21.2.2公式法（第1课时）（导学案）数学人教版九年级上册

21.2.2公式法（第1课时）（导学案）（原卷版） （1）理解通过配方得到的结论，认识只有当时方程才有解，并且方程解的情况与有关，理解根判别式的含义及其与方程根的情况之间的对应关系。 （2）根据的值可以判定一元二次方程解的情况，并能应用根的判别式解决相关问题。 （3）在运用根的判别式解题的过程中，培养严谨、规范、细致的运算习惯和书写习惯。 重点：根判别式。 难点：根判别式解决相关问题。 第一环节 自主学习 温故知新： 1 一元二次方程的一般形式是： ； 2 一元二次方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项分别是 ； ③方程的解讨论如下： 一般地，对于方程(I)： 当时，根据平方根的意义，方程(I)有 ； 当时，根据平方根的意义，方程(I)有 ； 当时，因为对任意实数，都有， . 【学法指导】 自研课本P9－10页内容 探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式(Ш) 能否也用配方法得出(Ш)的解呢? （1）配方法解一元二次的一般步骤是什么？怎样对方程(Ш)进行配方？我们来试一试。 （2）配方时要两边加一次项系数一半的平方，这里应试加什么？（） （3）由前面对方程(I)(Ⅱ)的讨论可知，这个方程的解的情况由什么决定的？（由决定的，因此需对的取值分类讨论） 归纳：一般地，式子叫做一元二次方程的 ，通常用希腊字母 表示它，即 . 思考归纳　（１）根的判别式是与一元二次方程一般形式相对应的，因此使用根的判别式之前应先将方程怎样变形？ 使用根的判别式之前应先将方程化为 。 （2）通过以上学习，你能归纳出如何根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况？已知方程根的情况如何判断方程根的判别式的符号？ 由上可知，当时，方程有 ；当时，方程有 ；当时，方程 . 所以我们可以 一元二次方程，根据 判别一元二次方程根的情况；反过来，根据一元二次方程 可以得到根的判别式值 。 【自研自探】 自研课本9-10页内容及例题： 例1．方程根的判别式的值为（   ） A．2 B． C．17 D． 例2.若关于的方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围？ 例3.对于实数a， b定义新运算“*”如下：， 例如， 判断方程 的根的情况. 第二环节 合作探究 1.讨论配方法解一元二次的一般步骤是什么？怎样对方程(Ш)进行配方？讨论配方时要两边加一次项系数一半的平方，这里应试加什么？ 2.讨论由前面对方程(I)(Ⅱ)的讨论可知，这个方程①的解的情况由什么决定的？ 3.根的判别式与根的关系？ 4.合作探究提升：己知关于的两个一元二次方程： 方程①：；方程②： (1)证明方程①总有实数根， (2)若方程②有两个相等的实数根，求k的值， (3)若方程①和②有一个公共根a，求代数式的值． 1．如果一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数m的取值情况是（    ） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程有实数根，求m的取值范围. 1.(2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题)关于的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是( ) A． 　　 B． 　　 C．且 　　 D．且 2．（2024·陕西宝鸡·一模）若关于的一元二次方程有一个实数根为0，求的值. （1）当时，方程有 ； 当时，方程有 ； 当时，方程 . （2）根据的根的判别式来判别一元二次方程 ；反过来，根据一元二次方程根的情况可以得到根的判别式 .根的判别式的前提是方程 ，特别注意二次项系数 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.2公式法（第一课时）（导学案）（解析版） （1）理解通过配方得到的结论，认识只有当时方程才有解，并且方程解的情况与有关，理解根判别式的含义及其与方程根的情况之间的对应关系。 （2）根据的值可以判定一元二次方程解的情况，并能应用根的判别式解决相关问题。 （3）在运用根的判别式解题的过程中，培养严谨、规范、细致的运算习惯和书写习惯。 重点：根判别式。 难点：根判别式解决相关问题。 第一环节 自主学习 温故知新： ①一元二次方程的一般形式是：； ②一元二次方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项分别是； ③方程的解讨论如下： 一般地，对于方程(I)： 当时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根； 当时，根据平方根的意义，方程(I)有两个相等的实数根； 当时，因为对任意实数，都有，所以方程(I)无实数根。 【学法指导】 自研课本P9－10页内容 探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式(Ш) 能否也用配方法得出(Ш)的解呢? （1）配方法解一元二次的一般步骤是什么？怎样对方程(Ш)进行配方？我们来试一试。 按照配方法解一元二次方程的一般步骤： 移项 ，得 二次项系数化为1，得 （2）配方时要两边加一次项系数一半的平方，这里应试加什么？（） 配方，得 即① 因为，所以 . （3）由前面对方程(I)(Ⅱ)的讨论可知，这个方程的解的情况由什么决定的？（由决定的，因此需对的取值分类讨论） 式子 的值有以下三种情况: (1) ，这时，由①得， 方程有两个不等的实数根， ，. (2) 这时，由①可知，方程有两个相等的实数根， . (3) ，这时，由①可知，而取任何实数都不能使，因此方程无实数根. 归纳：一般地，式子叫做一元二次方程的根的判别式，通常用希腊字母“△”表示它，即. 思考归纳　（１）根的判别式是与一元二次方程一般形式相对应的，因此使用根的判别式之前应先将方程怎样变形？ 使用根的判别式之前应先将方程化为“一般形式”。 （2）通过以上学习，你能归纳出如何根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况？已知方程根的情况如何判断方程根的判别式的符号？ 由上可知，当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根。 所以我们可以不解一元二次方程，根据根的判别式来判别一元二次方程根的情况；反过来，根据一元二次方程根的情况可以得到根的判别式值的符号。 【自研自探】 自研课本9-10页内容及例题： 例1．方程根的判别式的值为（   ） A．2 B． C．17 D． 【分析】本题考查了根的判别式，将原方程变形为一般式找出、、的值是解题的关键．将原方程变形为一般式，找出、、的值，将其代入即可得出结论． 【详解】解：原方程可变形为， ，，， ． 故选：C 例2.　若关于的方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围？ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据“若方程有两个不相等的实数根，则”，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 例3．对于实数a， b定义新运算“*”如下：， 例如， 判断方程 的根的情况. 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 根据运算“”的定义将方程转化为一般式，由根的判别式，即可得出该方程有两个相等的实数根． 【详解】解：由题可得：方程 化为， 即， ∵， ∴方程有两个相等的实数根． 第二环节 合作探究 1.讨论配方法解一元二次的一般步骤是什么？怎样对方程(Ш)进行配方？讨论配方时要两边加一次项系数一半的平方，这里应试加什么？ 2.讨论由前面对方程(I)(Ⅱ)的讨论可知，这个方程①的解的情况由什么决定的？ 3.根的判别式与方程根的关系？ 4.合作探究提升：己知关于的两个一元二次方程： 方程①：；方程②： (1)证明方程①总有实数根， (2)若方程②有两个相等的实数根，求k的值． (3)若方程①和②有一个公共根a，求代数式的值． 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． （1）根据题意证明即可； （2）由方程②有两个相等的实数根，由二次项系数不为0及根的判别式等于0可得到关于的方程则可求得的值； （3）把分别代入两个方程，整理即可求得所求代数式的值． 【详解】（1） ∴无论k为何值时，方程总①有实数根 （2）∵方程②有两个相等的实数根， 且， 则， 则， ， ， ； （3）根据a是方程①和②的公共根， ③，④ 得：⑤， 得：， 代数式． 故代数式的值为5． 1．如果一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数m的取值情况是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 解得， 故选：C 2．若关于的一元二次方程有实数根，求m的取值范围. 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 由①得：， ， ， 由②得：， 且． 1.(2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题)关于x的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是( ) A． 　　 B． 　　 C． 且 　　 D． 且 【分析]本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的根的判别式 的意义得到且，即，然后解不等式组即可得到的取值范 [详解]解:∵关于的一元二次方程有实数根， ，且,　　解得: ， ∴的取值范围是且. 故选:D． 2．（2024·陕西宝鸡·一模）若关于x的一元二次方程有一个实数根为0，求的值. 【分析】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，理解方程的根就是使方程等式成立的未知数的值，一元二次方程一般式，是解题的关键；根据一元二次方程的解和一元二次方程的定义解题即可． 【详解】关于x的一元二次方程有一个实数根为0， 把代入一元二次方程，得， 解得或， ， ． （1）当时，方程有两个不等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根。 （2）根据的根的判别式来判别一元二次方程根的情况；反过来，根据一元二次方程根的情况可以得到根的判别式值的符号。根的判别式 的前提是方程是一般形式，特别注意二次项系数不为0. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$