诱导公式讲义-2025届高三数学二轮复习

授课主题 1.4（二）诱导公式 知 识 梳 理 l．公式内容 (1)， (2) (3)， (4) (5)， 2.记忆口诀：可概括为“奇变偶不变，符号看象限”： ①“变”与“不变”是针对互余关系的函数名而言的，正弦变余弦、余弦变正弦． ②“奇”“偶”是对k·±α(k∈Z)中的整数k来讲的． ③“象限”指k·±α(k∈Z)中，将α看成锐角时，k·±α(k∈Z)所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦 例题讲解 考点一 给角求值问题 例1、求下列各式的值． (1)；(2)；(3)．(4)；(5). 例2、求的值． 例3、求下列三角函数值 （1） ； （2） 例4、（1）已知，求的值． （2）已知，且为第四象限角，求sin(105°+)的值． 考点二 化简求值问题 例1、化简：． 例2、已知的终边与单位圆交于点，且为第二象限角，试求的值． . 例3、化简：. 考点三 给值(或式)求值问题 例1、已知 ，则的值为(    ) A． B． C． D． 例2、若=，则等于(    ) A． B． C． D． 例3、已知，且，则(    ) A． B． C． D． 举一反三 1．的值是(    ) A． B． C． D． 2．已知角的终边经过点，则(    ) A． B． C． D． 3．.求下列各值. (1)；(2) ；(3)；(4)(5)；(6)；(7)． 4.（1）（2）sin810°+sin750°+cos360° 5. ． 6. 化简：，其中k∈Z． 7.（1）；（2）sin（―1740°）·cos1470°+cos（―660°）+sin750°。 8. 设，其中a，b，，都是非零实数，若f（2006）=1，求f（2010）的值。 9. 已知，其中为第三象限角，求cos(105°―)+sin(―105°)的值． 10．已知，则的值等于(    ) A． B． C． D． 11．已知，则等于 ． 12．化简（1）；（2），． 课 后 作 业 1．(    ) A． B． C． D． 2．已知角的终边经过点，则(    ) A． B． C． D． 3．，那么(    ) A． B． C． D． 4.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则(    ) A． B． C． D． 5．点在直角坐标平面上位于(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6.求值：=(    ) A． B． C． D． 7．点位于(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．计算：＝ ． 9．(多选)下列各式中值为的是(    ) A． B． C． D． 10.(多选)已知，则下列式子恒成立的是(    ) A． B． C． D． 11．(多选)下列结论正确的有(    ) A． B． C． D． 12. sin315°―cos135°+2sin570°的值是________。 13．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数(且)的定点M.则 14．已知 15.(1)化简； (2)化简； (3)化简； (4)已知，求的值. 16．在△ABC中，若，，求△ABC的三个内角。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 1.4（二）诱导公式 知 识 梳 理 l．公式内容 (1)， (2) (3)， (4) (5)， 2.记忆口诀：可概括为“奇变偶不变，符号看象限”： ①“变”与“不变”是针对互余关系的函数名而言的，正弦变余弦、余弦变正弦． ②“奇”“偶”是对k·±α(k∈Z)中的整数k来讲的． ③“象限”指k·±α(k∈Z)中，将α看成锐角时，k·±α(k∈Z)所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦 例题讲解 考点一 给角求值问题 例1、求下列各式的值． (1)；(2)；(3)．(4)；(5). 【答案】(1)(2)(3)(4)；(5) 【解析】(1)． (2)． (3) (4). (5)原式 . 例2、求的值． 【答案】1 【解析】原式= = = = 例3、求下列三角函数值 （1） ； （2） 【答案】（1）（2） 【解析】（1）原式= =+ === （2）原式= = = = = 例4、（1）已知，求的值． （2）已知，且为第四象限角，求sin(105°+)的值． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）∵， ∴． （2）∵，且为第四象限角，∴―75°是第三象限角， ∴， ∴． 考点二 化简求值问题 例1、化简：． 【解析】原式＝ ． 例2、已知的终边与单位圆交于点，且为第二象限角，试求的值． 【答案】 【解析】由题意得，解得， 因为为第二象限角，可得，所以，所以， 所以. 例3、化简：. 【解析】①当时，原式. ②当时，原式 考点三 给值(或式)求值问题 例1、已知 ，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得， 则.故选：D. 例2、若=，则等于(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D. 例3、已知，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，又，所以 故选：D 举一反三 1．的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A. 2．已知角的终边经过点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由三角函数的定义可得，则.故选：D 3．.求下列各值. (1)；(2) ；(3)；(4)(5)；(6)；(7)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)(5)(6)(7)1 【解析】(1)； (2)； (3)； (4). (5)． (6). (7)． 4.（1）（2）sin810°+sin750°+cos360° 【答案】（1）（2） 【解析】（1）原式． （2）原式= sin(2×360°+90°)+sin(2×360°+30°)+cos(0°+360°)=sin90°+sin30°+cos0°=． 5. ． 【答案】 【解析】(1) ． 6. 化简：，其中k∈Z． 【解析】当时， 原式== = = 当时 原式= = === 7.（1）；（2）sin（―1740°）·cos1470°+cos（―660°）+sin750°。 【答案】（1）（2）1 【解析】（1）原式 。 （2）原式=sin(―10×180°+60°)·cos(8×180°+30°)+cos(―4×180°+60°)·sin(4×180°+30°)=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°=. 8. 设，其中a，b，，都是非零实数，若f（2006）=1，求f（2010）的值。 【答案】1 【解析】 由，即，得。 故 9. 已知，其中为第三象限角，求cos(105°―)+sin(―105°)的值． 【答案】 【解析】 ∵cos(105°－)=cos[180°－(75°+)]=－cos(75°+)=, sin(―105°)=―sin[180°－(75°+)]=－sin(75°+)， ∵为第三象限角，∴75°+为第三、四象限角或终边落在y轴负半轴上． 又cos(75°+)=＞0，∴75°+为第四象限， ∴． ∴． 10．已知，则的值等于(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为.故选：B. 11．已知，则等于 ． 【答案】 【解析】.故答案为： 12.化简（1）；（2），． 【解析】（1） （2）由(kπ+)+(kπ―)=2kπ，[(k―1)π―]+[(k+1)π+]=2kπ， 得， ． 故原式． 【总结】 常见的一些关于参数k的结论： （1）； （2）； （3）； （4）． 课 后 作 业 1．(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A. 2．已知角的终边经过点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D 3．，那么(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以.故选：D. 4.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意得,又因为，所以有.故选：. 5．点在直角坐标平面上位于(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】， ，所以在第二象限.故选：B 6.求值：=(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】原式＝ .故选：A 7．点位于(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】 . 同理，， 所以点P位于第一象限．故选：A． 8．计算：＝ ． 【答案】 【解析】原式=== 9．(多选)下列各式中值为的是(    ) A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误；故选：BC 10.(多选)已知，则下列式子恒成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由，所以A正确； 由，所以B不正确； 由，所以C正确； 由，所以D不正确.故选：AC. 11．(多选)下列结论正确的有(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A项：，A正确； B项：因为， 所以，B正确； C项：因为， 所以，C错误； D项：，D正确，故选：ABD. 12.sin315°―cos135°+2sin570°的值是________。 【答案】―1 【解析】原式=sin(360°―45°)―cos(180°―45°)+2sin(360°+210°)=―sin45°+cos45°+2sin210°=―2sin30°=―1。 13．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数(且)的定点M.则 【答案】 【解析】由，得，，即点，， 因此， 所以.故答案为： 14．已知 【答案】-1 【解析】.故答案为：-1 15.(1)化简； (2)化简； (3)化简； (4)已知，求的值. 【答案】(1)， (2)0， (3) ，(4) 【解析】(1)原式 ． (2)由诱导公式可得，. (3)由诱导公式可得，. (4)由可得， . 16．在△ABC中，若，，求△ABC的三个内角。 【解析】由已知得，，两式平方相加得2cos2A=1，∴，若，则，此时A、B均为钝角，不符合题意。 ∴，∴， ∴，，。 学科网（北京）股份有限公司 $$