2 + 2 × 3 × 4 — 1 × 2 × 3 + … + n (n + 1)(n + 2 — n — 1n n + 1)] 【点睛】本题考查了整式的加减，观察已知等式，正确发现一般规律是解题关键． 11 ．用火柴棒按图中的方式搭图形： 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒根数 5 9 13 17 a 按图示规律填空: (1)a=_______． (2)按种方式搭下去，则搭第 n 个图形需要火柴棒的根数为_______（用含 n 的代数式来表示） (3)按照这种方式搭下去，用 2021 根火柴棒能否正好搭一个这样的图形？请说明理由． 【答案】(1)21；(2)4n + 1 ；(3)能，理由见解析 【分析】（1）根据所给图形可得 a 的值； （2）根据（1）的结果可得出规律； （3）根据规律式中可求值． 【详解】（1） 由图①②③④可得图⑤为：17+4=21 故a = 21 故答案为： 21； （2） 由（1）可得第 n 个图形需要火柴棒的根数为 5+(n — 1) × 4 = 4n + 1， 故答案为：4n + 1； （3） ∵2021 = 4 × 505 + 1 即第 505 个图形需要的火柴棒根数为 2021 根 ∴能正好搭一个这样的图形． 【点睛】此题主要考查了图形的变化类，注意结合图形，发现蕴含的规律，找出解决问题的途径． 第 8页（共 8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$