因式分解讲义（考点梳理+4大题型+强化训练）-2025-2026学年初升高衔接

第02讲 因式分解 目录： 1、 考点梳理 ……………………………………………………………………1 考点1 公式法 …………………………………………………………………………1 考点2 分组分解法 ……………………………………………………………………1 考点3 十字相乘法 ……………………………………………………………………1 2、 题型归纳 ………………………………………………………………2 题型一 提取公因式法和公式法 ………………………………………………………2 题型二 分组分解法 ……………………………………………………………3 题型三 十字相乘法 ………………………………………………………………3 题型四 因式定理法（大除法） ……………………………………………………4 3、 专题强化训练 ………………………………………………………4 考点梳理 考点1 公式法 ① 平方差公式： ② 完全平方公式： ③ 完全立方公式： ④ （完全平方公式） ⑤ (立方和公式) ⑥ (立方差公式) 考点2 分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 考点3 十字相乘法 1．型的因式分解 ⑴ 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． . 因此，. ⑵一般二次三项式型的因式分解 大家知道，． 反过来，就得到： 我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，那么就可以分解成． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 题型归纳 题型一 提取公因式法和公式法 1．（24-25高一上·广东深圳·开学考试）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一上·河北保定·专题练习）把多项式分解得（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川内江·开学考试）把分解因式的结果是（ ） A． B． C． D． 4．（2025高一·全国·专题练习）将因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·江苏宿迁·开学考试）已知，，则的值是 ． 7．（2025高一·全国·专题练习）分解下列因式： （1） ； （2） ； （3） ． 8．（22-23高一上·江苏宿迁·开学考试）已知，，则的值是 ． 9．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则的值为 . 题型二 分组分解法 1．（2025高一·全国·专题练习）已知（   ），则括号内是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东佛山·开学考试）因式分解（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川成都·开学考试）已知，，求代数式的值 . 4．（2025高一·全国·专题练习）分解因式： ． 5．（2025高一·全国·专题练习）将因式分解的结果是 ． 题型三 十字相乘法 1．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 2．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1)； (2)； (3)；(4)； (5) 3．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1)； (2)； (3)；(4) (5) 题型四 因式定理法（大除法） 1．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）计算：. 2．（2025高一·全国·专题练习）已知，，求的值． 专题强化训练 1．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1) (2) (3) (4) (5) 2．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1) (2) (3) (4) (5) 3．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1) (2) (3) (4) (5) 4．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1) (2) (3) (4) (5) 5．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1) (2) (3) (4) (5) 6．（23-24高一上·浙江台州·开学考试）（1）计算：； （2）分解因式：①；②. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 因式分解 目录： 1、 考点梳理 ……………………………………………………………………1 考点1 公式法 ……………………………………………………………………1 考点2 分组分解法 …………………………………………………………1 考点3 十字相乘法 …………………………………………………………1 2、 题型归纳 ………………………………………………………………2 题型一 提取公因式法和公式法 …………………………………………………2 题型二 分组分解法 …………………………………………………………3 题型三 十字相乘法 …………………………………………3 题型四 因式定理法（大除法） ………………………………………………4 3、 专题强化训练 ………………………………………………………5 考点梳理 考点1 公式法 ① 平方差公式： ② 完全平方公式： ③ 完全立方公式： ④ （完全平方公式） ⑤ (立方和公式) ⑥ (立方差公式) 考点2 分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 考点3 十字相乘法 1．型的因式分解 ⑴ 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． . 因此，. ⑵一般二次三项式型的因式分解 大家知道，． 反过来，就得到： 我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，那么就可以分解成． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 题型归纳 题型一 提取公因式法和公式法 1．（24-25高一上·广东深圳·开学考试）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A选项，，故该选项符合题意； B选项，，故该选项不符合题意； C选项，，故该选项不符合题意； D选项， ，故该选项不符合题意． 故选：A． 2．（2025高一上·河北保定·专题练习）把多项式分解得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D 3．（24-25高一上·四川内江·开学考试）把分解因式的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知, 故选：A 4．（2025高一·全国·专题练习）将因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 故选：A. 5．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故选：C. 6．（22-23高一上·江苏宿迁·开学考试）已知，，则的值是 ． 【答案】19 【详解】∵，， ∴. 故答案为：19． 7．（2025高一·全国·专题练习）分解下列因式： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 ； ； 【详解】（1） （2） （3） 8．（22-23高一上·江苏宿迁·开学考试）已知，，则的值是 ． 【答案】19 【详解】∵，， ∴. 故答案为：19． 9．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则的值为 . 【答案】 【详解】已知，则， 故答案为： 题型二 分组分解法 1．（2025高一·全国·专题练习）已知（   ），则括号内是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由分组分解法：. 故选：D 2．（24-25高一上·广东佛山·开学考试）因式分解（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由. 故选：B. 3．（24-25高一上·四川成都·开学考试）已知，，求代数式的值 . 【答案】18 【详解】由，，得. 故答案为：18 4．（2025高一·全国·专题练习）分解因式： ． 【答案】 【详解】原式. 故答案为：. 5．（2025高一·全国·专题练习）将因式分解的结果是 ． 【答案】 【详解】． 故答案为：. 题型三 十字相乘法 1．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)； (5) 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） 2．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1)； (2)； (3)；(4)； (5) 【答案】(1)；(2)；(3)； (4)；(5) 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） 3．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1)； (2)； (3)；(4) (5) 【答案】(1)；(2)；(3)； (4)；(5) 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） 题型四 因式定理法（大除法） 1．（24-25高一上·江西赣州·开学考试）计算：. 【答案】. 【详解】 . 2．（2025高一·全国·专题练习）已知，，求的值． 【答案】 【详解】由， 又由已知，， 得. 专题强化训练 1．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)；(2)；(3) (4)；(5) 【详解】（1）解：由方程，解得或， 所以. （2）解：由十字相乘法，可得. （3）解：由提取公因式法，可得. （4）解：由提取公因式法，可得. （5）解：由提取公因式法，可得. 2．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)；(2)；(3) (4)；(5) 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 3．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)；(2)；(3) (4)；(5) 【详解】（1）； （2） （3） （4） （5） 4．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)；(2) (3)；(4)；(5) 【详解】（1）令，由求根公式可得：， 所以 （2）由，由求根公式可得：， 所以 （3） （4） （5） 5．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)；(2)；(3)； (4)；(5). 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5） . 6．（23-24高一上·浙江台州·开学考试）（1）计算：； （2）分解因式：①；②. 【答案】（1） ；（2）①；② 【详解】（1）因为， 所以， （2）①因为 所以， ②因为， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$