1.2 集合之间的关系 教学设计-2025-2026学年高一数学上学期高教版2023修订版·基础模块 上册

1.2 集合之间的关系 教学设计 一、教学内容解析 本节内容是中职数学高教版基础模块上的“集合之间的关系”，主要涉及子集、真子集、集合相等的概念以及集合之间的包含关系。通过本节课的学习，学生能够从元素的角度判断集合之间的关系，并学会使用符号表示这些关系。同时，借助 Venn 图具象化抽象问题，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。 二、教学目标设置 知识与技能目标 学生能够从两个集合的元素出发，判断这两个集合是否具有包含关系，并选用恰当的符号表示。 学生能够区分元素与集合之间的关系和集合与集合之间的关系，并选用恰当的符号表示。 学生会借助 Venn 图分析两个集合之间的关系，培养抽象问题具象化的意识和能力。 过程与方法目标 通过具体情境的分析，引导学生自主探究集合之间的关系，培养学生的自主学习能力和合作探究能力。 通过例题讲解和课堂练习，帮助学生掌握集合关系的判断方法和符号表示，提高学生的逻辑思维能力和数学表达能力。 情感态度与价值观目标 激发学生对数学学习的兴趣，让学生感受到数学知识在实际生活中的应用价值。 培养学生严谨的数学思维习惯和良好的学习态度，增强学生的自信心和学习动力。 三、教学重难点设置 重点： 判断集合之间的包含关系，并选用恰当的符号表示。 理解子集、真子集、集合相等的概念及其符号表示。 借助 Venn 图分析集合之间的关系。 难点： 区分元素与集合之间的关系和集合与集合之间的关系。 理解并掌握集合关系的符号表示，尤其是符号“⊆”“⫋”“=”等的正确使用。 灵活运用集合关系的知识解决实际问题。 四、学生学情分析 中职学生在数学学习方面存在一定的差异，部分学生对数学基础知识掌握不够牢固，抽象思维能力较弱。在学习集合概念时，学生可能对集合之间的关系理解不够深入，容易混淆元素与集合之间的关系和集合与集合之间的关系。此外，学生在符号表示方面可能存在困难，需要教师通过具体情境和实例进行引导和讲解，帮助学生逐步理解和掌握。 五、教学过程设计 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 第一环节：导入环节 回顾 集合定义，元素与集合的关系如何表示？ “∈”或“∉” 集合有哪些表示方法？ 列举法、描述法 情景1：集合A={鸡蛋}与集合B={蛋}的关系是什么？ 情景2：集合A={重庆人}与集合B={中国人}的关系是什么？ 情景3：二十四节气是古人通过观察天体运行，认知一年中的时令、气候、物候等的变化规律形成的知识体系，是我国古代农业文明的产物，是中华民族悠久历史文化的重要组成部分．2016年，联合国教科文组织将二十四节气列入人类非物质文化遗产代表作名录． 记集合Y ={二十四节气}，集合X ={春季的节气} ，集合Y 与集合X 之间有关系吗？如有，是怎样的关系呢？ 思考： 观察并分析以上情境案例，找出它们的共同特征. 1.都有两个集合A、B 2.集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素 3.即若a∈A, 则a∈B 教师通过提问，引导学生回顾已学知识，激发学生对新知识的思考。学生回答问题，教师根据学生的回答进行点评和总结。 通过回顾旧知识，为新知识的学习做好铺垫；通过具体的问题引入，激发学生的学习兴趣和探究欲望，使学生自然地进入新课的学习。 第二环节：新课讲解环节 集合之间的包含关系 子集 如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，即若a∈A，则a∈B，则称集合A是集合B的子集， 记作“A⊆B”或“B⊇A”，读作“A包含于B” 或“B包含A” 如果至少存在一个元素在集合A中，但不在集合B中，即若a∈A, 但a∉B,说明集合A不是集合B的子集 记作“A⊈B 或 B⊉A”，读作“A不包含于B” 或“B不包含A” 概念解读 判断集合A是否是集合B的子集，若是则在( )内打“✔”，不是则打“x” (1)A={1, 3, 5}, B={1, 2, 3, 4, 5, 6} (✔) (x) (×) (4)A={a, b, c, d}, B={b, c, a, d} (✔) (✔) Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn图。这样, 如果 可以用下图来表示。 概念解读 1.符号“A⊆B”与“B⊇A”表示的意思一样吗？是 2.若A={1,2,3}，B={1,3,4,5}，那么集合A是集合B的子集吗？不是 3.集合A是它自身的子集吗？是 A⊆A 4.空集是任何集合的子集吗？是 ∅⊆A 规定 由子集的定义可知，任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A 规定：空集是任何集合的子集，即 ∅⊆A。 思考 A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是两边相等的三角形} 观察集合A、B，你发现这两个集合之间有什么关系？ “两条边相等的三角形”是等腰三角形 集合A，B都是由所有等腰三角形组成的集合 此时，称集合A与集合B相等 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，则称集合A与集合B相等 记作A=B 读作“A等于B” 概念解读 若A⊆B，且B⊆A，则A=B； 反之，如果A=B，则A⊆B，且B⊆A. 若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 情景4 某中职学校服装设计班所有学生组成集合M，服装设计班里所有男生组成集合P，则集合M与集合P之间有什么关系呢 P⊆M. 但是服装设计班的女生不属于集合P，也就是说，集合M中有元素不属于集合P 真子集 对于两个集合A，B，如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则集合A叫作集合B的真子集 记作A⫋B或B⫌A 读作“A真包含于B”或“B真包含A” 概念解读 1.符号A⫋B（或B⫌A）表示的意思一样吗？ 是 2.若A⊆B，那么一定有A⫋B吗？反之呢？ 不是，反之则是 3.集合A是它自身的真子集吗？ 不是 4.空集是任何集合的真子集吗？ 不是 5.空集是任何非空集合的真子集吗？ 是 1. 规定 空集是任何非空集合的真子集，即对任何非空集合A，总有∅⫋A。 教师通过讲解和举例，帮助学生理解集合之间的关系。学生认真听讲，记录重点内容，并提出疑问。教师根据学生的疑问进行解答和补充。 通过系统的讲解和举例，帮助学生掌握集合之间的关系及其符号表示，为后续的学习打下坚实的基础。 第三环节：例题讲解环节 例1：用符号“∈”“∉”“⊆”“⊇”或“=”填空。 (1) {1,2,3,4}⊇{2,3} (2) m∈{m} (3) N ⊆ Z (4) 0 ∈ {0} (5) {1}={× | x-1=0} (6) {x| －2 <x < 3}⊆{x| x ≥－3} 解： 通过数轴的直观表示，可以清楚地看出两个集合之间的关系。 例2：写出集合M={1，2，3}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。 解： 集合M的所有子集为∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}。 其中，除{1,2,3}外，都是集合M的真子集。 易错点 遗漏空集 空集是任何集合的子集，也是真子集。在列举子集时，容易遗漏空集， 遗漏集合本身 集合本身是它的一个子集，但在列举真子集时，需要排除集合本身。 例3：试用Venn图表示数集N、Z、Q、R，并说出它们之间的关系。 教师通过讲解例题，引导学生分析和解答问题。学生积极参与，尝试独立完成例题，并与教师和同学交流解题思路和方法。教师根据学生的解答情况进行点评和总结，强调解题的关键点和注意事项。 通过例题讲解，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力；通过师生互动和交流，培养学生的自主学习能力和合作学习能力。 第四环节：课堂练习环节 1.（1）设集合 则下列关系中正确的是 (B ) （2）集合 的子集有 (D) A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 2.用符号“∈”“∉”“⊆”“⊇”或“=”填空: 3.设集合 ，请写出集合M 的所有子集，并指出其中的真子集. 解析 {a,b}的所有子集是: ∅ ,{a},{b},{a,b}. 其中，除{a，b}外，都是集合M 的真子集. 4.判断下列各组集合之间的关系. (1)集合 与集合 (2)集合( 与集合 解析 5.用符号“∈”“∉”“=”“⫋”“⫌” 填空. (3){a}⫋ {b,c, d,a}; (5){x|x 是正方形} ⫋ {x|x 是矩形} 6.集合{1,2,3}的真子集有 7 个. 解析 ∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3} 7.用恰当的符号填空 (“∈” “∉ ” “=” “⫋” “♀” ) (1)π∉ Q (2) N⫋ Z 8.写出集合 }的所有子集，并说出A有几个非空真子集 解析 {a,b,c,d}的所有子集是 Ø,{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c},{a,c,d},{a,b,d},{b,c,d},{a,b,c,d}.有14个非空真子集 学生独立完成课堂练习，教师巡视课堂，及时发现学生在解题过程中遇到的问题，并给予个别指导。学生完成后，教师组织学生进行小组讨论，交流解题思路和方法，并进行集体订正和总结。 通过课堂练习，检验学生对所学知识的掌握程度，帮助学生巩固和深化所学知识；通过小组讨论和集体订正，培养学生的合作学习能力和自主学习能力。 第五环节：课堂小结环节 集合的各种符号 符号 读作 ∈ 属于 ∉ 不属于 ⊆(⊇) 包含于 (包含) ⊈（⊉） 不包含于 (不包含) ⫋(⫌) 真包含于 (真包含) = 相等 教师引导学生回顾本节课的学习内容，学生积极参与，总结自己所学到的知识和收获。教师根据学生的回答进行补充和总结，并解答学生提出的问题。 通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的学习内容，加深对所学知识的理解和记忆；通过提问学生，了解学生的学习情况和存在的问题，为后续的教学提供参考。 第六环节：作业布置环节 思考探究作业 思考集合子集的个思考集合子集的个数与元素个数之间的关系，即若集合A有n个元素，那么集合A的真子集共有多少个?非空真子集有多少个? 1.基础作业：记忆公式与完成《学习指导与练习》； 2.中等作业：复习集合之间的关系； 3.拓展作业: 预习1.3.1内容. 教师布置作业，明确作业要求。学生记录作业内容，如有疑问可向教师提问。教师根据学生的提问进行解答和说明。 通过分层布置作业，满足不同层次学生的学习需求，巩固学生对本节课所学知识的掌握，培养学生的自主学习能力和探究能力。 六、教学反思 本节课的教学内容是集合之间的关系，包括子集、真子集、集合相等的概念及其符号表示。在教学过程中，我通过生活中的实例导入，激发了学生的学习兴趣和求知欲，为后续的学习做好了铺垫。在新课讲解环节，我通过具体的例子和详细的讲解，帮助学生理解了集合之间的关系，包括子集、真子集、集合相等的概念及其符号表示，使学生能够从元素的角度判断集合之间的关系，并选用恰当的符号进行表示。 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$