2.6应用一元二次方程 （2）导学案 2024-2025学年 北师大版九年级数学上册

2.6应用一元二次方程 （2）导学案 【学习目标】了解一元二次方程在营销问题中的应用，包括利润问题和增长率问题． 【学习重难点】分析营销问题中的数量关系，从而找到等量关系列出一元二次方程求解． 【导学过程】 一.知识回顾 1．我国2022年国民生产总值为亿元，2023年比2022年增长了7﹪，则2023年国民生产总值为a(1+7﹪)亿元，若2024年也比2023年增长了7﹪，则2024年的国民生产总值为(1+7﹪)2a亿元． 2．某商品的日销售量为100件，调查发现，该商品的单价每增加1元，日销售量减少5件，若单价增加元，则日销售量将减少5b件，最终的日销售量为(100-5b)件． 二.探究新知： 引例1.某超市一月份的营业额是100万元，月平均增加的百分率相同，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长的百分率是x，那么可列出的方程是（　B　） A．100（1+x）2＝364 B．100+100（1+x）+100（1+x）2＝364 C．100（1+2x）＝364 D．100+100（1+x）+100（1+2x）＝364 引例2.某商店购进一种商品，进价为40元/件，试销中发现这种商品每天销售量P件与每件销售价x元满足关系：P＝120﹣2x．若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，则每件商品售价应定为50元. 归纳总结：（1）增长（下降）公式：基数×（1+增长率）=总数，基数×（1-下降率）=总数 （2）销售问题中常用的公式：利润=售价-进价，利润率=（利润/进价）×100％， 售价=进价×（1+利润率）=进价+利润，售价=标价×折数×0.1， 三.典例与练习： 例.新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元．市场调研表明:当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天能多售4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元? 分析：每天的总销售利润：每台冰箱的利润×每天售出的台数=5000 方法一：如果设每台冰箱降价x元，则 进价（元/台） 售价（元/台） 每台冰箱的利润（元） 日销售量（台） 日销售利润（元） 降价前 2500 2900 2900-2500 8 4000 降价后 2500 (2900-x) (2900-2500-x) (8+ ) 5000 列方程得：(400-x)(8+ )=5000 方法二：如果设每台冰箱的定价为元，则 进价（元/台） 售价（元/台） 每台冰箱的销售利润（元） 日销售量（台） 日销售利润（元） 降价前 2500 2900 2900-2500 8 4000 降价后 2500 y (y-2500) (8+ ) 5000 列方程得：(y-2500)(8+ )=5000. 练习：1．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应为多少？这时售出台灯多少个？ 解：设这种台灯涨价x元，可列方程：（40+x-30）(600-10x)=10000,解得：x1=10,x2=40(舍去) 40+10=50，答：这种台灯的售价应为50元，这时售出台灯500个. 2．某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.05元，那么平均每天可多售出200张，摊主要想平均每天盈利180元，每张贺年卡应降价多少元？ 解：设每张贺年卡应降价x元,可列方程：（0.3-x)(500+4000x)=180，解得：x1=3/40,x2=0.1 为了尽快减少库存x=0.1,答每张贺年卡应降价0.1元 3.六一儿童节，某玩具经销商在销售中发现：某款玩具若以每个50元销售，一个月能售出500个，销售单价每涨1元，月销售量就减少10个，这款玩具的进价为每个40元，请回答以下问题：（1）若月销售利润定为8000元，且尽可能让利消费者，销售单价应定为多少元？ （2）由于资金问题，在月销售成本不超过10000元,且没有库存积压的情况下，问销售单价至少定为多少元？解：（1）设销售单价应定为x元，由题意，得（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000， 解得x1＝60，x2＝80，∵尽可能让利消费者，∴x＝60．答：消费单价应定为60元． （2）设销售单价定为a元，由题意，得40[500﹣10（a﹣50）]≤10000， 解得a≥75答：销售单价至少定为75元．利用一元二次方程解决营销问题及平均变化率问题 营销问题 平均变化率问题 a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 四.课堂小结： 五.分层过关： 1．截止2025年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2023年底该市汽车拥有量为10万辆，设2023年底至2025年底该市汽车拥有量的平均增长率为，根据题意列方程得（　A　） 2． 某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每周可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每周可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（A）A.(80-x)(200+8x)=8450 B (40-x)(200+x)=8450 C. (40-x)(200+40x)=8450 D.(40-x)(200+x)=8450 3．某批发商将进价为4元的小商品按5元卖出时，可卖出500件，已知这种商品每件涨价1元，其销售量就减少10件，若要赚得4100元的利润，售价应定为（ C ） 45元 14元 45元或14元 50元 4．甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元，该公司的年平均增长率是 0.1 ． 5．某种服装平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价4元. 6．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11，12两个月营业额的月均增长率． 解：该公司月均增长率为x,可列方程：2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=9100解得：x1=0.2,x2=-3.2（舍去） 答：该公司11，12两个月营业额的月均增长率为20％ 7.端午节期间某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为使获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0﹤m﹤1）元．（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出(300+100× )只粽子，利润为（1-m)(300+100× )元（用含m的代数式表示）； （2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？解：由题得：（1-m)(300+100× =420解得：m1=0.4,m2=0.3为了卖出的粽子更多，∴m=0.4 答：当m定为0.4元时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多. 思考题： 8.某花店老板三月份购进一批山茶花、绣球花共1000株，进价均为每株42元，山茶花以每株80元、绣球花以每株64元的价格销售． （1）若要求三月份的总获利至少33200元，问该老板至少应购进山茶花多少株？ （2）四月份绣球花品种丰富、花型饱满，在进价不变的情况下，该老板决定调整价格，将山茶花的价格在三月份的基础上下调a%（降价后售价不低于进价），绣球花的价格上调a%，同时山茶花的销量较三月份最低利润时销量下降了a%，绣球花的销量较月份最低利润时销量上升了40%，结果四月份的销售额比三月份最低利润时增加了3520元，求a的值．（1）设该老板至少应购进山茶花x株，则购进绣球花（1000﹣x）株，由题意得：（80﹣42）x+（1000﹣x）（64﹣42）≥33200∴38x+22000﹣22x≥33200∴16x≥11200∴x≥700∴该老板至少应购进山茶花700株． （2）由题意得：80（1﹣a%）×700×（1﹣）+64（1+）×（1000﹣700）×（1+40%）＝80×700+64×（1000﹣700）+3520∴a2﹣72a+1040＝0∴（a﹣20）（a﹣52）＝0∴a＝20或a＝52 ∵降价后售价不低于进价∴80×（1﹣20%）＝64＞42，80×（1﹣52%）＜42 故a＝52不符合题意．∴a的值为20． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.6应用一元二次方程 （2）导学案 【学习目标】了解一元二次方程在营销问题中的应用，包括利润问题和增长率问题． 【学习重难点】分析营销问题中的数量关系，从而找到等量关系列出一元二次方程求解． 【导学过程】 一.知识回顾： 1．我国2022年的国民生产总值为亿元，2023年比2022年增长了7﹪，则2023年的国民生产总值为____________亿元，若2024年也比2023年增长了7﹪，则2024年的国民生产总值为____________亿元． 2．某商品的日销售量为100件，调查发现，该商品的单价每增加1元，日销售量减少5件，若单价增加元，则日销售量将减少___________件，最终的日销售量为_____________件． 二.探究新知： 引例1.某超市一月份的营业额是100万元，月平均增加的百分率相同，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长的百分率是x，那么可列出的方程是（　　） A．100（1+x）2＝364 B．100+100（1+x）+100（1+x）2＝364 C．100（1+2x）＝364 D．100+100（1+x）+100（1+2x）＝364 引例2.某商店购进一种商品，进价为40元/件，试销中发现这种商品每天销售量P（件）与每件销售价x（元）满足关系：P＝120﹣2x．若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，则每件商品售价应定为____元. 归纳总结：（1）.增长（下降）公式：基数×（1+增长率）=总数，基数×（1--下降率）=总数 （2）.销售问题中常用的公式：利润=售价-进价，利润率=（利润/进价）×100％， 售价=进价×（1+利润率）=进价+利润，售价=标价×折数， 三.典例与练习： 例1.新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元．市场调研表明:当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天能多售4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元? 分析：每天的总销售利润：______________________×______________________=5000 方法一：如果设每台冰箱降价元，则 进价（元/台） 售价（元/台） 每台冰箱的利润（元） 日销售量（台） 日销售利润（元） 降价前 2500 2900 2900-2500 8 4000 降价后 2500 5000 列方程得：______________________. 方法二：如果设每台冰箱的定价为元，则 进价（元/台） 售价（元/台） 每台冰箱的销售利润（元） 日销售量（台） 日销售利润（元） 降价前 2500 2900 2900-2500 8 4000 降价后 2500 5000 列方程得：______________________. 练习：1．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应为多少？这时售出台灯多少个？ 2．某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.05元，那么平均每天可多售出200张，摊主要想平均每天盈利180元，每张贺年卡应降价多少元？ 3.六一儿童节，某玩具经销商在销售中发现：某款玩具若以每个50元销售，一个月能售出500个，销售单价每涨1元，月销售量就减少10个，这款玩具的进价为每个40元，请回答以下问题：（1）若月销售利润定为8000元，且尽可能让利消费者，销售单价应定为多少元？ （2）由于资金问题，在月销售成本不超过10000元,且没有库存积压的情况下，问销售单价至少定为多少元？ 利用一元二次方程解决营销问题及平均变化率问题 营销问题 平均变化率问题 a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 四.课堂小结：利用一元二次方程解决营销问题及平均变化率问题 营销问题 平均变化率问题 a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 五.分层过关： 1．截止2025年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2023年底该市汽车拥有量为10万辆，设2023年底至2025年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（　　） 2． 某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每周可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每周可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（　）A.(80-x)(200+8x)=8450 B (40-x)(200+x)=8450 C. (40-x)(200+40x)=8450 D.(40-x)(200+x)=8450 3．某批发商将进价为4元的小商品按5元卖出时，可卖出500件，已知这种商品每件涨价1元，其销售量就减少10件，若要赚得4100元的利润，售价应定为（ ） 45元 14元 45元或14元 50元 4．甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元，该公司的年平均增长率是 ． 5．某种服装平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价_______元. 6．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11，12两个月营业额的月均增长率． 7.端午节期间某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为使获取的利润更多，该店决定把零售单价下降（0﹤﹤1）元． （1）零售单价下降元后，该店平均每天可卖出____________只粽子，利润为_____________元（用含的代数式表示）； （2）在不考虑其他因素的条件下，当定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？ 思考题： 8.某花店老板三月份购进一批山茶花、绣球花共1000株，进价均为每株42元，山茶花以每株80元、绣球花以每株64元的价格销售． （1）若要求三月份的总获利至少33200元，问该老板至少应购进山茶花多少株？ （2）四月份绣球花品种丰富、花型饱满，在进价不变的情况下，该老板决定调整价格，将山茶花的价格在三月份的基础上下调a%（降价后售价不低于进价），绣球花的价格上调a%，同时山茶花的销量较三月份最低利润时销量下降了a%，绣球花的销量较月份最低利润时销量上升了40%，结果四月份的销售额比三月份最低利润时增加了3520元，求a的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$