21.2.2公式法（第2课时）（导学案）数学人教版九年级上册

21.2.2公式法（第2课时）（导学案）（原卷版） （1） 认识到公式法是解一元二次方程的普适方法，适用于所有形式的一元二次方程；准确记忆并运用一元二次方程`的求根公式。 （2）理解求根公式的推导过程是通过配方法得到的，认识到公式法是配方法的一般化结果。 （3）感受数学公式的简洁性、普适性和强大威力，体会数学抽象的价值，在运用公式法解题的过程中，培养严谨、规范、细致的运算习惯和书写习惯。 重点：公式的推导和应用。 难点：公式的推导。 第一环节 自主学习 温故知新： ①一元二次方程的一般形式是：　　　　　　；一元二次方程的二次项系数是　　，一次项系数是　　　，常数项分别是　　　； ②当时，方程有　　　　　　　　； 当时，方程有　　　　　　　　； 当时，方程　　　　　　。 ③根据的根的判别式可以判别一元二次方程　　　　　　；反过来，根据一元二次方程根的情况可以得到　　　　　　　。用根的判别式的前提是方程　　　　　　　，特别注意二次项系数　　　. 【学法指导】 自研课本P11页内 探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式(Ш) ，上一节课我们学习了将方程(Ш)配方的结果是①根据的值来判断一元二次方程(Ш)根的情况，怎样进一步求出方程(Ш)的解呢? （1）根的判别式和求方程根的公式是与一元二次方程一般形式相对应的，因此使用根的判别式和求根的公式之前应先将方程怎样变形？ 使用根的判别式和求方程根的公式之前应先将方程化为　　　　　　　. （2）通过以上学习你能归纳出如何根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况？ 归纳：由上可知，当时，方程有　　　　　；当时，方程有　　　　　；当时，方程　　　　。反过来　　　　。 （3)什么是求根公式？怎样用公式法解一元二次方程？ 当时，方程有　　　　，可写为　　　　　　　的形式，这个式子叫做一元二次方程的　　　　　　　。 求根公式表达了用　　　　　解一般的一元二次方程的　　　　　。 解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代人　　　　　，可以避免　　　　　而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做　　　　　。 第二环节 合作探究 1.讨论用根的判别式和求根的公式之前应先将方程怎样变形？ 2.讨论如何根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况？ 3.讨论什么是一元二次方程的求根公式？怎样用公式法解一元二次方程？ 4.例1. 用公式法解下列方程: (1) ；　　　　　　(2) ； (3) ；　　　　　　(4) . 5. 　回到本章引言中的问题，并解答. 6.例2.用公式法解下列方程: (1) ；　　　　　　(2) ； (3) ；　　　　　　(4) . 6.合作探究拓展　　定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“凤凰”方程． (1)已知是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系； (2)已知关于x的方程是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值． 1.（课本练习）解下列方程： 　　　　　 　　　　 　　 2.求第 21.1节中问题1的答案. 1.(2024·四川南充·中考真题)已知、是关于x的方程的两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围. (2)若，且k，、都是整数，求的值. 1.当时，方程有实数根，可写　　　　　　　　的形式，这个式子叫做一元二次方程的　　　　　。 2.求根公式表达了用　　　　解一般的一元二次方程的　　　　。解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代人　　　　，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做　　　　。 3.使用根的判别式和求方程根的公式之前应先将方程化为　　　　　。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.2公式法（第2课时）（导学案）（解析版） （1） 认识到公式法是解一元二次方程的普适方法，适用于所有形式的一元二次方程；准确记忆并运用一元二次方程`的求根公式。 （2）理解求根公式的推导过程是通过配方法得到的，认识到公式法是配方法的一般化结果。 （3）感受数学公式的简洁性、普适性和强大威力，体会数学抽象的价值，在运用公式法解题的过程中，培养严谨、规范、细致的运算习惯和书写习惯。 重点：公式的推导和应用。 难点：公式的推导。 第一环节 自主学习 温故知新： ①一元二次方程的一般形式是：；一元二次方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项分别是； ②当时，方程有两个不等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根。 ③根据的根的判别式可以判别一元二次方程根的情况；反过来，根据一元二次方程根的情况可以得到根的判别式值的符号。用根的判别式的前提是方程是一般形式，特别注意二次项系数不为0. 【学法指导】 自研课本P11页内 探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式(Ш) ，上一节课我们学习了将方程(Ш)配方的结果是①根据的值来判断一元二次方程(Ш)根的情况，怎样进一步求出方程(Ш)的解呢? （1）根的判别式和求方程根的公式是与一元二次方程一般形式相对应的，因此使用根的判别式和求根的公式之前应先将方程怎样变形？ 使用根的判别式和求方程根的公式之前应先将方程化为“一般形式”. （2）通过以上学习你能归纳出如何根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况？ 归纳：由上可知，当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根。反过来也成立。 （3)什么是求根公式？怎样用公式法解一元二次方程？ 当时，方程有实数根，可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。 求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程的结果。 解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代人求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 【自研自探】 自研课本11页内容及例题： 1.例1. 用公式法解下列方程: (1) ；　　　　　　(2) ； (3) ；　　　　　　(4) . 答案：；；； 无解. 2.回到本章引言中的问题，并解答. 回到本章引言中的问题，雕像下部高度(单位: )满足方程. 用公式法解这个方程，得， 即　，， 结果保留小数点后两位，那么，，. 这两个根中，只有符合问题的实际意义，因此雕像下部的高度设计为约. 3.例2.用公式法解下列方程: (1) ；　　　　　　(2) ； (3) ；　　　　　　(4) . 答案：；；； 无解. 第二环节 合作探究 1.讨论用根的判别式和求根的公式之前应先将方程怎样变形？ 2.讨论如何根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况？ 3.讨论什么是一元二次方程的求根公式？怎样用公式法解一元二次方程？ 4.合作探究拓展　　定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“凤凰”方程． (1)已知是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系； (2)已知关于x的方程是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值． 【分析】本题考查了根的判别式，公式法解一元二次方程，正确理解“凤凰”方程的定义是解题的关键． （1）根据有两个相等的实数根得到，根据是“凤凰”方程得到，则，代入整理得，即可得到结论； （2）根据“凤凰”方程的定义列式求出，然后求出，可得，，再根据两个实数根都是整数可得整数m的值． 【详解】（1）解：∵有两个相等的实数根， ∴， ∵是“凤凰”方程． ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即； （2）解：方程整理得：， ∵此方程是“凤凰”方程， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵两个实数根都是整数， ∴或， ∴或或或， ∴整数m的值为0或2或4或6． 1.（课本练习）解下列方程： 　　　　　 　　　　 　　 2.求第 21.1节中问题1的答案. 参考答案： 1. 2. 切去边长为5cm的正方形. 1.(2024·四川南充·中考真题)已知、是关于x的方程的两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围. (2)若，且k，、都是整数，求的值. [分析]本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方 程根的情况与判别式的关系是解题的关键. (1)根据“、是关于x的方程的两个不相等的实数根”，则Δ>0，得出关于k的 不等式求解即可: (2)根据，结合(1)所求k的取值范围，得出整数k的值有2，3，4，分别计算讨论整数k的不同 取值时，方程的两个实数根、是否符合都是整数，选择符合情况的整数k的值 即可. [详解](1)解:∵、是关于x的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴. , 解得: ； (2)解:∵，由(1)得， ∴. ， ∴整数的值有2，3，4， 当时，方程为, 解得: (都是整数，此情况符合题意); 当时，方程为, 解得: (不是整数，此情况不符合题意): 当时，方程为, 解得: (不是整数，此情况不符合题意); 综上所述，的值为2. 1.当时，方程有实数根，可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。 2.求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程的结果。解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代人求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 3.使用根的判别式和求方程根的公式之前应先将方程化为“一般形式”. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$