第07讲 函数与方程（专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第07讲 函数与方程 目录 01 常考题型过关练 题型01 零点所在区间的判断 题型02 求零点个数 题型03 根据零点所在区间求参数范围 题型04比较零点的大小 题型05 零点个数的应用 题型06 函数与方程的综合 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 零点所在区间的判断 1．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，在下列选项中，包含零点的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 4．[多选题]教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表如下： x 1.25 1.375 1.406 1.422 1.437 1.5 h 0.02 0.33 分析表中数据，下列说法正确的是（   ） A． B．方程有实数解 C．若精确度为0.1，则近似解可取为1.375 D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375 02 求零点个数 5．函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．定义在区间的函数与的图像交点个数为 ． 8．函数的零点个数为 . 03 根据零点所在区间求参数范围 9．已知是函数的零点，且，，则（   ） A． B． C． D． 10．若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 ． 11．已知函数有三个零点，则实数的取值范围是 . 12．已知，若在上有解，则的最小值是 ． 04 比较零点的大小 13．已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 14．已知正数a，b，c满足，则（   ） A． B． C． D． 15．（多选）若实数都是一次函数的零点，则下列不等关系中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 16．（多选）已知函数，若，则下列说法正确的有（   ） A．若，则成等比数列 B．若，则成等比数列 C．若，则 D．若，则 05 零点个数的应用 17．函数恰有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．已知函数，若存在实数，使函数恰有个零点，则实数的取值范围是 ． 20．已知函数．若函数有三个零点，则的取值范围为 ． 21．已知函数.若函数存在5个零点，则实数的取值范围为 . 06 函数与方程的综合 22．关于的方程恰好有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．已知实数，是函数的两个零点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 24．已知函数存在，使得，则的取值范围是 . 25．已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为 . 26．已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是 ． 27．设函数为常数，则下列命题中： 命题（1）：对任意实数，存在实数，使方程有两个不同的实数解； 命题（2）：存在实数，对任意实数，方程有两个不同的实数解； 命题（3）：存在实数，对任意实数，方程有两个不同的实数解； 命题（4）：对任意实数，存在实数，使方程有两个不同的实数解.真命题的个数是（    ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．（多选）已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，当时，，则（） A．的图象关于直线对称 B．是周期函数 C．在上单调递减 D．在内有4个零点 29．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B． C．的极大值为4 D．若函数有三个零点，则 30．设实系数一元二次方程有两个不相等的实数根，，则原方程可以变形为，展开得，由此，我们可以得到，.类比上述方法，如果实系数一元三次方程有三个不相等的实数根，，，我们也可以得到类似的结论.已知关于的方程有三个不相等的实数根，，，且，则的取值范围为 . 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 3．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 5．（2023·上海·高考真题）函数 (1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数； (2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 6．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 函数与方程 目录 01 常考题型过关练 题型01 零点所在区间的判断 题型02 求零点个数 题型03 根据零点所在区间求参数范围 题型04比较零点的大小 题型05 零点个数的应用 题型06 函数与方程的综合 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 零点所在区间的判断 1．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由零点存在定理结合函数单调性即可判断. 【详解】因为函数定义域为与均在上单调递增， 所以在上单调递增且连续， 又，即， 所以由零点存在定理可得的零点所在区间为. 故选：B. 2．已知函数，在下列选项中，包含零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点判断定理判断即可. 【详解】由函数为减函数，也为减函数， 函数为连续递减函数， ， ，由零点判断定理可得函数的零点所在区间为， 故选：C. 3．（多选）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】在同一个坐标系中作出与的图象，根据函数的单调性和零点存在定理，结合选项中的给定区间逐一判断即得. 【详解】函数的定义域为，由可得， 于是函数的零点所在的区间即函数与函数的交点的横坐标所在区间. 如图作出两函数的图象如下： 对于A，时，因在上递增，在上递减，而在恒为增， 且，，故两函数在上必有交点， 即为原函数的一个零点所在区间，故A正确； 对于B，时，因在上递减，在上递增，且在上恒成立， 而在上恒为增，且，故两函数在上无交点， 即不是原函数的零点所在区间，故B错误； 对于C，时，因在上递增，在上递减， 而在上恒为增，且，，， 即两函数在有两个交点，即为原函数的零点所在的区间，故C正确； 对于D，时，情况与选项B相似，函数在上恒成立， 而在上恒为增，且，即两函数在上无交点， 即不是原函数的零点所在区间，故D错误. 故选：AC. 4．[多选题]教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表如下： x 1.25 1.375 1.406 1.422 1.437 1.5 h 0.02 0.33 分析表中数据，下列说法正确的是（   ） A． B．方程有实数解 C．若精确度为0.1，则近似解可取为1.375 D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375 【答案】BC 【详解】函数显然在R上单调递增，最多有一个零点，又因为，所以函数的零点在区间上，即方程有实数解，故B正确；所以函数在区间上没有零点，即，故A错误；因为，所以函数的零点在区间上，又因为，所以若精确度为0.1，则近似解可取为1.375，故C正确；因为函数的零点在区间上，且，所以若精确度为0.01，则近似解不能取为1.4375，故D错误． 02 求零点个数 5．函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将变形为，从而转化为研究的性质判断零点个数. 【详解】易知0不是函数的零点，故， 令，则在，上单调递减， 又，，，， 故在，上各有一个零点，即零点个数为2， 故选：B． 6．已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】令，由可得，，，分类讨论结合函数图象分析求解即可. 【详解】求函数的零点个数，即求方程的不同实数根的个数， 如图，作出函数的大致图象， 令，则，解得，，． 当时，，则，此时方程无解； 当时，，则，此时方程有3个不同实数根； 当时，，则，此时方程有2个不同实数根． 综上可知，函数的零点个数为5． 故选：A． 7．定义在区间的函数与的图像交点个数为 ． 【答案】4 【分析】在平面直角坐标系中，分别画出与的图像，根据图像即可求解. 【详解】在平面直角坐标系中，函数与的图像如图所示， 根据图像，可得函数与的图像交点个数为4. 故答案为：4. 8．函数的零点个数为 . 【答案】2 【分析】化简函数，所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，分析函数和的单调性，结合图象，通过一些特殊值可知和只有两个交点，即函数的零点的个数为2. 【详解】因为， 所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数， 而，， 且，所以和在只有一个交点位于内， 同理可得和在也只有一个交点位于内， 画出图象如图所示，由图象知，函数的零点的个数为2. 故答案为：2. 03 根据零点所在区间求参数范围 9．已知是函数的零点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结果. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在为增函数， 因为，，，则， 由零点存在定理可得，又因为，，故. 故选：B. 10．若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由函数有零点转化成函数与在区间上有交点，结合图象，易得不等式组，解之即得. 【详解】由可得， 则函数在区间上有零点等价于函数与在区间上有交点， 因在区间上为减函数，在区间上为增函数，如图所示. 由图知，需使，即，解得. 故答案为：. 11．已知函数有三个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析函数的零点个数，利用导数法讨论函数的单调性与最值,再判断函数在每段上的零点个数,根据零点分布情况建立不等式组，求得实数的取值范围. 【详解】由题可得，函数最多只有一个零点. 若零点存在，则，解得， 又由，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 且当时，， 所以最多有两个零点. 因为有三个零点，所以有两个零点， 则， 解得，所以实数的取值范围为. 综上可得：实数的取值范围为. 故答案为： 12．已知，若在上有解，则的最小值是 ． 【答案】12 【分析】根据题意，的最小值即为原点到直线的距离的平方，从而求解． 【详解】因为函数， 又在上有解， 设这个解是，则， 则，即， 即点可看作在动直线上，则可转化为点到原点距离的平方的最小值． 则，令，， 则， 当且仅当，即时取等号，此时， 则． 故答案为：12. 04 比较零点的大小 13．已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数的零点问题转化成两个函数图象的交点问题，三个函数的零点均可看成对应函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可以得到的大小关系. 【详解】 的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知， 同理的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知， 的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，可得， 因此， 故选：D. 【点睛】方法点睛：函数零点问题可以转化成两个函数图象的交点问题. 14．已知正数a，b，c满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将转化为直线与曲线交点的横坐标，然后结合图象判断即可. 【详解】由，得， 由此可得是方程的根， 也是直线与曲线交点的横坐标； 同理，是直线与曲线交点的横坐标； 是直线与曲线交点的横坐标． 由于上述三条直线相交于点，曲线经过点，结合函数图象可得． 故选：D． 15．（多选）若实数都是一次函数的零点，则下列不等关系中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】首先由条件转化为，再结合函数图象的交点情况，即可判断选项. 【详解】由题意可得，，即，在同一坐标系下作出的图象如图. 根据图象可知，时，，时，，有或，故B错误； 若，则，所以，故A正确； 若，则，所以，故D正确； 当时，单调递增，因为，所以，使得，所以，即，故C正确. 故选：ACD 16．（多选）已知函数，若，则下列说法正确的有（   ） A．若，则成等比数列 B．若，则成等比数列 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】设当时，成等比数列，利用等比中项可知，代入解得，验证和时是否满足题意验证AB，利用作商法画出的大致图象，可看作对应函数与交点对应的横坐标，利用图象判断CD即可. 【详解】设当时，成等比数列，则，即， 由得，所以， 所以，解得， 经检验，当时，满足， 当时，，此时，不满足题意，故A正确，B错误； 因为在恒成立，在恒成立， 所以，在恒成立， 又，所以当时，，即， 当时，，即， 所以的大致函数图象如图所示， 由图象可知当时，由可得， 当时，由可得，CD正确； 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：选项CD的关键是将可看作对应函数与交点对应的横坐标，利用函数图象判断，数形结合. 05 零点个数的应用 17．函数恰有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，将问题转化成与有且仅有一个交点，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而求得图象，再数形结合，即可求解. 【详解】令，得到，则，显然， 得到，令， 则， 因为恒成立， 所以当时，，当时，， 即区间上单调递减，在区间和上单调递增， 又时，，，从左边趋近于时，， 从右边趋近于时，，时，，其图象如图， 由题知恰有一个零点，则与有且仅有一个交点， 由图知，，解得， 故选：C. 18．已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数与方程的关系，将函数的零点个数问题转化为方程的根的个数问题，进一步转化为两函数的交点个数问题，结合函数图象观察，分类讨论即得. 【详解】解：由题意知，要使得恰有2个零点，即有两个实数根． 当时，，令，可得； 当时，，令，可得． 在同一坐标系下，作出函数，和的图象， 如图所示， 由函数，可得，可得时，，， 故函数在处的切线方程为， 又由函数，可得，可得时，， 故函数在的切线方程为， 所以函数与只有一个公共点， 结合图象得：当时，恰有3个零点； 当时，恰有2个零点； 当时，恰有3个零点， 要使得恰有2个零点，则满足， 所以实数的取值范围为． 故选：C. 19．已知函数，若存在实数，使函数恰有个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先分析分段函数的单调性，然后画图，将“存在实数使得函数恰有3个零点”问题转化为函数与直线有三个交点的问题，结合图象即可求得的取值范围. 【详解】当时，，求导得， 所以在上单调递增，最大值为. 当时，. 当时，；当时，， 画出的图象如下： 因为存在实数使得函数恰有3个零点，这个问题可以转化为函数与直线有三个交点的问题. 由图可知时，存在实数使得函数与直线最多有2个交点，不合题意. 当时，存在实数使得函数与直线最多有2个交点，不合题意. 当时，由图可以知道，存在实数使得函数与直线恰有3个交点，符合题意. 故答案为：. 20．已知函数．若函数有三个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】函数有三个零点，即与的图象有三个交点，即画出函数的图象，可求出答案. 【详解】若函数有三个零点，即与的图象有三个交点， 当时，， 当时，在有最大值4， 画出函数的图象，如下图， 由图可知，. 故答案为：. 21．已知函数.若函数存在5个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】令，将问题转化为与、的交点，作出函数的大致图像，利用数形结合的思想即可求解. 【详解】函数的 零点，令， 解得， 将问题转化为与、的交点， 作出的大致图像，如下：    由图可知，函数存在5个零点， 则，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：将问题转化为与、的交点，作出函数的大致图像是关键，考查了数形结合的思想. 06 函数与方程的综合 22．关于的方程恰好有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意将“方程恰好有4个不同的实数根” 转化为“直线与函数图象在恰好有两个不同的交点”，数形结合可得，解之即得. 【详解】由题意知，所以 ，令，则得， 从而可转化为“直线与函数图象在恰好有两个不同的交点”. 而，当时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减， 又∵，；当时，， 需使，即， 从而实数的取值范围为. 故选：D. 23．已知实数，是函数的两个零点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意的零点，即函数与函数的交点，作图可初步判断，根据函数值可进一步判断，得到，再对通过判断的符号，得到即可. 【详解】根据题意的零点，即函数与函数的交点如图， 由图可得 ，， ，， ， ， 综上，. 故选：B. 24．已知函数存在，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，依题意即函数与直线的交点横坐标，利用函数解析式，结合图象易得，，，利用二次函数的性质即可求得的取值范围. 【详解】作出函数的图象，设，依题意，， 且，，解得，， 故，因函数在上单调递减，故， 即的取值范围是. 故答案为：. 25．已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】作出函数的图像，令得解得或，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意作出函数的图像， 由，令，有， 即，化简得， 解得或，若方程有且仅有5个不同实数根， 所以或，解得或， 即，所以， 故答案为：. 26．已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析函数的图象，再将恰有个零点转化为与的图象恰有个交点，进而求解的取值范围. 【详解】当时，， 当时，， 当时，； 当时， ， 直线恒过点，与的图象在不同区间的位置关系情况如图所示： 当直线过时，，； 当直线过时，， . 结合图象，当时，与恰有个交点. 所以实数的取值范围是 . 故答案为：. 27．设函数为常数，则下列命题中： 命题（1）：对任意实数，存在实数，使方程有两个不同的实数解； 命题（2）：存在实数，对任意实数，方程有两个不同的实数解； 命题（3）：存在实数，对任意实数，方程有两个不同的实数解； 命题（4）：对任意实数，存在实数，使方程有两个不同的实数解.真命题的个数是（    ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】作出函数的图象，结合图象可得时，若，则，若，则，根据上述结论结合图象可以依次判断各命题真假. 【详解】作的图象：             当，由函数图象知，即， 当，由函数图象知，即， 对命题（1），任取实数，总存在实数，使，命题（1）成立； 对命题（2），若，当时，与的图象仅一个交点， 若，当时，取，此时与的图象仅一个交点， 若，当时显然不成立，故不存在满足条件的正实数，命题（2）为假命题； 对命题（3），由函数图象知，对固定的实数，若，则，若，则， 由于的图象在特定范围内与平行于轴的直线不恒有两个交点，故不满足任意性，命题（3）为假命题； 对命题（4），由函数图象知，对任意，只需取，都能使有两个解，故命题（4）成立. 故选：B． 28．（多选）已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，当时，，则（） A．的图象关于直线对称 B．是周期函数 C．在上单调递减 D．在内有4个零点 【答案】AB 【分析】由是偶函数可得关于直线对称，由此判断A；由是奇函数可得关于点对称，结合A可推出的周期为8，由此判断B；由关于点对称及时，，可知在单调递增，由此判断C；根据函数的对称性和周期性可求出在内的零点个数，由此判断D. 【详解】对于A，是偶函数，，关于直线对称，故A正确； 对于B，由A可知关于直线对称，①， 又是奇函数，，即， 关于点对称，②， 由①②可得，即， ， ， 的一个周期为8，故B正确； 对于C，由B知关于点对称， 时，单调递增， 在也单调递增，故C错误； 对于D，定义域为R，关于对称，， 又关于直线对称，， 在内有2个零点，故D错误， 故选：AB. 29．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B． C．的极大值为4 D．若函数有三个零点，则 【答案】ABD 【分析】利用奇函数的定义可判断A的正误，求出函数的导数后代入计算可判断B的正误，根据导数的符号可判断函数何时取何极大值，故可判断C的正误，根据函数的单调性结合与的图象有3个不同的交点可求的范围，故可判断D的正误. 【详解】对于A，的定义域为，它关于原点对称， 而，故为奇函数，故A正确； 对于B，，故且， 故，故B正确； 对于C，由已知得， 故当时，，时，， 故的极大值点为，此时极大值为，故C错误； 对于D，由C的分析可得在上为增函数，在为减函数， 又，且当时，，时，， 故当函数有三个零点时即与的图象有3个不同的交点时， 必有，故D正确. 故选：ABD. 30．设实系数一元二次方程有两个不相等的实数根，，则原方程可以变形为，展开得，由此，我们可以得到，.类比上述方法，如果实系数一元三次方程有三个不相等的实数根，，，我们也可以得到类似的结论.已知关于的方程有三个不相等的实数根，，，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】本题可先根据三次方程根与系数的关系得到，，，再结合函数性质求解的取值范围. 【详解】由题意可以变形为， 展开得：， 所以， ， 三次方程 的根 ， 所以，，， 由 ，代入得： 因此： 因为方程有三个不等实根，令， 令，得.， ，单调递增， ， ，单调递减，， ，单调递增， 所以的极大值为， 的极小值为， 要有三个不等实根，则且，即. 又是最小根则，且. 所以. 令，， ， 因此， 的取值范围为 ，即的取值范围为. 故答案为： 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 3．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围． 【详解】（1）当时，， 即， 若时，，此时成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． （2）当时，， 即， 若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上， 当时，零点为，； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且． 故答案为：． 【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出． 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 5．（2023·上海·高考真题）函数 (1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数； (2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)不存在 (2)且 【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断； （2）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为， 假设为奇函数，则， 而，则，此时无实数满足条件， 所以不存在实数，使得函数为奇函数； （2）图像经过点，则代入得，解得， 所以，定义域为， 令，则的图像与轴负半轴有两个交点， 所以，即，解得， 若，即是方程的解， 则代入可得，解得或. 由题意得，所以实数的取值范团且. 6．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】(1)不是； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； （3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可. 【详解】（1）（1），，则不是中的元素. （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）（3）对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$