专题07 函数的对称性、周期性与图像（八大题型精练）-2025-2026学年高一数学上学期秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

专题7 函数的对称性、周期性与图像变换 题型1 函数的对称性 1．已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知图 对应的函数为 ，则图 对应的函数是（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高三上·福建宁德·月考）已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·陕西咸阳·一模）函数为偶函数，且图象关于直线对称，，则 ． 5．（23-24高三上·甘肃武威·期末）奇函数满足，则 . 6．（24-25高一上·重庆·期中）“定义在上的函数为奇函数”的充要条件为“的图像关于坐标原点对称”，该结论可以推广为“为奇函数”的充要条件为“的图像关于对称”，则函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 题型2 函数的周期性 7．（24-25高三上·江苏盐城·月考）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（    ） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递增 D．函数是周期函数 8．（2024·山东济南·二模）已知函数的定义域为R，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2024·贵州黔西·一模）已知函数的定义域为R，，为奇函数，且，则（    ） A．4047 B．2 C． D．3 10．（23-24高三下·陕西安康·月考）已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（23-24高一上·河南·期中）已知函数，的定义域均为R，为奇函数，为偶函数，，，则 ． 12．（24-25高二上·安徽·开学考试）（多选题）已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．为奇函数 C．是周期为4的函数 D． 题型3 函数性质的综合应用：解不等式 13．（24-25高一下·湖北咸宁·开学考试）已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·广东·周考）已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·湖南·期中）已知函数，则使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高二下·上海·期末）若是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数，，则不等式的解集是 ． 17．（24-25高一下·安徽·周考）若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为 . 18．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 . 19．（23-24高一上·福建南平·月考）已知函数为奇函数．不等式．则的取值范围是 题型4 函数性质的综合应用：比较大小 20．已知定义在R上的奇函数满足，当时，单调递增，则（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高二下·河北沧州·月考）已知函数的图象关于直线对称，且函数在上单调递增.设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 22．（2025·重庆·三模）已知定义域为 的连续函数 满足： ① 为偶函数； ② ； ③ ． 则 的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高三上·河北沧州·月考）已知定义在上的函数满足，，若，且对任意的，，当时，都有恒成立，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 24．定义域为的函数是偶函数，且对任意，．设，，，则． A． B． C． D． 25．（24-25高三上·江苏南通·期末）定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高三上·河南新乡·月考）定义在上的奇函数，其图像关于点对称，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 27．已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（    ）    A． B．和 C． D．和 28．（24-25高一上·江西上饶·周考）已知在上是增函数，是偶函数，的大小关系为 . 题型5 函数性质的综合应用：求参数的范围 29．（24-25高一下·云南昭通·月考）已知函数是定义在上的偶函数，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25高一上·江苏南通·期中）若函数是奇函数，则实数a、b的值分别为（   ） A．1，1 B．， C．，1 D．1， 31．已知为奇函数，则的单调递增区间为 ． 32．（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 33．（24-25高三下·山东·开学考试）已知函数的图象关于点对称，则 ． 题型6 函数图像 34．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 35．（24-25高一下·四川广安·月考）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 36．已知函数，与其相应的的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 37．（24-25高一下·湖南长沙·周考）函数的图象如图所示，则（   ） A．1 B． C．2 D． 38．已知函数，的图象如图所示， 则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 39．函数的部分图象（虚直线方程为）大致是（   ） A． B． C． D． 40．（24-25高一下·上海徐汇·期中）函数的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 题型7 类周期函数 41．已知定义在上的函数，满足，当时，，若方程在区间内有实数解，则实数的取值范围为 . 42．定义在上函数满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是___________． 43．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 44．定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（    ） A． B． C． D． 题型8 函数的新定义 45．（2025·甘肃白银·模拟预测）任意作一条直线分别与定义域均为的函数，，的图象交于点A，B，C，若点B始终为线段AC的中点，则称，是关于的“对称函数”．已知定义域为的函数，，且，是关于的“对称函数”．若，，成立，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 46．（24-25高一下·云南玉溪·期中）对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（   ） A．函数是奇函数 B．函数的值域为 C．函数最小正周期为1 D．不等式的解集为 47．（24-25高一下·四川南充·开学考试）我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数．若的图象的对称中心为，则（    ） A．8088 B．4044 C．2022 D．1011 48．（24-25高一上·陕西西安·期末）设，用表示不超过的最大整数，例如，，．我们把称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费．下列说法正确的是（     ） A． B．函数是偶函数 C．函数的最小值为0 D．，若，则 49．（多选题）对于定义在区间D上的函数，若满足：，且，都有，则称函数为区间D上的“非增函数”，若为区间上的“非增函数”，且，又时，恒成立，则下列命题中正确的有（   ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7 函数的对称性、周期性与图像变换 题型1 函数的对称性 1．已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数图像的识别、奇偶函数对称性的应用 【分析】由题意可知，图乙函数是偶函数，与图甲对照，y轴左侧图象相同，右侧与左侧关于y轴对称，对选项一一利用排除法分析可得答案． 【详解】由图乙知，图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数， 对于A，当时，，甲在y轴右侧图象与图乙的不相同，不合，故A错； 对于B：时，，图乙在x轴下方有图象，故B错． 对于D：当时，，其图象在y轴左侧与图乙的不相同，不合，故D错； 故选:C 2．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知图 对应的函数为 ，则图 对应的函数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图象的变换、奇偶函数对称性的应用 【分析】根据函数与图象关于轴对称判断B，判断函数，的奇偶性，再结合其与函数的图象关系，判断AC，再根据函数关于原点对称判断D， 【详解】函数的图象与函数的图象关于轴对称，不满足要求，B错误； 设，由已知函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 当时，函数的图象与函数的图象相同，且图象关于轴对称，A正确； 设，由已知函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 当时，函数的图象与函数的图象相同，且图象关于轴对称，C错误； 函数的图象与函数的图象关于原点对称，D错误； 故选：A. 3．（24-25高三上·福建宁德·月考）已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图象的变换、奇偶函数对称性的应用 【分析】根据图象平移得到关于原点对称的函数即可得解. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以将函数图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位， 可以得到函数，其图象关于原点对称， 即图象关于原点对称，函数为奇函数. 故选：B 4．（2023·陕西咸阳·一模）函数为偶函数，且图象关于直线对称，，则 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、奇偶函数对称性的应用、由函数对称性求函数值或参数 【分析】根据函数的对称性求出，利用奇偶性求得，再利用函数的奇偶性以及对称性即可求得的值，即得答案. 【详解】由于函数图象关于直线对称，， 故，又为偶函数，故， 则， 故答案为：4 5．（23-24高三上·甘肃武威·期末）奇函数满足，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、奇偶函数对称性的应用 【分析】直接由函数的对称性、奇函数的性质进行转换运算即可. 【详解】由可得的图象关于直线对称，所以. 故答案为：. 6．（24-25高一上·重庆·期中）“定义在上的函数为奇函数”的充要条件为“的图像关于坐标原点对称”，该结论可以推广为“为奇函数”的充要条件为“的图像关于对称”，则函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据题意，由奇函数的定义列出方程，代入计算即可得到结果. 【详解】， 由奇函数的定义可知，，所以， 所以有， 整理得：，所以有, 解得：，，所以的对称中心为. 故选：A. 题型2 函数的周期性 7．（24-25高三上·江苏盐城·月考）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（    ） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递增 D．函数是周期函数 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】奇偶函数对称性的应用、判断或证明函数的对称性、判断证明抽象函数的周期性 【分析】A选项，由为奇函数可判断选项正误；B选项，由为偶函数可判断选项正误；C选项，由AB分析结合在上单调递增可判断选项正误；D选项，由AB选项分析可判断选项正误. 【详解】A选项，由题，因为奇函数，则， 令，得，故A正确； B选项，因为偶函数，则， 即为函数图象的一条对称轴，故B正确； C选项，由，则为图象的一个对称中心， 又在上单调递增，则在上单调递增， 又由B选项可知函数在上单调递减，故C错误； D选项，由AB选项，，又， 则， 则， 即函数是周期为8的函数，故D正确. 故选：C 8．（2024·山东济南·二模）已知函数的定义域为R，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、奇偶函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4，然后由周期性和奇函数的性质可得. 【详解】因为， 所以，即， 又，函数的定义域为R， 所以，是定义域为R的奇函数，所以，， 所以，，故， 所以是以4为周期的周期函数， 所以. 故选：A 9．（2024·贵州黔西·一模）已知函数的定义域为R，，为奇函数，且，则（    ） A．4047 B．2 C． D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】奇偶函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、由函数对称性求函数值或参数 【分析】根据题意，推得，得到是周期为的周期函数，再由，，求得，，结合，即可求解. 【详解】由函数为奇函数，可得关于点对称，且， 所以，即， 又因为，可得， 即，则，所以， 所以函数是周期为的周期函数， 因为，，可得，， 所以. 故选：C. 10．（23-24高三下·陕西安康·月考）已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】抽象函数的奇偶性、判断证明抽象函数的周期性、奇偶函数对称性的应用、由抽象函数的周期性求函数值 【分析】由题意根据函数满足的条件等式，推出函数的一个周期，再利用赋值法求出以及，结合函数周期，即可求得答案. 【详解】由题意知定为域为R的函数满足：为偶函数， 即，即，结合， 得，即， 故，即， 则，故8为函数的一个周期， 由于，，故令，则， 结合，令，得， 对于，令，则， 故， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查了抽象函数的求值问题，解答的关键是根据函数满足的条件，推出函数周期，进而结合赋值法求值，即可求解答案. 11．（23-24高一上·河南·期中）已知函数，的定义域均为R，为奇函数，为偶函数，，，则 ． 【答案】1012 【难度】0.85 【知识点】奇偶函数对称性的应用、由抽象函数的周期性求函数值 【分析】首先根据已知条件得到，从而得到函数的周期为，再根据，求解即可. 【详解】因为为奇函数，所以． 因为为偶函数，所以， 所以． 又因为，所以①， 所以，所以②， ①+②得，所以，所以， 所以函数的周期为， 又因为， 所以． 故答案为：1012． 12．（24-25高二上·安徽·开学考试）（多选题）已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．为奇函数 C．是周期为4的函数 D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、奇偶函数对称性的应用、由抽象函数的周期性求函数值 【分析】运用奇函数性质和对称性得到原函数的周期性，借助赋值可解. 【详解】为奇函数，得到，向右平移1个单位得到，则的图象关于点中心对称,则A正确. 则，的图象关于直线对称, 则，则, 则，则是周期为4的函数.则C正确. 令，则由，知，则..故D正确. 前面式子推不出，故B错误. 故选：ACD. 题型3 函数性质的综合应用：解不等式 13．（24-25高一下·湖北咸宁·开学考试）已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据单调性的定义，在上为增函数，又函数为定义在上的奇函数，所以当时，，当时，即可得解． 【详解】根据题意，在上为增函数， 又函数为奇函数，所以在上也为增函数， 又，所以， 所以当时，， 当时，， 若，则， 又，所以当时，． 故选：D 14．（24-25高一下·广东·周考）已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数是奇函数且在单调递增，即可利用函数单调性解不等式. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且，所以. 因为函数在上单调递增，则该函数在上也单调递增， 当时，，由可得，解得； 当时，，由可得，可得，此时不存在； 当时，，由可得，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：A. 15．（24-25高一下·湖南·期中）已知函数，则使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】先判断函数为偶函数，再由换元法令结合对勾函数的单调性计算可得. 【详解】易知是偶函数， 当时，令，则可转化为， 因为函数在上单调递增，函数是上的增函数， 所以在上单调递增． 由，得，解得． 故选：D 16．（24-25高二下·上海·期末）若是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由题可得，在上单调递增，然后由 或，可得答案. 【详解】因是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数， 则，在上单调递增. 则， 又或， 由，可得不等式组无解，由可得. 综上可得满足题意. 故答案为： 17．（24-25高一下·安徽·周考）若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】构造新函数，根据题意分析判断的奇偶性和单调性，分类讨论结合的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】令，由条件③可得，，且， 所以函数在上单调递减， 又为偶函数，且， 则，所以为奇函数，且， 所以在上单调递减，， 所以当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 18．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据条件，利用偶函数的性质，得到，即可求解. 【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数， 由，得到，整理得到，解得或， 故答案为：. 19．（23-24高一上·福建南平·月考）已知函数为奇函数．不等式．则的取值范围是 【答案】 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】由奇函数性质得，注意验证，再由，令应用定义判断单调性，最后根据奇函数和单调性求的取值范围. 【详解】由题设，函数定义域为R且为奇函数，则，故， 所以，满足题设， 则，而， 令，则， 所以，故， 所以在上递减，故. 所以的取值范围为. 故答案为： 题型4 函数性质的综合应用：比较大小 20．已知定义在R上的奇函数满足，当时，单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值、比较函数值的大小关系 【分析】利用函数的奇偶性、周期性、单调性比较函数值的大小. 【详解】，∴函数是周期为4的周期函数，， 又因为当时，单调递增，，即． 故选：B. 21．（24-25高二下·河北沧州·月考）已知函数的图象关于直线对称，且函数在上单调递增.设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】首先得到函数的图象关于直线对称，且函数在上单调递增，函数在上单调递减，结合即可得解. 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以. 所以，. 又因为函数在上单调递增， 且， 所以，即. 故选：D 22．（2025·重庆·三模）已知定义域为 的连续函数 满足： ① 为偶函数； ② ； ③ ． 则 的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】根据①得关于直线对称，再得其关于点对称，则得到其周期性，再利用其单调性即可比较大小. 【详解】由①，有关于直线对称； 由②，令，则，有关于点对称； 则，又因为，则， 则，则，则， 则的周期为12，故； 由③，知在单调递增，关于点对称， 在单调递增，又在上连续， 在单调递增，故有， 即． 故选：C. 23．（24-25高三上·河北沧州·月考）已知定义在上的函数满足，，若，且对任意的，，当时，都有恒成立，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用、求函数值 【分析】根据已知可得，，再结合，可判断ABC选项，根据C选项及函数单调性可知函数在上为定值，即可判断D选项. 【详解】由已知，， 令，则，即， 令，则，即， 又，即， 所以，，A，B选项错误； 又， ， 即，C选项错误； 又任意的，，当时，都有恒成立， 所以当时，为定值， 又，所以，D选项正确； 故选：D. 24．定义域为的函数是偶函数，且对任意，．设，，，则． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【解析】根据题意，函数为偶函数且在单调递减，将所求函数值转化成的函数值进行比较即可. 【详解】由题：对任意， 任取，因为，则， 即，所以函数在单调递减 函数是定义域为的偶函数，所以， ，所以 故选：A 【点睛】此题考查通过函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小，关键在于准确判断函数的单调性，将所求值转化到同一单调区间利用单调性比较大小. 25．（24-25高三上·江苏南通·期末）定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较函数值的大小关系、函数周期性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】根据题意得到的图象的对称轴是，周期是8，进一步有，结合单调性即可得解. 【详解】定义在上的奇函数满足， 则的图象的对称轴是， 所以， 则， 则，所以的周期是8， 所以， 因为在上单调递增， 所以. 故选：D. 26．（23-24高三上·河南新乡·月考）定义在上的奇函数，其图像关于点对称，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】依题意可得，又，即可得到，从而得到是周期为的周期函数，再根据函数在上的单调性，得到函数在上的单调性，即可比较大小. 【详解】根据题意，为奇函数且在上单调递增，则在上为增函数， 故在上为增函数， 又为奇函数，则， 而的图象关于点对称，则， 则有，即，即函数是周期为的周期函数， 故，，，则有． 故选：A． 27．已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（    ）    A． B．和 C． D．和 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求函数的单调区间、函数图象的应用 【分析】根据函数图象直接确定递增区间即可. 【详解】由图象知，该函数的单调递增区间为和， 故选：B． 28．（24-25高一上·江西上饶·周考）已知在上是增函数，是偶函数，的大小关系为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、奇偶函数对称性的应用 【分析】根据是偶函数，可得关于直线对称，将转化为和，根据在上的单调性，即可得结果. 【详解】因为是偶函数， 所以函数关于直线对称，即. 所以，， 又在上是增函数，且，故. 故答案为：. 题型5 函数性质的综合应用：求参数的范围 29．（24-25高一下·云南昭通·月考）已知函数是定义在上的偶函数，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求参数 【分析】利用函数的奇偶性求出的值，再根据函数单调性求最值即可. 【详解】是定义在上的偶函数， ，. 又，，. 所以，，. 故选：C. 30．（24-25高一上·江苏南通·期中）若函数是奇函数，则实数a、b的值分别为（   ） A．1，1 B．， C．，1 D．1， 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义，分别对和的情况进行分析，从而求出和的值. 【详解】已知时，. 当时，，根据函数表达式，.   因为是奇函数，所以. 当时，. 由可得. 对于，等式两边对应项系数相等. 对于的系数，可得，解得. 对于的系数，可得.   故，. 故选：D. 31．已知为奇函数，则的单调递增区间为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的性质可得，结合二次函数单调性分析求解即可. 【详解】令，解得可知函数的定义域为， 因为为奇函数，则，解得， 则，可得， 可知为奇函数，即符合题意， 则，该二次函数图象的开口向上，对称轴为直线， 所以的单调递增区间是． 故答案为：. 32．（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【答案】4048 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数 【分析】将函数，化简为，，构造函数，判断奇偶性，根据奇函数的性质，即可求得答案. 【详解】由题意 ，， 令，， 则，即为奇函数， 则， 结合函数（）的最大值为，最小值为， 得，则， 故答案为：4048 33．（24-25高三下·山东·开学考试）已知函数的图象关于点对称，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、由对称性求函数的解析式 【分析】由已知可得为奇函数，结合奇函数性质列方程求，由此可得结论. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以函数的图象关于点对称， 所以函数为奇函数，故， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 题型6 函数图像 34．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】奇偶函数对称性的应用、根据解析式直接判断函数的单调性、根据函数图象选择解析式 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 35．（24-25高一下·四川广安·月考）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别 【分析】应用奇偶性定义判断函数奇偶性，结合的函数符号，应用排除法即可得. 【详解】令且定义域为R，，即为奇函数，排除C、D； 当时，恒成立，排除B. 故选：A 36．已知函数，与其相应的的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求函数值、函数图象的变换、由函数的周期性求函数值 【分析】找出与的关系，再将问题转化为求上某点的纵坐标即可. 【详解】函数是函数向左平移1个单位得到， 因函数的周期，则周期也为4， A选项：对应中的值，由图象知，错误； B选项：对应中的值，由图象知，错误； C选项：，则，又对应中的值， 由图象知，即，正确； D选项：，则，错误． 故选：C． 37．（24-25高一下·湖南长沙·周考）函数的图象如图所示，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求函数值、函数图象的应用 【分析】根据图像可确定函数定义域，得到的值，又图像过代入可求，得到函数的解析式即可求. 【详解】由图可知函数的定义域为，又定义域为，所以，图像过，， 所以，则， 故选：C. 38．已知函数，的图象如图所示， 则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别 【详解】是偶函数，是奇函数，故是奇函数，且在处没有意义． 39．函数的部分图象（虚直线方程为）大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别 【详解】根据的奇偶性排除CD；判断时，的符号可排除B，从而得到结果． 【分析】对于函数，由可得，故函数的定义域为， ，故函数为奇函数，可排除CD选项， 当时，，可排除B，从而可得A正确. 故选：A. 40．（24-25高一下·上海徐汇·期中）函数的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别 【分析】利用特殊值，分类讨论，借助反比例函数、对勾函数的图象与性质以及函数单调性的性质进行排除. 【详解】当a＝0时，，为反比例函数，对应D中图象， 当时，是对勾函数，函数为奇函数，且时，在上单调递减，在上单调递增，对应C中图象， 当时，为奇函数，且时，，均单调递减，故在单调递减，对应B中图象， 综上只有A不可能， 故选：A 题型7 类周期函数 41．已知定义在上的函数，满足，当时，，若方程在区间内有实数解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分别求出，，的解析式，画出的图象，由图象即可求解. 【详解】当时，则， 所以，即， 当时，则， 所以，即， 则， 当时，则， 所以，即， 画出的图象如下：      由图象可知，当时，方程在区间内有实数解， 所以实数的取值范围为 42．定义在上函数满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由，根据，即，依此类推，作出函数的图象求解． 【详解】因为当，时，， 所以， 因为， 当，时，即时， 所以，即， 当，，即，时，， 当，，即，时，， 所以， 依此类推，作出函数的图象，如图所示： 由图象知：，,当时，， 当时, 因为对任意，，都有， 则，解得：， 故答案为： 43．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题设条件可得当时，，其中，结合函数在上的解析式和函数在的图象可求的取值范围. 【详解】 当时，，故， 因为， 故当时，，， 同理，当时，， 依次类推，可得当时，，其中. 所以当时，必有. 如图所示，因为当时，的取值范围为， 故若对任意，都有，则， 令，或， 结合函数的图象可得， 故选：D. 【点睛】 思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点. 44．定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得在区间上，可得，作出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】由函数满足，且当时， 当时，可得； 当时，可得， 所以在区间上，可得， 作函数的图象，如图所示， 所以当时，， 故选：B.    题型8 函数的新定义 45．（2025·甘肃白银·模拟预测）任意作一条直线分别与定义域均为的函数，，的图象交于点A，B，C，若点B始终为线段AC的中点，则称，是关于的“对称函数”．已知定义域为的函数，，且，是关于的“对称函数”．若，，成立，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、函数新定义 【分析】根据对称函数定义，确定的表达式；再通过给定条件分析的取值范围. 【详解】因为，是关于的“对称函数”， 所以，定义域为， . 令，， 在时取得最大值，在或时取得最小值. 则，，， 又，所以，那么. 由在上单调递增，可得的值域为， 因为，，成立， 所以. 则，解得. 故选：D． 46．（24-25高一下·云南玉溪·期中）对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（   ） A．函数是奇函数 B．函数的值域为 C．函数最小正周期为1 D．不等式的解集为 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数的周期性的定义与求解、解不含参数的一元二次不等式、函数新定义 【分析】对于A，通过举反例排除；对于B，由取整函数的定义得，即可求得函数值域；对于C，利用函数的周期性定义推得为整数，再利用验证得即可；对于D，利用取整函数的定义求出解集即可. 【详解】对于A，因为当时，，当时，， 即，即函数不是奇函数，故A错误； 对于B，由取整函数的定义可知，，则， 即函数的值域为，故B错误； 对于C，不妨设函数最小正周期为，则，且， 取，即得，即，则为整数， 又因，， 故函数的最小正周期为1，故C正确； 对于D，由可得：，解得， 而是整数，则得，故，即不等式的解集为，故D错误. 故选：C. 47．（24-25高一下·四川南充·开学考试）我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数．若的图象的对称中心为，则（    ） A．8088 B．4044 C．2022 D．1011 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用 【分析】根据对称性的定义求出函数的对称中心为，可得，结合对称性进行配对求和即可. 【详解】若函数图象的对称中心为，则为奇函数， 即为奇函数， 必有且，解得， 所以的图象的对称中心为，即有， ，，，， 所以， ， . 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题关键是确定的对称中心，解题时根据定义，利用是奇函数，得出图象的对称中心，然后函数值配对求和． 48．（24-25高一上·陕西西安·期末）设，用表示不超过的最大整数，例如，，．我们把称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费．下列说法正确的是（     ） A． B．函数是偶函数 C．函数的最小值为0 D．，若，则 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】函数新定义、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据取整函数的定义，对每个选项逐一进行分析判断，从而确定正确答案. 【详解】选项A： 因为，根据取整函数表示不超过的最大整数， 所以，而不是，A选项错误. 选项B： 函数的定义域为，关于原点对称，， 例如时，， ； ，所以不是偶函数，B选项错误. 选项C： 设，当时，，则，此时， 所以的值域是，其最小值为，C选项正确， 选项D： 若，设，，，， 那么，所以，所以不存在， 使得当时，，D选项错误. 故选：C 【点睛】方法点睛 对于涉及取整函数的题目，关键是要准确理解取整函数的定义，即不超过的最大整数，研究函数的性质（如奇偶性、最值等）时，要根据函数的表达式，结合定义进行分析，对于奇偶性，要判断与的关系；对于最值，要先确定函数的取值范围. 49．（多选题）对于定义在区间D上的函数，若满足：，且，都有，则称函数为区间D上的“非增函数”，若为区间上的“非增函数”，且，又时，恒成立，则下列命题中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】求函数值、判断或证明函数的对称性、函数新定义、函数不等式恒成立问题 【分析】结合已知条件令求解判断A，先根据对称得的图象关于对称，然后结合题干通过“非增函数”定义得，进而利用“非增函数”定义判断B，利用题干法则得，由B知，进而利用“非增函数”定义得判断C，根据“非增函数”定义先求得，然后求解即可判断D. 【详解】对于A，令，则，又因为，所以，故A正确； 对于B．因为，所以的图象关于对称， 当时，；当时，恒成立， 令，所以，又因为为区间上的“非增函数”， 则，所以，所以，故B错误； 对于C，因为， 由B知，当时，，所以， 因为，则， 所以，故C正确； 对于D，，即， 所以由C知，故D正确． 故选：ACD． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$