1.4（一）单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义及基本性质讲义-2025届高三数学二轮专题复习

授课主题 1.4（一）单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义及基本性质 知 识 梳 理 1．单位圆定义： 在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆称为单位圆． 作用：单位圆是研究三角函数的有利工具． 2．任意角的正弦、余弦函数的定义 在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数，记作；点P的横坐标u叫作角α的余弦函数，记作．若用x表示角的大小，y表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角函数y＝sinx，y＝cos x(x∈R)． 注意：(1)三角函数值只与角的终边所在位置有关，与P点在终边上的位置无关． (2)设角终边上任一点P(x，y)，，则，． (3)定义域：和的定义域都是R．值域：和的值域都是[-1，1]． 3．三角函数值在各象限的符号 （1）口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图). （2）根据三角函数的定义可知： a.正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号； b.余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号； c.正切函数值的符号是由x，y的符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负.　　　 例题讲解 考点一 坐标法求三角函数值 例1、已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则(    ) A． B． C． D． 例2、已知角的顶点为原点，起始边为轴非负半轴，若点是角终边上一点，且，则(    ) A． B． C． D． 例3、已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为(    ) A． B． C． D． 例4、（1）已知角的终边经过点P（－4a，3a）（a≠0），求sin，cos的值． （2）已知角的终边在直线上，求sin，cos的值。 考点二 三角函数值在各象限的符号 例1、若且，则的终边所在象限为(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例2、当x为第二象限角时， (    ) A．1 B．0 C．2 D．－2 例3、判断下列各三角函数值的符号 （1）；（2）sin269°；（3）cos191°． 例4、（1）若sin＜0，cos＞0，则是第几象限角？ （2）若sin2＞0，且cos＜0，试确定终边所在象限？ 举一反三 1．若，且角的终边经过点，则(    ) A． B． C． D． 2．已知角的终边落在直线上，则的值为(    ) A． B． C． D． 3．(多选)已知角的终边经过点，则的值可能为(    ) A． B． C． D． 4.(多选)已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则(    ) A． B． C． D． 5.已知角的终边在直线上，求sin，cos的值． 6.已知角的终边上一点，且，求的值. 7.已知角的终边落在y=|2x|上，求值。 8.确定下列各三角函数值的符号. （1）；（2）；（3）（4），其中是第二象限角. 9.若sin＜0，cos＞0，则是第几象限角？ 10．已知，则的值等于（ ） A．―1 B．1 C． D．0 11．已知角的终边过点P（－3cos，4cos），其中，求sin，cos的值． 12..求函数的值域。 课 后 作 业 1．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，若角的终边过点，则(  ) A． B． C． D． 2.“为第一象限角”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知角满足，，则的终边在(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若是角终边上一点，且，则 ． 5．角的终边经过点，那么的值为（ ） A． B． C． D． 6．若角的终边上有一点，则的值是（ ） A． B． C． D． 7．设角属于第二象限，且，则角属于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8．若为锐角且，则的值为（ ） A． B． C． D． 9．若cos＞0，且sin2＜0，则角的终边所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10.已知角的终边经过点，则 。 11.已知角终边上一点，且。求的值。 12．角的顶点为坐标原点，终边在直线上，且。若是终边上的一点，且，求的值。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 1.4（一）单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义及基本性质 知 识 梳 理 1．单位圆定义： 在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆称为单位圆． 作用：单位圆是研究三角函数的有利工具． 2．任意角的正弦、余弦函数的定义 在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数，记作；点P的横坐标u叫作角α的余弦函数，记作．若用x表示角的大小，y表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角函数y＝sinx，y＝cos x(x∈R)． 注意：(1)三角函数值只与角的终边所在位置有关，与P点在终边上的位置无关． (2)设角终边上任一点P(x，y)，，则，． (3)定义域：和的定义域都是R．值域：和的值域都是[-1，1]． 3．三角函数值在各象限的符号 （1）口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图). （2）根据三角函数的定义可知： a.正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号； b.余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号； c.正切函数值的符号是由x，y的符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负.　　　 例题讲解 考点一 坐标法求三角函数值 例1、已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，由三角函数的定义可知，点为角的终边与单位圆的交点，所以：. 例2、已知角的顶点为原点，起始边为轴非负半轴，若点是角终边上一点，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点是角终边上一点，且， 由三角函数的定义可得，则，解得.故选：B. 例3、已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为角终边上一点的坐标为，所以有， 因为，所以角是第四象限角，所以角的最小正值为， 故选：D 例4、（1）已知角的终边经过点P（－4a，3a）（a≠0），求sin，cos的值． （2）已知角的终边在直线上，求sin，cos的值。 【答案】（1），或， ；（2）或 【解析】（1） ． 若a＞0，则r=5a，是第二象限角，则 ， ， 若a＜0，则r=－5a，是第四象限角，则 ，． （2）因为角的终边在直线上， 所以可设为角终边上任意一点。 则（a≠0）。 若a＞0，则为第一象限角，r=2a，所以 ， 。 若a＜0，则为第三象限角，r=－2a，所以，。 考点二 三角函数值在各象限的符号 例1、若且，则的终边所在象限为(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】因为，则的终边在第三、四象限或轴负半轴上， 因为，则的终边在第一、三象限， 因此，的终边所在象限为第三象限.故选：C. 例2、当x为第二象限角时， (    ) A．1 B．0 C．2 D．－2 【答案】C 【解析】因为是第二象限角，所以，故选：C 例3、判断下列各三角函数值的符号 （1）；（2）sin269°；（3）cos191°． 【答案】（1）负（2）负（3）负 【解析】（1）因为，且是第三象限角，所以是第三象限角．所以． （2）∵269°是第三象限的角，∴sin269°＜0． （3）∵191°是第三象限的角，∴cos191°＜0． 例4、（1）若sin＜0，cos＞0，则是第几象限角？ （2）若sin2＞0，且cos＜0，试确定终边所在象限？ 【答案】（1）四（2）三 【解析】（1）因为sin＜0，所以为第三或第四象限角，又cos＞0，所以为第一或第四象限角， 所以为第四象限角。 （2）因为sin2＞0，所以2kπ＜2＜2kπ+π（k∈Z），所以（k∈Z）。 当k为偶数时，是第一象限；当k为奇数是，为第三象限象。所以为第一或第三象限角。 又因为cos＜0，所以为第二或第三象限角，或终边在x轴的非正半轴上。 综上知，角终边在第三象限。 举一反三 1．若，且角的终边经过点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得，， 根据三角函数的定义可得，所以，，且， 所以，.故选：D． 2．已知角的终边落在直线上，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线上任意一点P的坐标为()， 则(O为坐标原点)， 根据正弦函数的定义得：， 时，； 时，， 所以选项D正确，选项A，B，C错误， 故选：D. 3．(多选)已知角的终边经过点，则的值可能为(    ) A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】已知角的终边经过点 所以， 则当时，，此时； 当时，，此时； 所以的值可能为或. 故选：CD. 4.(多选)已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且， 所以， 所以， 由，可知，所以角为第二象限的角，所以， 所以，所以A错误，B正确， 所以，，所以CD正确， 故选：BCD 5.已知角的终边在直线上，求sin，cos的值． 【答案】或 【解析】因为角的终边在直线上，所以可设为角终边上任意一点． 则（a≠0）． 若a＞0，则为第一象限角，r=2a，所以，． 若a＜0，则为第三象限角，r=－2a，所以，． 6.已知角的终边上一点，且，求的值. 【解析】由题设知，，所以，得， 从而，解得或. 当时，， ； 当时，， ； 当时，， . 7.已知角的终边落在y=|2x|上，求值。 【答案】或 【解析】 y=|2x|，取点P（1，2），； 或 8.确定下列各三角函数值的符号. （1）；（2）；（3）（4），其中是第二象限角. 【答案】（1）正（2）正（3）正（4）负 9.若sin＜0，cos＞0，则是第几象限角？ 【答案】四 【解析】因为sin＜0，所以为第三或第四象限角， 又cos＞0，所以为第一或第四象限角， 所以为第四象限角． 10．已知，则的值等于（ ） A．―1 B．1 C． D．0 【答案】A 【解析】。 11．已知角的终边过点P（－3cos，4cos），其中，求sin，cos的值． 【解析】因为，所以cos＜0，所以． 于是，． 12..求函数的值域。 【答案】{－2，0，2} 【解析】 由题意知，角x的终边不在坐标轴上。 当x是第一象限角时，； 当x是第二象限角时，； 当x是第三象限角时，； 当x是第四象限角时，， 故函数的值域为{－2，0，2} 课 后 作 业 1．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，若角的终边过点，则(  ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为角的终边过点，且， 由三角函数的定义，可得，， 所以.故选：D 2.“为第一象限角”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若为第一象限角则必有； 反之，若，则为第一或第四象限角.故选：A. 3．已知角满足，，则的终边在(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由，得角是第三或第四象限角； 又，得角是第一或第四象限角. 综上，的终边在第四象限．故选：D 4．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若是角终边上一点，且，则 ． 【答案】 【解析】根据正弦值为负数，判断角在第三､四象限，再加上横坐标为正， 断定该角为第四象限角．. 故答案为： 5．角的终边经过点，那么的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由。 6．若角的终边上有一点，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，解得。 7．设角属于第二象限，且，则角属于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【解析】 当时，在第一象限；当时，在第三象限； 而，在第三象限； 8．若为锐角且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 9．若cos＞0，且sin2＜0，则角的终边所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】 利用三角函数值的符号，确定角的象限。 ∵cos＞0，sin2＜0，∴（k∈Z） 即（k∈Z）。 当k为奇数时，无公共部分；当k为偶数时，公共部分是第四象限。 10.已知角的终边经过点，则 。 【答案】 11.已知角终边上一点，且。求的值。 【解析】由已知，解得，则有。 12．角的顶点为坐标原点，终边在直线上，且。若是终边上的一点，且，求的值。 【解析】由已知，并且。又，。 学科网（北京）股份有限公司 $$